:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

• Z priebehov cien akcií (ako aj iných finančných veličín - úrokových mier, výmenných kurzov, ...) vidíme, že ich priebeh sa nedá popísať deterministickou funkciou. Preto sa na ich modelovanie používajú náhodné procesy.
  
  
• Vľavo: trend (vývoj ceny počas piatich rokov), vpravo: fluktuácie (vývoj ceny počas niekoľkých hodín):
  
  
  Zdroj: http://finance.google.com

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

• Základným náhodným procesom, z ktorého sú ostatné odvodené, je Wienerov proces. Pripomeňme si jeho definíciu:
  
  Náhodný proces {W(t), t0} sa nazýva Wienerov proces, ak

  • prírastky W(t+) -  W(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a s disperziou ,
  • pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n sú prírastky W_ti+1 - W_ti nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa predchádzajúceho bodu,
  • W(0)=0,
  • trajektórie sú spojité.
  Ďalej bude w všade označovať Wienerov proces.
  
  
• Ako získame realizáciu Wienerovho procesu?
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .
  
  V Mathematice napríklad takto:
  

  (* budeme potrebovat nahodne cisla z normalneho rozdelenia *) 
  << Statistics`ContinuousDistributions`
  
  (* pre skratenie zapisu definujme : *) 
  randn[] := Random[NormalDistribution[0, 1]];
  
  (* SIMULACIA WIENEROVHO PROCESU *)
  
  dt = 0.001;    (* casovy krok *) 
  n = 1000;      (* pocet krokov *) 
  
  t = Table[i*dt, {i, 0, n}];    (* vektor casov *) 
  w = {0};                       (*   Wienerov proces startuje z nuly *) 
  
  For [i = 1, i <= n, i++,
    dw = Sqrt[dt]*randn[];
    w = AppendTo[w, w[[i]] + dw];
    ];
  
  ListPlot[Table[{t[[i]], w[[i]]}, {i, 1, n + 1}], 
    PlotJoined -> True, Frame -> True]
  

  
  Ukážka výstupu:
  
  
  
• Ak k násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  dostávame proces, ktorý sa nazýva Brownov pohyb.

  Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

:: Cvičenia (1) ::

1. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Wienerovho procesu.
   Ukážka výstupu:
   
   
   
2. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Brownovho pohybu so zvolenými parametrami. Do toho istého grafu zakreslite strednú hodnotu tohto procesu.
   Ukážka výstupu:
   
   
   
3. Priraďte procesy
   • x₁(t)=w(t)
   • x₂(t)=3*w(t)
   • x₃(t)=5+2*t+w(t)
   • x₄(t)=5+2*t+0.5*w(t)
   • x₅(t)=5-3*t+w(t)
   k ich realizáciám na grafe:
   
   
   

:: Geometrický Brownov pohyb ::

• Geometrický Brownov pohyb je proces definovaný vzťahom
  
  pričom x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.
  
  
• Ukážka trajektórií geometrického Brownovho pohybu:
  
  
  

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

• Cenu akcie S modelujeme geometrickým Brownovym pohybom:
  
  
  
• Na výpočet výnosov sa používa veličina
  
  pričom posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  
  
  
• Ak sa cena akcie S riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak pre výnosy dostávame
  
  teda výnosy sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením a uvedenými parametrami.
  
  
• Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov:
  • Zo súboru goog.txt načítame dáta do Matlabu. Ide o denné dáta cien akcie firmy Google v rokoch 2009 a 2010, na začiatku súboru sú najstaršie dáta.
    

