:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

• Z priebehov cien akcií (ako aj iných finančných veličín - úrokových mier, výmenných kurzov, ...) vidíme, že ich priebeh sa nedá popísať deterministickou funkciou. Preto sa na ich modelovanie používajú náhodné procesy.
  
  
• Vľavo: trend (vývoj ceny počas piatich rokov), vpravo: fluktuácie (vývoj ceny počas niekoľkých hodín):
  
  
  Zdroj: http://finance.google.com

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

• Základným náhodným procesom, z ktorého sú ostatné odvodené, je Wienerov proces. Pripomeňme si jeho definíciu:
  
  Náhodný proces {W(t), t0} sa nazýva Wienerov proces, ak

  • prírastky W(t+) -  W(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a s disperziou ,
  • pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n sú prírastky W_ti+1 - W_ti nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa predchádzajúceho bodu,
  • W(0)=0,
  • trajektórie sú spojité.
  Ďalej bude w všade označovať Wienerov proces.
  
  
• Ako získame realizáciu Wienerovho procesu?
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .
  
  V Matlabe:
  

  %-------------------------------
  % SIMULACIA WIENEROVHO PROCESU
  %-------------------------------
  
  T=1;         % do casu T
  dt=0.001;    % casovy krok dt
  t=(0:dt:T);  % vektor casov, v ktorych generujeme hodnoty procesu
  n=length(t);
  
  w(1)=0;              % Wienerov proces zacina z nuly
  for i=1:n-1          % prvu hodnotu mame, potrebujeme zvysnych n-1
    dw=sqrt(dt)*randn; % prirastok dw; randn ~ N(0,1) => dw ~ N(0,dt)
    w(i+1)=w(i)+dw;    % nova hodnota = povodna + prirastok  
  end;
  
  plot(t,w);  % vykreslime priebeh
  

  
  Poznamenajme, že na zrýchlenie výpočtov v Matlabe sa dajú využiť funkcie pre prácu s vektormi (namiesto cyklov):
  

  %-------------------------------------------
  % RYCHLEJSIA SIMULACIA WIENEROVHO PROCESU
  %-------------------------------------------
  
  T=1;        % do casu T
  dt=0.001;   % casovy krok dt
  t=(0:dt:T); % vektor casov, v ktorych generujeme hodnoty procesu
  n=length(t);
  
  dw=sqrt(dt)*randn(n-1,1); % vektor prirastkov - nezavisle N(0,dt) 
  w=[0;cumsum(dw)];         % zaciname z nuly, dalej kumulativne sucty dw 
  
  plot(t,w);  % vykreslime priebeh
  

  
  Ukážka výstupu:
  
  
  
• Ak k násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  dostávame proces, ktorý sa nazýva Brownov pohyb.

  Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

:: Cvičenia (1) ::

1. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Wienerovho procesu.
   Ukážka výstupu:
   
   
   
2. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Brownovho pohybu so zvolenými parametrami. Do toho istého grafu zakreslite strednú hodnotu tohto procesu.
   Ukážka výstupu:
   
   
   
3. Priraďte procesy
   • x₁(t)=w(t)
   • x₂(t)=3*w(t)
   • x₃(t)=5+2*t+w(t)
   • x₄(t)=5+2*t+0.5*w(t)
   • x₅(t)=5-3*t+w(t)
   k ich realizáciám na grafe:
   
   
   
4. Definujme proces m(t)=max(w(s), st), t. j. maximum Wienerovho procesu na intervale [0,t]. Zobrazte do jedného grafu trajektóriu Wienerovho procesu a trajektóriu procesu m(t) (počítaného z tejto realizácie Wienerovho procesu).
   Ukážka výstupu:
   

:: Geometrický Brownov pohyb ::

• Geometrický Brownov pohyb je proces definovaný vzťahom
  
  pričom x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.
  
  
• Ukážka trajektórií geometrického Brownovho pohybu:
  
  
  

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

• Cenu akcie S modelujeme geometrickým Brownovym pohybom:
  
  
  
• Na výpočet výnosov sa používa veličina
  
  pričom posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  
  
  
• Ak sa cena akcie S riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak pre výnosy dostávame
  
  teda výnosy sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením a uvedenými parametrami.
  
  
• Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov:
  • Zo súboru goog.txt načítame dáta do Matlabu. Ide o denné dáta cien akcie firmy Google v rokoch 2009 a 2010, na začiatku súboru sú najstaršie dáta.
    

    s=load('goog.txt');
    dt=1/252;           % denne data, cas sa v modeli pocita v rokoch 
    

    Priebeh ceny je nasledovný:
    
    
    
  • Definujeme výnosy - napríklad takto:
    

    n=length(s); 
    for i=1:n-1 
      v(i)=log(s(i+1)/s(i)); 
    end;
    % alebo vektorovo namiesto cyklu:
    % v=log(s(2:n)./s(1:n-1)); 
    

    
    
