Cvičenie 12: Black - Scholesova rovnica: numerické rieenie (3)
Implicitná a explicitná schéma
Doteraz sme pracovali s implicitnou schémou na riešenie transformovanej rovnice. Naprogramujte teraz explicitnú schému. Ukážte na príkladoch, že v závislosti od voľby časového a priestorového kroku, táto metóda dáva/nedáva dobrú aproximáciu riešenia. Čo je dôvodom týchto rozdielov?
Oceňovanie amerických opcií
- Použijeme tú istú transformáciu a implicitnú metódu pri diskretizácii ako v prípade európskych opcií.
- Navyše potrebujeme zaručiť, že riešenie Black-Scholesovej rovnice je nad payoffom. Graf riešenia americkej opcie sa hladko napojí na payoff. Vieme, že európsky put a európsky call na akciu s dividendami túto vlastnosť nemajú.
- To znamená, že riešenie u rovnice vedenia tepla leží nad transformovaným payoffom.
Postup riešenia rovnice pre u v prípade európskej opcie:
- Vypočítame okrajové podmienky a dosadíme ich do matice riešenia.
- Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
- Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda
- Začiatočná aproximácia: môžeme zobrať hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy
- Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua
- Výpočet novej iterácie podľa SOR metódy - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.
Postup riešenia rovnice pre u v prípade americkej opcie:
- Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => do matice riešenia dosadíme max(okrajová podmienka, transformovaný payoff)
- Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
- Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
- Začiatočná aproximácia: hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy treba porovnať s transformovaným payoffom => zoberieme max(predchádzajúca časová vrstva, transformovaný payoff)
- Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua sa nedá použiť, lebo neriešime sústavu rovníc, použijeme vzdialenosť dvoch nasledujúcich iterácií
- Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame i-tu zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff) a počítame ďalšiu zložku - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.
Druhá časť praktickej časti druhej písomky
Napíšte program na oceňovanie americkej call opcie a vypočítajte hodnotu tejto opcie v závislosti od ceny akcie, ak zvyšné parametre sú:
- expiračná cena: 100 USD
- expirácia je o rok
- úroková miera: 2 percentá
- dividendová miera: 3 percentá
- volatilita akcie: 0.25
Zostrojte graf, na ktorom bude payoff call opcie a jej cena (v závislosti od ceny akcie S). Ďalej zostrojte tabuľku, v ktorej bude cena akcie a príslušná hodnota americkej call opcie.
Cvičenia z finančných derivátov
Beáta
Stehlíková, 2008