:: Numerické riešenie ::

• Potrebujeme zaručiť, že cena derivátu neklesne pod payoff - to by bola arbitráž.
• Vieme:
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend leží nad payoffom.
  • Cena európskeho callu na akciu bez dividend vždy pretne payoff.
  • Cena európskeho putu (bez ohľadu na to, či akcia vypláca dividendy alebo nie) vždy pretne payoff
• Takže: Pre amerického callu na akciu bez dividend a ľubovoľného putu je iná ako cena príslušného európskeho derivátu.


• Cena derivátu sa hladko napojí na payoff. - tvrdenie z prednášky, ktorého dôkaz si máte naštudovať v učebnici


• Postup riešenia pre call opciu - opakovanie zo slajdov z prednášky:
  • Formulácia v tvare úlohy s voľnou hranicou:
    
  • Transformácia na úlohu o lineárnej komplementarite (už na fixnej oblasti - pre všetky kladné ceny akcie):
    
  • Rovnaká postupnosť tranformácií ako v prípade európskej opcie (tam sme dostali rovnicu vedenia tepla):
    
  • Diskretizácia:
    
  • Numerická schéma na riešenie diskrétnej úlohy:
    

  :: Porovnanie numerického oceňovania európskej a americkej opcie ::

  Európska opcia - postup riešenia rovnice pre u
  • Vypočítame okrajové podmienky a dosadíme ich do matice riešenia.
  • Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
  • Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda
    • Začiatočná aproximácia: môžeme zobrať hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy
    • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua
    • Výpočet novej iterácie podľa SOR metódy - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.
  Americká opcia - postup riešenia rovnice pre u
  • Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => vypočítame max(okrajová podmienka, transformovaný payoff) a dosadíme do matice riešenia
  • Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
  • Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
    • Začiatočná aproximácia - chceme takú, ktorá bude blízko riešenia, aby sme nemusei robiť veľa iterácií: hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(predchádzajúca časová vrstva, transformovaný payoff)
    • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua sa nedá použiť, lebo neriešime sústavu rovníc, použijeme vzdialenosť dvoch nasledujúcich iterácií
    • Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame i-tu zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff) a počítame ďalšiu zložku - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.

  :: Cvičenie ::

  Podľa uvedeného algoritmu naprogramujte numerické oceňovanie amerických call opcií.

  :: Ďalšie príklady na precvičenie ::

  1. Ako sa algoritmus zmení, ak budeme oceňovať put opciu?
     
     
  2. Príklad, ktorý bude na tretej písomke, môžete si teda pripraviť odpoveď:
     Cena akcie S sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami =0.20, =0.40. Akcia nevypláca dividendy. Úroková miera je 10 percent. Vypočítajte cenu put opcie s expiráciou o pol roka a expiračnou cenou 10 USD pre nasledovné možnosti dnešnej ceny akcie: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 USD. Uveďte ich s presnosťou na 4 desatiné miesta.
     
     Tu sú výsledky pre opciu s expiráciou o tri mesiace (ostatné parametre sú rovnaké), môžu byť užitočné pri nastavovaní parametrov numerickej schémy a spôsobu určovania cien opcií, pri ktorých cena akcie nie je mrežovým bodom.
     
  
  

  ---

  Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava
  
  E-mail: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk
  Web: http://pc2.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/

  ---