\magnification=1200
\font\bbf=cmbx10 scaled\magstep1
\font\sbf=cmbx7

\baselineskip 10.5pt
\advance\hsize by 2truecm
\hoffset -1truecm
\centerline{\bbf Zadania s��a�n�ch �loh}
\medskip
\centerline{\bf Prv� de�}
\medskip

{\sl Pr�klad 1. {\it 10b.}}\par 
Nech $\{ \varepsilon_n\}_{n=1}^\infty$ je postupnos� kladn�ch re�lnych
��sel tak�, �e $\lim_{n\to\infty} \varepsilon_n =0$. N�jdite

\centerline{$\lim_{n\to\infty} {1\over n}\sum_{k=1}^n \ln \left( {k\over n}
+\varepsilon_n \right), $} 
kde $\ln$ ozna�uje prirodzen� logaritmus

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 2. {\it 10b.}}\par 
Predpokladajme, �e rad $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje. Konverguj�
nasledovn� rady?
\smallskip
\noindent a) \qquad $a_1 + a_2 +a_4 + a_3 + a_8 +a_7 +a_6 +a_5 +a_{16}+a_{15} + ...
+ a_9 + a_{32} + ...$
\smallskip
\noindent b) $a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +a_7 +a_6 +a_8 +a_9 +a_{11} +a_{13}
+a_{15}+a_{10}+a_{12} +a_{14}+a_{16}+a_{17}+a_{19}+ ... $

Od�vodnite svoju odpove�. 

\line{\hrulefill}
{\sl Pr�klad 3. {\it 15b.}}\par 
Nech $A$ a $B$ s� re�lne $n\times n$ matice tak�, �e $A^2+B^2=AB$.
Dok��te, �e ak $BA -AB$ je invertovate�n� matica, tak nevyhnutne $n$ je 
delite�n� $3$. 

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 4. {\it 20b.}}\par 
Nech $\alpha$ je re�lne ��slo, $1<\alpha<2$. 
\smallskip
\noindent a) Uk��te, �e $\alpha$ m� jednozna�n� reprezent�ciu v tvare nekone�n�ho
s��inu 

\centerline{$\alpha = \left(1+{1\over n_1}\right) \left(1+{1\over
n_2}\right) ...$} 
kde $n_i$ s� prirodzen� ��sla sp��aj�ce $n_i^2\le n_{i+1}$. 
\smallskip
\noindent b) Uk��te, �e $\alpha$ je racion�lne pr�ve vtedy, ke� jeho nekone�n� s��in
m� vlastnos�: existuje  $m$ tak�, �e pre ka�d� $k\ge m$ plat� $n_{k+1}=n_k^2$. 

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 5. {\it 20b.}}\par 
Pre prirodzen� ��slo $n$ uva�ujme nadrovinu $R_0^n=\{
x=(x_1,x_2,....,x_n)\in R^n: \sum_{i=1}^n x_i = 0 \}$  a mno�inu mre�ov�ch
bodov 
$Z_0^n=\{
y\in R_0^n: y_i$ s� cel� ��sla $\}$. Definujme (kv�zi-) normu v $R^n$ pomocou
$\Vert x\Vert_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ ke�
$0<p<\infty$ a $\Vert x\Vert_\infty = \max_i |x_i|$. 
\smallskip
\noindent a) Nech $x\in R_0^n$ je tak�, �e $\max_i x_i - \min_i x_i \le 1$. Pre
ka�d� $p\in[1,\infty]$ a $y\in Z_0^n$ dok��te, �e plat� $\Vert x\Vert_p
\le \Vert x+y\Vert_p$. 
\smallskip
\noindent b) Pre ka�d� $p\in(0,1)$ dok��te, �e existuje $n$ a $x\in R_0^n$ 
s vlastnos�ou $\max_i x_i - \min_i x_i \le 1$ a
a $y\in Z_0^n$ tak�, �e  $\Vert x\Vert_p > \Vert x+y\Vert_p$. 

