Pokyny

Príkad: ARCH a GARCH modely

Budeme pracovať dátami z knižnice datasets:

library(datasets)
y <- EuStockMarkets
head(y)
##          DAX    SMI    CAC   FTSE
## [1,] 1628.75 1678.1 1772.8 2443.6
## [2,] 1613.63 1688.5 1750.5 2460.2
## [3,] 1606.51 1678.6 1718.0 2448.2
## [4,] 1621.04 1684.1 1708.1 2470.4
## [5,] 1618.16 1686.6 1723.1 2484.7
## [6,] 1610.61 1671.6 1714.3 2466.8

Z popisu: Contains the daily closing prices of major European stock indices: Germany DAX (Ibis), Switzerland SMI, France CAC, and UK FTSE. The data are sampled in business time, i.e., weekends and holidays are omitted.

Z nich vyberieme tie, ktoré zodpovedajú indexu DAX a budeme modelovať diferencie logaritmov:

x <- diff(log(y[, 1]))
plot(x)

1/ Vysvetlite nasledovný kód, spustite ho a skomentujte výstup (čo sa modelovalo, aké testy sa nám zobrazili a aké výsledky dávajú).

library(astsa)
model1 <- sarima(x,0,0,0, details=FALSE)

2/ Vypočítajte korelácie druhých mocnín rezíduí tohto modelu a napíšte koľko prvých je signifikantných (teda odpoveď K znamená, že korelácie rádu 1 až K sú signifikantné a korelácia rádu K + 1 už signifikantná nie je).Čo to hovorí o vhodnosti modelu?

Odhadneme teraz model, v ktorom sa výnosy budú modelovať ako konštanta + GARCH(3,2) šum.

library(fGarch)
## Loading required package: timeDate
## Loading required package: timeSeries
## Loading required package: fBasics
model2 <- garchFit( ~ garch(3, 2), data = x, trace = FALSE)
summary(model2)
## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(3, 2), data = x, trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(3, 2)
## <environment: 0x000000000c26d638>
##  [data = x]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##         mu       omega      alpha1      alpha2      alpha3       beta1  
## 6.8185e-04  9.9809e-06  2.7480e-02  8.3076e-03  1.2687e-01  7.5211e-01  
##      beta2  
## 1.0000e-08  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     6.818e-04   2.084e-04    3.271  0.00107 ** 
## omega  9.981e-06   2.175e-06    4.588 4.47e-06 ***
## alpha1 2.748e-02   1.864e-02    1.474  0.14038    
## alpha2 8.308e-03   2.105e-02    0.395  0.69312    
## alpha3 1.269e-01   3.017e-02    4.205 2.61e-05 ***
## beta1  7.521e-01   1.931e-01    3.895 9.82e-05 ***
## beta2  1.000e-08   1.756e-01    0.000  1.00000    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  5977.881    normalized:  3.215643 
## 
## Description:
##  Wed Dec 04 16:25:24 2019 by user: beata 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  8564.714  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9540217 0        
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  3.811357  0.9554559
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  10.43797  0.7913243
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  13.60318  0.8500323
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  3.041491  0.9804307
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  3.912003  0.9980114
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  4.355696  0.999907 
##  LM Arch Test       R    TR^2   3.265072  0.9933656
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -6.423756 -6.402941 -6.423784 -6.416085

Parametre:

model2@fit$coef
##           mu        omega       alpha1       alpha2       alpha3 
## 6.818469e-04 9.980925e-06 2.748035e-02 8.307564e-03 1.268707e-01 
##        beta1        beta2 
## 7.521145e-01 1.000000e-08

V otázkach 3 - 8 budeme pracovať s týmto modelom.

3/ Overte splnenie podmienok stacionarity.

4/ Ako odhaduje tento model strednú hodnotu premennej x?

5/ Je tento model vyhovujúci na základe Ljung-Boxovho testu pre “R”? Zdôvodnite.

6/ Je tento model vyhovujúci na základe Ljung-Boxovho testu pre “R^2”? Zdôvodnite.

7/ Je tento model vyhovujúci na základe LM Arch testu? Zdôvodnite.

8/ Vypočítajte nepodmienenú strednú hodnotu disperzie šumu.

V otázkach 9 a 10 vyskúšame iné modely.

9/ Odhadnite pre tieto dáta rovnaký model (teda iba konštanta plus šum), ale pre šum predpokladajte ARCH(1) proces. Zhodnoťte tento model (je na základe testov vyhovujúci?) a zdôvodnite.

10/ Odhadnite pre tieto dáta rovnaký model (teda iba konštanta plus šum), ale pre šum predpokladajte GARCH(1, 1) proces. Zhodnoťte tento model (je na základe testov vyhovujúci?) a zdôvodnite.