    SetDirectory["/home/stehlikova/fd2012svf"];
    
    s = ReadList["goog.txt"];
    dt = 1/252;        (* denne data, cas sa v modeli pocita v rokoch *)
    

    Priebeh ceny je nasledovný:
    
    
    
  • Definujeme výnosy - napríklad takto:
    

    n = Length[s];
    v = {};
    For[i = 1, i <= n - 1, i++,
      v = AppendTo[v, Log[s[[i + 1]]/s[[i]]]];
    ];
    

    
    
  • Vieme, že tieto výnosy majú normálne rozdelenie. Ďalej vieme, že strednú hodnotu normálneho rozdelenia odhadujeme aritmetickým priemerom a disperziu výberovou disperziou. Vypočítame teda priemer a výberovú disperziu vektora v - budú to odhady veličín a
    

    miDelta = Mean[v];        (* odhad mi*dt *) 
    s2Delta = Variance[v];    (* odhad (sigma^2)*dt *) 
    

    
    
  • Nakoniec vypočítame odhady samotných parametrov a :

    mi = miDelta/dt            (* odhad parametra mi *) 
    sigma = Sqrt[s2Delta/dt]   (* odhad parametra sigma *)
    

    
    
  • Dostaneme:
    

:: Historické ceny akcií ::

• Ukážeme si, ako si stiahnuť historické ceny akcií zo stránky finance.yahoo.com.
  
  
• Zadáme firmu, ktorej akcie nás zaujímajú. Firmy majú svoje symboly, napr. AMZN - Amazon, ORCL - Oracle, ... Ak poznáme kód firmy, môžeme ho napísať. Inak začneme písať názov firmy a Yahoo nám ponúkne možnosti na výber.
  
  
  
• Dostaneme sa na stránku s informáciami o firme. V ľavom stĺpci klikneme na Historical Prices.
  
  
  
• Dostaneme tabuľku s dátami. Môžeme si vybrať, aké dáta chceme - z akého obdobia a s akou frekvenciou. Potom klikneme na Get prices.
  
  
  
• Dolu pod tabuľkou je link na stiahnutie dát v csv formáte.
  
  
  
• Stĺpec, ktorý potrebujeme, je Adj. Close (posledný). Pozor, dáta sú zoradené od najnovších po najstaršie.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Geometrický Brownov pohyb, lognormálne roydelenie a cena akcie. Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti lognormálneho rozdelenia:
   
   • Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak jej logaritmus ln(X) má normálne rozdelenie .
   • Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
     
   • Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
     
     
     
   
   Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami  = 0.30,  = 0.25 a že dnešná cena akcie je 150 USD.
   1. Nakreslite hustotu rozdelenia ceny akcie o mesiac. Ako kontrolu porovnajte s histogramom vygenerovaných hodnôt ceny akcie v tomto čase.
      
   2. Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena akcie menšia ako 140 USD?
      
   3. Nakreslite hustotu rozdelenia štvrťročného výnosu. Aká je stredná hodnota tohto výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?
      
   
   
2. Ceny akcie GOOG
   Predpokladajme, že ceny akcie GOOG sa riadia geometrickým Brownovym pohybom s takými parametrami, aké sme odhadli hore. Uvažujme ďalej poslednú hodnotu z dát (t. j. 593.97).
   1. Vypočítajte strednú hodnotu ročného výnosu. Aké má ročný výnos pravdepodobnostné rozdelenie? Nakreslite jeho hustotu.
   2. Aká je stredná hodnota ceny akcie počas nasledujúceho roka? Nakreslite jej graf.
   3. Stiahnite si ceny akcie v roku 2011 (hodnoty Adj. Close). Zobrazte ich priebeh a vypočítajte ročný výnos akcie. Porovnajte s odpoveďami na predchádzajúce dve otázky.
   
   
3. Odhady parametrov geometrického Brownovho pohybu
   Zvoľte si akciu a stiahnite si jej aktuálne ceny (posledný rok-dva). Odhadnte parametre geometrického Brownovho pohybu. Tieto hodnoty budú potrebné na cvičení neskôr počas semestra.
   
   
4. Čo si myslíte, čo je na obrázku na obale tejto knihy?
   
   
   Vytvorte podobný obrázok.

---

---