Black-Scholesov vzorec

Cvičenie 1 Vytvorte v Matlabe m-súbor s funkciou euroCall(S,tau,E,r,sigma). Nakreslite graf ceny opcie v závislosti od ceny akcie pre zvolené parametre.

Porovnonie s reálnymi cenymi opcií

• http://finance.yahoo.com
• Nájdite úrokovú mieru.
• Pre akcie firmy Google máme odhadnuté parametre.
• Porovnáme skutočné ceny s Black-Scholesovym vzorcom.

Závislsoť ceny opcie od parametrov

Závislosť od ceny akcie:

• Na základe grafu môžeme vysloviť niekoľko hypotéz:
  • V je rastúca funkcia S
  • Ak S0, tak V0.
  • Ak S, tak sa cena opcie približuje k payoff diagramu, takže by mohlo platiť
    
    
• Ekonomická interpretácia:
  • Ak sa cena akcie blíži k nule, znižuje sa pravdepodobnosť, že opciu uplatníme - opcia sa stáva bezcennou.
  • Ak S, tak
    • Opcia sa zrejme bude realizovať, teda v čase expirácie dostaneme akciu a zaplatíme E, po odúročení tejto platby na súčasnú hodnotu vyslovíme hypotézu
      
      
    • Taká istá úvaha ako predtým, len dodáme, že pre S je E (aj súčasná hodnota) zanedbateľná, takže očakávame
      
      
  • Ak je vyššia súčasná cena akcie, zvyšuje sa pravdepodobnosť, že ju uplatníme a dosiahneme zisk. Rovnako sa zvyšuje pravdepodobnosť vysokých cien akcie, a teda vysokého zisku z realizácie opcie.
• Matematicky:
  • Vypočítame limitu V pre S - ukážeme, že sa rovná 0.
  • Platia všetky tri navrhnuté aproximácie pre S. Graficky vidíme, že sa líšia kvalitou aproximácie pre konečné hodnoty S.
  • Derivácia V podľa S je N(d₁), čo je kladné. Teda V je rastúcou funkciou premennou S.
  
  

  Cvičenie 2 Závislosť od ostatných parametrov - graficky, výpočet, interpretácia. Parametre: expiračná cena úroková miera volatilita čas do expirácie

  
  
  

  ---

  Cvičenia z finančných derivátov
  Beáta Stehlíková, 2007