:: Stochastické diferenciálne rovnice ::

• Nenáhodná funkcia môže byť zadaná ako riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice - máme daný vzťah medzi diferenciálom funkcie a diferenciálom času. Napr. dx(t)=x(t) dt, spolu so začiatočnou podmienkou x(0) určuje (deterministickú, t.j. nenáhodnú) funkciu x(t).
  
  
• Analógia pre náhodné funkcie - vzťah medzi diferenciálom funkcie, diferenciálom času a diferenciálom Wienerovho procesu dw. Takto dostávame stochastické diferenciálne rovnice. Ich riešením je náhodná funkcia. Napríklad:
  • dx=2dt+3dw, začiatočná podmienka x(0)=0 - toto je Brownov pohyb: x(t)=2t+3w(t)
  • dx=2dt+3dw, začiatočná podmienka x(0)=1 - posunutý Brownov pohyb, začína z jednotky: x(t)=1+2t+3w(t)
  • dx=10[1-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=0.5 - tiež sa dá zapísať explicitne, ale toto vyjadrenie je komplikovanejšie. Dobrú predstavu o priebehu takéhoto procesu však dostaneme pomocou simulácií jeho trajektórií.
  
  
• Pozrime sa teda na proces tvaru
  
  kde sú kladné konštanty. Takýto proces sa nazýva Ornstein-Uhlenbeckov proces.
  
  Najjednoduchším pôsobom, ako získať aproximáciu riešenia stochastickej diferenciálnej rovnice je nahradiť diferenciály diferenciami (analógia Eulerovej metódy pre obyčajné diferenciálne rovnice, pri stochastických diferenciálnych rovniciach sa nazýva Euler-Marujamova metóda):
  

  kappa=10; theta=1; sigma=0.25; % parametre procesu
  x0=0.5 % zaciatocna hodnota
  
  dt=0.001; % casovy krok
  n=1000;   % pocet krokov
  
  % Euler-Marujamova diskretizacia 
  x(1)=x0;
  for i=1:n
      dw=sqrt(dt)*randn;
      dx=kappa*(theta-x(i))*dt+sigma*dw;
      x(i+1)=x(i)+dx;
  end;
  
  t=0:dt:n*dt; % cas
  
  plot(t,x)
  

  Ukážka:
  
  
  
• Terminológia: Deterministická časť procesu (pri časovom diferenciáli dt) sa nazýva drift, stochastická časť (pri diferenciáli Wienerovho procesu dw) sa nazýva volatilita.

:: Cvičenia (1) ::

1. Zakreslite niekoľko realizácií Orstein-Uhlenbeckovho procesu so zvolenými parametrami.. Všímajte si, ako závisí typický priebeh procesu od parametrov.
   
   Priraďte nasledujúce hodnoty parametrov k ich trajektóriám:
   • = 20, = 1, = 1
   • = 3, = 1, = 1
   • = 20, = 3, = 5
   • = 20, = 3, = 1
   
   
   
2. Ornstein-Uhlenbeckov proces sa používa napríklad pri modelovaní úrokových mier. Vašíčkov model predpokladá, že okamžitá úroková miera (prakticky - pri analýze reálnych dát - úroková miera na krátky čas) sa riadi Ornstein-Uhlenbeckovym procesom.
   
   V článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212 autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je
   
   Špeciálnou voľbou niektorých parametrov dostávame konkrétne modely, jedným z nich je aj Vašíčkov model. Výsledky pre Nový Zéland (odhady parametrov pre mesačné dáta od apríla 1986 do apríla 1998 sú v nasledujúcej tabuľke:
   
   Zdroj: (Episcopos, 2000)
   
   
   • Proces je v inom tvare, ako sme definovali Ornstein-Uhlenbeckov proces. Vyjadrite ho pomocou parametrov , , . K akej hodnote sa dlhodobo približuje úroková miera?
   • Vygenerujte priebeh vývoja úrokovej miery na základe odhadnutých parametrov Vašíčkovho modelu. Zakreslite do jedného grafu niekoľko možných priebehov, štartujúcich z rovnakej začiatočnej hodnoty.

:: Itóova lema ::

Kijoši Itó (1915 - 2008), zakladateľ teórie stochastických diferenciálnych rovníc. Životopis na stránke Inamori Foundation Životopis na "The MacTutor History of Mathematics archive"

• Na predchádzajúcom cvičení sme mali predpis procesu (geometrický Brownov pohyb - cena akcie) x(t) zadaný explicitne v tvare x(t)=.... Na začiatku tohto cvičenia sma pracovali s iným zápisom - pomocou diferenciálov sme definovali Ornestein-Uhlenbeckov proces. Teraz si ukážeme ich vzájomný vzťah.
  
