Charakteristická funkcia multinomického rozdelenia
Uvažujme náhodný vektor $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^T\sim Mult(N,\pi_1,\ldots,\pi_n)$. Charakteristická funkcia tohto vektora sa dá vypočítať (minimálne) dvomi spôsobmi.
1. Priamo
$
\begin{eqnarray}
\varphi_\mathbf{X}(t_1,\ldots,t_n)&=&E\left(\mathrm{e}^{it_1X_1+\ldots+it_nX_n}\right)=\\
&=&\sum_{x_1+\ldots+x_n=N}P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)\mathrm{e}^{it_1x_1+\ldots+it_nx_n}\\
&=& \sum_{x_1+\ldots+x_n=N}\frac{N!}{x_1!\ldots x_n!}\pi_1^{x_1}\ldots\pi_n^{x_n}\mathrm{e}^{it_1x_1}\ldots\mathrm{e}^{it_nx_n}=\\
&=& \sum_{x_1+\ldots+x_n=N}\frac{N!}{x_1!\ldots x_n!}\left(\mathrm{e}^{it_1}\pi_1\right)^{x_1}\ldots\left(\mathrm{e}^{it_n}\pi_n\right)^{x_n},
\end{eqnarray}
$
čo je podľa multinomickej vety rovné
$
\begin{equation}
\varphi_\mathbf{X}(t_1,\ldots,t_n)=\left(\mathrm{e}^{it_1}\pi_1+\ldots \mathrm{e}^{it_n}\pi_n\right)^N.
\end{equation}
$
2. Pomocou súčtu nezávislých náhodných vektorov
Využijeme, že ak $\mathbf{X}\sim Mult(N,\pi_1,\ldots,\pi_n)$ a $\mathbf{Y}\sim Mult(M,\pi_1,\ldots,\pi_n)$ a sú nezávislé, potom $\mathbf{X}+\mathbf{Y}\sim Mult(N+M,\pi_1,\ldots,\pi_n)$ - to sa dá vidieť z interpretácie multinomického rozdelenia. Multinomické rozdelenie totiž dostaneme tak, že $N$-krát nezávisle opakujeme nejaký pokus, ktorý môže dopadnúť $n$ rôznymi spôsobmi (s pravdepodobnosťami $\pi_1,\ldots,\pi_n$). Vo vektore $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ potom $X_i$ vyjadruje, koľkokrát pokus dopadol $i$-tym spôsobom (v príklade 1.3 bol "pokus" hádzanie loptičky do priehradky a loptička mohla skončiť v prvej, druhej,...,$n$-tej priehradke). Keď teda urobíme $\mathbf{X}+\mathbf{Y}$, je to akoby sme pokus nezávisle opakovali $N$-krát a následne ho ešte nezávisle opakovali $M$-krát, čo je to isté ake keby sme ho opakovali $N+M$-krát.
Náhodný vektor $\mathbf{X}$ vieme potom písať ako
$
\begin{equation}
\mathbf{X}=\sum_{i=1}^N \mathbf{Y}_i,
\end{equation}
$
kde $\mathbf{Y}_1\ldots\mathbf{Y}_N$ sú nezávislé s rozdelením $Mult(1,\pi_1,\ldots,\pi_n)$, a teda
$
\begin{equation}
\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=\varphi_{\sum_{i=1}^N\mathbf{Y}_i}(\mathbf{t})=\varphi_{\mathbf{Y}_1}(\mathbf{t})\ldots\varphi_{\mathbf{Y}_N}(\mathbf{t})=\left(\varphi_{\mathbf{Y}_1}(\mathbf{t})\right)^N,
\end{equation}
$
pretože $\mathbf{Y}_1,\ldots,\mathbf{Y}_N$ majú rovnaké rozdelenie, teda majú aj rovnakú charakteristickú funkciu. Stačí teda spočítať $\varphi_{\mathbf{Y}_1}$. Avšak $\mathbf{Y}_1$ môže nadobúdať iba hodnoty $e_j$ s pravdepodobnosťou $\pi_j$, $j=1,\ldots,n$ ($e_j$ je vektor, ktorý má na $j$-tom mieste jednotku a všade inde nuly). Z toho potom máme
$
\begin{equation}
\varphi_{\mathbf{Y}_1}(\mathbf{t})=E\left(\mathrm{e}^{i\mathbf{t}^T\mathbf{Y}_1}\right)=
\sum_{j=1}^n \mathrm{e}^{i\mathbf{t}^Te_j}P(\mathbf{Y}_1=e_j)=\sum_{j=1}^n\mathrm{e}^{it_j}\pi_j=\mathrm{e}^{it_1}\pi_1 + \ldots + \mathrm{e}^{it_n}\pi_n.
\end{equation}
$