Burzy - stránky:

• Na Slovensku: Burza cenných papierov v Bratislave
• Niekožko zahraničných:
  • Chicago Board Options Exchange
  • London Stock Exchange
  • Tokyo Stock Exchange

Vývoj cien akcií

Na stránke Chicago Board Options Exchange zvožte v menu Quotes - Delayed Quotes Beta.

Tu vyberte Advanced Charts. Zadajte kód firmy (napr. IBM, MSFT = Microsoft, GM = General Motors, ...), pre ktorú chcete zobrazi ceny akcií. Môžete napísa aj názov firmy, dostanete zoznam firiem, z ktorého vyberiete tú, ktorú chcete zobrazi.

Teraz môžete meni hodnoty Timeframe a Frequency. Kliknutím na Refresh chart dostanete príslušný graf.

Cvičenie 1 Zobrazte niekožko grafov pre akcie zvolenej firmy tak, aby ste videli dlhodobý trend aj fluktuácie počas krátkeho obdobia.

Výnosy akcií

• Ak ceny akcií označíme S (s príslušným časovým indexom), tak výnosy sú
  
  Na modelovanie výnosov sa používa veličina
  
  posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  

Model pre výnosy akcií:

• sú nezávislé,
• majú normálne rozdelenie.

Wienerov proces

• Z priebehu cien akcií je vidie náhodnos, ktorá spôsobuje, že vývoj cien sa nedá modelova deterministickou funkciou. Preto sa používajú stochastické procesy.

• Wienerov proces je základným procesom, z ktorého sú odvodené mnohé ďalšie.

• Definícia. Proces w(t) s nasledovnými vlastnosami sa nazýva Wienerov proces:
  1. Prírastky w(t+)-w(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a disperziou .
  2. Pre všetky t₁ < t₂ < ... < t_n sú prírastky
     w(t₂) - w(t₁), ..., w(t_n) - w(t_n-1)
     nezávislé náhodné premenné.
  3. Proces začína v nule, t.j. w(0)=0.
  4. Trajektórie procesu sú spojité.
  
  
• Ako získa realizáciu Wienerovho procesu:
  • Budeme generova aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .

• V Matlabe:
  • Kód:
    
    a výstup:
    
    
    
  • Funkcie Matlabu na prácu s vektormi sú efektívnejšie ako cykly:
    

Násobok Wienerovho procesu

• Uvažujme násobok Wienerovho procesu, teda proces tvaru
  
  
  

  Cvičenie 4 Odvoďte rozdelenie prírastkov tohto procesu. Na základe výsledku predchádzajúcej úlohy vygenerujte realizácie procesu pre zvolenú hodnotu parametra a zobrazte ich priebeh.

• Závislos od parametra :
  

  Cvičenie 5 Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase 1? Ako závisí od parametra ? Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase t?

Brownov pohyb

• K násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  Tento proces sa nazýva Brownov pohyb.
• Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

Geometrický Brownov pohyb

• Geometrický Brownov pohyb je proces
  
  Hodnota x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.

Lognormálne rozdelenie

• Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak náhodná premenná ln(X) má normálne rozdelenie .
• Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
  
• Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
  

Geometrický Brownov pohyb ako model pre vývoj ceny akcie

• Povedali sme, že výnosy cien akcií sa modelujú ako nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením.
• Ak sa cena akcie riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak výnosy majú uvedenú vlastnos.
  

  Cvičenie 12 Dokážte toto tvrdenie.

• Ako získa parametre geometrického Brownovho pohybu modelujúceho cenu akcie z dát
  • Ak proces pre cenu akcie je
    
    tak
    
  • Odhad parametrov a procesu dostaneme odhadnutím parametrov tohto normálneho rozdelenia.

Cvičenie 13 Uvažujme rok ako jednotku času (t.j. t = 1 znamená jeden rok) a =1/250. Z dát firmy Google z tohto cvičenia odhadnite parametre geometrického Brownovho pohybu, ktorým modelujeme vývoj týchto cien.