Stochastické diferenciálne rovnice

• Príklad 1 - nenáhodná funkcia
  • Explicitné vyjadrenie funkcie: x(t)=2t
  • Vyjadrenie pomocou diferenciálov: dx(t)=2 dt - obyčajná diferenciálna rovnica pre funkciu x(t). Rovnica so začiatočnou podmienkou určuje riešenie.
  
  
• Príklad 2 - nenáhodná funkcia
  • Explicitné vyjadrenie funkcie: x(t)=exp(t)
  • Vyjadrenie pomocou diferenciálov: dx(t)=x(t) dt - obyčajná diferenciálna rovnica pre funkciu x(t). Rovnica so začiatočnou podmienkou určuje riešenie.
  
  
• Analógia pre náhodné funkcie
  • Okrem časového diferenciálu dt aj diferenciál Wienerovho procesu dw(t) - prírastok w(t) na nekonečne malom časovom intervale
  • Výrazy typu:
    • dx(t)=2 dt + 3 dw(t), x(0)=0 - to je Brownov pohyb x(t)=2t + 3w(t)
    • dx(t)= 10[1-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=0.5 - proces tohto typu sa naýva Ornstein-Uhlenbeckov proces (vo finančnej matematike sa používa napríklad pri modelovaní úrokových mier)- na jeho priebeh sa teraz pozrieme
  
  
• Ornestein-Uhlenbeckov proces
  • Všeobecný tvar procesu:
    
    kde sú kladné konštatny
  • Aký priebeh očakávame na základe deterministickej časti procesu?
  • Aproximácia - diferenciály nahradíme prírastkami na malom časovom intervale (podobne ako pri numerickom riešení obyčajnej diferenciálnej rovnice).

Itóova lema

Kijoši Itó (1915 - ), zakladateľ teórie stochastických diferenciálnych rovníc. Životopis na stránke Inamori Foundation Životopis na "The MacTutor History of Mathematics archive" "Dr. Kiyoshi Ito receives the Gauss Prize"

• Pre nenáhodnú funkciu vieme derivovaním napísať obyčajnú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa. Napr. pre x(t)=x²(t) platí dx(t)=2 x(t) dt.
• Ako derivovať náhodné funkcie?

• Príklad: ako zderivovať funkciu x(t)=exp(w(t))
• Pokus 1:
  

• V čom je problém:
  
  teda pre danú hodnotu y(t) je stredná hodnota prírastku nulová. Ale stredná hodnota procesu x(t)=exp(w(t)) s časom rastie.
• Pokus 2 - dobrý:
  Zapíšeme x(t)=f(w) kde f(w)=exp(w) a počítame
  
  lebo (dw)² je rádu dt (stredná hodnota (dw)² je dt) a ostatné členy sú vyššieho rádu (dt a dw vo vyššej mocnine).
• Takže
  

Cvičenie 4 Vygenerujte 1000 realizácií procesu a zaznamenávajte hodnotu v čase 5. Vypočítajte priemer z týchto hodnôt. Porovnajte s predchádzajúcim cvičením.

• Vo všeobecnosti dostatneme týmto postupom Itóovu lemu:
  Nech x je proces daný rovnicou
  
  a f(t,x) je hladká funkcia. Potom f vyhovuje rovnici
  
  
  
• Použitie Itóovej lemy pri oceňovaní opcií: Vývoj ceny akcie je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou pre S. Cena derivátu V závisí od času t a od ceny akcie S. Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,S).

Cvičenie 5 Vypočítajte dy, ak:

Black-Scholesov model

Robert C. Merton (1944 - ), Myron S. Scholes (1941 - ) Cena Švédskej banky za ekonómiu, 1997 Zo stránky Jokes about economists and economics, vraj skutočná udalosť ;) An economist was about to give a presentation in Washington, DC on the problems with Black-Scholes model of option pricing and was expecting no more than a dozen of government officials attending (who would bother?). To his amazement, when he arrived, the room was packed with edgy, tough-looking guys in shades. Still, after five or so minutes into the presentation all of them stood up and left without a word. The economist found out only later that his secretary ran the presentation through a spell-checker and what was "The Problem with Black-Scholes" became "The Problem with Black Schools", a rather more fascinating subject.

Cena európskej call opcie na akciu nevyplácajúcu dividendy:

Cvičenie 6 Vytvorte v Matlabe m-súbor s funkciou euroCall(S,tau,E,r,sigma). Nakreslite graf ceny opcie v závislosti od ceny akcie pre zvolené parametre. Dokreslite do toho istého grafu payoff opcie.

Cvičenie 7 Pre firmu Google máme odhadnutú volatilitu. Nájdite úrokovú mieru (napr. http://finance.yahoo.com/bonds) a porovnajte skutočné ceny opcií (napr. http://finance.yahoo.com/) s cenami, ktoré dáva Black-Scholesov model.