Pokyny

Úlohu vypracováva každý samostatne alebo v dvojici. Komunikácia ohľadom riešenia, zdieľanie kódu a pod. je zakázané. Pri odpísaní úlohy alebo jej časti je DÚ hodnotená 0 bodmi, a to aj pre tých, ktorí úlohu odpísali aj pre tých, ktorí ju dali odpísať.
Úlohu posielajte elektronicky na adresu beata.ulohy@gmail.com s predmetom CR 2020 - DU1 - priezvisko/priezviská Podľa neho sa maily automaticky triedia, preto tento formát treba dodržať.
Body za DÚ dostanete mailom. V prípade, že úlohu riešite v skupine, pri odovzdávaní pošlite kópiu mailu aj ostatným členom skupiny, aby aj oni dostali informáciu o hodnotení, keď ju budem posielať pomocou reply all. Ak to nespravíte, je vašou úlohou informovať kolegov o bodoch.
Posielajte vypracovanú úlohu v pdf formáte (súvislý, dobre čitateľný text doplnený grafmi, nie iba výstupy z R so stručnými poznámkami) a použitý kód ako samostatný súbor. Môžete použiť aj R markdown s HTML výstupom, kde spojíte kompletný kód a sprievodný text, v tom prípade posielajte vygenerovaný dokument.
V druhom príklade pracuje s inými dátami, rezervácia dát na stránke (píšte svoje meno/mená a názov akcie, neuvádzajte svoj e-mail) http://www.websitegoodies.com/guestbook.php?a=view&id=1737049

Hodnotenie

Príklad 1: 1 bod za každú z častí A-E
Príklad 2: 1 bod za každú ulohu zo zoznamu "v texte domácej úlohe uveďte"

Príklad 1: modelovanie prietoku rieky Níl

Budeme pracovať s dátami Nile z knižnice datasets. Podľa popisu v dokumentácii: Measurements of the annual flow of the river Nile at Aswan (formerly Assuan), 1871–1970, in 10^8 m^3. Z nich zoberieme dáta z rokov 1901-1950.

library(datasets)
y <- window(Nile, start=1901, end=1950)
plot(y)

Autokorelácie procesu

acf(y, plot = FALSE, lag.max = 10)

## 
## Autocorrelations of series 'y', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
##  1.000  0.149 -0.031 -0.223 -0.379 -0.195  0.054  0.009  0.174 -0.068 -0.106

Úloha A. Pomocou týchto zaokrúhlených hodnôt testujte Ljung-Boxovým testom hypotézu, že prvé tri autokorelácie tohto časového radu sú nulové. Odpovedzte na nasledujúce otázky:

Napíšte hodnotu testovacej štatistiky.
Napíšte kritickú hodnotu tohto testu na 5-percentnej hladine významnosti.
Zamietame nulovú hypotézu alebo nie?

Úloha B. Pomocou funkcie Box.test (teda už pomocou dát, nie horeuvedených zaokrúhlených hodnôt ACF) testujte Ljung-Boxovým testom hypotézu, že prvých K autokorelácií, je nulových, postupne pre K rovné 1, 2, ..., 10. Pre kontrolu uveďte minimálnu a maximálnu p-hodnotu, ktorá sa v týchto testoch dosiahla.

Úloha C. Môžeme tieto dáta považovať za biely šum posunutý o konštantu? Prečo?

ARMA model

Pre dáta v premennej y odhadneme AR(2) model a vypíšeme odhadnuté koeficienty.

library(astsa)
m <- sarima(y, 2, 0, 0, details = FALSE)
m$fit$coef

##          ar1          ar2        xmean 
##   0.15578244  -0.05504351 841.21450599

Úloha D. Zapíšte model v tvare \[y_t = \delta + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + u_t\] a ukážte, že je stacionárny - napíšte polynóm, ktorého korene budete počítať, číslené hodnoty koreňov, ich absolútne hodnoty a čo z nich vyplýva

Úloha E.
Nájdite vhodný model pre tieto dáta a vysvetlite, ako ste spokojní s rezíduami. Vypočítajte predikcie pre nasledujúci rok a vypočítajte percentuálnu chybu (teda čomu sa rovná 100*(predikcia – skutočnosť)/skutočnosť), skutočná hodnota je v časovom rade Nile).

Príklad 2: Výnosy akcií a testovanie bieleho šumu

Tak ako na cvičení (prvý týždeň v škole), pomocou knižnice quantmod načítame priamo do R-ka ceny akcií a zistíme, či sa ich výnosy dajú modelovať ako biely šum.

Zvoľte si firmu (každý, resp. každá skupina inú) a stiahnite si ceny akcií tejto firmy za zvolené obdobie, minimálne za jeden rok. Trasformujte dáta na týždenné a vypočítajte logaritmické výnosy. Testujte pomocou ACF a Ljung-Boxovho testu, že tieto výnosy sa dajú modelovať ako konštanta (stredná hodnota výnosov - tá na autokorelácie nemá vplyv) plus biely šum.

V texte domácej úlohe uveďte:

Názov zvolenej firmy a krátku informáciu o tejto firme
Graf priebehu cien akcie a výnosov
Výberovú autokorelačnú funkciu výnosov a jej interpretáciu.
Výsledky Ljung-Boxovho testu pre hodnoty lagu od 1 až po zvolenú hornú hranicu. P hodnoty znázornite graficky ako na cvičení, spolu s porovnaním s hodnotou 0.05. Interpretujte výsledky.
Zhodnotenie modelu: Považujete model "výnosy sú konštanta (t. j. priemerný výnos) plus biely šum" za dobrý model pre vaše dáta? Prečo?

Domáca úloha 1