Cvičenia z PDR (3)

Lineárne a kvázilineárne PDR 1. rádu

Lineárne homogénne PDR 1. rádu

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\) rovnice \[y \frac{\partial u}{ \partial x} -x \frac{\partial u}{\partial y} = 0. \]

Príklad 2. \[2\sqrt{x} \frac{\partial u}{ \partial x} - y \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y)=y^2\).

Príklad 3. \[x \frac{\partial u}{ \partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} - z \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,1,z)=xz^3\).

Príklad 4. \[x \frac{\partial u}{ \partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} +2z \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y,z)=yz\).

Kvázilineárne a lineárne nehomogénne PDR 1. rádu

Príklad 1. \[xy \frac{\partial u}{ \partial x} - x^2 \frac{\partial u}{\partial y} = yu\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y)=y^2\).
  
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,2x)=x^3\).

Príklad 2. \[y \frac{\partial u}{ \partial x} - x \frac{\partial u}{\partial y} = x-y\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,\sin x=-\sin x\).
  
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,-x)=e^{3x}\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,x)=(x-1)^2\).

Rôzne príklady

Príklad 1. \[(x+2y) \frac{\partial u}{ \partial x} - y \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y)=y+y^2\).

Príklad 2. \[x \frac{\partial u}{ \partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} +xy \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,y,0)=x^2+y^2\).

Príklad 3. \[y^2 \frac{\partial u}{ \partial x} +xy \frac{\partial u}{\partial y} = x\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(0,y)=y^2\).

Príklad 4. \[y \frac{\partial u}{ \partial x} +xz \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y,z)=y^2\).

Príklad 5. \[x \frac{\partial u}{ \partial x} - 3y \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,1)=1+x^6\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,x^2)=x\).
  
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(1,y)=\sin(y^2)\).

Príklad 6. \[x \frac{\partial z}{ \partial x} -2y \frac{\partial z}{\partial y} = x^2+y^2\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(z(x,y)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(z(x,1)=x^2\).

Príklad 7. Nájdite všeobecné riešenia.

• Rovnica pre funkciu \(z(x,y)\):
  \[x \frac{\partial z}{ \partial x} +z \frac{\partial z}{\partial y} = 0\]

• Rovnica pre funkciu \(u(x,y,z)\): \[x \frac{\partial u}{ \partial x} +z \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

Príklad 8. \[y^2 \frac{\partial u}{ \partial x} + xy \frac{\partial u}{\partial y} +x \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x,1,z)=x^4+z\).

Príklad 9. Na graf funkcie \(z(x,y)\) sa môžeme pozerať ako plochu v \(\mathbb{R}^3\). Nájdite teké riešenie rovnice \[yz \frac{\partial u}{ \partial x} + xz \frac{\partial u}{\partial y} =xy,\] aby táto ploch obsahovala krivku danú rovnosťami \[x=1,\,\, y^2+z^2=1\] (je to teda prienik roviny a plášťa kužeľa).

Príklad 10. \[x^2y \frac{\partial u}{ \partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} +yz^2 \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x,y,z)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u \left(x,y,\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}+ x^2+y^2\).

Príklad 11. \[ \frac{\partial u}{ \partial x_1} + \frac{\partial u}{ \partial x_2} + \dots + \frac{\partial u}{\partial x_n} = 0\]

• Nájdite všeobecné riešenie \(u(x_1, x_2, \dots, x_n)\).
• Nájdite také riešenie, ktoré spĺňa \(u(x_1, \dots, x_{n-1}, 1)=x_1 + \dots + x_{n-1}\).