1 Odhadovanie a testovanie GARCH modelov

Na prednáške sme videli príklad takejto situácie:

Modelujeme výnosy akcií.
Ak sa pozeráme len na korelácie, konštanta plus biely šum vyzerá ako dobrý model pre tieto dáta.
Ak sa však pozrieme na druhé mocniny rezíduí z takéhoto modelu, mali by byť nekorelované, ale nie sú. To nasvedčuje tomu, že disperzia nie je konštantná.
Ak modelujeme disperziu ARCH procesmi, potrebujeme vyšší počet parametrov na to, aby mal model dobré rezíduá, ale tieto parametre nie sú signifikantné.
Ak modelujeme disperziu GARCH procesmi, stačí nám menej parametrov a výjdu signifikantné.

Uvidíme teraz na iných dátach, že toto nie je neobvyklá situácia.

Samozrejme, nie to ani univerzálna situácia a pri iných dátach môže byť vhodnejší ARCH model bez GARCH členov, alebo pri vyhovujúcom modeli zostanú nejaké parametre nesignifikantné. \(\rightarrow\) na ďalšiu akciu sa pozriete v domácej úlohe.

1.1 Dáta

Budeme modelovať denné výnosy YHOO.

library(quantmod)
library(astsa)

getSymbols("YHOO", from="2009-01-01", to="2011-12-31", src="google")

## [1] "YHOO"

vynosy <- diff(log(YHOO$YHOO.Close))[-1]
chartSeries(vynosy, theme = "white")

1.2 Modelovanie výnosov pomocou bieleho šumu

Nasvedčuje tomu ACF:

acf2(vynosy)

##         ACF  PACF
##  [1,] -0.01 -0.01
##  [2,]  0.01  0.01
##  [3,] -0.04 -0.04
##  [4,]  0.00  0.00
##  [5,] -0.07 -0.07
##  [6,] -0.02 -0.03
##  [7,] -0.01 -0.01
##  [8,] -0.02 -0.03
##  [9,] -0.09 -0.09
## [10,] -0.06 -0.07
## [11,] -0.05 -0.06
## [12,]  0.05  0.03
## [13,]  0.00 -0.01
## [14,]  0.02  0.00
## [15,] -0.02 -0.03
## [16,] -0.04 -0.06
## [17,]  0.04  0.04
## [18,]  0.05  0.04
## [19,]  0.04  0.03
## [20,] -0.01 -0.02
## [21,]  0.04  0.04
## [22,] -0.07 -0.06
## [23,]  0.00  0.01
## [24,]  0.01  0.02
## [25,]  0.03  0.02
## [26,] -0.02 -0.01
## [27,] -0.01  0.00
## [28,] -0.08 -0.07
## [29,]  0.04  0.05
## [30,]  0.04  0.05
## [31,]  0.02  0.01
## [32,] -0.09 -0.09
## [33,] -0.01 -0.03
## [34,] -0.04 -0.02
## [35,] -0.07 -0.07
## [36,] -0.02 -0.03
## [37,]  0.06  0.03
## [38,]  0.04  0.02

Ak teraz odhadneme sarima(vynosy, 0,0,0), samozrejme rezuíduá budú v poriadku:

model1 <- sarima(vynosy,0,0,0, details=FALSE)

V poriadku nebudú druhé mocniny rezíduí - tie by mali byť tiež nekorelované:

rez0 <- model1$fit$residuals
acf(rez0^2)

1.3 Modelovanie výnosov ARCH a GARCH procesmi

1.3.1 ARCH modely: opakovanie z prednášky

Čo znamená, ak \(u\) nemodelujeme ako biely šum, ale ako ARCH(q) proces? Ako vtedy modelujeme jeho disperziu?
Aké ohraničenia na parametre musia byť splnené, aby bol ARCH(q) proces stacionárny?

