:: Lelandov model (zahrnutie transakčných nákladov) ::

• Lelandov model (Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985)
• Bid a ask cena akcie: S_bid, S_ask - definujeme
  • S=(S_bid + S_ask)/2
  • c=(S_ask - S_bid)/S
• Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S

• Aké by malo byť c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre tieto akcie: (Ide o bid a ask ceny iba v jednom konkrétnom okamihu, pre presnejší odhad by sme potrebovali viac dát.)
  
  
  
  
  
• PDR pre ceny derivátov:
  • Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia, akcií (podľa delta hedžingu) spojité obchodovanie.
  • V prípade transakčných nákladov: 1 opcia, akcií (podľa delta hedžingu), portfólio meníme v intervaloch dĺžky , počet transakcií je
    
  • Zmena hodnoty portfólia:
    
  • Na prednáške:
    
• Pre call a put opciu:
  • Definujeme Lelandovo číslo
    
  • Pre Lelandovo číslo z intervalu (0,1) dostávame cenu call, resp. put opcie pomocou Black-Scholesovho vzorca s upravenou volatilitou:
    
    Dôkaz: dosadíme do rovnice, využujeme, že cena call a put opcie v Black-Scholesovom modeli je konvexná funkcia premennej S.

:: Cvičenia (1) ::

1. Napíšte funkciu, ktorá počíta hodnotu Lelandovho čísla (v závislosti of volatility akcie, konštanty c, intervalu medzi dvoma zaisteniami portfólia). Napíšte funkciu, ktorá overí podmienku, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1). Ak je splnená, vypočíta hodnotu call a put opcie za prítomnosti transakčných nákladov (parametre: cena akcie, expiračná cena, volatilita, čas do expirácie, úroková miera, konštanta c, interval medzi dvoma zaisteniami portfólia).
   
   
2. Zvoľte si parametre akcie a opcie, a úrokovú mieru - vstupy potrebné do Lelandovho modelu. Aké časy medzi dvoma zmenami portfólia sú prípustné? Pre jeden z nich vypočítajte cenu opcie a porovnajte ju s Black-Scholesovou cenou.

:: Modelovanie bid-ask spreadov pomocou Lelandovho modelu ::

• Cenu z predchádzajúceho odvodenia môžeme považovať za ponuku na kúpu opcie.
• Ak chceme odvodiť ponuku na predaj, uvažujeme portfólio, v ktorom dlhujeme jednu opciu. Toto portfólio hedžujeme. Rovnakým postupom dostaneme:
  
• Cenu call, resp. put opcie znovu dostaneme pomocou Black-Scholesovho vzorca, pričom upravená volatilita je:
  
• To znamená, že upravené volatility sú:
  
  a rozdiel medzi ask a bid cenou je
  
  
  

  ---

  
  
• Tieto výsledky nám umožňujú odhadnúť parametre modelu z dát:
  1. Vypočítame implikované bid a ask volatility a z bid a ask ceny opcie:
     
  2. Riešením sústavy rovníc vypočítame parametre (implikovaná volatilita), Le:
     
  3. Z bid a ask ceny akcie vypočítame konštantu c z Lelandovho modelu.

  4. Nakoniec vypočítame implikovaný čas medzi dvoma prerovnaniami porfólia pri hedžingu opcie:
     

:: Cvičenia (2) ::

1. Použite uvedený postup na odhad parametrov Lelandovho modelu pomocou niektorej z nasledovných call opcií (dáta sú zo 18. 4 2011|:
   
   

:: Poznámka - nelineárnosť PDR ::

• Rovnica na oceňoavanie derivátov v Lelandovom modeli s transakčnými nákladmi
  
  nie je lineárna. To znamená, že napríklad súčet, rozdiel, alebo nejaká iná kombinácia riešení už nie je riešením. Z toho vyplýva, že cena kombinovaných stratégií sa už nedá vypočítať tak, že oceníme každú opciu zvlášť a výsledok zložíme. (To sa dá len pri lineárnych rovniciach, ako je napríklad pôvodná Black-Scholesova rovnica.)
  
  
• Nemožnosť takého výpočtu sa dá vidieť aj z nasledovnej úvahy: Ak oceníme každú opciu samostatne, zarátavame tak transakčné náklady vznikajúce z udržiavania každého replikačného portfólia zvlášť. Ak nemáme transakčné náklady, nevadí, že udržiavame akoby dve replikačné portfóliá. Môže sa stať, že v jednom akcie kupujeme a v druhom predávame. Žiadne náklady z toho však nevznikajú. V prípade transakčných nákladov to už nie je pravda. Vtedy treba portfólio uvažovať ako celok, a v prípade uvedenej situácie nerobiť zbytočné transakcie.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. [Vzorová písomka, 2009]
   
   
   
2. [Písomka, 2009]
   
   Poznámka: Teraz sme na cvičení pracovali s opciami firmy AMZN, takže pri riešení tejto úlohy si vyberte niektorú z týchto put opcií.
   
   
3. Uvažujme rozdiel bid a ask ceny opcie ako funkciu ceny akcie S. (Ostatné parametre - volatilita akcie, parameter c charakterizujúci transakčné náklady, úroková miera, expiračná cena a čas expirácie opcie - sú konštantné).
   • Znazornite graficky tento rozdiel pre zvolené hodnoty parametrov.
   • Pre akú cenu akcie je tento rozdiel maximálny? Vypočítajte analyticky pre všeobecné hodnoty parametrov.

---

---