Opakovanie: Stacionarita a invertovateľnosť ARMA procesu

V každom z príkladov napíšte

Príklad jedného z týchto troch typov bude na skúške ako súčasť kostry.

Príklad 1. Zistite, či je stacionárny a invertovateľný proces

\[x_t = 1 + 0.2 x_{t-1} - 0.3 x_{t-2} + u_t - 0.8 u_{t-1} + 0.7 u_{t-2} - 0.1 u_{t-3}\]

Príklad 2. Zistite, či je stacionárny a invertovateľný proces

\[(1-0.2 L + 0.3 L^2 - 0.1 L^2)x_t = 2 + (1 + 0.1 L + 0.8 L^2)u_t\]

Príklad 3. Zistite, či je stacionárny a invertovateľný proces, ktorý vznikol odhadovaním ARMA modelu pomocou funkcie sarima v R-ku:

Opakovanie: Interpretácia výstupu funkcie ur.df

Pre dáta v premennej y zisťujeme, či je prítomný jednotkový koreň alebo nie. Dostaneme nasledovný výstup:

plot(y)
library(urca)

summary(ur.df(y, type="drift", selectlags = "BIC", lags=5))
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.54346 -0.57431  0.01852  0.57006  2.43266 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 17.83884    0.87601  20.364  < 2e-16 ***
## z.lag.1     -1.77832    0.08703 -20.433  < 2e-16 ***
## z.diff.lag1  1.07634    0.03183  33.810  < 2e-16 ***
## z.diff.lag2  0.42108    0.06663   6.319 1.83e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.9867 on 190 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9283, Adjusted R-squared:  0.9272 
## F-statistic: 820.3 on 3 and 190 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -20.4333 208.7609 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.46 -2.88 -2.57
## phi1  6.52  4.63  3.81

ARIMA modelovanie

Príklad tohto typu bude súčasťou kostry na skúške. Otázky sú vždy rovnaké ako v príklade 1.

Príklad 1

Popis dát z helpu: The sales time series BJsales and leading indicator BJsales.lead each contain 150 observations. 

library(datasets)
y <- BJsales
plot(y)

Krok 1 Vidíme, že v dátach je trend, takže pred hľadaním ARMA modelu ich určite treba zdiferencovať. Zistite, či diferencie už môžeme použiť alebo ich treba zdiferencovať ešte raz.

  • Aký typ ADF testu použijete a prečo?
  • Aká regresia sa odhadla?
  • Aká hypotéza sa testuje pre odhadnutú regresiu? Odvoďte, ako táto hypotéza súvisí s jednotkovým koreňom.
  • Aký je záver z ADF testu? Čo z neho vyplýva pre ďalší postup pri modelovaní dáta v premennej y?

Krok 2 Pre vhodné diferencie dát nájdite ARMA model v tom tvare, že budete hľadať ARIMA model pre pôvodné dáta (teda sarima bude v tvare sarima(y, ...)). Požiadavky: dobré rezíduá, stacionárny a invertovateľný.

  • Koľkokrát ste dáta diferencovali a prečo?
  • Aký ARIMA(p,k,q) model ste odhadli?
  • Napíšte korene AR a korene MA časti pomocou ktorých ste testovali stacionaritu a invertovateľnosť.

Príklad 2

Nájdite ARIMA model pre dáta:

library(datasets)
y <- window(WWWusage, start=1, end=70)

Popis dát z helpu: A time series of the numbers of users connected to the Internet through a server every minute.

Príklad 3

Nájdite ARIMA model pre dáta:

library(astsa)
y <- window(log(oil), end=2008)

Popis dát z helpu: Crude oil, WTI spot price FOB (in dollars per barrel), weekly data from 2000 to mid-2010.

Príklad 4

Nájdite ARIMA model pre dáta:

library(astsa)
y <- log(gnp)

Popis dát z helpu: Quarterly U.S. GNP from 1947(1) to 2002(3).