:: Prečo numerické riešenie ::

• Načo riešiť rovnicu numericky, keď máme jej explicitné rieenie?
• Explicitné riešenie máme pre európsku call a put opciu. Pre iné deriváty takýto vzorec nemusí existovať. (To je prípad napríklad amerických call a put opcií, ktorými sa ešte budeme zaoberať. A mnohých ďalších.) Riešenie sa však dá nájsť numericky.
• To, že použitie numerických schém vyskúšame najskôr v prípade, v ktorom máme k dispozícii explicitné riešenie, má tú výhodu, že môžeme overiť presnosť získaných numerických výsledkov.

:: Transformácia Black-Scholesovej rovnice ::

• Black-Scholesova rovnica
  
  - je to parabolická PDR, ktorá sa dá transformovať na rovnicu vedenia tepla so zadanou začiatočnou podmienkou.

• Transformácia premenných
  • Máme koncovú podmienku čase T (čas exspirácie opcie), nie začiatočnú. To vyriešime transformáciou
    
    To znamená, že novou premennou, namiesto času t, bude čas zostávajúci do exspirácie.
  • Premenná S (cena akcie) je kladná. Premennú, ktorá nadobúda všetky reálne hodnoty dostaneme zlogaritmovaním. Nová premenná teda bude
    
    Hodnoty x blízke nule zodpovedajú cenám akcie, ktoré sú blízke exspiračnej cene opcie. Záporné hodnoty x predstavujú ceny akcie, ktoré sú nižšie ako je exspiračná cena. Analogicky, kladné hodnoty x predstavujú ceny akcie, ktoré sú vyššie ako je exspiračná cena. Na transformáciu rovnice by stačila logaritmická transformácia, ale - ako uvidíme neskôr - táto bude výhodnejšia z numerického hľadiska.

• Transformácia na RVT
  • Rovnica, ktorú dostaneme týmito transformáciami, je parabolická rovnica, ale už s konštantnými koeficientami. Túto rovnicu vieme transformovať na rovnicu vedenia tepla transformáciou
    
    kde konštanty určíme tak, aby po tranformácii vznikla práve RVT. Tá správna voľba konštánt je
    
    Vedie k rovnici
    

• Transformácia koncovej podmienky:
  

• Vyriešením tejto RVT a spätnou transformáciou dostaneme explicitné Black-Scholesove vzorce, ktoré sme používali v predchádzajúcich cvičeniach. Teraz však chceme túto rovnicu riešiť numericky.

:: Diskretizácia ::

• Premenná x je z neohraničeného intervalu, nadobúda hodnoty od mínus nekonečna do plus nekonečna. Numericky budeme úlohu riešiť pre x z ohraničeného intervalu [-L, L], kde L bude dosť veľké číslo. Na obrázku je delenie intervalu premennej x, a zodpovedajúce delenie pre cenu akcie, ak je exspiračná cena 100 USD.
  
  Všimnime si, že tento interval [-L, L] nemusíme meniť pre opciu s inou exspiračnou cenou. O vhodné body S sa postará transformácia x = ln(S/E), ktorú sme použili namiesto jednoduchej logaritmickej transformácie x = ln(S).

  Kvôli tomu, že sme výpočet obmedzili na ohraničený interval, musíme k rovnici dodať okrajové podmienky v krajných bodoch. Krajné body zodpovedajú cenám akcie, ktoré sú veľmi malé, blízke nule (x=-L) a cenám, ktoré sú veľmi veľké a približujú sa k nekonečnu (x=L). Pre takéto limitné hodnoty použijeme aproximácie:

  

• Ďalej potrebujeme diskretrizovať RVT. Sú dve možnosti:
  

  Prvý prístup (explicitná schéma) vyzerá byť jednoduchší. Máme začiatočnú podmienku. Z nej vypočítame hodnoty v nasledujúcej časovej vrstve. Tieto použijeme na výpočet riešenia v ďalšej časovej vrstve, atď. Na konvergenciu metódy je však potrebné splnenie podmienky na vzťah časového a priestorového kroku. Táto podmienka môže prakticky viesť k nevyhnutnosti zvoliť veľmi malý časový krok - kvôli konvergencii metódy, nie kvôli tomu, že by sme riešenie potrebovali v mnohých tak blízkych časových okamihoch.

  V druhom prístupe (implicitná schéma) riešime na každej časovej vrstve sústavu lineárnych rovníc.