  • Vieme, že tieto výnosy majú normálne rozdelenie. Ďalej vieme, že strednú hodnotu normálneho rozdelenia odhadujeme aritmetickým priemerom a disperziu výberovou disperziou. Vypočítame teda priemer a výberovú disperziu vektora v - budú to odhady veličín a
    

    miDelta=mean(v);  % odhad mi*dt 
    s2Delta=var(v);   % odhad (sigma^2)*dt 
    

    
    
  • Nakoniec vypočítame odhady samotných parametrov a :

    mi=miDelta/dt;            % odhad parametra mi 
    sigma=sqrt(s2Delta/dt);   % odhad parametra sigma 
    

    
    
  • Dostaneme:

    >> mi
    
    mi =
    
        0.3225
    
    >> sigma
    
    sigma =
    
        0.2877
    

:: Cvičenie (2) ::

1. Pre vývoj ceny akcie uvažujme parametre geometrického Brownovho pohybu odhadnuté v predchádzajúcom výpočte a poslednú hodnotu cenu akcie z dát (t. j. 593.97). Vygenerujte niekoľko priebehov ceny akcie počas nasledujúceho roka, štartujúcich z tejto hodnoty.
   Ukážka výstupu:
   
   
   

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Dvojrozmerný Brownov pohyb s nekorelovanými zložkami je proces (w₁,w₂), kde w₁,w₂ sú Wienerove procesy a pre ich prírastky na intervale [s,t] platí
   
   Vygenerujte trajektóriu takéhoto procesu a zobrazte ju (ako krivku v rovine).
   Ukážka výstupu:
   
   
   
2. Označme t_M čas, v ktorom nadobudol Wienerov proces maximum na časovom intervale [0,1]:
   
   Spravte simulácie a zobrazte histogram náhodnej premennej t_M.
   
   Ukážka výstupu:
   
   
   
3. V cvičení (1)/4 sme definovali proces m, najvyššiu hodnotu Wienerovho procesu, ktorú doteraz dosiahol. Definujte teraz proces X, ktorý vyjadruje vzdialenosť aktuálnej hodnoty Wienerovho procesu od doteraz dosiahnutého maxima:
   
   Doplňte do takéhoto grafu priebeh procesu X.
   
   
4. Vyberte si akciu a stiahnite si z http://finance.yahoo.com historické dáta cien tejto akcie počas zvoleného časového obdobia. Predpokladajte, že cena akcie sa dá popísať geometrickým Brownovym pohybom a odhadnite jeho parametre.
   
   Historické ceny akcií:
   • Choďte na stránku http://finance.yahoo.com.
   • Zadajte kód firmy alebo jej názov:
     
     Potom kliknite na Get Quotes.
   • Vľavo kliknite na Historical Prices:
     
   • Tu zvoľte obdobie, za ktoré chcete dáta a ich frekvenciu:
     
   • Dostanete tabuľku s dátami (na začiatku sú najnovšie), potrebujete z nej stĺpec Adj Close.
     
   • Kliknutím na Download as Spreadsheet si dáta uložíte v csv formáte:
     
   
   
5. Prírastky a ich rozdelenie
   1. Definujme proces {Y(t), t0}, ktorého prírastky Y(t+) - Y(t) majú strednú hodnotu ()² a disperziu . Ďalej od procesu Y(t) požadujeme, aby pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n boli prírastky Y_ti+1 - Y_ti nezávislé náhodné premenné. Ukážte, že tieto predpoklady vedú k sporu, t. j. takýto proces neexistuje.
   2. Definujme proces {Y(t), t0}, ktorého prírastky Y(t+) - Y(t) majú nulovú strednú hodnotu a konštantnú nenulovú disperziu. Ďalej od procesu Y(t) požadujeme, aby pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n boli prírastky Y_ti+1 - Y_ti nezávislé náhodné premenné. Ukážte, že tieto predpoklady vedú k sporu, t. j. takýto proces neexistuje.
   3. Definujme proces {Y(t), t0}, ktorého prírastky Y(t+) - Y(t) majú nulovú strednú hodnotou a disperziu ()². Ďalej od procesu Y(t) požadujeme, aby pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n boli prírastky Y_ti+1 - Y_ti nezávislé náhodné premenné. Ukážte, že tieto predpoklady vedú k sporu, t. j. takýto proces neexistuje.
   
   Návod: Prednáška, slajdy Additive property of the Brownian motion - mean a Additive property of the Brownian motion - variance.
   
   
6. Z prednášky:
   
   Spravíme podobný obrázok pre varianciu a tiež pre strednú hodnotu:
   • Zvoľte si delenie intervalu [0,1] a vytvorte maticu, v ktorej budú hodnoty 1000 trajektórií Wienerovho procesu v týchto bodoch.
     Ukážka výstupu:
     
   • Vypočítajte výberový priemer a disperziu trajektórií v každom čase a zakreslite ich do grafu spolu s presnými hodnotami strednej hodnoty a disperzie.
     Ukážka výstupu:
     
   
   
7. Čo si myslíte, čo je na obrázku na obale tejto knihy?
   
   
   Vytvorte podobný obrázok.

---

---