:: Stochastické diferenciálne rovnice ::

• Nenáhodná funkcia môže byť zadaná ako riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice - máme daný vzťah medzi diferenciálom funkcie a diferenciálom času. Napr. dx(t)=x(t) dt, spolu so začiatočnou podmienkou x(0) určuje (deterministickú, t.j. nenáhodnú) funkciu x(t).
  
  
• Analógia pre náhodné funkcie - vzťah medzi diferenciálom funkcie, diferenciálom času a diferenciálom Wienerovho procesu dw. Takto dostávame stochastické diferenciálne rovnice. Ich riešením je náhodná funkcia. Napríklad:
  • dx=2dt+3dw, začiatočná podmienka x(0)=0 - toto je Brownov pohyb: x(t)=2t+3w(t)
  • dx=2dt+3dw, začiatočná podmienka x(0)=1 - posunutý Brownov pohyb, začína z jednotky: x(t)=1+2t+3w(t)
  • dx=10[1-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=0.5 - tiež sa dá zapísať explicitne, ale toto vyjadrenie je komplikovanejšie. Dobrú predstavu o priebehu takéhoto procesu však dostaneme pomocou simulácií jeho trajektórií.
  
  
• Pozrime sa teda na proces tvaru
  
  kde sú kladné konštanty. Takýto proces sa nazýva Ornstein-Uhlenbeckov proces.
  
  Najjednoduchším pôsobom, ako získať aproximáciu riešenia stochastickej diferenciálnej rovnice je nahradiť diferenciály diferenciami (analógia Eulerovej metódy pre obyčajné diferenciálne rovnice, pri stochastických diferenciálnych rovniciach sa nazýva Euler-Marujamova metóda):
  

  
  kappa=10; theta=1; sigma=0.25; % parametre procesu
  x0=0.5 % zaciatocna hodnota
  
  dt=0.001; % casovy krok
  n=1000;   % pocet krokov
  
  % Eulerova schema
  x(1)=x0;
  for i=1:n
      dw=sqrt(dt)*randn;
      dx=kappa*(theta-x(i))*dt+sigma*dw;
      x(i+1)=x(i)+dx;
  end;
  
  t=0:dt:n*dt; % cas
  
  plot(t,x)
  

  Ukážka:
  
  
  
• Terminológia: Deterministická časť procesu (pri časovom diferenciáli dt) sa nazýva drift, stochastická časť (pri diferenciáli Wienerovho procesu dw) sa nazýva volatilita.

:: Cvičenia (1) ::

1. Zakreslite niekoľko realizácií Orstein-Uhlenbeckovho procesu so zvolenými parametrami.. Všímajte si, ako závisí typrický priebeh procesu od parametrov.
   
   Priraďte nasledujúce hodnoty parametrov k ich trajektóriám:
   • = 20, = 1, = 1
   • = 2, = 1, = 1
   • = 20, = 2, = 1
   
   
   
2. Ornstein-Uhlenbeckov proces sa používa napríklad pri modelovaní úrokových mier. Vašíčkov model predpokladá, že okamžitá úroková miera (prakticky - úroková miera na krátky čas) sa riadi Ornstein-Uhlenbeckovym procesom.
   
   V článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212 autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je
   
   Špeciálnou voľbou niektorých parametrov dostávame konkrétne modely, jedným z nich je aj Vašíčkov model. Výsledky pre Nový Zéland (odhady parametrov pre mesačné dáta od apríla 1986 do apríla 1998 sú v nasledujúcej tabuľke:
   
   Zdroj: (Episcopos, 1998)
   
   
   • Proces je v inom tvare, ako sme definovali Ornstein-Uhlenbeckov proces. Vyjadrite ho pomocou parametrov , , . K akej hodnote sa dlhodobo približuje úroková miera?
   • Vygenerujte priebeh vývoja úrokovej miery na základe odhadnutých parametrov Vašíčkovho modelu. Zakreslite do jedného grafu niekoľko možných priebehov, štartujúcich z rovnakej začiatočnej hodnoty.

