:: Európska call a put opcia ::

• Európska call opcia je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) kúpiť akciu v presne určenom expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
• Európska put opcia je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) predať akciu v presne určenom expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
  
  
• Payoff = hodnota v čase expirácie
• Payoff call opcie:
  • Ak aktuálna cena S akcie v čase expirácie prekročí hodnotu E, na ktorú bol uzavretý opčný kontrakt typu call, tak cena opčnej prémie (keby sa za ňu platilo v tomto čase) je zrejme rozdiel medzi aktuálnou cenou S a dohodnutou cenou E, t.j. S-E.
  • Na druhej strane, pokiaľ, aktuálna cena akcie neprekročí dohodnutú cenu E, tak opcia nemá žiadnu hodnotu, pretože ju vôbec neuplatníme.
  • To znamená, že ocenenie call opcie v čase expirácie je jednoduché: max(S-E,0)
• Analogicky dostaneme payoff put opcie: max(E-S,0)
  
  
• Definujeme v Mathematice funkcie, ktoré vrátia payoff call opcie

  CallPayoff[s_,e_]:=Max[0,s-e];

  a put opcie

  CallPayoff[s_,e_]:=Max[0,e-s];

• Teraz môžeme kresliť payoff diagram a profit diagram (payoff znížený o cenu stratégie - týmto vlastne predpokladáme, že úroková miera je nulová, ale vzhľadom na nízke úrokové miery a nie veľmi dlhý čas zostávajúci do expirácie to nespôsobuje veľký rozdiel).

  Príklad z prednášky:

  Plot[CallPayoff[s, 580] - 11.50, {s, 500, 650}, 
  Frame -> True, PlotRange -> All, 
  FrameLabel -> {"cena akcie v case expiracie", "profit"},
  RotateLabel -> False, PlotStyle -> {Thickness[0.02], RGBColor[0, 0, 1]}];
  

  Výsledok:
  
• Kedy je táto stratégia zisková? Z priebehu profit diagramu vzplýva, že je to vtedy, keď cena akcie v čase expirácie prekročí určitú hraničnú hodnotu. Aby sme ju našli, potrebujeme nájsť priesečník profit diagramu s x-ovou osou. Dá sa to spraviť ručne alebo v Mathematice:

  FindRoot[CallPayoff[s, 580] - 11.50 == 0, {s, 590}]
  

:: Cvičenia (1) ::

1. Predpokladajme, že kúpime jednu put opciu s expiračnou cenou 60 USD, ktorá stojí 7 USD.
   • Nakreslite payoff a profit diagram. Aké očakávanie o vývoji ceny akcie vyjadruje táto stratégia?
   • Pre aké ceny akcie v čase expirácie dosiahneme zisk?
   • Aký maximálny zisk môžeme dosiahnuť? Akú maximálnu stratu? Kedy sa dosahuje tento maximálny zisk, resp. maximálna strata?
   
   
2. Predpokladajme, že vlastníme jednu put opciu s expiračnou cenou 60 USD, ktorá stojí 7 USD a jednu call opciu s tou istou expiračnou cenou, ktorá stojí 5 USD.
   • Nakreslite payoff a profit diagram. Aké očakávanie o vývoji ceny akcie vyjadruje táto stratégia?
   • Pre aké ceny akcie v čase expirácie dosiahneme zisk?
   • Aký maximálny zisk môžeme dosiahnuť? Akú maximálnu stratu? Kedy sa dosahuje tento maximálny zisk, resp. maximálna strata?

:: Kombinované stratégie ::

Link: http://www.theoptionsguide.com/

Terminolóogia, ktorú budeme potrebovať:

• Hovoríme, že opcia je in-the-money, ak by jej okamžité uplatnenie prinieslo kladný payoff.
• Opcia je out-of-the-money, ak by jej okamžité uplatnenie prinieslo záporný payoff.
• opcia je at-the-money, ak sa dnešná cena cena akcie rovná expiračnej cene (t.j. okamžité uplatnenie opcie by prinieslo nulový payoff)

Opčné stratégie:

