:: Odhadnutie a testovanie modelu ::

• Dáta:
  • Zdroj dát: http://www.lboro.ac.uk/departments/ec/cup/data.html (dáta k učebnici Mills, Markellos: The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge University Press, 2008.)
  • Štvrťročné dáta, 1952Q1 - 2005Q4
  • Premenné:
    • Krátkodobá úroková miera: RSQ (91 day Treasury Bill rate)
    • Dlhodobá úroková miera: R20Q (Yield on 20 Year UK Gilts) Na uvedenej stránke učebnice si ich môžete stiahnuť v txt formáte.
  • Workfile s dátami: [spread.wf1]
  • Budeme modelovať premennú spread - rozdiel dlhodobej a krátkodobej úrokovej miery
  
  
• Stacionarita, resp. jednotkový koreň:
  • Už vieme, že spread nemá jednotkový koreň a preto ho nediferencujeme. Model teda hľadáme pre premennú spread (bez diferencovania).
  
  
• Odhad autokorelačnej a parciálnej autokorelačnej funkcie
  • Zobrazíme premennú (dvojkliknitím na jej názov vo workfile). Klikneme na View - Correlogram
    
    
    
    
    a potvrdíme, že chceme korelácie tejto premennej (nie diferencií):
    
    
    
    
    
  • Dostaneme výstup, ktorý obsahuje autokorelačnú a parciálnu autokorelačnú funkciu:
    
    
    
    
    
  • Pozrime sa bližšie, čo všetko tento výstup obsahuje:
    
    
    
    
    
• Výber modelu:
  • Pozrieme sa na priebeh ACF a PACF:
    
    
    
    
    
  • Porovnáme ich so známym priebehom teoretickej ACF a PACF procesov. Na základe toho sa rozhodneme pre AR(2) model.
    
  • Môže sa stať, že takýto jednoznačný záver nebudeme vedieť spraviť. Môžeme potom vyskúšať niekoľko modelov. Čo si treba na odhadnutom modeli všímať, ako zistiť, či je model vyhovujúci - tomu sa budeme venovať o chvíľu.
  
  
• Odhadnutie modelu v EViews:
  • V menu klikneme na Quick - Estimate Equation.
    
    
  • Zapíšeme modelovanú premennú, konštantu, AR členy (ar(1), ar(2), ... ar(p)) a MA členy (ma(1), ma(2), ... ma(q)). V tomto prípade odhadujeme AR(2) model, zapíšeme teda:
    
    
    
    
    
  • Výstup, ktorý dostaneme:
    
    
    
  
  
• Overenie podmienok stacionarity a invertovateľnosti:
  • Zopakujme si, čo budeme overovať:
    • Podmienka staconarity - pre AR modely a pre ARMA modely (vychádza z AR časti modelu).
    • Podmienka invertovateľnosti - pre MA modely a pre ARMA modely (vychádza z MA časti modelu)
    • Obe podmienky overujeme pomocou príslušného polynómu - prevrátené hodnoty koreňov musia byť vnútri jednotkového kruhu.
    
    
  • V tomto prípade máme AR proces, overujeme teda iba podmienku stacionarity. Korene sú priamo v okne s odhadnutým modelom:
    
    
    
    
    Vidíme, že ich absolútna hodnota je menšia ako 1, a teda podmienka stacionarity je splnená.
    
    
  • Ak výjdu komplexné korene, je praktické pozrieť si priamo ich absolútne hodnoty (namiesto ich ručného výpočtu). V okne s odhadnutou rovnicou klikneme na View, kde vyberieme ARMA Structure:
    
    
    
    
    Zobrazí sa okno ARMA Diagnostic View, v ktorom zvolíme Roots a zobrazenie výsleku v tabuľke (Table):
    
    
    
    
    Dostaneme:
    
    
    
  
  
• Kontrola rezíduí
  • Rezíduá musia byť bielym šumom, nemôže v nich zostať teda žiadna autokorelácia.
    
    
  • V okne s odhadnutou rovnicou klikneme na View a spomedzi Residual Tests vyberieme Correlogram - Q-Statistics:
    
    
    
    
    Dostaneme:
    
    
    
    
    Pozrieme sa na intervaly spoľahlivosti, ako aj na Q-štatistiku. Model, ktorý sme zostavili, je aj na základe tohto testu vyhovujúci.
    
    
  • Výpočet Q-štatistiky je rovnaký ako predtým, keď sme počítali ACF pre zvolený časový rad. Ak ale časový rad predstavuje rezíduá, počet stupňov voľnosti závisí od toho, koľko ARMA členov obsahuje rovnica, z ktorej rezíduá vznikli. Preto je nevyhnutné, aby sme pracovali s oknom s rovnicou a testami z ponuky Residual Tests. Otvorením radu rezíduí a zobrazením jeho korelogramu by sme nedostali správne výsledky - pri výpočte P hodnôt by sa nezobrala do úvahy zmena počtu stupňov voľnosti.
  
