Pri cvičení 3.4 sme využívali dve nasledovné tvrdenia:

Tvrdenie 1. Ak má spojitá náhodná premenná $X$ hustotu $f(x)$, potom má náhodná premenná $Y=X+k$ hustotu $g(y)=f(y-k)$ (t.j. hustota sa posunie o $k$ doprava pre kladné $k$, respektíve doľava pre záporné $k$).

Tvrdenie 2. Ak má náhodná premenná $Y$ rovnomerné rozdelenie na intervale $(0,1)$, potom má aj náhodná premenná $Z=1-Y$ rovnomerné rozdelenie na intervale $(0,1)$.

Dôkaz tvrdenia 1.
Označme $F(x)$ distribučnú funkciu náhodnej premennej $X$ a počítajme distribučnú funkciu $G(y)$ náhodnej premennej $Y$:

$G(y)=P(Y\lt y)=P(X+k\lt y)=P(X\lt y-k)=F(y-k)$ Po zderivovaní potom dostávame, že hustota $g(y)$ náhodnej premennej $Y$ je

$g(y)=(G(y))^\prime=(F(y-k))^\prime=F^\prime(y-k)\cdot(y-k)^\prime=f(y-k)$.

Dôkaz tvrdenia 2.
Náhodná premenná $Y$ má rovnomerné rozdelenie na intervale $(0,1)$, teda jej distribučná funkcia má tvar $G(y)= \begin{cases} 0 & y\le 0,\\ y & y\in(0,1),\\ 1 & y\ge 1. \end{cases} $ Počítajme teraz distribučnú funkciu $H(z)$ náhodnej premennej $Z$: $ H(z)=P(Z\lt z)=P(1-Y\lt z)=P(Y\gt 1-z)=1-G(1-z)= \begin{cases} 1-1=0 &\text{ pre } z\le 0,\\ 1-(1-z)=z &\text{ pre } z\in(0,1),\\ 1-0=1 &\text{ pre } z\ge 1. \end{cases} $ $Z=1-Y$ má teda rovnakú distribučnú funkciu ako $Y$, teda aj rozdelenie musí byť rovnaké.