Cvičenia z finančných derivátov

Cvičenie 4: Black-Scholesov vzorec - závislosť od parametrov

Pod call opciou budeme počas celého cvičenia rozumieť európsku call opciu na akciu nevyplácajúcu dividendy.

Black-Scholesov vzorec

Cvičenie 1
Vypočítajte pomocou Black-Scholesovho vzorca cenu call opcie, ktorej expiračná cena je 100 USD, ak do expirácie zostáva pol roka. Aktuálna cena akcie je 90 USD, volatilita je 0.25. Úroková miera je 3.5 percenta.

Cvičenie 2

Nakreslite cenu akcie z predchádzajúceho príkladu v závislosti od aktuálnej ceny akcie. Ostatné parametre zostávajú nezmenené.
Dokreslite do grafu payoff diagram opcie.

Závislosť ceny call opcie od ceny akcie

Na základe grafu môžeme vysloviť niekoľko hypotéz:
- V je rastúca funkcia S
- Ak S0, tak V0.
- Ak S, tak sa cena opcie pribliuje k payoff diagramu, takže by mohlo platiť
Ekonomická interpretácia:
- Ak sa cena akcie blíži k nule, znižuje sa pravdepodobnosť, že opciu uplatníme - opcia sa stáva bezcennou.
- Ak S, tak
  - Opcia sa zrejme bude realizovať, teda v čase expirácie dostaneme akciu a zaplatíme E, po odúročení tejto platby na súčasnú hodnotu vyslovíme hypotézu
  - Taká istá úvaha ako predtým, len dodáme, že pre S je E (aj súčasná hodnota) zanedbateľná, take očakávame
- Ak je vyššia súčasná cena akcie, zvyšuje sa pravdepodobnosť, že ju uplatníme a dosiahneme zisk. Rovnako sa zvyšuje pravdepodobnosť vysokých cien akcie, a teda vysokého zisku z realizácie opcie.
Matematicky:
- Vypočítame limitu V pre S - ukážeme, že sa rovná 0.
- Platia všetky tri navrhnuté aproximácie pre S (vypočítame limity). Graficky vidíme, že sa líšia kvalitou aproximácie pre konečné hodnoty S.
- Derivácia V podľa S je N(d₁), čo je vždy kladné číslo. Teda V je rastúcou funkciou premennou S.

Závislosť od ostatných parametrov

Derivácie:

Cvičenie 2
Závislosť od ostatných parametrov (rastúcosť/klesajúcosť) - graficky, výpočet, interpretácia. Parametre:

expiračná cena
úroková miera
volatilita
čas do expirácie

Cvičenie 3
Vypočítajte limitu ceny call opcie, ak

volatilita akcie ide do nekonečna,
volatilita ide k nule.
(Ostatné parametre sú konštantné.)

Put opcie

Call-put parita:
- Uvažujme portfólio zložené z mínus jednej call opcie, jednej put opcie (na tú istú akciu, s rovnakou expiračnou cenou E a rovnakým expiračným časom) a jednej príslušnej akcie.
- V čase expirácie je hodnota portfólia E.
- Preto ak do expirácie zostáva čas , hodnota portfólia je - cenu callu poznáme, takže môžeme vyjadriť cenu putu.
Nakreslite cenu put opcie v závislosti od aktuálnej ceny akcie pre zvolené hodnoty parametrov.
Ako závisí cena put opcie od parametrov?

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2008