Integrál systému ODR.
Hľadáme integrál systému ODR:
Príklad 1. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& 2 \nonumber \\ \dot{y} &=& 2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 2. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& -y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 3. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& xy \nonumber \\ \dot{y} &=& -2xy \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 4. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& -x \nonumber \\ \dot{y} &=& y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 5. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& y \nonumber \\ \dot{y} &=& -x \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 6. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& y^2 \nonumber \\ \dot{y} &=& x^2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 7. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& xe^x\nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 8. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 9. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& \sqrt{y} \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 10. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& 2 \nonumber \\ \dot{y} &=& 5e^x - y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 11. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& \cos(y) \nonumber \\ \dot{y} &=& \cos(x) \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 12. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& y \nonumber \\ \dot{y} &=& x\sqrt{1+y^2} \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 13. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x^2 \nonumber \\ \dot{y} &=& y^2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 14. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& xy(x+1) \nonumber \\ \dot{y} &=& x+2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 15. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x+2y \nonumber \\ \dot{y} &=& -y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 16. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x+y \nonumber \\ \dot{y} &=& x-y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 17. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x^2 - 3xy^2 \nonumber \\ \dot{y} &=& 3x^2-y^3 \nonumber \end{eqnarray}\]
Nájdite integrály systémov ODR (3 rovnice \(\rightarrow\) 2 integrály, vo všeobecnosti \(n\) rovníc \(\rightarrow\) \(n-1\) integrálov)
Príklad 1. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& 1 \nonumber \\ \dot{y} &=& 1 \nonumber \\ \dot{z} &=& 1 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 2. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& z \nonumber \\ \dot{y} &=& 1 \nonumber \\ \dot{z} &=& 1 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 3. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& y \nonumber \\ \dot{z} &=& 0 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 4. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& \cos(x) \nonumber \\ \dot{y} &=& \cos(y) \nonumber \\ \dot{z} &=& \cos(x) \cos(y) \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 5. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& z-y \nonumber \\ \dot{y} &=& x-z \nonumber \\ \dot{z} &=& y-x \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 6. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& z-3y \nonumber \\ \dot{y} &=& 3x+5z \nonumber \\ \dot{z} &=& -5y-x \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 7. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& (y+z)^2 \nonumber \\ \dot{y} &=& -x(y+2z) \nonumber \\ \dot{z} &=& xz \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 8. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& 2y \nonumber \\ \dot{z} &=& -z+3y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 9. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& y+2z^2 \nonumber \\ \dot{y} &=& -2x^2z \nonumber \\ \dot{z} &=& x^2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 10. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& z \nonumber \\ \dot{y} &=& xz \nonumber \\ \dot{z} &=& y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 11. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& xy \nonumber \\ \dot{y} &=& xz \nonumber \\ \dot{z} &=& yz \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 12. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& 1 \nonumber \\ \dot{y} &=& z-x^2 \nonumber \\ \dot{z} &=& 2x \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 13. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x-z \nonumber \\ \dot{y} &=& y-z \nonumber \\ \dot{z} &=& 2z \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 14. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& z \nonumber \\ \dot{z} &=& y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 15. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x+z \nonumber \\ \dot{y} &=& y+z \nonumber \\ \dot{z} &=& x+y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 16. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& y+z \nonumber \\ \dot{y} &=& z+x \nonumber \\ \dot{z} &=& x+y \nonumber \\ \dot{u} &=& u \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 17. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& u-x \nonumber \\ \dot{y} &=& u-y \nonumber \\ \dot{z} &=& -z \nonumber \\ \dot{u} &=& x+y \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 18. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& xz+y \nonumber \\ \dot{y} &=& x+yz \nonumber \\ \dot{z} &=& 1-z^2 \nonumber \end{eqnarray}\]
Príklad 19. \[\begin{eqnarray} \dot{x} &=& x \nonumber \\ \dot{y} &=& y \nonumber \\ \dot{z} &=& z+u \nonumber \\ \dot{u} &=& xy \nonumber \end{eqnarray}\]