Opakovanie: parciálne derivácie. Riešenie PDR so zadanaou podmienkou zo všeobecného. Riešenie PDR v špeciálnom tvare, transformácia na ODR.
Príklad 1. Majme PDR pre funkciu \(u=u(x,y)\): \[y \frac{\partial f}{\partial x} - x \frac{\partial f}{\partial y}=0\]
Ukážte, že funkcia \(f(x,y) = \sin(x^2+y^2)\) je riešením.
Ukážte, že funkcia \(f(x,y) = g(x^2+y^2)\), kde \(g(\xi)\) je hladká funkcia \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) je riešením.
Čo je funkcia \(g\) z prvého bodu? Zvoľte niekoľko iných funkcií \(g\) a napíšte príslušné riešenia \(f(x,y)\).
Určte funkciu \(g\) tak, aby riešenie spĺňalo podmienku \(f(x,0)=x^3\) pre \(x>0\)
Nájdite také riešenie, aby spĺňalo podmienku \(f(x,0)=e^{-x^2}\) pre \(x \in \mathbb{R}\).
Príklad 2.
Ukážte, že funkcia \(z(x,y)=\frac{y^2}{3x} + \phi(xy)\) je riešením PDR \[x^2 \frac{\partial z}{\partial x} - xy \frac{\partial z}{\partial y}+y^2=0.\]
Určte funkciu \(\phi\) tak, aby riešenie spĺňalo podmienku \(z(x,-3x)=3x+\sin(1+x^2)\).
Určte funkciu \(\phi\) tak, aby riešenie spĺňalo podmienku \(z(x,-3x)=(x+1)^2 + x\).
Určte funkciu \(\phi\) tak, aby riešenie spĺňalo podmienku \(z(1,y)=(y+1)^2\).
Príklad 3. Hľadajme riešenie \(u(x,y)\) PDR \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\] v tvare \(u(x,y)=f(r)\), kde \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).
Ako vyzerajú vrstevnice funkcie \(u\)?
Akú rovnicu spĺňa funkcia \(f\)? (Je to funkcia jednej premennej, takže to bude ODR.)
Vyriešte túto rovnicu a napíšte príslušné riešenie \(u(x,y)\).
Domáca úloha. Rovnica s pravou stranou: \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=x^2+y^2,\] riešenie tiež v tvare \(u(x,y)=f(\sqrt{x^2+y^2})\).
Príklad 4. Nech \(n \geq 3\),nájdite riešenie \(u(x_1, \dots, x_n)\) rovnice
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \dots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0\] v tvare \(u(x_1, \dots, x_n)=f(r)\), kde \(r=\sqrt{x_1^2+ \dots + x_n^2}\).
Príklad 5. Zjednodušte výraz \(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z}\), ak funkcia \(u\) je daná predpisom \[u(x,y,z)=\frac{x^4}{12} - \frac{x^3(y+z)}{6} + \frac{x^2yz }{2}+ f(y-x,z-x).\]
Príklad 6.
Ukážte, že funkcia \(u(x,y) =x^2 f\left(\frac{y}{x^2}\right)\) spĺňa rovnicu \[x\frac{\partial u}{\partial x} + 2y \frac{\partial u}{\partial y} = 2z.\]
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,1)=x^4\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(2,y)=y^2\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,x)=(1+x)^2\).
Príklad 7.
Ukážte, že funkcia \(u(x,y,z) =x \phi \left(\frac{y}{x^2}, \frac{z}{x^2} \right)\) spĺňa rovnicu \[x\frac{\partial u}{\partial x} + 2y \frac{\partial u}{\partial y} + 2z \frac{\partial u}{\partial z} = u.\]
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(1,y,z)=y^2+z^2\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,1,z)=x^3z\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,x,z)=2x^2z\).
Príklad 8.
Ukážte, že funkcia \(u(x,y) = y \phi (x^2-y^2)\) spĺňa rovnicu \[y^2 \frac{\partial u}{\partial x} + xy \frac{\partial u}{\partial y} = xu.\]
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,2x)=2x^3\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(x,1)=x^4\).
Nájdite také riešenie, ktoré vyhovuje podmienke \(u(1,y)=y^4\).