Európske opcie
:: Opakovanie ::
Prvú polhodinu budeme venovať príkladom na precvičenie z prvých dvoch
cvičení. Ak máte otázky ku konkrétnym príkladom, budeme riešiť tie.
Inak vyberiem niekoľko príkladov, ktoré preriešime.
:: Európska call a put opcia ::
- Európska call opcia
je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) kúpiť akciu v presne určenom
expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
- Európska put opcia
je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) predať akciu v presne určenom
expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
- Payoff = hodnota v čase expirácie
- Payoff call opcie:
- Ak aktuálna cena S akcie v čase expirácie prekročí hodnotu
E, na ktorú bol uzavretý opčný kontrakt typu call, tak cena opčnej prémie
(keby sa za ňu platilo v tomto čase) je zrejme rozdiel medzi aktuálnou cenou
S a dohodnutou cenou E, t.j. S-E.
- Na druhej strane, pokiaľ, aktuálna
cena akcie neprekročí dohodnutú cenu E, tak opcia nemá žiadnu hodnotu,
pretože ju vôbec neuplatníme.
- To znamená, že ocenenie call opcie v čase expirácie je jednoduché: max(S-E,0)
- Analogicky dostaneme payoff put opcie: max(E-S,0)
- Definujeme v Matlabe funkcie, ktoré vrátia payoff call opcie
function [cp]=CallPayoff(S,E)
cp=max(S-E,0)
a put opcie
function [pp]=PutPayoff(S,E)
pp=max(E-S,0)
Teraz môžeme kresliť payoff diagram a profit diagram (payoff znížený o cenu stratégie).
% profit diagram call opcie s E=50 USD, ak jej cena je 5 USD
S=0:10:100;
plot(s,CallPayoff(s,50)-5);
:: Cvičenia (1) ::
- Predpokladajme, že vlastníme jednu put opciu s expiračnou cenou 60 USD, ktorá stojí 7 USD.
- Nakreslite payoff a profit diagram.
- Pre aké ceny akcie v čase expirácie dosiahneme zisk?
- Aký maximálny zisk môžeme dosiahnuť? Akú maximálnu stratu?
:: Kombinované stratégie ::
Link: http://www.theoptionsguide.com/
- Neutral (non-directional) strategies - používajú sa v
prípade, že investor nevie, ktorým smerom sa cena akcie pohne. Líšia sa
tým, či predpokladáme malú alebo veľkú zmenu ceny akcie (bez
špecifikácie smeru tejto zmeny).
- Ak očakávame malú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
- Ak očakávame veľkú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
- Bearish strategies (medvedie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie klesne. Príkladmi takýchto stratégií sú:
- Bullish strategies (býčie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie vzrastie.
Príkladmi takýchto stratégií sú:
:: Reálne ceny opcií ::
- http://finance.yahoo.com
- Zadáme kód alebo ho vyhlľadáme podľa názvu:
- Pre zvolemú firmu klikneme na Options (v ľavom stĺpci):
- Ukážka:
- Opciu môžeme kúpiť za ask, predať za bid.
:: Cvičenia (2) ::
- Zvoľte si kombinovanú stratégiu a pomocou reálnych cien zostrojte
jej payoff diagram. Aké presvedčenie o budúcom vývoji akcie vyjadruje
takáto stratégia? Pre aké ceny akcie v čase expirácie bude zisková?
:: Obmedzenia na ceny opcií ::
-
Označme c(S,
,E),
p(S,
,E) cenu call, resp. put opcie s expiračnou cenou E, ak aktuálna cena akcie je S a do expirácie opcie zostáva
čas
.
- Ceny opcií musia vyhovovať určitým nerovnostiam, ktoré
vyplývajú z neprípustnosti arbitráže. Myšlienka ich dôkazu je
nasledovná: Uvažujme dve portfóliá (zložené z akcií, opcií a dlhopisov). Ak v
čase expirácie opcií platí pre hodnoty týchto portfólií nerovnosť
P1
P2, tak rovnaká nerovnosť pre hodnoty portfólií musí platiť aj vo všetkých predchádzajúcich časoch.
-
Príklad:
Dokážte, že c(S,
,E1)
c(S,
,E2) pre E2
E1
Riešenie:
Uvažujme dve portfóliá. V prvom budeme mať opciu s expiračnou cenou E1, v druhom opciu s expiračnou cenou E2.
Nerovnosť hovorí, že ak do expirácie opcií zostáva čas
, tak hodnota prvého portfólia je menšia alebo rovná hodnote druhého portfólia. Podľa horeuvedenej úvahy stačí túto nerovnosť dokázať v čase expirácie.
V čase expirácie bude mať prvé portfólio hodnotu max(S-E1,0), druhé portfólio bude mať hodnotu max(S-E2,0).
| 0 S E2
|
E2 S E1
|
E1 S
|
portfólio 1 | 0 | 0 | S- E1
|
portfólio 2 | 0 | S- E2 | S- E2
|
porovnanie | 0=0 | 0 S- E2 | S- E1 S- E2
|
Vidíme teda, že nerovnosť platí pre ľubovoľné S.
:: Cvičenia (3) ::
- Uvažujme nasledovné ceny call opcií:
Expiračná cena | Cena call opcie
|
10 | 30
|
15 | 26
|
20 | 27
|
25 | 23
|
30 | 19
|
Nájdite arbitrážnu príležitosť - teda takú stratégiu, ktorá bez ohľadu na cenu akcie v čase expirácie opcií prinesie zisk. Nakreslite profit diagram vašej stratégie.
-
Dokážte, že p(S,
,E1)
p(S,
,E2) pre E1
E2
a zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami, tak ako v predchádzajúcom cvičení).
:: Ďalie príklady na precvičenie ::
-
[Vzorová písomka, 2008]
-
[Písomka, 2009]
-
[Rüdiger U. Seydel: Tools for Computational Finance.]
- Dokážte:
-
S - E exp(-r
)
c(S,
,E)
S,
kde r je úroková miera.
-
Funkcia c(S,
,E)
je konvexnou funkciou expiračnej ceny E
-
Funkcia p(S,
,E)
je konvexnou funkciou expiračnej ceny E
-
[Vzorová písomka, 2009]
-
[Písomka, 2009]
Beáta Stehlíková (
www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010