Náhodné procesy, modelovanie cien akcií

:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

:: Cvičenia (1) ::

  1. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Wienerovho procesu.
    Ukážka výstupu:
    cv-1-2

  2. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Brownovho pohybu so zvolenými parametrami. Do toho istého grafu zakreslite strednú hodnotu tohto procesu.
    Ukážka výstupu:
    cv-1-3

  3. Priraďte procesy
    • x1(t)=w(t)
    • x2(t)=3*w(t)
    • x3(t)=5+2*t+w(t)
    • x4(t)=5+2*t+0.5*w(t)
    • x5(t)=5-3*t+w(t)
    k ich realizáciám na grafe:
    cv-1-1

:: Geometrický Brownov pohyb ::

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

:: Black-Scholesov model a Monte Carlo simulácie ::

:: Cvičenie (2) ::

  1. Zopakujte simulácie viackrát a zakreslite ich do jedného grafu.

    Ukážka výstupu (zmenšili sme interval zobrazený na y-ovej osi, aby vynikla konvergencia, a nie veľké odchýlky na začiatku):
    black-scholes

  2. Ako presné sú hodnoty získané z 10000 simulácií? Nakreslite ich histogram.

    Ukážka výstupu (200x sme zopakovali výpočet s N=10000):
    black-scholes

    Vyskúšajte pre iné N.
Poznámka:
Existujú metódy na zmenšenie variancie odhadu ceny pomocou simulácií. Jednoduchý úvod do týchto metód je v knihe [R. Seydel: Tools for computational finance. Springer 2006] v kapitole 3.5.4 - Variance reduction. Podrobnejšie sa touto témou zaoberá kniha [P. Glassermann: Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer 2004] v kapitole 4 - Variance reduction techniques.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

  1. Náhodné procesy a ich simulácie
    1. Dvojrozmerný Brownov pohyb s nekorelovanými zložkami je proces (w1,w2), kde w1,w2 sú Wienerove procesy a pre ich prírastky na intervale [s,t] platí
      cor
      Vygenerujte trajektóriu takéhoto procesu a zobrazte ju (ako krivku v rovine).

      Ukážka výstupu:
      2d-WP

    2. Označme tM čas, v ktorom nadobudol Wienerov proces maximum na časovom intervale [0,1]:
      pr2a
      Spravte simulácie a zobrazte histogram náhodnej premennej tM.

    3. Definujme proces m(t)=max(w(s), sleqt), t. j. maximum Wienerovho procesu na intervale [0,t].
      cv-1-4
      Spravte simulácie a zobrazte histogram hodnôt tohto procesu v čase t=1.

  2. Geometrický Brownov pohyb a ceny akcie
    Pripomeňme si najskôr definíciu a základné vlastnosti lognormálneho rozdelenia:
    • Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak jej logaritmus ln(X) má normálne rozdelenie logN-1 .
    • Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
      logN-2
    • Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
      logN-3


    Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami mi = 0.30, sigma = 0.25 a že dnešná cena akcie je 150 USD.
    1. Nakreslite hustotu rozdelenia ceny akcie o mesiac. Ako kontrolu porovnajte s histogramom vygenerovaných hodnôt ceny akcie v tomto čase.
      1mesiac
    2. Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena akcie menšia ako 140 USD?
      1mesiac
    3. Nakreslite hustotu rozdelenia štvrťročného výnosu. Aká je stredná hodnota tohto výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?
      1mesiac

  3. Ceny akcie GOOG
    Predpokladajme, že ceny akcie GOOG sa riadia geometrickým Brownovym pohybom s takými parametrami, aké sme odhadli hore. Uvažujme ďalej poslednú hodnotu z dát (t. j. 593.97).
    1. Vypočítajte strednú hodnotu ročného výnosu. Aké má ročný výnos pravdepodobnostné rozdelenie? Nakreslite jeho hustotu.
    2. Aká je stredná hodnota ceny akcie počas nasledujúceho roka? Nakreslite jej graf.
    3. Stiahnite si ceny akcie v roku 2011 (hodnoty Adj. Close). Zobrazte ich priebeh a vypočítajte ročný výnos akcie. Porovnajte s odpoveďami na predchádzajúce dve otázky.

  4. Čo si myslíte, čo je na obrázku na obale tejto knihy?
    oksendal
    Vytvorte podobný obrázok.


Cvičenia z finančných derivátov, 2012
Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava


E-mail: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk
Web: http://pc2.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/

Valid HTML 4.01 Transitional Valid CSS!