:: Implicitná schéma pre call opciu ::

• Zvolíme parametre opcie:

  E <- 50
  r <- 0.04
  D <- 0.12
  sigma <- 0.4
  

• Zvolíme parameter L, určujúci oblasť, na ktorej budeme riešenie počítať:

  L <- 2
  

  a parametre delenia:

  n <- 20
  h <- L/n
  T <- 1
  m <- 12
  k <- T/m
  

• Definujeme konštanty potrebné na transformáciu rovnice:

  alpha <- (r-D)/(sigma^2) - 0.5
  beta <- (r+D)/2 + (sigma^2)/8 + ((r-D)^2)/(2*sigma^2)
  

• Pre riešenie trasformovanej rovnice definujeme okrajové podmienky:

  phi <- function(tau) 0 
  psi <- function(tau) E*exp(alpha*L + beta*tau)*(exp(L - D*tau) - exp(-r*tau))
  

  a začiatočnú podmienku:

  u0 <- function(x) E*exp(alpha*x)*pmax(0, exp(x)-1)
  

  
  
• Vytvoríme maticu, do ktorej budeme vkladať riešenie:

  sol <- matrix(0, nrow=2*n + 1, ncol=m+1)
  

  a body delenia v čase a v priestore:

  x <- seq(from=-L, by=h, to=L)
  tau <- seq(from=0, by=k, to=T)
  

  
  Úloha pre vás: Vložte do matice okrajové podmienky a začiatocnú podmienku.
  
  
• Na výpočet každej časovej vrstvy budeme potrebovať vyriešiť sústavu lineárnych rovníc. Definujeme teraz premenné, ktoré obsahujú hodnoty vystupujúce v trojdiagonálnej matici tejto sústavy:

  a <-  -0.5*(sigma^2)*k/(h^2)
  b <-  1 - 2*a
  

  Pri výpočte prvej časovej vrstvy (teda hodnoty v čase k) máme nasledovnú pravú stranu:

  rhs <- sol[c(2:(2*n)),1]
  rhs[1] <- rhs[1] - a*phi(k)
  rhs[2*n-1] <- rhs[2*n-1] - a*psi(k)
  

  
  Na riešenie systému rovníc použijeme najskôr Gauss-Seidelovu metódu:

  Môžete použiť funkciu:

  gs <- function(a,b,rhs,v0,eps,N) {
    n.system <- length(v0)
    v <- v0
    for (iter in 1:N) {
      v[1] <- (rhs[1] - a*v[2])/b
      for (i in 2:(n.system-1)) v[i] <- (rhs[i] - a*(v[i-1] + v[i+1]))/b
      v[n.system] <- (rhs[n.system] - a*v[n.system - 1])/b
    }
    gs <- v
  }
  

  
  Úlohy pre vás:
  • Vypočítajte riešenie na prvej časovej vrstve a vložte ho do matice s riešením (ako začiatočnú aproximáciu riešenia môžete použiť hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy, zvoľte si kritérium na zastavenie iterácií).
  • Transformujte získané riešenie na riešenie Black-Scholesovej rovnice.
  • Naprogramujte cyklus, v ktorom sa vypočíta riešenie na každej časovej vrstve.
  • Porovnajte s presnými hodnotami z Black-Scholesovho vzorca.
  
  Ukážka výstupu:
  

:: SOR metóda ::

• Úpravou funkcie gs vytvorte funkciu sor, ktorá bude mať navyše parameter omega. Následne ju použite na výpočet ceny opcie. Jedinou zmenou v hlavnom kóde bude volanie funkcie sor namiesto funkcie gs.
• Návod pre prvú zložku, analogicky pre ostatné:

  vOld <-  v[1]
  vGS <- (rhs[1] - a*v[2])/b; 
  v[1] <- omega*vGS + (1-omega)*vOld
  

  
  
• Voľba parametra omega v SOR metóde:
  • Pre túto úlohu SOR konverguje pri ľubovoľnej omege z intervalu (0, 2).
  • Aby sme dosiahli čo najrýchlejšiu konvergenciu, iteračná matica by mala mať čo najmenší spektrálny polomer.
  • Závislosť spektrálneho polomeru od parametrov úlohy a delenia si môžete vyskúšať tu: [ui.R], [server.R]
  • Návod k odvodeniu spektrálneho polomeru iteračnej matice (použité v predchádzajúcom kóde, odvodenie je medzi zadaniami na poslednej strane slajdov o SOR metóde): http://www.cs.rpi.edu/~flaherje/ -> Partial Differential Equations -> Solution Techniques for Elliptic Problems

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Explicitná schéma. Naprogramujte explicitnú schému na oceňovanie opcií. Spomínaná podmienka (na zaručenie konvergencie) pre vzťah medzi priestorovým a časovým krokom je
   
   Nazýva sa CLF (Courant-Friedrichs-Lewy) podmienka. Ukážte príklad výpočtu, kedy táto podmienka je splnená a príklad výpočtu, keď splnená nie je.
   
   Ukážka výstupu:
   
   
   
2. Binomický strom. Ak v explicitnej schéme zvolíme
   
   dostaneme nasledovný predpis:
   
   To znamená, že na výpočet určitej hodnoty potrebujeme hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy v susedných bodoch priestorového delenia. Preto sa tento špeciálny prípad nazýva metódou binomického stromu.
   
   Naprogramujte túto metódu.

---

---