Jednotkový koreň, integrované procesy

• Na predchádzajúcom cvičení sme zostavovali model pre D(log(pcocoa)), s odôvodnením, že samotný logaritmus log(pcocoa) nie je stacionárny, ale diferencie stacionárne sú.
• Ako zistiť, že premennú treba diferencovať? Ako overiť, že diferencovanie viedlo k stacionárnemu časovému radu?

Jednotkové korene, integrované procesy, rád integrácie

• Korene charakteristického polynómu AR procesu musia byť v absolútnej hodnote menšie ako 1, jednotkový koreň spôsobuje nestacionaritu procesu. Ak je násobnosť jednotkového koreňa 1, tak prvé diferencie sú stacionárne. Ak je násobnosť jednotkového koreňa 2, tak druhé diferencie sú stacionárne. Rovnako pre vyššie násobnosti.
• Ak je násobnosť jednotkového koreňa k, tak k-te diferencie procesu sú stacionárne, hovoríme o integrovanom procese rádu k, ozn. I(k).
• Ako sa prejavuje I(k) proces:
  • I(1) - lineárny trend (mnohé ekonomické premenné)
  • I(2) - trend v rýchlosti rastu (napr. ceny a mzdy v niektorých obdobiach inflácie)
  • I(3) - exponenciálny trend v rýchlosti rastu (narp. cenová úroveň počas hyperinflácie - medzivojnové Nemecko, Maďarsko po druhej svetovej vojne)
  Integrované procesy vyššieho rádu sa nevyskytujú.
• Pomôcka pri práci s dátami: typický pribeh autokorelačnej funkcie procesu s jednotkovým koreňom - korelácie klesajú veľmi pomaly:
  
• Postup:
  1. Testujeme pôvodný časový rad. Ak nemá jednotkový koreň, máme stacionárny časový rad koniec. Ak jednotkový koreň má, treba zistiť jeho násobnosť - krok 2.
  2. Testujeme prvé diferencie. Ak nemajú jednotkový koreň, násobnosť jednotkového koreňa v pôvodnom rade je 1. Je to I(1) proces, prvé diferencie sú stacionárne. - koniec. Ak aj prvé diferencie majú jednotkový koreň, násobnosť pôvodného koreňa je aspoň 2 - ideme na krok 3.
  3. Testujeme druhé diferencie. Ak nemajú jednotkový koreň, násobnosť jednotkového koreňa v pôvodnom rade je 2. Je to I(2) proces, druhé diferencie sú stacionárne. - koniec.

  Vo výnimočných prípadoch (pozri interpretáciu v predchádzajúcej časti) má zmysel v prípade nezamietnutia jednotkového koreňa pre druhé diferencie ísť ďalej a testovať, či ide o I(3) proces. Ako už bolo spomínané, integrované procesy vyšších rádov sa prakticky nepoužívajú.

ADF (augmented Dickey-Fuller) test

• Nulová hypotéza: časový rad má jednotkový koreň

• Pracova budeme s dátami z predchádzajúceho cvičenia o cenách kakaa, t.j. s premennou log(pcocoa).
• V okne so zvolenou premennou klikneme na View - Unit Root Tests:
  
   
• Výsledok:
  

  Zvolili sme najvšeobecnejší prípad - regresiu s trendom a inteceptom. Teraz vidíme, že trend nie je signifikantný, po jeho vynechaní sa nesignifikantným ukáže aj intercept. Preto môžeme v okne so špecifikáciou testu v časti Include in test equation zvoliť None. Dostaneme:

  

• Zisitili sme teda jednotkový koreň. Teraz treba zistiť jeho násobnosť. Testujeme teda prítomnosť jednotkového koreňa pre rad prvých diferencií, v časti Test for unit root in zvolíme 1st differences. Dostaneme:
  

  Prvé diferencie už teda jednotkový korň nemajú. Časový rad log(pcocoa) je teda I(1) - integrovaný proces prvého rádu. Prvé diferencie D(log(pcocoa)) sú stacionárne, a teda na ARMA modelovanie treba použiť tie. Pre pôvodnú premennú log(pcocoa) to znamená ARIMA proces.

• Ak pre diferencie D(log(pcocoa)) odhadneme model ARMA(1,2) - t.j. 2 autoregresné AR členy, 1 moving average MA člen - dostaneme:
  

  Pre log(pcocoa) máme ARIMA(1,1,2) model. Prvý parameter 1 predstavuje počet autoregresných členov (AR), druhý parameter 1 predstavuje rád integrovania (I), tretí parameter 2 predstavuje počet moving average členov (MA).

Cvičenie 1: Deflátor hrubého národného produktu

• W. Greene: Econometric Analysis, exercise
• Štvrťročné dáta, 1950-1983: deflator.txt, zdroj dát: http://pages.stern.nyu.edu/~wgreene/Text/econometricanalysis.htm
• Pracovať budeme s logaritmami, t.j. s novou premennou log(deflator).

• Zistite rád integrácie daného časového radu. Akú premennú môžeme použiť na ARMA modelovanie?
• Zostavte pre premennú z predchádzajúcej otázky vhodný ARMA model. Aký model dostávame pre pôvodnú premennú? Napíšte odhadnutú rovnicu.
• Vynechajte niekoľko posledných rokov a odhadnite model bez nich. Spravte predikcie pre vynechané hodnoty a porovnajte ich so skutočnými.

Cvičenie 2: Preferencie politických strán

• G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis, example 2.2:
  

  

• Vyskúšame tento model pre slovenské dáta: smer.wf1 - workfile s mesačnými dátami preferencií Smeru, zdroj dát: http://portal.statistics.sk/
• Je časový rad stiacionárny? Ak áno, je preň vhodný AR(1) model?
• Zvoľte vhodný model pre dáta, napíšte odhadnutú rovnicu a spravte predikcie (napr. na jeden rok, do nasledujúcich volieb atď.).
• Môžete skúšať rôzne politické strany, rôzne obdobia atď (v oboch predchádzajúcich prípadoch išlo o vládnu stranu počas obdobia, kedy bola vo vláde). Dáta sú na uvedenej stránke (Hlavné oblasti - Verejná mienka - Preddefinované tabuľky)

Cvičenie 3: Nezamestnanosť

• Dáta: un.txt, miera nezamestnanosti v USA, ročné dáta, 1948 - 2007, zdroj: http://www.econstats.com/BLS/blsnaa4.htm
• Nájdite vhodný ARMA, resp. ARIMA model pre tieto dáta a napíšte odhadnutú rovnicu. Použite model na konštrukciu predikcií.

Cvičenie 4: Hyperinflácia

• Dáta: col.txt, cost of living (1 = rok 1913), Nemecko, mesačné dáta od januára 1922 do decembra 1923, zdroj: http://www.business.uiuc.edu/lneal/hyperinflation1.htm Na modelovanie budeme použivať dáta z roku 1922 a prvej polovice roku 1923 (z numerických dôvodov).
• Zobrazte priebeh dát a zistite, či ide o I(3) proces.