Homogénna RVT na priamke: ďalšie vlastnosti + dôkazy vlastností
I. Dôkazy pomocou derivácií.
Príklad 1. Nech \(u(x,t)\) je riešením rovnice \(u_t - a^2 u_{xx}=0\) pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=x^{123}\). Dokážte, že v každom čase \(t\) je funkcia \(u(x,t)\) rastúcou funkciou premennej \(x\).
Príklad 2. Nech \(u(x,t)\) je riešením rovnice \(u_t - a^2 u_{xx}=0\) pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=x^{234}\). Dokážte, že v každom čase \(t\) je funkcia \(u(x,t)\) konvexnou funkciou premennej \(x\).
II. Dôkazy pomocou Greenovho vzorca.
Príklad 3. Nech \(u(x,t)\) je riešením rovnice \(u_t - a^2 u_{xx}=0\) pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=|\sin(x)|\). Dokážte, že v každom čase \(t>0\) je:
Príklad 4. Nech \(u(x,t)\) je riešením rovnice \(u_t - a^2 u_{xx}=0\) pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=\max(0, 1-|x|)\).
I. Výpočet riešenia.
Príklad 1. Vypočítajte riešenie \(u(x,t)\) rovnice \[u_t - u_{xx} +2u_x + u=0\] pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=xe^x\).
Príklad 2. Vypočítajte riešenie \(u(x,t)\) rovnice \[u_t - u_{xx} =u\] pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=x^2\).
II. Výpočet integrálu z riešenia.
Príklad 3. Vypočítajte \(\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) dx\), kde \(u(x,t)\) je riešením rovnice \[u_t - u_{xx} +2u_x=0\] pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=e^{-|x|}\).
Príklad 4. Vypočítajte \(\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) dx\), kde \(u(x,t)\) je riešením rovnice \[u_t - u_{xx} +2u=0\] pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=e^{-|x|}\).
III. Odhadnutie tvaru riešenia.
Príklad 5. Vypočítajte riešenie \(u(x,t)\) rovnice \[u_t - u_{xx} +2u_x-u=0\] pre \(x \in \mathbb{R}, t>0\) so začiatočnou podmienkou \(u_0(x)=3e^{4x}\).