Simulácie náhodných vektorov II.

Čo už vieme simulovať

• Ak sú zložky vektora nezávislé náhodné premenné.
• Ak je dané rozdelenie \(X\) a podmienené rozdelenie \(Y\) pri danom \(X=x\)

Vtedy simulujeme postupne \(X\) a \(Y\)

Čo v prípade zadanej združenej hustoty

Majme združenú hustotu dvojrozmerného náhodného vektora \(f(x,y)\).

Prvá možnosť (najskôr \(X\), potom \(Y\)):

• Nájdeme rozdelenie \(X\): \[f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy\]
• Nájdeme rozdelenie \(Y\) pri danom \(X\): \[f_{Y|X=x}(y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}\]

Analogicky druhá možnosť (najskôr \(Y\), potom \(X\)):

• Nájdeme rozdelenie \(Y\): \[f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx\]
• Nájdeme rozdelenie \(X\) pri danom \(Y\): \[f_{X|Y=y}(x) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\]

Ako sa prejaví nezávislosť zložiek: bude platiť \(f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)\).

Príklad 1: zo slajdov

Príklad 2

Zadanie A:

Zadanie B: Počíta sa priemerný vek auta v dopravnej nehode z 10 nezávislých údajov. Nakoľko sa rozdelenie priemerného veku podobá na normálne rozdelenie? (Vieme, že pre veľký počet to na základe centrálnej limitnej vety platí. Je 10 už “veľký počet”?)

Zadanie C: Počet dopravných nehôd za daný časový interval má Poissonovo rozdelenie so strednou hodnotou 20. Aké je (simuláciami odhadnuté) pravdepodobnostné rozdelenie počtu nehôd, v ktorých malo auto vek vyšší ako 6 rokov (rozdelenie veku je nezávislé v jednotlivých prípadoch)?

Príklad 3

Zadanie A:

Zadanie B:

Generujte vyplatenú sumu. Použite ju na simulovanie priemernej vyplatenej sumy z \(n\) nezávislých prípadov a sledujte, ako sa približuje k normálnemu rozdeleniu.

Príklad 4

Zadanie A:

Zadanie B: Po ukončení prevádzky prístroja zoberieme ďalší (znovu s dvomi obvodmi, ktorý funguje na rovnakom princípe a nezávisle od nich). Potrebujeme mať zapnutý prístroj počas celej doby práce, ktorej trvanie má exponenciálne rozdelenie so strednou hodnotou 5. Aký je (simulačne odhadnuté) pravdepodobnostné rozdelenie počtu prístrojov, ktoré sa počas tohto času použijú?