Zadania sút’ažných úloh

Prvý deň

Príklad 1. 10b. Nech {ε_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnost’ kladných reálnych čísel taká, že lim_{n→∞} ε_{n} = 0. Nájdite

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ln (\frac{k}{n} + ε_{n}) ,

kde ln označuje prirodzený logaritmus

Príklad 2. 10b. Predpokladajme, že rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje. Konvergujú nasledovné rady?

a) a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{3} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{16} + a_{15} + ... + a_{9} + a_{32} + ...

b) a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{7} + a_{6} + a_{8} + a_{9} + a_{11} + a_{13} + a_{15} + a_{10} + a_{12} + a_{14} + a_{16} + a_{17} + a_{19} + ... Odôvodnite svoju odpoved’.

Príklad 3. 15b. Nech A a B sú reálne n × n matice také, že A^{2} + B^{2} = AB. Dokážte, že ak BA − AB je

invertovatel’ná matica, tak nevyhnutne n je delitel’né 3.

Príklad 4. 20b. Nech α je reálne číslo, 1 < α < 2.

a) Ukážte, že α má jednoznačnú reprezentáciu v tvare nekonečného súčinu α = (1 + \frac{1}{n_{1}} ) (1 + \frac{1}{n_{2}} ) ...

kde n_{i} sú prirodzené čísla spl’ňajúce n_{i}^{2} ≤ n_{i+1}.

b) Ukážte, že α je racionálne práve vtedy, ked’ jeho nekonečný súčin má vlastnost’: existuje m také, že pre každé k ≥ m platí n_{k+1} = n_{k}^{2}.

Príklad 5. 20b. Pre prirodzené číslo n uvažujme nadrovinu R_{0}^{n} = {x = (x_{1}, x_{2}, ...., x_{n}) ∈ R^{n} : ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 0}

a množinu mrežových bodov Z_{0}^{n} = {y ∈ R_{0}^{n} : y_{i} sú celé čísla }. Definujme (kvázi-) normu v R^{n} pomocou ∥x∥_{p} = (∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p} ked’ 0 < p < ∞ a ∥x∥_{∞} = max_{i} |x_{i}|.

a) Nech x ∈ R_{0}^{n} je také, že max_{i} x_{i} − min_{i} x_{i} ≤ 1. Pre každé p ∈ [1, ∞] a y ∈ Z_{0}^{n} dokážte, že platí ∥x∥_{p} ≤ ∥x + y∥_{p}.

b) Pre každé p ∈ (0, 1) dokážte, že existuje n a x ∈ R_{0}^{n} s vlastnost’ou max_{i} x_{i} −min_{i} x_{i} ≤ 1 a a y ∈ Z_{0}^{n} také, že ∥x∥_{p} > ∥x + y∥_{p}.

Príklad 6. 25b. Nech F je množina pozostávajúca z konečných podmnožín prirodzených čísel taká, že A ∩ B ≠ ∅

pre každé A, B ∈ F.

a) Je pravda, že existuje konečná podmnožina Y ⊂ N taká, že pre každé A, B ∈ F je A ∩ B ∩ Y ≠ ∅ ?

b) Je tvrdenie a) pravdivé ak naviac predpokladáme, že všetky množiny v F majú rovnakú vel’kost’?

Druhý deň

Príklad 1. 10b.

Nech f je C^{3}(R) nezáporná funkcia, f(0) = f′(0) = 0 < f′′(0). Nech g(x) = (^{\frac{\sqrt{f(x}}{f′(x)}})′ pre

x ≠ 0, g(0) = 0. Ukážte, že g je ohraničená v nejakom okolí bodu 0. Platí toto tvrdenie pre funkciu f ∈ C^{2}(R)?

Príklad 2. 15b. Nech M je invertovatel’ná matice rozmeru 2n × 2n reprezentovatel’ná v blokovej forme

M = ( \begin{matrix}AB \\ CD \end{matrix} ) a M^{−1} = ( \begin{matrix}EF \\ GH \end{matrix} ).

Ukážte, že det(M). det(H) = det(A).

Príklad 3. 15b. Ukážte, že rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1} sin(log n)}{n^{α}} konverguje práve vtedy ked’ α > 0.

Príklad 4. 15b.

a) Nech zobrazenie f : M_{n} → R z priestoru M_{n} = R^{n^{2}} reálnych n × n matíc do reálnych čísel je lineárne, t.j.

f(A + B) = f(A) + f(B), f(cA) = cf(A)

pre každé A, B ∈ M_{n}, c ∈ R. Dokážte, že existuje jediná matica C ∈ M_{n} taká, že f(A) = tr(AC) pre všetky A ∈ M_{n}. ( tr(B) je stopa matice B)

b) Ak okrem linearity zobrazenia f naviac predpokladáme, že f(A.B) = f(B.A) pre každé A, B ∈ M_{n}, tak ukážte, že existuje λ ∈ R s vlastnost’ou f(A) = λtr(A).

Príklad 5. 20b. Nech X je l’ubovol’ná množina a nech f : X → X je bijekcia. Ukážte, že existujú zobrazenia

g_{1}, g_{2} : X → X také, že f = g_{1} ∘ g_{2} a g_{1} ∘ g_{1} = id = g_{2} ∘ g_{2} kde id označuje identické zobrazenie na X.

Príklad 6. 25b. Nech f : [0, 1] → R je spojité zobrazenie. Hovoríme, že funkcia f pretína os v bode x ak f(x) = 0

a v každom okolí x existujú y, z také, že f(y) < 0 < f(z).

a) Nájdite príklad spojitej funkcie, ktorá pretína os nekonečne vel’a krát.

b) Môže spojitá funkcia pretínat’ os nespočítatel’ne vel’a krát?