Sylabus prednášky:


Matematická analýza III


Zimný semester, 2. ročník


prof. D. Ševčovič

1
Lineárne normované priestory. Norma a jej vlastnosti. Ekvivalentné normy. Príklady noriem v a vo všeobecných LNP. Euklidovský priestor. Skalárny súčin. Cauchy-Schwartzova nerovnosť, Youngova a Minkowského nerovnosť. Lineárne zobrazenia a funkcionály.

2
Topologické vlastnosti LNP. Otvorené a uzavreté množiny v lineárnom normovanom priestore (LNP). Hranica množiny. Konvergencia postupností v LNP. Kompaktné množiny, kritériá kompaktnosti množín v , Heine-Borelova veta. Úplné normované priestory, Banachov a Hilbertov priestor. Zúplnenie normovaného priestoru. Lebesgueov priestor . Súvislé množiny. Konvexné množiny v LNP.

3
Spojitosť funkcií v LNP. Limity funkcií. Definícia spojitosti funkcie v LNP. Extremálne vlastnosti spojitých funkcií na kompaktných a súvislých podmnožinách. Kontraktívne zobrazenia a Banachova veta o existencii pevného bodu. Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode.

4
Funkcie viac premenných. Vzťah násobných limít a limity funkcie viac premenných. Grafické znázorňovanie priebehu funkcie viac premenných. Konvexné a konkávne funkcie. Úrovňové množiny konvexnýxh funkcií.

5
Diferencovatelnosť funkcií viac premenných. Parciálne derivácie funkcií viac premenných a ich geometrická interpretácia. Parciálne derivácie vyšších rádov, zamenitelnosť poradia diferencovania. Derivácia funkcie viac premenných a jej geometrická interpretácia. Vzťah derivácie funkcie a jej parciálnych derivácii, Jacobiho matica. Derivácia zloženej funkcie. Derivácie vyšších rádov.

6
Vlastnosti diferencovatelných funkcií. Rozvoj funkcie viac premenných do Taylorovho radu. Totálny diferenciál funkcie a jeho použitie na približné určovanie hodnoty funkcie. Gradient funkcie a derivácia v smere. Vzťah gradientu funkcie k hranici úrovňovej množiny diferencovatelnej funkcie. Kritérium konvexnosti funkcie viac premenných.

7
Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných. Vyjadrenie dotykovej roviny ku grafu funkcie. Maximá a minimá funkcie viac premenných, lokálne extrémy. Sedlové body. Nutné podmienky nadobúdania lokálneho extrému funkcie viac premenných. Postačujúce podmienky nadobúdania lokálneho extrému a Hessova matica druhých derivácii. Globálne extrémy a metódy ich určovania. Aplikácie, ktoré vedú na hľadanie voľných extrémov.

8
Funkcie zadané implicitným vzťahom. Príklady a význam funkcií zadaných implicitne. Existencia funkcie zadanej implicitne. Derivácia implicitnej funkcie. Vyšetrovanie priebehu funkcie zadanej implicitne. Veta o existencií inverznej funkcie.

9
Viazané extrémy funkcie viac premenných. Význam a využitie viazaných extrémov funkcie viac premenných. Geometrická interpretácia viazaného extrému a Lagrangeovho multiplikátora. Lagrangeova funkcia. Nutné podmienky existencie viazaného extrému. Metódy určovania typu extrému, niektoré jednoduché postačujúce podmienky viazaného maxima resp. minima. Všeobecná postačujúca podmienka viazaného extrému a ohraničený Hessián.

10
Aproximácie funkcií a rozvoj do Fourierovho radu. Význam aproximovania funkcie. Aproximácia spojitej funkcie. Stone-Weierstrassova lema. Úplné ortonormálne systémy funkcii v Hilbertovom priestore. Aproximácia funkcie funkciami z úplného ortonormálneho systému. Besselova nerovnosť a Parsevalova rovnosť. Trigonometrické rady a rozvoj funkcie do Fourierovho radu. Periodické predĺženie funkcie. Konvergencia trigonometrického radu. Komplexný tvar trigonometrického radu.

Literatúra

1
BARNOVSKÁ M., SMÍTALOVÁ K.: (1991) Matematická analýza III, Skriptá UK, Bratislava.

2
BARNOVSKÁ M., SMÍTALOVÁ K.: (1984) Matematická analýza IV, Skriptá UK, Bratislava.

3
KLUVÁNEK, I., MIšÍK, L., ŠVEC M.: (1961) Matematika I, II, SVTL Bratislava.

4
HORSKÝ, Z.: (1981) Diferenciální počet, SNTL Praha.

5
BARNOVSKÁ A KOL.: (1992) Cvičenia z matematickej analýzy III, Skriptá UK, Bratislava.
Internet: www.iam.fmph.uniba.sk/skripta

6
ELIÁš, J., HORVÁTH, J., KAJAN, J.: (1972) Zbierka úloh z vyššej matematiky III, IV, SNTL Bratislava.

7
DEMIDOVIČ, B.P.: (1977) Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu, Moskva Nauka (v ruštine).

8
BERMAN, G. N.: (1957) Zbierka úloh z matematickej analýzy, Bratislava, SVTL.


Doplňujúca literatúra


9
IVAN, J.: (1989) Matematika II, Bratislava, Alfa.

10
ŠALÁT T.: (1981) Metrické priestory, Alfa Bratislava.

11
PULTR A.: (1986) Podprostory Euklidovských prostorů, SNTL Praha.

11
PISKUNOV, N.S.: (1985) Diferenciálny a integrálny počet 1., Moskva Nauka (v ruštine).

12
KARTAšEV, A.P., ROžDESTVENSKIJ B.L.: (1984) Matematická analýza, Moskva Nauka (v ruštine).

13
KANTOROVIČ, L. V., AKILOV, G. P.: (1984) Funkcionálna analýza, Moskva Nauka (v ruštine).