Spojité pravdepodobnostné rozdelenia (2)

Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Generovanie náhodných čísel zo zadaného rozdelenia

Príklad 1 (Zdroj: Mark Joshi et al.: Quant Job Interview Questions and Answers) Čo dostaneme, ak budeme dosadzovať náhodné čísla z \(\mathcal{N}(0,1)\) do distribučnej funkcie tohto rozdelenia?

Teda: Aké rozdelenie má náhodná premenná \(F(X)\) kde \(F\) je distribučná premenná a \(X\) je náhodná premenná s \(\mathcal{N}(0,1)\) rozdelením?

Doplňujúca otázka: Čo sa zmení, ak namiesto \(\mathcal{N}(0,1)\) zoberieme iné rozdelenie?

Metóda inverznej trasformácie pre generovanie náhodných čísel zo zadaného rozdelenia

Pre spojitú ostro rastúcu distribučnú funkciu odvodíme postup:

• vygenerujeme náhodné číslo z rovnomerného rozdelenia na intervale \((0,1)\).
• dosadíme ho do \(F^{-1}\), teda do inverznej funkcie k distribučnej funkcii nášho rozdelenia
• výsledkom je náhodné číslo z rozdelenia daného distribučnou funkcou \(F\)

Ešte si ukážeme, čo robiť v prípade:

• ak distribučná funkcia nie je monotónna (t.j. na nejakom intervale je konštantná),
• ak je distribučná funkcia nespojitá (t.j. má v niektorých bodoch skok),

a teda neexistuje inverzná funkcia definovaná na (0,1).

Príklady

Príklady budeme riešiť simuláciami.

Príklad 2 Životnosť prístroja je náhodná premenná s hodnotami z intervalu \((0, 40)\), ktorej hustota je úmerná \((10+x)^{-2}\). Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že životnosť je menšia ako 6.

Možnosti zo SOA (SOA - Society of Actuaries) skúšky:

• 0.04
• 0.15
• 0.47
• 0.53
• 0.94

Príklad 3 Poisťovňa preplatí škody do výšky 10 (teda ak je škoda vyššia ako 10, vyplatí sumu 10). Výška škody je náhodná premenná s hustotou \(f(x)=2x^{-3}\) pre \(x>1\), inde je \(f(x)=0\). Vypočítajte strednú hodnotu vyplatenej sumy.

Možnosti zo SOA skúšky:

• 1.0
• 1.3
• 1.8
• 1.9
• 2.0