Martin Kollár, Ľubica Kossaczká, Daniel Ševčovič
Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v
príkladoch
Knižničné a edičné centrum FMFI UK, 200 strán.
ISBN: 978-80-89186-54-9
Stiahnite si skriptá
Úvod
Lineárne normované priestory
Norma a jej vlastnosti
Ekvivalentné normy
Príklady noriem v a vo všeobecných LNP
Euklidovský priestor
Skalárny súčin
Cauchy-Schwartzova nerovnosť, Youngova a Minkowského nerovnosť
Lineárne zobrazenia a funkcionály
Topologické vlastnosti LNP
Otvorené a uzavreté množiny v lineárnom normovanom priestore
Hranica množiny
Konvergencia postupností v LNP
Kompaktné množiny, kritériá kompaktnosti množín v R^n,
Heine-Borelova veta
Úplné normované priestory, Banachov a Hilbertov priestor
Kontraktívne zobrazenia a Banachova veta o existencii pevného bodu
Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode
Súvislé množiny
Konvexné množiny v LNP
Spojitosť funkcií v LNP
Limity funkcií, definícia spojitosti funkcie v LNP
Extremálne vlastnosti spojitých funkcií na kompaktných a súvislých
podmnožinách
Vzťah násobných limít a limity funkcie viac premenných
Grafické znázorňovanie priebehu funkcie viac premenných
Diferencovateľnosť funkcií viac
premenných
Parciálne derivácie funkcií viac premenných a ich geometrická
interpretácia
Parciálne derivácie vyšších rádov, zameniteľnosť poradia diferencovania
Derivácia funkcie viac premenných a jej geometrická interpretácia
Vzťah derivácie funkcie a jej parciálnych derivácii, Jacobiho matica
Derivácia zloženej funkcie
Derivácie vyšších rádov
Vlastnosti diferencovateľných
funkcií
Rozvoj funkcie viac premenných do Taylorovho radu
Totálny diferenciál funkcie a jeho použitie na približné určovanie
hodnoty funkcie
Gradient funkcie a derivácia v smere
Vzťah gradientu funkcie k hranici úrovňovej množiny diferencovateľnej
funkcie
Kritérium konvexnosti funkcie viac premenných
Konvexné a konkávne funkcie
Úrovňové množiny konvexných funkcií
Extremálne vlastnosti funkcií viac
premenných
Vyjadrenie dotykovej roviny ku grafu funkcie
Maximá a minimá funkcie viac premenných, lokálne extrémy
Sedlové body
Nutné podmienky nadobúdania lokálneho extrému funkcie viac premenných
Postačujúce podmienky nadobúdania lokálneho extrému a Hessova matica
druhých derivácii
Globálne extrémy a metódy ich určovania
Aplikácie, ktoré vedú na hľadanie voľných extrémov
Funkcie zadané implicitným vzťahom
Príklady a význam funkcií zadaných implicitne
Existencia funkcie zadanej implicitne
Derivácia implicitnej funkcie
Vyšetrovanie priebehu funkcie zadanej implicitne
Veta o existencií inverznej funkcie
Viazané extrémy funkcie viac
premenných
Význam a využitie viazaných extrémov funkcie viac premenných
Geometrická interpretácia viazaného extrému a Lagrangeovho
multiplikátora
Lagrangeova funkcia
Nutné podmienky existencie viazaného extrému
Postačujúce podmienky viazaného maxima a minima
Všeobecná postačujúca podmienka viazaného extrému a ohraničený Hessián
Rozvoj funkcií do Fourierovho radu
Rozvoj funkcie do Fourierovho radu, vzťahy pre koeficienty Fourierovho
radu
Periodické, párne a nepárne rozšírenia funkcii a ich rozvoj do
Fourierovho radu
Besselova nerovnosť a Parsevalova rovnosť
Konvergencia trigonometrického radu, bodová konvergencia Fourierovho
radu
Riešenie okrajovej úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu pomocou
Fourierovho radu
Riemannov integrál funkcie viac
premenných
Definícia Riemannovho integrálu na ohraničnej oblasti
Vlastnosti integrálu funkcii viac premenných
Fubiniho veta
Metóda substitúcie
Metóda substitúcie pre integrovanie funkcii viac premenných
Lineárne a nelineárne transformácie súradníc
Jakobián transformácie a geometrický význam determinantu Jacobiho matice
Veta o substitúcii pre integrály viac premenných
Polárne a sférické súradnice
Metódy výpočtu viacrozmerných integrálov pomocou transformácie
premenných
Krivkové a plošné integrály
Integrovanie funkcii definovaných na krivkách
Krivkový integrál prvého a druhého druhu
Integrovanie funkcii definovaných na plochách
Vzťah krivkových, plošných a objemových integrálov
Gauss-Ostrogradského veta a Stokesova formula
Parametrické integrály
Definícia parametrického integrálu
Priklady parametrických integrálov
Spojitosť a Diferencovateľnosť parametrických integrálov
Metódy výpočtu parametrických integrálov
Gama, Beta funkcia a ich vlastnosti
Výsledky
Lineárne normované priestory
Topologické vlastnosti LNP
Spojitosť funkcií v LNP
Diferencovateľnosť funkcií viac premenných
Vlastnosti diferencovateľných funkcií
Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných
Funkcie zadané implicitným vzťahom
Viazané extrémy funkcie viac premenných
Rozvoj funkcií do Fourierovho radu
Riemanov integrál funkcie viac premenných
Metoda substitúcie
Krivkové a plošné integrály
Parametrické integrály
Literatúra
Department of Applied Mathematics and Statistics,
Divison of Applied Mathematics
Faculty of Mathematics, Physics and Informatics
Comenius University
Mlynska dolina
842 48 Bratislava, Slovak republic
www.iam.fmph.uniba.sk/institute/sevcovic
e-mail:sevcovic@fmph.uniba.sk
Tel: + 421-2-654 24 000 Fax:+ 421-2-654 25 882