Cvičenia z PDR (4)

Homogénna RVT na priamke: výpočet riešenia

Výpočet riešenia I.

Dosadíme do Greenovho vzorca a zintegrujeme:

Príklad 1. \(u_0(x)=e^{-x^2}\)

Výpočet riešenia II.

Niektoré integrály nemusíme počítať, lebo ich poznáme z pravdepodobnosti:

Príklad 2. \(u_0(x)=10\)

Príklad 3. \(u_0(x)=x\)

Príklad 4. \(u_0(x)=x^2\)

Lognormálne rozdelenie a jeho stredná hodnota: \[\mathbb{E}\left[e^{{N}(\mu, \sigma^2)}\right] = e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2}\] Príklad 5. \(u_0(x)=e^{x}\)

Príklad 6. \(u_0(x)=e^{-3x}\)

Výpočet riešenia III.

Odhadneme tvar riešenia:

Príklad 7. \(u_0(x)=e^{-3x}\) - riešenie nájdeme tak, že budeme predpokladať tvar riešenia \[u(x, t)= \alpha(t) e^{-3x}\] a hľadať funkciu \(\alpha(t)\)

Príklad 8. \(u_0(x)=2 \sin(4x)\) - odhadnite tvar riešenia

Príklad 9. Treba vedieť určiť, či je náš odhad tvaru riešenia správny. Uvažujme začiatočnú podmienku \[u_0(x)= \sin(3x) + \cos(4x).\]

• Ukážte, že riešenie nemá tvar \[u(x,t)= \alpha(t) \left( \sin(3x) + \cos(4x) \right).\]
• Odhadnite správny tvar riešenia a dopočítajte ho.

Využijeme goniometrické vzorce, v prípade potreby si ich odvodíme pomocou komplexných čísel.

Príklad 10. \(u_0(x)= 4 \sin(x) \cos(x)\)

Príklad 11. \(u_0(x)= \sin^3(x)\)

Výpočet riešenia IV.

Využitie derivácií (akú PDR spĺňa derivácia riešenia):

Príklad 12. \(u_0(x)= x^3\)