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 6. {\it 25b.}}\par 
Nech $F$ je mno�ina pozost�vaj�ca z kone�n�ch podmno��n prirodzen�ch
��sel tak�, �e $A\cap B\not=\emptyset$ pre ka�d� $A,B\in F$. 
\smallskip
\noindent a) Je pravda, �e  existuje kone�n� podmno�ina $Y\subset N$ tak�, �e pre
ka�d� $A,B\in F$ je $A\cap B\cap Y\not=\emptyset$ ?
\smallskip
\noindent b) Je tvrdenie a) pravdiv� ak naviac predpoklad�me, �e v�etky mno�iny v $F$
maj� rovnak� ve�kos�? 
%\smallskip
%Zd�vodnite svoje odpovede.

\vfill\eject


\centerline{\bf Druh� de�}
\medskip

{\sl Pr�klad 1. {\it 10b.}}\par 
Nech $f$ je $C^3(R)$ nez�porn� funkcia, $f(0)=f'(0)=0< f''(0)$. Nech 
$g(x) =\left( {\sqrt{f(x} \over f'(x) }\right)^\prime$ pre $x\not=0$,
$g(0)=0$. Uk��te, �e $g$ je ohrani�en� v nejakom okol� bodu $0$. Plat� toto
tvrdenie pre funkciu $f\in C^2(R)$?

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 2. {\it 15b.}}\par 
Nech $M$ je invertovate�n� matice rozmeru $2n\times 2n$ reprezentovate�n�
v blokovej forme 

\centerline{$M=\pmatrix{ A B \cr C D}$  \quad a \ $M^{-1}=\pmatrix{ E F
\cr G H}$.} 
Uk��te, �e det($M$). det($H$) = det($A$).  

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 3. {\it 15b.}}\par  Uk��te, �e rad 
$\sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n-1} \sin(\log n) \over n^\alpha}$ konverguje
pr�ve vtedy ke� $\alpha>0$. 

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 4. {\it 15b.}}\par  
\noindent a) \quad Nech zobrazenie $f:M_n \to R$ z priestoru $M_n=R^{n^2}$
re�lnych $n\times n$ mat�c do re�lnych ��sel je line�rne, t.j.

\centerline{$f(A+B)=f(A)+f(B),\quad f(cA)=cf(A)$}
\noindent pre ka�d� $A,B\in M_n, c\in R$. Dok��te, �e existuje jedin�
matica $C\in M_n$ tak�, �e $f(A) = tr(AC)$ pre v�etky $A\in M_n$. \ (
$tr(B)$  je stopa matice $B$) 
\smallskip
\noindent b) Ak okrem linearity zobrazenia $f$ naviac predpoklad�me, �e 
$f(A.B)=f(B.A)$ pre ka�d� $A,B\in M_n$, tak uk��te, �e existuje
$\lambda\in R$ s vlastnos�ou $f(A) =\lambda tr(A)$.  

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 5. {\it 20b.}}\par  
Nech $X$ je �ubovo�n� mno�ina a nech $f:X\to X$ je bijekcia. Uk��te, �e
existuj� zobrazenia $g_1,g_2: X\to X$ tak�, �e $f= g_1 \circ g_2$ a 
$g_1\circ g_1 = id = g_2\circ g_2$ kde $id$ ozna�uje identick�
zobrazenie na $X$. 

\line{\hrulefill}

{\sl Pr�klad 6. {\it 25b.}}\par  
Nech $f:[0,1]\to R$ je spojit� zobrazenie. Hovor�me, �e funkcia $f$
pret�na os v bode $x$ ak $f(x)=0$ a v ka�dom okol� $x$ existuj� $y,z$
tak�, �e $f(y)<0<f(z)$. 
\smallskip
\noindent a) \quad N�jdite pr�klad spojitej funkcie, ktor� pret�na os
nekone�ne ve�a kr�t. 
\smallskip
\noindent b) \quad M��e spojit� funkcia pret�na� os nespo��tate�ne ve�a
kr�t? 