1.3.2 ARCH modely: odhadovanie a testovanie v R-ku

Funkcia v R-ku: garchFit z knižnice fGarch

library(fGarch)

# pouzitie garchFit: modelujeme vynosy ako konst. + u, u ~ ARCH(q)
modelGarch <- garchFit(~garch(q,0), data=vynosy, trace=FALSE)

Odhadneme ARCH(1) model:

model10 <- garchFit(~garch(1,0), data=vynosy, trace=FALSE)
model10

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(1, 0), data = vynosy, trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(1, 0)
## <environment: 0x000000003416f718>
##  [data = vynosy]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##          mu        omega       alpha1  
## -3.4668e-05   4.8946e-04   1.2097e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     -3.467e-05   8.375e-04   -0.041  0.96698    
## omega   4.895e-04   3.103e-05   15.773  < 2e-16 ***
## alpha1  1.210e-01   4.584e-02    2.639  0.00831 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  1763.064    normalized:  2.338282 
## 
## Description:
##  Thu Oct 05 14:48:48 2017 by user: admin

Potrebujeme skontrolovať, či sú štandardizované rezíduá bielym šumom:

stand.rez <- model10@residuals/model10@sigma.t

Úlohy:

Zobrazte ACF pre štandardizované rezíduá a pre ich druhé mocniny.
Opakovanie z prednášky: Zobrazíme summary odhadnutého modelu:

summary(model10)

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(1, 0), data = vynosy, trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(1, 0)
## <environment: 0x000000003416f718>
##  [data = vynosy]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##          mu        omega       alpha1  
## -3.4668e-05   4.8946e-04   1.2097e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     -3.467e-05   8.375e-04   -0.041  0.96698    
## omega   4.895e-04   3.103e-05   15.773  < 2e-16 ***
## alpha1  1.210e-01   4.584e-02    2.639  0.00831 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  1763.064    normalized:  2.338282 
## 
## Description:
##  Thu Oct 05 14:48:48 2017 by user: admin 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value     
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  276.8228  0           
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9652303 2.124496e-12
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  14.33403  0.1582932   
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  18.71285  0.2270421   
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  24.78596  0.2097428   
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  19.74157  0.03179393  
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  35.01936  0.002443475 
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  44.95618  0.001118666 
##  LM Arch Test       R    TR^2   18.1077   0.1124594   
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -4.668606 -4.650202 -4.668637 -4.661516

Vysvetlite, výsledky akých testov sa tam uvádzajú.

Prečo toto nie je dobrý model pre naše výnosy?
Zopakujte tento postup pre ARCH modely vyššieho rádu a nájdite taký, pri ktorom sú už rezíduá aj ich druhé mocniny vyhovujúce.

1.3.3 GARCH modely: opakovanie z prednášky

Čo znamená, ak \(u\) nemodelujeme ako biely šum, ale ako GARCH(p,q) proces? Ako vtedy modelujeme jeho disperziu?
Aké ohraničenia na parametre musia byť splnené, aby bol GARCH(p,q) proces stacionárny?

1.3.4 GARCH modely: odhadovanie a testovanie v R-ku

Funkcia v R-ku: znovu garchFit z knižnice fGarch

library(fGarch)

# pouzitie garchFit: modelujeme vynosy ako konst. + u, u ~ GARCH(p,q)
modelpq <- garchFit(~garch(p,q), data=vynosy, trace=FALSE)

Úloha:

Odhadnite GARCH(1,1) model a ukážte, že úspešne prejde testovaním rezíduí a ich druhých mocnín.
Porovnajte informačné kritériá (Akaike, Schwartz) pre GARCH(1,1) model a pre vyhovujúci (z hľadiska rezíduí) ARCH model. Ktorý je lepší?
Zobrazte priebeh odhadnutej štandardnej odchýlky \(\sigma_t\).

1.4 Konštrukcia predikcií v GARCH modeloch

Budeme pokračovať v modelovaní výnosov YHOO, do premennej model11 vložíme GARCH(1,1) model pre výnosy.

Úlohy:

Pomocou funkcie predict zobrazte predikcie na nasledujúcich 20 dní.

predikcie <- predict(...)

Vypíšte predikovanú hodnotu štandardnej odchýlky na nasledujúci deň.

Modelovanie volatility GARCH modelmi

Beáta Stehlíková, 2-EMM-105 Časové rady, FMFI UK Bratislava