ARCH a GARCH modely

• ARCH - autoregressive conditional heteroskedasticity
• GARCH - generalized ARCH

Príklad: výnosy akcií

• Dáta: google.wf1 - týždenné ceny akcií Googlu, ich priebeh:
  
• Modelovať budeme výnosy definované ako logaritmus podielu dvoch za sebou nasledujúcich cien:
  
  Priebeh:
  
• Začneme rovnakým postupom, ako sme používali doteraz.
  • Jednotkový koreň zamietame, preto na ARMA modelovanie použijeme priamo časový rad v.
  • Autokorelácie a parciálne autokorelácie nie sú signifikantné. Q štatistika nezamieta hypotézu, že v časovom rade nie je autokorelácia.Zdá sa teda, že výnos je konštanta plus biely šum. Odhadneme tento model:
    
  • Rezíduá a ich Q-štatistiky sú v poriadku.
• Pozrime sa priebeh rezídií:
  
  Vidíme, že ak je absolútna hodnota rezídua malá, tak väčšinou nasleduje rezíduum tiež s malou absolútnou hodnotou. Podobne za rezíduom s veľkou absolútnou hodnotou nasleduje ďalšie rezíduum s absolútnou hodnotou. Môže byť kladné aj záporné, preto sa táto vlastnostť na autokorelácii neprejavila. Ak ale spravíme druhé mocniny rezíduí, na malou hodnotou budú zväčša nasledovať ďalšie malé hodnoty, za veľkou hodnotou veľké. Teda druhé mocniny budú autokorelované. Biely šum však túto vlastnosť nemá.
• Korelácie druhých mocnín rezíduí v EViews:
  
  Výsledok:
  
  Nulová hypozéza Q štatistiky je, že v rade druhých mocnín nie je autokorelácia do rádu k. Vidíme, že túto hypotézu zamietame. Potrebujeme teda model, ktorý umožní takúto vlastnosť. Mala by sa teda meniť disperzia, ktorá je pri bielom šume konštantná.

ARCH a GARCH modely

• ARCH(q) model - definícia procesu epsilon:
  
• GARCH(p,q) model - definícia procesu epsilon:
  
  Najčastejšie sa používa GARCH(1,1).
• Ohraničenia na parametre:
  
• Dá sa dokázať, že epsilon² je potom ARMA proces. To sa prejaví na druhých mocninách rezíduí a ich korelograme.

Poznámky

http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2003/index.html

ARCH model: Robert F. Engle, Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of the Variance of U.K. Inflation, Econometrica 50 (1982), pp. 987 - 1008. GARCH model: Tim Bollerslev, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31 (1986), pp. 307 - 327 Stephen J. Taylor, Modelling Financial Time Series, John Wiley, Chichester, 1986

Príklad - pokračovanie

• Odahadneme ARCH(1):
  • Pri odhadovaní rovnice zvolíme z ponuky metód ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity:
    
  • Zadáme model, ktorý chceme odhadnúť:
    
  • Výsledok:
    
  • Zobrazíme korelogram rezíduí a druhých mocnín rezíduí. Nemali by obsahovať žiadnu koreláciu.
     
  • Z korelogramu druhých mocnín vidíme, že model nie je dobrý.
  
  
• Odhadneme GARCH(1,1):
  • Odhad parametrov:
    
  • Rezíduá:
     
    Q-štatistiky v oboch prípadoch zamietajú autokoreláciu, model je dobrý.

Cvičenia

• Zo stránky http://finance.yahoo.com si stiahnite dáta inej akcie alebo akciového indexu (upozornenie: po stiahnutí dát sú na začiatku najnovšie dáta). Nájdite vhodný model pre výnosy.
• Vráťte sa k modelov, ktoré sme robili na predchádzajúcich cvičeniach. Pozrite sa na korelácie druhých mocnín rezíduí. Ak treba, modelujte epsilon ARCH alebo GARCH proces.
• Ak máte z dát k projektu zostavený ARMA/ARIMA model, zistite, či je potrebné modelovať epsilony pomcou ARCH alebo GARCH procesu. Ak nie, vysvetlite prečo. Ak áno, nájdite vhodný model.