Cvičenia z PDR (6)

Nehomogénna RVT na priamke

Výpočet riešenia

Príklad 1. \(u_0(x)=e^{-2x}\), \(f(x,t)=e^{-2x}\)

Príklad 2. \(u_0(x)=e^{-2x}\), \(f(x,t)=e^{-t}x\)

Príklad 3. \(u_0(x)=e^{-2x}\), \(f(x,t)=tx^2\)

Výpočet integrálu z riešenia

Príklad 4. Nájdite hodnotu \(\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) dx\) pre RVT s \(u_0(x)=e^{-|x|}\), \(f(x,t)=t^2 \max(0,1-|x|)\)

Dokazovanie vlastností

Príklad 5. Nájdite príklad začiatočnej podmienky a pravej strany tak, aby hodnota \(\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) dx\) bola nemonotónnou funkciou času.

Príklad 6. Majme RVT s \(u_0(x)=x^4\), \(f(x,t)=t^3 x^6\). Dokážte, že riešenie \(u(x,t)\) je v každom čase \(t>0\) konvexnou funkciou premennej \(x\).