Lelandov model (zahrnutie transakčných nákladov)
:: Lelandov model (zahrnutie transakčných nákladov) ::
- Lelandov model (Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985)
- Bid a ask cena akcie: Sbid, Sask - definujeme
- S=(Sbid + Sask)/2
- c=(Sask - Sbid)/S
- Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S
- Aké by malo byť c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre
akciu AMZN:
- PDR pre ceny derivátov:
- Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia,
akcií (podľa delta hedžingu) spojité obchodovanie.
- V prípade transakčných nákladov: 1 opcia,
akcií (podľa delta hedžingu), portfólio meníme v intervaloch dĺžky
, počet transakcií je
- Zmena hodnoty portfólia:
- Dostaneme PDR:
- Pre call a put opciu:
- Definujeme Lelandovo číslo
- Pre Lelandovo číslo z intervalu (0,1) dostávame cenu call,
resp. put opcie pomocou Black-Scholesovho vzorca s upravenou
volatilitou:
Dôkaz: dosadíme do rovnice, využujeme, že cena call a put opcie v Black-Scholesovom modeli je konvexná funkcia
premennej S.
:: Cvičenia (1) ::
- Napíšte funkciu, ktorá počíta hodnotu Lelandovho čísla (v závislosti
of volatility akcie, konštanty c, intervalu medzi dvoma zaisteniami
portfólia). Pre zvolené hodnoty parametrov overte podmienku, že Lelandovo číslo
je z intervalu (0,1).
-
Pre prípustné hodnoty parametrov vypočítajte hodnotu call a put opcie
za prítomnosti transakčných nákladov (parametre: cena akcie, expiračná
cena, volatilita, čas do expirácie, úroková miera, konštanta c, interval
medzi dvoma zaisteniami portfólia). Napíšte funkciu, ktorá bude pre zadané hodnoty počítať cenu call a put opcie v Lelandovom modeli.
- Zvoľte si parametre akcie a opcie, a úrokovú mieru - vstupy
potrebné do Lelandovho modelu. Ako závisí Lelnadovho čísla od času medzi dvoma zmenami portfólia. Aké časy sú
prípustné? Pre niekoľko z nich vypočítajte cenu opcie a porovnajte ju s
Black-Scholesovou cenou. Aký vplyv na cenu má zvolený čas medzi dvoma zmenami portfólia?
:: Modelovanie bid-ask spreadov pomocou Lelandovho modelu ::
:: Cvičenia (2) ::
-
Použite uvedený postup na odhad parametrov Lelandovho modelu pomocou niektorej z
nasledovných call opcií. Dáta sú z 8. 4. 2015.
:: Ďalšie príklady na precvičenie ::
- Implikované parametre v Lelandovom modeli pre put opcie. Postup je rovnký, len potrebujeme funkciu na výpočet implikovanej volatility pre put opcie v Black-Scholesovom modeli.
Zrealizujte tento výpočet pre nasledujúce dáta [písomka, 2014]
- [Vzorová písomka, 2009]
- [Písomka, 2009]
Išlo o nasledovné dáta:
- Uvažujme rozdiel bid a ask ceny opcie ako funkciu ceny akcie S.
(Ostatné parametre - volatilita akcie, parameter c charakterizujúci
transakčné náklady, úroková miera, expiračná cena a čas expirácie opcie -
sú konštantné).
- Znazornite graficky tento rozdiel pre zvolené hodnoty parametrov.
- Pre akú cenu akcie je tento rozdiel maximálny? Vypočítajte analyticky pre všeobecné hodnoty parametrov.