• Neutral (non-directional) strategies - používajú sa v prípade, že investor nevie, ktorým smerom sa cena akcie pohne. Líšia sa tým, či predpokladáme malú alebo veľkú zmenu ceny akcie (bez špecifikácie smeru tejto zmeny).
  • Ak očakávame malú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
    • Short straddle: http://www.theoptionsguide.com/short-straddle.aspx
    • Short strangle: http://www.theoptionsguide.com/short-strangle.aspx
    • Long call condor: http://www.theoptionsguide.com/condor.aspx
    • Long call butterfly: http://www.theoptionsguide.com/butterfly-spread.aspx
  • Ak očakávame veľkú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
    • Long straddle: http://www.theoptionsguide.com/long-straddle.aspx
    • Long strangle: http://www.theoptionsguide.com/long-strangle.aspx
    • Short call condor: http://www.theoptionsguide.com/short-condor.aspx
    • Short call butterfly: http://www.theoptionsguide.com/short-butterfly.aspx
• Bearish strategies (medvedie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie klesne. Príkladmi takýchto stratégií sú:
  • Bear call spread: http://www.theoptionsguide.com/bear-call-spread.aspx
  • Bear put spread: http://www.theoptionsguide.com/bear-put-spread.aspx
• Bullish strategies (býčie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie vzrastie. Príkladmi takýchto stratégií sú:
  • Bull call spread: http://www.theoptionsguide.com/bull-call-spread.aspx
  • Bull put spread: http://www.theoptionsguide.com/bull-put-spread.aspx

:: Reálne ceny opcií ::

• http://finance.yahoo.com
• Zadáme kód alebo ho vyhlľadáme firmu podľa názvu.
• Pre zvolemú firmu klikneme na Options (v ľavom stĺpci). Ukážka:
  
• Opciu môžeme kúpiť za ask, predať za bid.

:: Cvičenia (2) ::

1. Z každého typu stratégií si vyberte jednu a pomocou reálnych cien uvedených hore zostrojte jej payoff a profit diagram. Aké presvedčenie o budúcom vývoji akcie vyjadruje takáto stratégia? Pre aké ceny akcie v čase expirácie bude zisková?

Vývoj ceny akcie:

:: Ohraničenia na ceny opcií ::

• Označme c(S,,E), p(S,,E) cenu call, resp. put opcie s expiračnou cenou E, ak aktuálna cena akcie je S a do expirácie opcie zostáva čas .
• Ceny opcií musia vyhovovať určitým nerovnostiam, ktoré vyplývajú z neprípustnosti arbitráže. Myšlienka ich dôkazu je nasledovná: Uvažujme dve portfóliá (zložené z akcií, opcií a dlhopisov). Ak v čase expirácie opcií platí pre hodnoty týchto portfólií nerovnosť P₁ P₂, tak rovnaká nerovnosť pre hodnoty portfólií musí platiť aj vo všetkých predchádzajúcich časoch.
• Príklad z prednášky: Dokážte, že c(S,,E₁) c(S,,E₂) pre E₂ E₁
  
  Riešenie: Uvažujme dve portfóliá. V prvom budeme mať opciu s expiračnou cenou E₁, v druhom opciu s expiračnou cenou E₂. Nerovnosť hovorí, že ak do expirácie opcií zostáva čas , tak hodnota prvého portfólia je menšia alebo rovná hodnote druhého portfólia. Podľa horeuvedenej úvahy stačí túto nerovnosť dokázať v čase expirácie.
  
  V čase expirácie bude mať prvé portfólio hodnotu max(S-E₁,0), druhé portfólio bude mať hodnotu max(S-E₂,0).
  

  	0 S E2	E2 S E1	E1 S
  portfólio 1	0	0	S- E1
  portfólio 2	0	S- E2	S- E2
  porovnanie	0=0	0 S- E2	S- E1 S- E2

  Podľa predchádzajúcej úvahy nerovnosť platí pre ľubovoľné S.

:: Cvičenia (3) ::

1. Dokážte, že p(S,,E₁) p(S,,E₂) pre E₁ E₂ . Zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami - ako na prednáške).
   
   
2. Dokážte, že funkcia c(S,,E) je konvexnou funkciou expiračnej ceny E. Zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami).

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Dokážte, že funkcia p(S,,E) je konvexnou funkciou expiračnej ceny E. Zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami).
   
   
2. Dokážte, že S - E exp(-r ) c(S,,E) S, kde r je úroková miera. Zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami).
   
   
3. [Vzorová písomka FMFI, 2008]
   
   
   
   
4. [Písomka FMFI, 2009]
   
   
   
   

---

---