Cvičenia z finančných derivátov

Cvičenie 9: Akcie vyplácajúce dividendy. Transakčné náklady.

Akcie s dividendami

D = spojitá miera vyplácania dividend
PDR pre cenu derivátu:
Riešenie pre call opciu:

Cvičenie 1

Napíšte funkciu, ktorá počíta cenu call opcie na akciu, ktorá vypláca spojité dividendy. (Ostatné parametre zostávajú rovnaké ako predtým.) Nakreslite do jedného obrázku payoff a graf ceny opcie v závislosti od ceny akcie.
Dokážte, že pri kladnej dividendovej miere existuje také S^*, že ak je cena akcie väčšia ako S^*, tak príslušná cena opcie je menšia ako hodnota payoff diagramu. To znamená, že graf ceny call opcie s dividendami vždy predtne payoff diagram.
Ako sa zmení call-put parita, ak akcia vypláca dividendy? Odvoďte cenu put opcie.

Akcie s dividendami

Lelandov model (Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985)
S_bid, S_ask - definujeme
- S=(S_bid + S_ask)/2
- c=(S_ask - S_bid)/S
Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S
Aké by malo byť c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre tieto akcie: (Ide o bid a ask ceny iba v jednom konkrétnom okamihu, pre presnejší odhad by sme potrebovali viac dát.)

Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia, , akcií spojité obchodovanie.
V prípade transakčných nákladov: 1 opcia, akcií, portfólio meníme v intervaloch dĺky , počet transakcií je
Zmena hodnoty portfólia:
Na cvičení odvodíme rovnicu:

a jej riešenie pre prípad call a put opcie: je ním Black-Scholesova cena s upravenou volatilitou (ostatné parametre sa nemenia)

kde

je Lelandovo číslo. Aby bol tento výpočet možný, Lelandovo číslo musí byť z intervalu (0,1), čo dáva obmedzenie na časový interval medzi dvoma zmenami portfólia.

Cvičenie 2
Dokážte, že prítomnosť transakčných nákladov znižuje cenu opcie.

Cvičenie 3

Vyberte si jednu z firiem, pre ktoré sme počítali konštantu c, charakterizujúcu treansakčné náklady pri obchodovaní s akciami.
Stiahnite si historické ceny tejto akcie a odhadnite volatilitu
Pre aké dĺžky intervalu medzi dvoma zmenami portfólia je splnená podmienka, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1)?
Zvožte si dve takéto d=lžky časového intervalu. Zvoľte si opciu a úrokovú mieru, a vypočítajte v oboch prípadoch cenu tejto opcie. Zakrelite ceny do grafu (x-ová os: cena akcie S, y-ová os: vypočítaná cena opcie)a porovnajte ich.

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2008