:: Numerické riešenie ::

• Použijeme tú istú transformáciu a implicitnú metódu pri diskretizácii ako v prípade európskych opcií.
• Navyše potrebujeme zaručiť, že cena derivátu neklesne pod payoff - to by bola arbitráž.
• Vieme:
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend leží nad payoffom.
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend vždy pretne payoff.
  • Cena európskeho putu (bez ohľadu na to, či akcia vypláca dividendy alebo nie) vždy pretne payoff
• Takže: Pre amerického callu na akciu bez dividend a ľubovoľného putu je iná ako cena príslušného európskeho derivátu.
• Cena derivátu sa hladko napojí na payoff.
• Ukážka pre call opciu:
  
• Fakt, že cena americkej opcie musí ležať nad payoffom znamená, že riešenie u rovnice vedenia tepla musí ležať leží nad transformovaným payoffom (t.j. payoffom opcie transformovaným rovnakým spôsobom ako rovnica).

:: Porovnanie numerického oceňovania európskej a americkej opcie ::

Európska opcia - postup riešenia rovnice pre u

• Vypočítame okrajové podmienky.
• Vypočítame začiatočnú podmienku.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda.

Americká opcia - postup riešenia rovnice pre u - stiahnute si m-file UScall.m, ktorý budeme ďalej upravovať

• Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => vypočítame max(okrajová podmienka, transformovaný payoff)
  
• Vypočítame začiatočnú podmienku.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
  • Vytvoríme si vektor s transformovaným payoffom pre túto časovú vrstvu:
    
    S týmto payoffom budeme potom porovnávať zložky riešenia.
  • Začiatočná aproximácia - treba ju porovnať transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff)
    
  • Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff):
    
    a počítame ďalšiu zložku

Nakoniec spravíme spätné transformácie, aby sme dostali ceny akcie a ceny opcie.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Zmeňte program tak, aby ste ním oceňovali americké put opcie. Zrealizujte numerický výpočet pre konkrétne hodnoty a zakreslite do jedného grafu payoff, cenu americkej opcie a cenu európskej opcie.

---

---