:: Numerické riešenie ::

• Použijeme tú istú transformáciu a implicitnú metódu pri diskretizácii ako v prípade európskych opcií.
• Navyše potrebujeme zaručiť, že cena derivátu neklesne pod payoff - to by bola arbitráž.
• Vieme:
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend leží nad payoffom.
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend vždy pretne payoff.
  • Cena európskeho putu (bez ohľadu na to, či akcia vypláca dividendy alebo nie) vždy pretne payoff
• Takže: Pre amerického callu na akciu bez dividend a ľubovoľného putu je iná ako cena príslušného európskeho derivátu.
• Cena derivátu sa hladko napojí na payoff.
• Fakt, že cena americkej opcie musí ležať nad payoffom znamená, že riešenie u rovnice vedenia tepla musí ležať leží nad transformovaným payoffom (t.j. payoffom opcie transformovaným rovnakým spôsobom ako rovnica).

:: Porovnanie numerického oceňovania európskej a americkej opcie ::

Európska opcia - postup riešenia rovnice pre u

• Vypočítame okrajové podmienky a dosadíme ich do matice riešenia.
• Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda
  • Začiatočná aproximácia: môžeme zobrať hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy
  • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua
  • Výpočet novej iterácie podľa SOR metódy - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.

Americká opcia - postup riešenia rovnice pre u

• Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => vypočítame max(okrajová podmienka, transformovaný payoff) a dosadíme do matice riešenia
• Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
  • Začiatočná aproximácia: hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy treba porovnať s transformovaným payoffom => zoberieme max(predchádzajúca časová vrstva, transformovaný payoff)
  • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua sa nedá použiť, lebo neriešime sústavu rovníc, použijeme vzdialenosť dvoch nasledujúcich iterácií
  • Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame i-tu zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff) a počítame ďalšiu zložku - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.

:: Cvičenie ::

Podľa uvedeného algoritmu naprogramujte numerické oceňovanie amerických call a put opcií.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Príklad, ktorý bude na druhej písomke, môžete si teda pripraviť odpoveď:
   Cena akcie S sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami =0.20, =0.40. Akcia nevypláca dividendy. Úroková miera je 10 percent. Vypočítajte cenu put opcie s expiráciou o pol roka a expiračnou cenou 10 USD pre nasledovné možnosti dnešnej ceny akcie: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 USD. Uveďte ich s presnosťou na 4 desatiné miesta.
   
   Tu sú výsledky pre opciu s expiráciou o tri mesiace (ostatné parametre sú rovnaké), môžu byť užitočné pri nastavovaní parametrov numerickej schémy a spôsobu určovania cien opcií, pri ktorých cena akcie nie je mrežovým bodom.
   
   Hodnotenie:
   • Z teoretickej časť písomky bude 10 bodov za numeriku.
   • 6 bodov sa bude daž získať za otázky týkajúce sa fungovanie schémy - čo a prečo robíme, konvergencia atď.
   • Získanie bodov za horeuvedený praktický výpočet (výsledky si dopredu pripravíte doma) je podmienený získaním aspoň 3 bodov z predchádzajúcej časti (teda za výsledky bez schopnosti dostatočne zdôvodniť, čo sa v preberanom algoritme robí, nie sú žiadne body). V učebnici, z ktorej je tento príklad prebraný, sú výsledky uvedené na 4 desatinné miesta. Pre každú opciu sa vypočíta vaša relatívna chyba a tieto chyby sa sčítajú. Hodnota 0 znamená 4 body, hodnota zodpovedajúca uvedeniu cien európskej opcie znamená 0 bodov, medzi tým je počet bodov lineárny.

---

---