  
• Pre nenáhodnú funkciu vieme derivovaním napísať obyčajnú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa. Napr. pre x(t)=t² platí dx(t)=2 t dt. Naopak, pre zadanú obyčajnú diferenciálnu rovnicu vieme v niektorých prípadoch napísať explicitné riešenie.
  
  
• Ako derivovať náhodnú funkciu? Uvažujme funkciu , kde w je Wienerov proces a počítajme rozvoj:
  
  Tu si treba uvedomiť, že , a teda máme:
  
  To znamená, že
  
  
  
  
• Vo všeobecnosti dostávame takýmto postupom Itóovu lemu:
  
  Nech x je proces daný rovnicou
  
  a f(t,x) je hladká funkcia. Potom f vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
  
  
  
• Ukážky použitia Itóovej lemy pri oceňovaní derivátov:
  • Vývoj ceny akcie je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou pre S. Cena derivátu V závisí od času t a od ceny akcie S. Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,S). Táto rovnica sa využije pri odvodzovaní ceny derivátu.
  • Vývoj okamžitej úrokovej miery r je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou (napríklad Ornstein-Uhlenbeckov proces vo Vašičkovom modeli). Cena derivátu V závisí od času t a od okamžitej úrokovej miery r. Ďalej je postup analogický: Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,r). Táto rovnica sa využije pri odvodzovaní ceny derivátu.

:: Cvičenia (2) ::

1. Dopočítajte diferenciál d(B³) z výpočtu z obrázku, kde B je Wienerov proces.
   
   
   
2. Vypočítajte diferenciály nasledovných funkcií:
   • x₁(t)=ln y(t), kde dy(t)= 2y(t) dt + 3y(t) dw(t),
   • x₂(t)=-2exp(-10 t + 2 w(t)).
   
   
3. Stochastická diferenciálna rovnica pre cenu akcie
   • Na predchádzajúcom cvičení sme uvažovali vývoj pre cenu akcie v reálnej miere a v rizikovo neutrálnej miere Napíšte ich diferenciály.
   • Nech cena akcie je daná stochastickou diferenciálnou rovnicou . Vyjadrite ju v explicitnom tvare - t.j. vyriešte túto stochastickú diferenciálnu rovnicu.
   
   
4. Uvažujme proces
   
   Na obrázku je niekoľko realizácií tohto procesu.
   
   
   
   • Vygenerujte niekoľko trajektórií a zobrazte podobný obrázok.
   • Vypočítajte strednú hodnotu a disperziu procesu v čase t. V ktorom čase je disperzia maximálna?
   • Dokážte, že tento proces vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
     
   
   
5. Porovnanie priebehu procesu a Euler-Marujamovej diskretizácie
   Uvažujme proces z predchádzajúceho cvičenia
   
   a stochastickú diferenciálnu rovnicu
   
   ktorú spĺňa.
   
   Pomocou toho istého Wienerovho procesu vygenerujte trajektóriu tohto procesu a Euler-Marujamovej diskretizácie stochastickej difrenciálnej rovnice. Doplňte chýbajúce časti kódu podľa uvedenej osnovy:
   

   T=5;      % casovy interval [0,T]  
   dt=0.001; % casovy krok
   
   % vektor casov
   t=...
   
   % spolocny Wienerov proces w 
   ...
   w=...
   
   % x = proces 
   x=...
   
   % xD = diskretizacia SDR 
   xD(1)=..
   for ...
     xD(i+1)=...
   end;
   
   plot(t,x,t,xD);
   

   
   Ukážka pre časový krok dt=0.05:
   
   Ukážka pre časový krok dt=0.01 + zoom:
   

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Nech náhodný proces S(t) vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici a n je prirodzené číslo. Ukážte, že potom proces S(t)ⁿ je geometrický Brownov pohyb.
   
   
2. Uvažujme stochastickú diferenciálnu rovnicu
   
   • Ukážte, že funkcia
     
     je jej riešením.
   • Nájdite ďalšie riešenie tejto rovnice v prípade, že x(0)=0.
   
   
3. Ukážte, že proces kde je daná konštanta, vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici
   
   ktorá má byť splnená pre časy t vyhovujúce nerovnosti
   
   Kde ste pri dôkaze využili toto ohraničenie na čas t?
   
   Ukážka priebehu procesu a intervalu jeho existencie pre a=1/2:
   
   
   
4. Nájdite riešenie stochastickej diferenciálnej rovnice
   
   Návod: Je to špeciálny prípad geometrického Brownovho pohybu.
   
   
5. Použitím substitúcie
   
   nájdite riešenie stochastickej diferenciálnej rovnice
   

---

---