Príklady 1, 2, 3 tvoria kostru predmetu. Z celkového počtu 15 bodov treba na úspešné absolvovanie skúšky získať aspoň 10 bodov.
Odovzdávajú sa odpovede a výpočty na papieri, nie kód v R-ku

Príklad 1 (3 body): stacionarita a invertovateľnosť

Overte stacionaritu a invertovateľnosť nasledujúceho procesu:

\[x_t = 0.3 x_{t-1} + 0.5 x_{t-2} + 0.5 x_{t-3} + u_t - 0.1 u_{t-1} \]

Pre každú z týchto vlastností napíšte:

polynóm, ktorého korene budete počítať
aké musia výjsť ich absolútne hodnoty, aby mal proces overovanú vlastnosť
aké vyšli absolútne hodnoty koreňov a čo z toho vyplýva

Za každý z týchto bodov 0.5 b. pre každú z vlastností.

Príklad 2 (8 bodov): ARIMA modelovanie

Budeme pracovať s dátami, ktoré sú dostupné v balíku astsa:

library(astsa)
y <- ts(econ5$govinv, frequency = 4, start = c(1948,3))
plot(y)

Cieľom je nájsť vhodný ARIMA model.

Dáta sú vždy vybrané tak, aby sa pre ne dal nájsť nesezónny ARIMA(p,d,q) model, pričom p a q nie sú väčšie ako 5.

(1 bod) Vysvetlite, koľkokrát ste dáta diferencovali a prečo. Teda pre každý časový rad (pôvodné dáta, prípadné prvé diferencie, druhé diferencie atď.) napíšte, či ste ich diferencovali a prečo. Skončíme teda tým, že určitý časový rad už diferencovať netreba.
(5 bodov, 1 bod za každú úlohu) Súčasťou predchádzajúceho bodu bolo testovanie jednotkového koreňa. V poslednom kroku (po prípadnom predchádzajúcom diferencovaní) nastala situácia, že v dátach nebol ani trend, ani jednotkový koreň, a preto ich nebolo potrebné diferencovať. Podrobne vysvetlite, čo sa tam dialo:

Napíšte, s akými parametrami ADF testu ste ich tieto dáta testovali a aká regresia sa odhadla.
Aká hypotéza o koeficientoch tejto regresie sa testuje?
Odvoďte, že táto hypotéza predstavuje hypotézu o jedotkovom koreni daného časového radu.
Kedy túto hypotézu zamietame (ako vyzerá kritérium založené na testovacej štatistike a kritickej hodnote)?
Čo vyšlo v našom prípade (zamietame alebo nie) a čo to znamená pre diferencovanie nášho časového radu (diferencujeme alebo nie)?

(2 body) Nájdite vhodný ARIMA model pre dáta y. Požiadavky sú: stacionarita, invertovateľnosť a p hodnoty Ljung-Boxovho testu nad 5 percent. Odpoveď napíšte zapísaním parametrov funkcie sarima, ktorou model odhadnete:

sarima(y, p, k, q)

Príklad 3 (4 body): príklad analogický zadaniu z DÚ

Uvažujme dáta z knižnice urca

library(urca)
data("UKpppuip")

# UKpppuip$i1
# A data frame of quarterly data ranging from 1971:Q1 until 1987:Q2. All variables are expressed in logarithms.

# i1 = Three-month treasury bill rate in the UK
i1 <- ts(UKpppuip$i1, frequency = 4, start = c(1971, 1))
plot(i1)

Budeme pracovať s diferenciami týchto dát:

x <- diff(i1)
plot(x)

(1 bod) Testujte Ljung-Boxovým testom hypotézu, že prvých K autokorelácií, je nulových, postupne pre K rovné 1, 2, …, 10. Pre kontrolu uveďte minimálnu a maximálnu p-hodnotu, ktorá sa v týchto testoch dosiahla.
(1 bod) Môžeme (na základe autokorelácií) tieto dáta považovať za biely šum posunutý o konštantu? Prečo?
(1 bod) Odhadnite pre tieto dáta AR(1) model a zapíšte ho v tvare \(x_t = \delta + \alpha x_{t-1} + u_t\).
(1 bod) Ukážte, že model z predchádzajúceho bodu je stacionárny.

Príklad 4 (10 bodov): nájdenie procesu s danou vlastnosťou

Uveďte príklad procesov s danými vlastnosťami. Ak nie je povedané inak, proces musí byť stacionárny. Pre každý proces dokážte, že má požadovanú vlastnosť.

Hodnotenie pre každý proces: 2 body za správnu odpoveď a správne zdôvodnenie; 1 bod za dobrý prístup, neúplný dôkaz vlastnosti a pod.; za uvedenie procesu bez zdôvodnenia je 0 bodov

nestacionárny ARMA(2,1) proces
proces s konštantným spektrom rovným 2020
proces pre disperziu \(\sigma^2\), ktorá je modelovaná ako GARCH(1,1)
stacionárny, ale neinverovateľný ARMA proces
MA(1) proces s disperziou 1

Príklad 5 (10 bodov): teoretický príklad

Nech \(z_t\) je proces, ktorého hodnoty sú nezávislé náhodné premenné s rozdelením \(N(0, 1)\). Definujme pomocou neho nový proces \(y_t\) nasledovne:

ak je \(t\) nepárne, tak \(y_t=z_t\)
ak je \(t\) párne, tak \(y_t = \frac{1}{\sqrt{2}} (z_{t-1}^2 - 1)\)

Ukážte, že proces \(y_t\) je stacionárny a vypočítajte jeho autokorelačnú funkciu.

Príklad 6 (12 bodov): true/false

Píšte iba odpovede - pravda/nepravda - nie zdôvodnenia. Za každú správnu odpoveď je 1 bod, za nesprávnu mínus 1 bod, žiadna odpoveď znamená 0 bodov.

Rozhodnite, či sú nasledovné tvrdenia pravdivé.

Proces s rastúcou strednou hodnotou je nestacionárny.
Ak je súčet autoregresných koeficientov v ARMA modeli rovný nule, tak je tento proces stacionárny.
Stacionárny AR(1) proces má vždy ACF monotónnu.
SARIMA modely sa používajú na modelovanie nekonštantnej disperzie.
Holt-Wintersova metóda predpokladá, že v dátach nie je sezónna zložka.
MA proces je vždy stacionárny.
GARCH modely sú zovšeobecnením ARCH modelov.
Každý stacionárny proces sa dá zapísať v tvare Woldovej reprezentácie.
Ak testujeme Ljung-Boxovým testom rezíduá z ARMA(1,1) modelu, tak sa počet stupňov voľnosti zníži v porovnaní so situáciou, že by išlo o testovanie klasických dát (nie rezíduí).
PACF pre AR proces má len konečne veľa nenulových členov.
PACF pre MA proces má len konečne veľa nenulových členov.
Jednotkový koreň z dát odstraňujeme zlogaritmovaním.

Príklad 7 (3 body): krátke numerické výpočty

Ide o krátke výpočty, nie dlhé odvodzovanie. Niektoré sa dajú vypočítať v R-ku.

Odovzdávajte len výsledok (nie výpočet).

ACF rádu 2 procesu \(x_t = 1 + 0.3 x_{t-1} + u_t\)
Prvý rád, pre ktorý je PACF procesu \(x_t = 1 + 0.3 x_{t-1} - 0.1 x_{t-2} + u_t\) nulová.
Disperzia procesu \(x_t = 1 + 0.5 x_{t-1} + u_t\), ak je disperzia bieleho šumu \(u\) rovná 10.