:: Itóova lema ::

Kijoši Itó (1915 - 2008), zakladateľ teórie stochastických diferenciálnych rovníc. Životopis na stránke Inamori Foundation Životopis na "The MacTutor History of Mathematics archive"

• Na predchádzajúcom cvičení sme mali predpis procesu (geometrický Brownov pohyb - cena akcie) x(t) zadaný explicitne v tvare x(t)=.... Na začiatku tohto cvičenia sma pracovali s iným zápisom - pomocou diferenciálov sme definovali Ornestein-Uhlenbeckov proces. Teraz si ukážeme ich vzájomný vzťah.
  
  
• Pre nenáhodnú funkciu vieme derivovaním napísať obyčajnú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa. Napr. pre x(t)=t² platí dx(t)=2 t dt. Naopak, pre zadanú obyčajnú diferenciálnu rovnicu vieme v niektorých prípadoch napísať explicitné riešenie.
  
  
• Ako derivovať náhodnú funkciu? Uvažujme funkciu , kde w je Wienerov proces a počítajme rozvoj:
  
  Tu si treba uvedomiť, že , a teda máme:
  
  To znamená, že
  
  
  
  
• Vo všeobecnosti dostávame takýmto postupom Itóovu lemu:
  
  Nech x je proces daný rovnicou
  
  a f(t,x) je hladká funkcia. Potom f vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
  
  
  
• Ukážky použitia Itóovej lemy pri oceňovaní derivátov:
  • Vývoj ceny akcie je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou pre S. Cena derivátu V závisí od času t a od ceny akcie S. Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,S). Táto rovnica sa využije pri odvodzovaní ceny derivátu.
  • Vývoj okamžitej úrokovej miery r je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou (napríklad Ornstein-Uhlenbeckov proces vo Vašičkovom modeli). Cena derivátu V závisí od času t a od okamžitej úrokovej miery r. Ďalej je postup analogický: Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,r). Táto rovnica sa využije pri odvodzovaní ceny derivátu.

::Cvičenia (2) ::

1. Dopočítajte diferenciál d(B³) z výpočtu z obrázku, kde B je Wienerov proces.
   
   
   
2. Vypočítajte diferenciály nasledovných funkcií:
   • x₁(t)=2+2t+exp(w(t)),
   • x₂(t)=3exp(2 + w(t)),
   • x₃(t)=-2exp(-10 t + 2 w(t)).
   
   
3. Na predchádzajúcom cvičení sme uvažovali vývoj pre cenu akcie v reálnej miere a v rizikovo neutrálnej miere Napíšte ich diferenciál.
   
4. Cena akcie je daná stochastickou diferenciálnou rovnicou . Vyjadrite ju v explicitnom tvare - t.j. vyriešte túto stochastickú diferenciálnu rovnicu.
   
   
5. Uvažujme proces
   
   Na obrázku je niekoľko realizácií tohto procesu.
   
   
   
   • Vygenerujte niekoľko trajektórií a zobrazte podobný obrázok.
   • Vypočítajte strednú hodnotu a disperziu procesu v čase t. V ktorom čase je disperzia maximálna?
   • Dokážte, že tento proces vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
     

:: Ďalšie príklady na precvičnie ::

1. Nech náhodný proces S(t) vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici a n je prirodzené číslo. Dokážte, že aj proces S(t)ⁿ sa riadi geometrickým Brownovym pohybom.
   
   
2. Ukážte, že proces kde je daná konštanta, vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
   
   ktorá má byť splnená pre časy t vyhovujúce nerovnosti
   
   Kde ste pri dôkaze využili toto ohraničenie na čas t?
   
   
3. Nájdite riešenie stochastickej diferenciálnej rovnice
   
   Návod: Je to špeciálny prípad geometrického Brownovho pohybu.
   
   
4. Ukážte, že funkcia
   
   je riešením stochastickej diferenciálnej rovnice
   
   Nájdite ďalšie riešenie tejto rovnice v prípade, že x(0)=0.
   
   
5. Ukážte, že funkcia
   
   je riešením stochastickej diferenciálnej rovnice
   
6. Použitím substitúcie
   
   nájdite riešenie stochastickej diferenciálnej rovnice
   

---

---