  
• Záver
  • Na modelovanie rozdielu dlhodobej a krátkodobej úrokovej miery použijeme AR(2) model a na základe výstupu z EViews zapíšeme odhadnutú rovnicu, ktorou sa modelovaná premenná riadi (postup pre všeobecný ARMA model v nasledujúcom odstavci).

:: Konštrukcia predikcií ::

• Dobrým spôsobom, ako otestovať model, je odhadnúť ho z menšieho počtu dát, spraviť predikcie a porovnať ich so skutočnými hodnotami.
  
  
• Odhadneme predchádzajúci model, pričom použijeme dáta iba do konca roku 2000. Zvyšné použijeme na porovnanie s hodnotami predikcií z tohto modelu.
  
  
  
  
  
• Konštrukcia predikcií
  • V okne s odhadnutou rovnicou klikneme na Forecast:
    
    
    
  • Zapíšeme obdobie, pre ktoré chceme počítať predikcie a názvy premenných, do ktorých chceme uložiť tieto predikcie a ich štandardné odchýlky:
    
    
    
  • Čo dostaneme - predikcie, intervaly spoľahlivosti, tabulľku:
    
    
    Čo vyjadrujú hodnoty v tabuľke:
    • Root Mean Squared Error, Mean Absolute Error, Mean Absolute Perc. Error - stredná kvadratická a absolútna chyba
    • Theil Inequality Coefficient - číslo medzi nulou a jednotkou, nula znamená dokonalý fit
    • Bias, Variance, Covariance proportion - v súčte dávajú jednotku. Prvé dve hodnoty hovoria o tom, ako sa priemer a variancia predikcií líšia od priemeru a variancie skutočných dát. Posledná hdonota meria zvyšnú, nesystematickú predikčnú chybu. Dobrý model by mal mať nízku hodnotu Bias a Variance proportion, väčšina predikčnej chyby by mala byť zahrnutá v Covariance proportion.
    Konkrétny výpočet týchto hodnôt - v helpe.
    
  • Pomocou uložených hodnôt predikcií a štandarndných odchýlok môžeme nakresliť graf, v ktorom porovnáme predikcie a intervaly spoľahlivosti so skutočným vývojom:
    
    
    Dostaneme:
    

:: Príklad na samostatné precvičenie ::

Odporúčam spraviť si ho predtým, ako začnete pracovať na domácej úlohe.

• Dáta a model:
  • Ben Vogelvang: Econometrics. Theory and Applications with EViews. Pearson Education Limited, 2005.
    Chapter 14.7. - The Box-Jenkins Approach in Practice
  • Mesačné dáta, január 1960 - september 2002.
  • Dáta vo formáte xls: na stránke učebnice, súbor pcoccoftea.xls, zaujímajú nás hodnoty pcocoa; dáta načítané do workfilu: [pcocoa.wf1]. Budeme pracovať s logaritmami týchto cien.
  • Z prednásky: pre diferencie týchto dát je vhodný MA(1) model.
  
  
• Úlohy:
  • Zopakujete výpočty uvedené na prednáške:
    • Zobrazte ACF pre logaritmy a ich diferencie.
    • Odhadnite model MA(1), overte stacionaritu a invertovateľnosť, pozrite sa na autokoreláciu rezíduí.
    • Odhadnite ARMA(2,1) model a porovnajte ich.
  • Odhadnite model tak, že vynecháte nejaké posledné pozorovania (rok, pár rokov). Spravte predikcie pre logaritmus cien v tomto období a porovnajte ich so skutočnými hodnotami.
    Poznámky
    • Keďže budeme robiť predikcie pre logaritmus ceny, odhadovaná rovnica musí obsahovať túto premennú. V zásade by sme mohli modelovanú premennú zapísať dvoma spôsobmi - ako D(log(pcocoa)) alebo D(logpcocoa), kde logpcocoa je nová premenná (vo workfile je už máme z testovania jednotkového koreňa ). Kvôli predikciám musíme použiť druhú možnosť.
    • Pri predikciách potom vyznačíme, že chceme predikcie pre pôvodnú premennú, nie pre jej diferencie:
      

:: Zápis rovnice z výstupu EViews ::

• Predpokladajme, že sme odhadli ARMA(2,2) model a dostali nasledovný výstup:
  
  
  
  
  Rovnicu potom zapíšeme takto:
  
  
  

---

---