Burzy - stránky:

• Na Slovensku: Burza cenných papierov v Bratislave
• Niekoľko zahraničných:
  • Chicago Board Options Exchange
  • London Stock Exchange
  • Tokyo Stock Exchange

Vývoj cien akcií

	Na stránke Chicago Board Options Exchange zvoľte v menu Quotes - Delayed Quotes Beta.
	Tu vyberte Advanced Charts. Zadajte kód firmy (napr. IBM, MSFT = Microsoft, GM = General Motors, ...), pre ktorú chcete zobrazoť ceny akcií. Môžete napísať aj názov firmy, dostanete zoznam firiem, z ktorého vyberiete tú, ktorú chcete zobraziť.

Teraz môžete meniť hodnoty Timeframe a Frequency. Kliknutím na Refresh chart dostanete príslušný graf.

Výnosy akcií

• Ak ceny akcií označíme S (s príslušným časovým indexom), tak výnosy sú
  
  Na modelovanie výnosov sa používa veličina
  
  posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  

Cvičenie 2 V súbore google.txt sú denné ceny akcií firmy Google od 1. augusta 2006 do 14. februára 2007. Načítajte ich do Matlabu a zobrazte vývoj cien v čase. Vytvorte vektor s hodnotami výnosov a zobrazte ich vývoj.

• Model pre výnosy akcií:
  • sú nezávislé,
  • majú normálne rozdelenie.

Cvičenie 3 Ak sú výnosy nezávislé, hodnota výnosu sa nedá predpoveda zo znalosti výnosu z predchádzajúcom období. Vytvorte graf, ktorý zobrazuje body, ktorých x-ová súradnica je výnos v čase t- y-ová súradnica je výnos v čase t. Je medzi nimi nejaká závislosť?

Wienerov proces

• Z priebehu cien akcií je vidie náhodnos, ktorá spôsobuje, že vývoj cien sa nedá modelova deterministickou funkciou. Preto sa používajú stochastické procesy.

• Wienerov proces je základným procesom, z ktorého sú odvodené mnohé ďalšie.

• Definícia: Proces w(t), ktorý má nasledovné vlastnosti, sa nazýva Wienerov proces.
  1. Prírastky w(t+)-w(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a disperziou .
  2. Pre všetky t₁ < t₂ < ... < t_n sú prírastky
     w(t₂) - w(t₁), ..., w(t_n) - w(t_n-1)
     nezávislé náhodné premenné.
  3. Proces začína v nule, t.j. w(0)=0.
  4. Trajektórie procesu sú spojité.
  
  
• Ako získa realizáciu Wienerovho procesu:
  • Budeme generova aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .

Cvičenie 6 Vygenerujte realizáciu Wienerovho procesu na intervale [0,1], použitím kroku =0.01. Zobrazte graficky jej priebeh.

Násobok Wienerovho procesu

• Uvažujme násobok Wienerovho procesu, teda proces tvaru
  

• Cvičenie 9 - ukážka výsledného grafu:
  

Cvičenie 10 Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase 1? Ako závisí od parametra ? Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase t?

Brownov pohyb

• K násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  Tento proces sa nazýva Brownov pohyb.
• Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

Geometrický Brownov pohyb

• Geometrický Brownov pohyb je proces
  
  Hodnota x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.

• Lognormálne rozdelenie - definícia a vlastnosti:
  • Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak náhodná premenná ln(X) má normálne rozdelenie .
  • Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
    
  • Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
    

• Geometrický Brownov pohyb ako model pre vývoj ceny akcie
  • Povedali sme, že výnosy cien akcií sa modelujú ako nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením.
  • Ak sa cena akcie riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak výnosy majú uvedenú vlastnos.

• Parametre geometrického Brownovho pohybu modelujúceho cenu akcie:
  • Ako získa parametre z dát: to ste už viacerí robili - v prémiovej úlohe z PDR minulý školský rok ;-)
    • Ak proces pre cenu akcie je
      
      tak
      
    • Odhad parametrov a procesu dostaneme odhadnutím parametrov tohto normálneho rozdelenia.
  • Uvažujme rok ako jednotku času (t.j. t = 1 znamená jeden rok) a =1/250. Pre dáta firmy Google z tohto cvičenia dostaneme nasledovné odhady: