:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

• Z priebehov cien akcií (ako aj iných finančných veličín - úrokových mier, výmenných kurzov, ...) vidíme, že ich priebeh sa nedá popísať deterministickou funkciou. Preto sa na ich modelovanie používajú náhodné procesy.
  
  
• Vľavo: trend (vývoj ceny akcie počas piatich rokov), vpravo: fluktuácie (vývoj ceny akcie počas niekoľkých hodín):
  
  
  Zdroj: http://finance.google.com

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

Stiahnite si [cv2procesy.sci] - súbor pre Scilab s doluuvedenými príkazmi, do ktorého budeme dopisovať ďalšie.

• Základným náhodným procesom, z ktorého sú ostatné odvodené, je Wienerov proces. Pripomeňme si jeho definíciu:
  
  Náhodný proces {W(t), t0} sa nazýva Wienerov proces, ak

  • prírastky W(t+) -  W(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a s disperziou ,
  • pre každé delenie 0 = t₀  t₁  ...   t_n sú prírastky W_ti+1 - W_ti nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa predchádzajúceho bodu,
  • W(0)=0,
  • trajektórie sú spojité.
  Ďalej bude w všade označovať Wienerov proces.
  
  
• Ako získame realizáciu Wienerovho procesu?
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .
  
  V Scilabe si najskôr definujeme pomocné funcie:
  
  
  
  A teraz už môžeme nakresliť trajktóriu:
  
  

  Nakreslite do jedného obrázku niekoľko trajektórií Wienerovho procesu. Ukážka výstupu:

  
  
  
• Ak k násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  dostávame proces, ktorý sa nazýva Brownov pohyb.

  Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.
  
  V Scilabe napríklad:
  

  

  Nakreslite do jedného obrázku niekoľko trajektórií Brownovho pohybu, spolu s jeho strednou hodnotou. Ukážka výstupu:

  
  
  

:: Cvičenia (1) ::

1. Meňte parametre Brownovho pohynu a všímjte si, ako ovplyvňujú priebeh procesu. Potom priraďte procesy
   • x₁(t)=w(t)
   • x₂(t)=3*w(t)
   • x₃(t)=5+2*t+w(t)
   • x₄(t)=5+2*t+0.5*w(t)
   • x₅(t)=5-3*t+w(t)
   k ich realizáciám na grafe:
   
   
   

:: Geometrický Brownov pohyb ::

• Geometrický Brownov pohyb je proces definovaný vzťahom
  
  pričom x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.
  
  
• Pricíp generovania v Scilabe:
  
• Ukážka trajektórií geometrického Brownovho pohybu:
  
  Vytvorte podobný graf - s priebehmi realizácií a strednou hodnotou procesu.
  

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

• Cenu akcie S modelujeme geometrickým Brownovym pohybom:
  
  
  
• Na výpočet výnosov sa používa veličina
  
  pričom posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  
  
  
• Ak sa cena akcie S riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak pre výnosy dostávame
  
  teda výnosy sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením a uvedenými parametrami.
  
  

:: Cvičenia (2) ::

Pripomeňme si z prenášok z pravdepodobnosti definíciu a základné vlastnosti lognormálneho rozdelenia:

Stiahnite si [cv2akcie.sci] - súbor pre Scilab s postupom riešenia nasledujúcich úloh a niektorými užitočnými funkciami.

Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami  = 0.30,  = 0.25 a že dnešná cena akcie je 150 USD.

1. Nakreslite hustotu rozdelenia ceny akcie o mesiac. Ako kontrolu porovnajte s histogramom vygenerovaných hodnôt ceny akcie v tomto čase.
2. Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena akcie menšia ako 140 USD?
3. Aká je stredná hodnota štvrťročného výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?

:: Odhadovanie parametrov GBP z cien akcií ::

Stiahnite si [cv2data.sci] - súbor pre Scilab s doluuvedenými príkazmi a postupom.

Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov:

• Zo súboru goog.txt načítame dáta do Matlabu. Ide o denné dáta cien akcie firmy Google v rokoch 2009 a 2010, na začiatku súboru sú najstaršie dáta.
  
• Definujeme výnosy - vytvoríme vektor výnosov v podľa horeuvedeného vzťhu.
• Vieme, že tieto výnosy majú normálne rozdelenie. Ďalej vieme, že strednú hodnotu normálneho rozdelenia odhadujeme aritmetickým priemerom a disperziu výberovou disperziou. Vypočítame teda priemer a výberovú disperziu vektora v - budú to odhady veličín a
  
• Nakoniec vypočítame odhady samotných parametrov a :
  

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Uvažujme geometrický Brownov pohyb s parametrami, ktoré sme odhadli z dát. Vygenerujte niekoľko realizácií vývoja akcie počas nasledujúcich dvoch rokov a pravdepodobnostné rozdelenie ceny za začiatku roka 2012. Ako sa zmenia výsledky, ak použijete len druhú polovicu dát? Prečo?
   
   
2. Je 1. január 2013 a chceme odhadnúť cenu akcie GOOG o mesiac, t.j. na začiatku februára. Vyberte si obdobie, z ktorého budete kalibrovať parametre geometrického Brownovho pohybu a zobrazte hustotu rozdelenia tejto ceny. Vygenerujte niekoľko priebehov GBP štartujúcich z aktuálnej hodnoty ceny akcie a zakreslite ich do grafu spolu so strednou hodnotou. Porovnajte so skutočným vývojom ceny.
   
   
3. Čo si myslíte, čo je na obrázku na obale tejto knihy?
   
   
   Vytvorte podobný obrázok.

---

---