Modelovanie krátkodobej úrokovej miery

:: Jednofaktorový short rate model ::

:: Vašíčkov model :::

:: Pravdepodobnostné rozdelenie úrokových mier ::

::Cvičenia (1) ::

  1. Článok Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212, kde autor odhadoval modely úrokových mier. Všeobecný model, ktorým sa zaoberal, je CKLS model uvedený aj na prednáške.
    obr
    Zoberieme parametre pre Nový Zéland:
    obr

    • Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali vyjadrený ho pomocou parametrov kapa, theta, sigma. Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta a vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja pomocou presného podmieneného rozdelenia. Zakreslite do tohto grafu aj strednú hodnotu úrokovej miery.

    • Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka).

    • Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery? Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.

:: Metóda maximálnej vierohodnosti na odhadovanie parametrov ::

:: Cvičenia (2) ::

  1. Ako z týchto odhadov dostaneme odhady parametrov kapa, theta, sigma? Odvoďte príslušnú transformáciu. Odhadnite tieto parametre pre dáta [euro2014q1.txt] (európske úrokové miery v prvom kvartáli 2014).

:: Testovanie štatistických hypotéz o parametroch v CKLS modeli ::

  1. Podľa zadania v [pdf]

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

Pod predikciou všade rozumieme strednú hodnotu procesu, ktorého parametre sa rovnajú odhadnutým parametrom, pri známej dnešnej hodnote úrokovej miery.
  1. Uvažujme exponenciálny Vašíčkov model (známy aj ako model Blacka a Karasinského), v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako:
    obr
    • Nájdite odhady parametrov pre dáta [euro2014q1.txt] (návod: pre zlogaritmované dáta viete použiť postup pre odhadovanie parametrov klasického Vašíčkovho modelu)
    • Spravte predikcie pre nasledujúci štvrťrok a porovnajte ich s predikciami z Vašíčkovho modelu. Nakreslite priebeh oboch predikcií do jedného obrázku a porovnajte ich so skutočným vývojom úrokovej miery v druhom štvrťroku.

  2. Uvažujme Dothanov model, v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako:
    obr
    • Nájdite podmienené rozdelenie úrokovej miery (pri jej danej dnešnej hodnote).
    • Použite toto rozdelenie na konštrukciu funkcie vierohodnosti pre dáta [euro2014q1.txt]. Nakreslite jej priebeh pre vhodný rozsah premennej sigma a nájdite maximum.
    • Spravte predikcie pre nasledujúci štvrťrok a porovnajte ich s predikciami z predchádzajúcich dvoch modelov. Nakreslite priebeh oboch predikcií do jedného obrázku a porovnajte ich so skutočným vývojom úrokovej miery v druhom štvrťroku.

  3. Ktoré z modelov kalibrovaných v tomto cvičení (Vašíček, Black-Karasinski, Dothan) sa dajú použiť aj v súčasnej situácii záporných úrokových mier Euriboru?


Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava


E-mail: stehlikova@pc2.iam.fmph.uniba.sk
Web: http://pc2.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/