Oceňovanie amerických opcií
:: Numerické riešenie ::
- Použijeme tú istú transformáciu a implicitnú metódu pri diskretizácii ako v prípade európskych opcií.
- Navyše potrebujeme zaručiť, že cena derivátu neklesne pod payoff - to by bola arbitráž.
- Vieme:
- Cena európskeho callu na akciu bez dividend leží nad payoffom.
- Cena európskeho callu na akciu bez dividend vždy pretne payoff.
- Cena európskeho putu (bez ohľadu na to, či akcia vypláca dividendy alebo nie) vždy pretne payoff
- Takže: Pre amerického callu na akciu bez dividend a ľubovoľného putu je iná ako cena príslušného európskeho derivátu.
- Cena derivátu sa hladko napojí na payoff.
- Fakt, že cena americkej opcie musí ležať nad payoffom znamená, že riešenie u rovnice vedenia tepla musí ležať leží nad transformovaným payoffom (t.j. payoffom opcie transformovaným rovnakým spôsobom ako rovnica).
:: Porovnanie numerického oceňovania európskej a americkej opcie ::
Európska opcia - postup riešenia rovnice pre u
- Vypočítame okrajové podmienky a dosadíme ich do matice riešenia.
- Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
- Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda
- Začiatočná aproximácia: môžeme zobrať hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy
- Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua
- Výpočet novej iterácie podľa SOR metódy - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.
Americká opcia - postup riešenia rovnice pre u
- Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => vypočítame max(okrajová podmienka, transformovaný payoff) a dosadíme do matice riešenia
- Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
- Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
- Začiatočná aproximácia: hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy treba porovnať s transformovaným payoffom => zoberieme max(predchádzajúca časová vrstva, transformovaný payoff)
- Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua sa nedá použiť, lebo neriešime sústavu rovníc, použijeme vzdialenosť dvoch nasledujúcich iterácií
- Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame i-tu zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff) a počítame ďalšiu zložku - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.
:: Cvičenie ::
Podľa uvedeného algoritmu naprogramujte numerické oceňovanie amerických opcií.
:: Ďalšie príklady na precvičenie ::
- Príklad, ktorý bude na druhej písomke, môžete si teda pripraviť odpoveď:
Tu sú výsledky pre opciu s expiráciou o tri mesiace (ostatné parametre sú rovnaké), môžu byť užitočné pri nastavovaní parametrov numerickej schémy: