Chapter 2

Riemannov určitý integrál

2. Riemannov určitý integrál

2.1 Definícia a základné vlastnosti

Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia. \underline{Delením intervalu [a, b]} nazývame každú konečnú neklesajúcu postupnosť D = {x_{0}, x_{1}, …, x_{n}} takú, že x_{0} = a , x_{n} = b. Čísla x_{0}, x_{1}, …, x_{n} sa nazývajú \underline{deliace body (delenia D)}, intervaly^{1} [x_{0}, x_{1}] , [x_{1}, x_{2}] , …, [x_{n−1}, x_{n}] \underline{čiastočné intervaly delenia D}. Číslo ν(D) := max_{i=1,...,n} Δx_{i}, kde Δx_{i} := x_{i} − x_{i−1} (i = 1, …, n) sa nazýva \underline{norma delenia D}. Číslo

U(f, D) := ∑_{i=1}^{n} M_{i}Δx_{i} ,

resp.

L(f, D) := ∑_{i=1}^{n} m_{i}Δx_{i} ,

kde M_{i} := sup_{x∈[x_{i−1},x_{i}]} f(x) , m_{i} := inf_{x∈[x_{i−1},x_{i}]} f(x) (i = 1, …, n) sa nazýva \underline{horný}, resp. \underline{dolný intergálny súčet funkcie f pri delení D} ^{2}.

Veta 1. Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia. Potom množina U všetkých horných integrálnych súčtov funkcie f a množina L všetkých jej dolných integrálnych súčtov sú ohraničené a platí supL ≤ inf U .

Číslo sup L, resp. inf U sa nazýva \underline{dolný}, resp. \underline{horný (Riemannov) integrál funkcie f (na intervale}

\underline{[a, b] )} a označuje sa \underline{∫{b \atop a}}f(x) dx, resp. \overline{∫{b \atop a}}f(x) dx.

Veta 2. Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia. Potom pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre každé delenie D intervalu [a, b] , ktorého norma ν(D) je menšia ako δ, platí

|U(f, D) − \overline{∫{b \atop a}}f(x) dx| < ε .

(Analogické tvrdenie platí pre dolný integrál funkcie f .)

Postupnosť \{D_{n}\}_{n=1}^{∞} delení intervalu [a, b] sa nazýva \underline{normálna}, ak lim_{n→∞} ν(D_{n}) = 0 ^{3}.

1symbol [α, β] definujeme v prípade α = β rovnosťou [α, β] := {α} a množinu {α} nazývame degenerovaný interval

2niekedy sa používa aj názov horný, resp. dolný Darbouxov súčet

3index n v označení D_{n} nesúvisí s počtom deliacich bodov delenia D_{n}

Dôsledok vety 2. Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia a {D_{n}}_{n=1}^{∞} je normálna postupnosť delení intervalu [a, b] . Potom

lim_{n→∞} U(f, D_{n}) = \overline{∫{b \atop a}}f(x) dx ,

lim_{n→∞} L(f, D_{n}) = \underline{∫{b \atop a}}f(x) dx .

Ohraničená funkcia f:[a, b]→R sa nazýva \underline{(riemannovsky) integrovateľná na intervale [a, b]} , ak

\underline{∫{b \atop a}}f(x) dx = \overline{∫{b \atop a}}f(x) dx .

Spoločná hodnota horného a dolného integrálu funkcie f na intervale [a, b] sa v takom prípade označuje

∫_{a}^{b} f(x) dx a nazýva sa \underline{určitý (Riemannov) integrál funkcie f (na intervale [a, b] )}. Čísla a , b v symbole

∫_{a}^{b} f(x) dx sa nazývajú \underline{hranice integrovania}. Skutočnosť, že funkcia f je riemannovsky integrovateľná na intervale [a, b] , zapisujeme f ∈ R[a, b] .

Veta 3. Pre ohraničenú funkciu f:[a, b]→R sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

a) f ∈ R[a, b] ;

b) pre každé ε > 0 existuje delenie D_{ε} intervalu [a, b] také, že platí

|U(f, D_{ε}) − L(f, D_{ε})| < ε .

59. Nech {D_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť delení intervalu [a, b] , nech lim_{n→∞} d_{n} = ∞, kde d_{n} je počet deliacich bodov delenia D_{n}. Vyplýva z toho, že {D_{n}}_{n=1}^{∞} je normálna postupnosť delení?

60. Nájdite horný a dolný integrál funkcie f na intervale I, ak

1. f(x) = x , I = [0, 3] ; 2. f(x) = a^{x} , I = [0, 1] ;

3. f(x) = sin x , I = [0, \frac{π}{2} ] ;

4. f(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ∈ Q \\ −x , ak & x ∉ Q \end{matrix} , I = [−2, −1] .

Ktoré z týchto funkcií sú integrovateľné?

61. Nech α, β ∈ R , α ≤ β . Zostrojte funkciu f : [0, 1] → R tak, aby \underline{∫{1 \atop 0}}f(x) dx = α ,

\overline{∫{1 \atop 0}}f(x) dx = β.

Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia a D = {x_{0} , x_{1}, …, x_{n}} je delenie intervalu [a, b] . \underline{Integrálnym súčtom^{4} funkcie f (pri delení D)} sa nazýva každý súčet tvaru

∑_{i=1}^{n} f(ξ_{i})Δx_{i} ,

kde ξ_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}] , i = 1, …, n.

Nech {D_{n}}_{n=1}^{∞} je normálna postupnosť delení intervalu [a, b] , nech S_{n} je integrálny súčet funkcie f pri delení D_{n}. Potom sa postupnosť \{S_{n}\}_{n=1}^{∞} nazýva \underline{normálna postupnosť integrálnych súčtov funkcie f .}

4niekedy sa používa názov Riemannov súčet

Hovoríme, že \underline{číslo A je limita množiny \{S(f, D)\} integrálnych súčtov funkcie f pre normu delenia} \underline{ν(D) idúcu k nule} (a zapisujeme lim_{ν(D)→0} S(f, D) = A), ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že platí: ak

S je integrálny súčet funkcie f pri delení D a ν(D) < δ, tak |A − S| < ε.

Veta 4. Pre ohraničenú funkciu f:[a, b]→R sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

a) f ∈ R[a, b] a ∫_{a}^{b} f(x) dx = A;

b) lim_{ν(D)→0} S(f, D) = A;

c) každá normálna postupnosť integrálnych súčtov funkcie f konverguje k číslu A.

Poznámka. Často sa pojem riemannovskej integrovateľnosti a Riemannovho integrálu definuje pomocou vlastnosti b), resp. c)^{5} z vety 4, teda bez použitia horného a dolného integrálu. Hoci integrálne súčty možno (na rozdiel od horných a dolných integrálnych súčtov) zaviesť pre ľubovoľnú funkciu f:[a, b]→R (teda aj pre neohraničené funkcie), stačí sa aj v prípade definície založenej na pojme limity integrálnych súčtov obmedziť na ohraničené funkcie, pretože platí tvrdenie: Ak každá normálna postupnosť integrálnych súčtov funkcie f:[a, b]→R má konečnú limitu, tak f je ohraničená funkcia.

Hovoríme, že \underline{množina M ⊂ R má Jordanovu mieru nula}, ak pre každé ε > 0 existuje konečný počet otvorených^{6} ohraničených intervalov (a_{1}, b_{1}), …, (a_{n}, b_{n}) ^{7} tak, že M ⊂ ⋃_{i=1}^{n}(a_{i}, b_{i}) a ∑_{i=1}^{n}(b_{i} − a_{i}) < ε.

Veta 5. Nech ohraničená funkcia f:[a, b]→R spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:

a) f je spojitá;

b) množina bodov nespojitosti funkcie f má Jordanovu mieru nula;

c) f je monotónna. Potom f ∈ R[a, b] .

Veta 6. Nech f, g : [a, b] → R sú ohraničené funkcie, množina M ⊂ [a, b] má Jordanovu miernu nula a platí

∀ x ∈ [a, b] \ M : f(x) = g(x) .

Potom nastane práve jedna z nasledujúcich možností:

a) f aj g sú riemannovsky integrovateľné na [a, b] a ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{a}^{b} g(x) dx;

b) f ani g nie sú riemannovsky integrovateľné na [a, b] .

Poznámky. 1. Z vety 6 vyplýva, že hodnota ∫_{a}^{b} f(x) dx sa nezmení, ak predpis integrovateľnej funkcie f zmeníme na množine s Jordanovou mierou nula (špeciálne: v konečnom počte bodov) tak, aby takto získaná funkcia bola opa̋ť ohraničená na [a, b] .

2. Na základe vety 6 možno zovšeobecniť pojem riemannovsky integrovateľnej funkcie:

Nech množina M ⊂ [a, b] má Jordanovu mieru nula (špeciálne: nech M je konečná množina), nech f je ohraničená funkcia definovaná na [a, b] \ M . Hovoríme, že f je riemannovsky integrovateľná na [a, b] , ak existuje riemannovsky integrovateľná funkcia \overline{f}:[a, b]→R taká, že platí

∀ x ∈ [a, b] \ M : \overline{f}(x) = f(x) .

Symbol ∫_{a}^{b} f(x) dx potom definujeme nasledovne:

∫_{a}^{b} f(x) dx := ∫_{a}^{b} \overline{f}(x) dx .

(Voľne povedané: Funkciu f dodefinujeme v bodoch množiny M tak, aby sme dostali ohraničenú funkciu \overline{f} : [a, b] → R , potom vyšetríme riemannovskú integrovateľnosť funkcie \overline{f} . Z vety 6 pritom vyplýva, že integrovateľnosť funkcie f , resp. hodnota ∫_{a}^{b} f(x) dx nezávisí od toho, ako funkciu f dodefinujeme.)

5zrejme c) je obdoba Heineho definície limity pre prípad limity integrálnych súčtov

6ekvivalentné definície tohto pojmu dostaneme, ak v uvedenej definícii nahradíme otvorené ohraničené intervaly uzavretými intervalmi alebo polouzavretými ohraničenými intervalmi (porovnaj s [24, str. 47, definícia 1])

7číslo n závisí na čísle ε, tj. n = n(ε)

62. Zistite, či je funkcia f riemannovsky integrovateľná na intervale I, ak

1. f(x) = \{ \begin{matrix}x sin \frac{1}{x} , ak & x ≠ 0 \\ 0 , ak & x = 0 \end{matrix} , I = [−1, 1] ;

2. f(x) = \{ \begin{matrix}2^{−n} , ak & x ∈ (2^{−n−1}, 2^{−n}] , n = 0, 1, … \\ 0 ,  ak & x = 0 \end{matrix} ,  I = [0, 1] ;

3. f(x) = \frac{1}{[1/x]} , I = [0, 1] ;

4. f(x) = sgn (sin \frac{π}{x} ) , I = [0, 2] ;

5. f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} − [\frac{1}{x}] , ak & x ≠ 0 \\ 0 , ak & x = 0 \end{matrix} , I = [0, 1] ;

6. f je Dirichletova funkcia χ, I je ľubovoľný ohraničený interval ;

7. f(x) = \{ \begin{matrix}0 , ak & x ∈ R \ Q \\ q , ak & x = p/q , kde p ∈ Z , q ∈ N sú nesúdeliteľné \end{matrix} , I = [−1, 1] .

63. Nech postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} prvkov intervalu [a, b] konverguje k bodu x_{0} . Nech f:[a, b]→R je ohraničená funkcia a f(x) = 0 pre všetky x ∈ [a, b] \ {x_{n}; n ∈ N}. Potom f ∈ R[a, b] . Dokážte!

64. Dokážte, že Riemannova funkcia

r(x) = \{ \begin{matrix}0 , ak & x ∈ R \ Q \\ 1/q , ak & x = p/q , kde p ∈ Z , q ∈ N sú nesúdeliteľné \end{matrix}

je riemannovsky integrovateľná na každom uzavretom ohraničenom intervale I. (Všimnite si, že množina Q ∩ I bodov nespojitosti funkcie r|I nemá Jordanovu mieru nula.)

65. Nájdite nasledujúce určité Riemannove integrály ako limitu niektorej normálnej postupnosti integrálnych súčtov:

1. ∫_{−1}^{2} x^{2} dx ;

2. ∫_{a}^{b} \frac{dx}{x^{2}} , 0 < a < b (návod: položte ξ_{i} = \sqrt{x_{i−1}x_{1}} , i = 1, …, n) .

66. Nájdite δ > 0 tak, aby z nerovnosti max_{k=1,...,n} Δx_{k} < δ vyplývala nerovnosť

|∫_{0}^{3} sin 50x dx − ∑_{k=1}^{n}(sin 50ξ_{k}) Δx_{k}| < 0.001 ,

kde 0 = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = 3 a ξ_{k} je ľubovoľne zvolený bod z intervalu [x_{k−1}, x_{k}] , k = 1, …, n.

67. 1. Nech f:[0, 1]→R je spojitá funkcia. Potom

lim_{n→∞} \frac{1}{n} (f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ⋯ + f (\frac{n}{n})) = ∫_{0}^{1} f(x) dx .

Dokážte!

2_{0}. Nech f:[0, 1]→R je spojitá kladná funkcia. Potom

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{f (\frac{1}{n}) f (\frac{2}{n}) ⋯ f (\frac{n}{n})} = e∫_{0}^{1} ln f(x) dx .

Dokážte!

68. Zostrojte funkciu, ktorá nie je riemannovsky integrovateľná na uzavretom ohraničenom intervale [a, b] , ale pre každú normálnu postupnosť {D_{n}}_{n=1}^{∞} delení intervalu [a, b] existuje postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} integrálnych súčtov funkcie f taká, že S_{n} je integrálny súčet pri delení D_{n} a lim_{n→∞} S_{n} = 0 .

69. Nech delenie D_{n} intervalu [0, 1] je dané deliacimi bodmi x_{0} = 0, x_{1} = 1/2^{n}, x_{2} = 1/2^{n−1}, x_{3} = 1/2^{n−2}, …, x_{n−1} = 1/2^{2}, x_{n} = 1/2, x_{n+1} = 1 ; nech S_{n}^{(1)} ( S_{n}^{(2)} ) je integrálny súčet funkcie f(x) = x pri delení D_{n}, ktorý dostaneme, ak za ξ_{k} zvolíme ľavý (pravý) koncový bod intervalu [x_{k−1}, x_{k}] , k = 1, …, n + 1 . Hoci f ∈ R[0, 1] (prečo?), je lim_{n→∞} S_{n}^{(1)} ≠ lim_{n→∞} S_{n}^{(2)} . Je to v rozpore s vlastnosťou c) z vety 4?

70. Nech f : [a, b] → R je ohraničená funkcia a množina N := {x ∈ [a, b] ; f(x) = 0} je hustá v [a, b] (tj. každý bod množiny [a, b] je hromadným bodom množiny N ). Potom buď f ∉ R[a, b] alebo ∫_{a}^{b} f(x) dx = 0 . Dokážte! Na príkladoch ukážte, že obidva prípady môžu nastať!

71. Zostrojte funkciu f:R→R , ktorá je spojitá v bode a, ale nie je riemannovsky integrovateľná na žiadnom uzavretom ohraničenom intervale obsahujúcom bod a!

Veta 7 (aditívna vlastnosť určitého integrálu). Nech f:[a, b]→R je ohraničená funkcia, nech a < c < b. Potom f ∈ R[a, b] práve vtedy, keď f ∈ R[a, c] a súčasne f ∈ R[c, b] .

Naviac, ak f ∈ R[a, b] , tak

∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{a}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{b} f(x) dx .

Veta 8. Nech f_{1}, …, f_{n} ∈ R[a, b] , nech c_{1}, …, c_{n} ∈ R . Potom je na intervale [a, b] riemannovsky integrovateľná aj funkcia c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{n}f_{n} a platí

∫_{a}^{b}(c_{1}f_{1}(x) + ⋯ + c_{n}f_{n}(x)) dx = c_{1} ∫_{a}^{b} f_{1}(x) dx + ⋯ + c_{n} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx .

Veta 9. Nech f ∈ R[a, b] , nech f([a, b]) ⊂ [m, M] a nech funkcia φ je spojitá na intervale [m, M] . Potom φ ∘ f ∈ R[a, b] .

Dôsledok. Nech f, g ∈ R[a, b] . Potom fg ∈ R[a, b] , |f| ∈ R[a, b] . Ak naviac inf_{x∈[a,b]} g(x) > 0 alebo sup_{x∈[a,b]} g(x) < 0 , tak aj f/g ∈ R[a, b] .

Veta 10. Nech f, g ∈ R[a, b] a f(x) ≤ g(x) pre všetky x ∈ [a, b] . Potom

∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} g(x) dx .

Špeciálne:

a) ak m ≤ f(x) ≤ M pre všetky x ∈ [a, b] , tak

m(b − a) ≤ ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ M(b − a) ;

b)

|∫_{a}^{b} f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x)| dx .

72. Môže byť súčin (súčet) integrovateľnej a ohraničenej neintegrovateľnej funkcie integrovateľný?

73. Ak f, g ∈ R[a, b] , tak aj max{f, g} ∈ R[a, b] , min{f, g} ∈ R[a, b] . Dokážte!

74. Nech f ∈ R[a, b] . Vyplýva z nerovnosti ∫_{a}^{b} f(x) dx ≥ 0 nerovnosť f(x) ≥ 0 , x ∈ [a, b] ?

75. Nech f:[a, b]→R je spojitá funkcia a ∫_{a}^{b} f(x) dx > 0 . Potom existuje interval [α, β] ⊂ [a, b] taký, že f(x) > 0 pre všetky x ∈ [α, β] . Dokážte!

76. 1. Nech f : [a, b] → R je spojitá nezáporná funkcia a f(x_{0}) > 0 pre niektoré x_{0} ∈ [a, b] . Potom ∫_{a}^{b} f(x) dx > 0 . Dokážte!

2_{0}. Nech f, g : [a, b]→R sú spojité funkcie, f(x) ≥ g(x) pre všetky x ∈ [a, b] a f(x_{0}) > g(x_{0}) pre niektoré x_{0} ∈ [a, b] . Potom ∫_{a}^{b} f(x) dx > ∫_{a}^{b} g(x) dx. Dokážte!

77. Dokážte nerovnosti:

1. 0 < ∫_{0}^{π} \frac{sin x}{\sqrt[5]{x^{2} + 2}} dx < \frac{π}{\sqrt[5]{2}} ; 2_{0}. \frac{1}{\sqrt[3]{9}} < \frac{1}{π} ∫_{−1}^{1} \frac{π + arcsin x}{\sqrt[3]{x^{2} + 8}} dx < \frac{3}{2} .

78. Zistite, ktorý z určitých integrálov je va̋čší:

1. ∫_{0}^{1} e^{−x} sin x dx  alebo  ∫_{0}^{1} e^{−x^{2}} sin x dx ;
2. ∫_{0}^{π/2} \frac{sin x}{x} dx  alebo  ∫_{0}^{π} \frac{sin x}{x} dx .

79. Nech f : [a, b] → R je spojitá funkcia a nech |∫_{a}^{b} f(x) dx| = ∫_{a}^{b} |f(x)| dx. Potom f nemení na [a, b] znamienko. Dokážte!

80. Uveďte príklad riemannovsky integrovateľných funkcií f, g, ktorých superpozícia f ∘ g je ohraničená, ale nie je riemannovsky integrovateľná.

2.2 Výpočet určitého integrálu pomocou neurčitého

Veta 11 (Newtonov–Leibnizov vzorec). Nech funkcia f je riemannovsky integrovateľná na intervale [a, b] a má na intervale (a, b) primitívnu funkciu F, pričom existujú konečné limity lim_{x→a+} F (x) a lim_{x→b−} F (x) . Potom

∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{x→b−} F (x) − lim_{x→a+} F (x) .

Špeciálne: ak f ∈ R[a, b] a F je primitívna funkcia k funkcii f na [a, b] , tak

∫_{a}^{b} f(x) dx = F (b) − F (a) .

Číslo lim_{x→b−} F (x) − lim_{x→a+} F (x) budeme označovať symbolom [F (x)]_{a}^{b}.

81. Vypočítajte nasledujúce určité integrály:

1. ∫_{−1}^{8} ^{3} \sqrt{x} dx ; 2. ∫_{−1/2}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} ;

3. ∫_{1/\sqrt{3}}^{√\overline{3}} \frac{dx}{1 + x^{2}} ; 4. ∫_{sh 1}^{sh 2} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} ;

5. ∫_{0}^{2} |1 − x| dx ; 6. ∫_{−1}^{1} \frac{4}{3}\sqrt{x^{2/3}} dx ;

7. ∫_{a}^{b} sgn x dx ; 8. ∫_{0}^{100π} \sqrt{1 − cos 2x} dx ;

9. ∫_{1}^{n+1} ln[x] dx ; 10. ∫_{−π}^{π} sin mx sin nx dx , m, n ∈ Z ;

11. ∫_{0}^{π} \frac{dx}{3 + 2 cos x} ; 12. ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{a^{2} sin^{2} x + b^{2} cos^{2} x} , a, b > 0 .

Riešenie. 5. Funkcia |1 − x| je spojitá, a teda riemannovsky integrovateľná na intervale [0, 2] . Pri výpočte využijeme (aby sme sa ,,zbavili absolútnej hodnoty“) aditívnu vlastnosť integrálu:

∫_{0}^{2} |1 − x| dx = ∫_{0}^{1} |1 − x| dx + ∫_{1}^{2} |1 − x| dx = ∫_{0}^{1}(1 − x) dx + ∫_{1}^{2}(x − 1) dx =

= [x − \frac{x^{2}}{2} ]_{0}^{1} + [\frac{x^{2}}{2} − x]_{1}^{2} = ((1 − \frac{1}{2}) − 0) + ((2 − 2) − (\frac{1}{2} − 1)) = 1 .

Poznámka. Pri výpočte integrálu ∫_{0}^{2} |1 − x| dx by bol možný aj trocha odlišný postup: nájsť primitívnu funkciu F k funkcii |1 − x| na intervale [0, 2] a priamo použiť Newtonov–Leibnizov vzorec. Pretože však pri hľadaní funkcie F by bolo potrebné ,,zlepiť“ primitívnu funkciu na intervale [0, 1] s primitívnou funkciou na intervale [1, 2] (porovnaj s pr. 2.1b)), je postup využívajúci aditívnu vlastnosť určitého integrálu výhodnejší.

11. Funkcia f(x) = \frac{1}{3 + 2 cos x} je spojitá, a teda riemannovsky integrovateľná na intervale [0, π] .

Použitím substitúcie tg (x/2) = t nájdeme primitívnu funkciu F k funkcii f na intervale [0, π) :

F (x) = \frac{2}{\sqrt{5}} arctg \frac{tg (x/2)}{\sqrt{5}} , x ∈ [0, π) .

Podľa Newtonovho–Leibnizovho vzorca potom

∫_{0}^{π} \frac{dx}{3 + 2 cos x} dx = [\frac{2}{\sqrt{5}} arctg \frac{tg (x/2)}{\sqrt{5}}]_{0}^{π} = lim_{x→π−} F (x) − lim_{x→0+} F (x) =
= lim_{x→π−} F (x) − F (0) = lim_{x→π−} \frac{2}{\sqrt{5}}arctg \frac{tg (x/2)}{\sqrt{5}} − 0 = \frac{π}{\sqrt{5}} .

82. 1. Objasnite nesprávnosť nasledujúcich výpočtov formálne používajúcich Newtonov– Leibnizov vzorec:

a) ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{x} = [ln |x|]_{−1}^{1} = ln 1 − ln 1 = 0 ;

b) ∫_{−1}^{1} (arctg \frac{1}{x})′ dx = [arctg \frac{1}{x}]_{−1}^{1} = arctg 1 − arctg (−1) = \frac{π}{2} ;

c) ∫_{0}^{π} \frac{dx}{1 + 2 sin^{2} x} = ∫_{0}^{π} \frac{dx}{cos^{2} x + 3 sin^{2} x} = ∫_{0}^{π} \frac{dx/ cos^{2} x}{1 + 3tg^{2}x} = [\frac{1}{\sqrt{3}} arctg (\sqrt{3} tg x)]_{0}^{π} = 0 .

2. Nájdite ∫_{−1}^{1} (\frac{1}{1 + 2^{1/x}} )′ dx.

83. Pomocou určitých integrálov nájdite nasledujúce limity:

1. lim_{n→∞} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ⋯ + \frac{n − 1}{n^{2}}) ; 2. lim_{n→∞} \frac{1^{p} + 2^{p} + ⋯ + n^{p}}{n^{p+1}} , p > 0 ;

3. lim_{n→∞} \frac{1}{n} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + ⋯ + \sqrt{1 + \frac{n}{n}}) ;

4. lim_{n→∞} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{n + n}) ; 5. lim_{n→∞} (\frac{1^{3}}{n^{4}} + \frac{2^{3}}{n^{4}} + ⋯ + \frac{(4n − 1)^{3}}{n^{4}} ) ;

6. lim_{n→∞} \frac{3}{n} (1 + \sqrt{\frac{n}{n + 3}} + \sqrt{\frac{n}{n + 6}} + ⋯ + \sqrt{\frac{n}{n + 3(n − 1)}}) ;

7. lim_{n→∞} (\frac{1}{\sqrt{4n^{2} − 1^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{4n^{2} − 2^{2}}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{4n^{2} − n^{2}}} ) ;

8. lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f (a + k · \frac{b − a}{n}) , kde f ∈ R[a, b] ;

9. lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{(n + 1)(n + 2) ⋯ 2n}{n^{n}}} ;

10. lim_{n→∞} (\frac{2^{2}}{n^{3} + 2^{3}} + \frac{4^{2}}{n^{3} + 4^{3}} + ⋯ + \frac{(2n)^{2}}{n^{3} + (2n)^{3}} ) .

Riešenie. 1. Ak limitovaný výraz napíšeme v tvare

a_{n} = \frac{1}{n} (\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + ⋯ + \frac{n}{n}) = \frac{1}{n} (0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + ⋯ + \frac{n}{n}) ,

vidíme, že číslo a_{n} je integrálnym súčtom funkcie f(x) = x pri delení D_{n} = \{ 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, …, \frac{n − 1}{n}, 1 \}, ktorý

dostaneme, ak za ξ_{k} zvolíme ľavý koncový bod intervalu [\frac{k − 1}{n}, \frac{k}{n}] , k = 1, …, n.

Funkcia f(x) = x je spojitá, a teda aj riemannovsky integrovateľná na intervale [0, 1] . Pretože ν(D_{n}) = 1/n, je {D_{n}}_{n=1}^{∞} normálna postupnosť delení intervalu [0, 1] , teda {a_{n}}_{n=1}^{∞} je normálna postupnosť integrálnych súčtov funkcie f, preto podľa vety 4 je lim_{n→∞} a_{n} = ∫_{0}^{1} f(x) dx , tj.

lim_{n→∞} (\frac{1}{n^{2}} + ⋯ + \frac{n − 1}{n^{2}}) = ∫_{0}^{1} x dx = [\frac{x^{2}}{2} ]_{0}^{1} = \frac{1}{2} .

84. 1. Na základe nerovností^{8}

x − \frac{x^{2}}{2} < ln(1 + x) < x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} , x > 0 ,

odhadnite integrál I_{1} = ∫_{0.5}^{1} \frac{ln(1 + x)}{x} dx .

2. Na základe nerovností^{9}

x − \frac{x^{3}}{6} < sin x < x − \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} , x > 0 ,

8pripomeňme, že tieto nerovnosti možno dokázať napr. pomocou Taylorovho vzorca so zvyškom v Lagrangeovom tvare, pozri pr. I.393.3

9pri dôkaze týchto nerovností možno postupovať ako v pr. I.352.2

odhadnite integrály I_{2} = ∫_{0}^{0.5} \frac{sin x}{x} dx , I_{3} = ∫_{0}^{0.64} \sqrt{x} sin x dx .

85. Dokážte nasledujúce nerovnosti:

1. \frac{1}{20\sqrt{2}} < ∫_{0}^{1} \frac{x^{19}}{\sqrt{1 + x^{2}}} dx < \frac{1}{20} ;

2. \frac{4}{9}(e − 1) < ∫_{0}^{1} \frac{e^{x} dx}{(x + 1)(2 − x)} < \frac{1}{2}(e − 1) ;

3. 0 < ∫_{0}^{200} \frac{e^{−5x} dx}{x + 20} < 0.01 ;

4. 0.5 < ∫_{0}^{0.5} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2n}}} ≤ \frac{π}{6} , n ≥ 1 .

86. Dotyčnica ku grafu dvakrát spojite diferencovateľnej funkcie f zviera v bode [a, f(a)] uhol π/3 a v bode [b, f(b)] uhol π/4 s osou Ox (a < b). Vypočítajte ∫_{a}^{b} f′′(x) dx!

87. Nech f ∈ R[a, b] a F:[a, b]→R je spojitá funkcia taká, že platí

∀ x ∈ [a, b] \ M : F′(x) = f(x) ,

kde M ⊂ [a, b] je konečná množina. Potom

∫_{a}^{b} f(x) dx = F (b) − F (a) .

Dokážte!

88. 1. Uveďte príklad funkcie riemannovsky integrovateľnej na intervale [a, b], ktorá nemá primitívnu funkciu na [a, b].

2. Nech f má primitívnu funkciu na intervale [0, 1]. Vyplýva z toho, že f je riemannovsky integrovateľná na [0, 1] ?

V ďalšom budeme (kvôli zjednodušeniu zápisov) okrem symbolu ∫_{a}^{b} f(x) dx, kde a < b, používať aj symboly ∫_{b}^{a} f(x) dx a ∫_{a}^{a} f(x) dx definované nasledovne:

∫_{b}^{a} f(x) dx := − ∫_{a}^{b} f(x) dx , ∫_{a}^{a} f(x) dx := 0 .

Veta 12 (metóda substitúcie pre určité integrály). Ak f : [a, b] → R je spojitá a φ: [α, β] → R spojite diferencovateľná funkcia a φ([α, β]) ⊂ [a, b], tak

∫_{α}^{β} f(φ(x)) φ′(x) dx = ∫_{φ(α)}^{φ(β)} f(t) dt .  (2.1)

Poznámka. Rovnosť (2.1) sa dá dokázať aj za predpokladu ,, f ∈ R[a, b], φ: [α, β] → R je monotónna spojite diferencovateľná funkcia a φ([α, β]) = [a, b] “; vtedy možno (2.1) prepísať do podoby

∫_{α}^{β} f(φ(x)) |φ′(x)| dx = ∫_{a}^{b} f(t) dt .

89. Vypočítajte nasledujúce integrály:

1. ∫_{0}^{1} x(2 − x^{2})^{12} dx ; 2. ∫_{0}^{π} \frac{sin x cos x}{1 + sin^{4} x} dx ;

3. ∫_{−1}^{1} \frac{x dx}{\sqrt{5 − 4x}} ; 4. ∫_{0}^{ln 2} \sqrt{e^{x} − 1} dx ;

5. ∫_{π/3}^{π/4} \frac{dx}{3 + cos x} ; 6. ∫_{3}^{29} \frac{\sqrt[3]{(x − 2)^{2}}}{3 + ^{3} \sqrt{(x − 2)^{2}}} dx ;

7. ∫_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} dx , a > 0 ; 8. ∫_{0}^{a} \frac{dx}{x + \sqrt{a^{2} − x^{2}}} , a > 0 ;

9. ∫_{0}^{0.75} \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} ; 10. ∫_{−π/2}^{π/2} \sqrt{cos x − cos^{3} x} dx ;

11. ∫_{e^{−2πn}}^{1} |(cos (ln \frac{1}{x}))′| dx , n ∈ N .

Riešenie. 1. Zvoľme φ(x) = 2 − x^{2}, potom (pozri označenie z vety 12) α = 0, β = 1, odtiaľ φ(α) = 2, φ(β) = 1. Teda

∫_{0}^{1} x(2 − x^{2})^{12} dx = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{1}(−2x)(2 − x^{2})^{12} dx = | \begin{matrix}2 − x^{2} = & t \\ −2xdx = & dt \end{matrix}  \begin{matrix}& x & t \\ (β =) & 1 & 1 & (= φ(β) \\ (α =) & 0 & 2 & (= φ(α) \end{matrix} | =

= −\frac{1}{2} ∫_{2}^{1} t^{12} dt = \frac{1}{2} ∫_{1}^{2} t^{12} dt = \frac{1}{2} [\frac{t^{13}}{13} ]_{1}^{2} = \frac{1}{26}(2^{13} − 1) .

5. Na rozdiel od pr. 89.1, kedy sme rovnosť (2.1) používali ,,zľava doprava“ (tj. výpočet určitého integrálu na jej ľavej strane sme nahradili výpočtom určitého integrálu vpravo), budeme teraz postupovať ,,sprava doľava“; aby sa nám zápis riešenia ľahšie porovnával s rovnosťou (2.1), zameňme v nej navzájom strany aj premenné x a t :

∫_{φ(α)}^{φ(β)} f(x) dx = ∫_{α}^{β} f(φ(t)) φ′(t) dt .

Na výpočet nášho integrálu použijeme substitúciu tg \frac{x}{2} = t, odtiaľ — pretože x ∈ [\frac{π}{3} , \frac{π}{2} ] — dostávame

x = 2 arctg t = φ(t). Zostáva nájsť čísla α, β tak, aby platilo φ(α) = \frac{π}{3} , φ(β) = \frac{π}{2} . Keďže funkcia φ je

prostá, je α = φ^{−1} (\frac{π}{3} ) = tg (\frac{1}{2} · \frac{π}{3} ) = \frac{1}{\sqrt{3}}, β = tg (\frac{1}{2} · \frac{π}{2} ) = 1.

Teda

∫_{π/3}^{π/2} \frac{dx}{3 + cos x} = | \begin{matrix}tg (x/2) = & t \\ x = & 2 arctg t \\ dx = & 2dt/(1 + t^{2}) \end{matrix}  \begin{matrix}x & t \\ π/2 & 1 \\ π/3 & 1/\sqrt{3} \end{matrix} | = ∫_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{3 + \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}}} · \frac{2dt}{1 + t^{2}} =

= ∫_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{dt}{2 + t^{2}} = [\frac{1}{\sqrt{2}} arctg \frac{t}{\sqrt{2}}]_{1/\sqrt{3}}^{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (arctg \frac{1}{\sqrt{2}} − arctg \frac{1}{\sqrt{3}}) .

Poznámky. 1. Odporúčame čitateľovi preveriť, že v obidvoch riešených príkladoch boli splnené všetky predpoklady vety 12.

2. V uvedených príkladoch sme mohli postupovať aj trocha odlišne: nájsť najprv primitívnu funkciu k funkcii x(2 − x^{2})^{12}, resp. 1/(3 + cos x) a potom použiť Newtonov–Leibnizov vzorec. V pr. 89.5 by sme tak dostali (primitívnu funkciu stačí hľadať na intervale [π/3, π/2] ):

∫ \frac{dx}{3 + cos x} = \begin{matrix}tg (x/2) = & t \\ x = & 2 arctg t \\ dx = & 2dt/(1 + t^{2}) \end{matrix} = ∫ \frac{1}{3 + \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}}} · \frac{2dt}{1 + t^{2}} = ∫ \frac{dt}{2 + t^{2}} =

= \frac{1}{\sqrt{2}} arctg \frac{t}{\sqrt{2}} + C ∗ = \frac{1}{\sqrt{2}} arctg (\frac{tg (x/2)}{\sqrt{2}}) + C , x ∈ [\frac{π}{3} , \frac{π}{2} ] ,

potom

∫_{π/3}^{π/2} \frac{dx}{3 + cos x} = [\frac{1}{\sqrt{2}} arctg (\frac{tg (x/2)}{\sqrt{2}})]_{π/3}^{π/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (arctg \frac{1}{\sqrt{2}} − arctg \frac{1}{\sqrt{6}}) .

Teraz by malo byť zrejmé, v čom sa uvedené dva spôsoby výpočtu líšia: v druhom z nich (uvedenom v tejto poznámke) sa musíme ,,vrátiť k pôvodnej integračnej premennej“ (to je krok označený *), zatiaľčo v prvom (založenom na vete 12) stačí namiesto toho len zmeniť pri substitúcii hranice integrovania.

3. Môže sa stať, že neurčitý integrál niektorej funkcie možno nájsť použitím substitúcie φ(x) = t, ale pri výpočte určitého integrálu tej istej funkcie nemožno vetu 12 použiť (typickým príkladom je použitie substitúcie tg (x/2) = t pri výpočte integrálov ∫_{−π}^{π} R(sin x, cos x) dx; pozri tiež riešenia pr. 81.11 a 91.1).

90. 1. Na výpočet integrálu ∫_{0}^{1} \sqrt{1 − x^{2}} dx chceme použiť substitúciu x = sin t. Rozhodnite,

či môžeme za nové hranice integrovania zvoliť čísla

a) 0 a π/2 ; b) π a π/2 ;

c) 0 a 5π/2 .

2. Na výpočet integrálu ∫_{−1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{(1 − x^{2})^{3/2}} dx chceme použiť substitúciu x = sin t. Rozhodnite,

či za nové hranice integrovania môžeme zvoliť čísla

a) −π/4 a π/4 ; b) π/a a 5π/4 .

3. Môžeme na výpočet integrálu ∫_{0}^{3} x ^{3} \sqrt{1 − x^{2}} dx použiť substitúciu x = sin t?

91. Nájdite chybu v nasledujúcich výpočtoch: 1.

∫_{0}^{π} \frac{dx}{1 + sin^{2} x} = ∫_{0}^{π} \frac{dx}{cos^{2} x + 2 sin^{2} x} = ∫_{0}^{π} \frac{dx/ cos^{2} x}{1 + 2 tg^{2}x} = | \begin{matrix}tg x = & t \\ dx/ cos^{2} x = & dt \end{matrix} \begin{matrix}x & t \\ π & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | =

= ∫_{0}^{0} \frac{dt}{1 + 2t^{2}} = 0

(výsledok je zrejme nesprávny, pretože ∫_{0}^{π} \frac{dx}{1 + sin^{2} x} je integrál z kladnej spojitej funkcie, a teda

nemôže byť rovný 0 ^{10});

2.

∫_{−1}^{1} \frac{dx}{1 + x^{2}} = | \begin{matrix}x = & 1/t \\ dx = & −dt/t^{2} \end{matrix} \begin{matrix}x & t \\ 1 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} | = ∫_{−1}^{1} \frac{−dt/t^{2}}{1 + 1/t^{2}} = − ∫_{−1}^{1} \frac{dt}{1 + t^{2}} = −[arctg t]_{−1}^{1} = −\frac{π}{2}

(uvedený postup zrejme nemôže byť správny, pretože z neho vyplýva π/2 = [arctg x]_{−1}^{1} = = −[arctg x]_{−1}^{1} = −π/2 ).

92. Dokážte rovnosti:

1. ∫_{1}^{a} \frac{dx}{1 + x^{2}} = ∫_{1}^{1/a} \frac{dx}{1 + x^{2}} , a > 0 ; 2. ∫_{0}^{1} \frac{arctg x}{x} dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{π/2} \frac{t dt}{sin t} .

10pozri pr. 76.1

93. Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1. Ak f:[−k, k]→R je spojitá párna (nepárna) funkcia, tak

∫_{−k}^{k} f(x) dx = 2 ∫_{0}^{k} f(x) dx ( ∫_{−k}^{k} f(x) dx = 0 ) .

2_{0}. Ak f: R→R je spojitá periodická funkcia s periódou T, tak pre ľubovoľné a ∈ R platí

∫_{a}^{a+T} f(x) dx = ∫_{0}^{T} f(x) dx .

3. Ak f: [0, 1]→R je spojitá funkcia, tak

a) ∫_{0}^{π/2} f(sin x) dx = ∫_{0}^{π/2} f(cos x) dx ; b) ∫_{0}^{π} xf(sin x) dx = \frac{π}{2} ∫_{0}^{π} f(sin x) dx .

94. Vypočítajte integrály:

1. ∫_{−π}^{π} e^{x^{2}} sin x dx ; 2. ∫_{−π/2}^{π/2}(cos^{2} x + x^{2} sin x) dx ;

3. ∫_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos^{2} x} dx ; 4. ∫_{0}^{π/4} ln(1 + tg x) dx ;

5. ∫_{−a}^{a} \frac{ln(2a − x)}{ln(4a^{2} − x^{2})} dx , a > \frac{1}{\sqrt{3}} ; 6. ∫_{−π/2}^{π/2} ln (sin x + \sqrt{sin^{2} x + e^{cos x}}) dx .

Riešenie. 4.

∫_{0}^{π/4} ln(1 + tg x) dx = ∫_{0}^{π/4} ln (\frac{sin x + cos x}{cos x}) dx = ∫_{0}^{π/4} ln (sin x + cos x) dx − ∫_{0}^{π/4} ln cos x dx =
= ∫_{0}^{π/4} ln (\sqrt{2} cos (\frac{π}{4} − x)) dx − ∫_{0}^{π/4} ln cos x dx =
{(1) \atop =} ∫_{0}^{π/4} ln(\sqrt{2} cos x) dx − ∫_{0}^{π/4} ln cos x dx = ∫_{0}^{π/4} ln \frac{\sqrt{2} cos x}{cos x} dx =
= ∫_{0}^{π/4} ln \sqrt{2} dx = \frac{π}{4} ln \sqrt{2} = \frac{π}{8} ln 2 ;

pritom v kroku označenom (1) sme pri výpočte ∫_{0}^{π/4} ln(\sqrt{2} cos(π/4 − x)) dx použili substitúciu π/4 − x = t :

∫_{0}^{π/4} ln (\sqrt{2} cos (\frac{π}{4} − x)) dx = | \begin{matrix}π/4 − x = & t \\ −dx = & dt \end{matrix}  \begin{matrix}x & t \\ π/4 & 0 \\ 0 & π/4 \end{matrix} | = − ∫_{π/4}^{0} ln(\sqrt{2} cos t) dt =

= ∫_{0}^{π/4} ln(\sqrt{2} cos t) dt = ∫_{0}^{π/4} ln(\sqrt{2} cos x) dx

(posledná rovnosť by mala byť zrejmá: hodnota integrálu nezávisí na označení premennej).

Všimnime si, že hodnotu ∫_{0}^{π/4} ln(1 + tg x) dx sme našli bez toho, že by sme poznali primitívnu funkciu k funkcii ln(1 + tg x).

Veta 13 (metóda per partes pre určité integrály). Ak funkcie f : [a, b] → R , g: [a, b] → R majú riemannovsky integrovateľné derivácie definované na intervale [a, b], tak

∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx .  (2.2)

Poznámka. V pr. 95.6 uvidíme, že vzorec (2.2) možno niekedy použiť aj v prípadoch, keď predpoklady vety 13 nie sú splnené. V iných prípadoch (ako ukazujú pr. 95.7,8) bude treba namiesto vety 13 použiť metódu per partes pre neurčitý integrál a Newtonov–Leibnizov vzorec (pozri tiež vetu o integrácii per partes pre Newtonov integrál uvedenú v poznámke pred odsekom 2.6).

95. Vypočítajte nasledujúce integrály:

1. ∫_{0}^{ln 2} xe^{−x} dx ; 2. ∫_{1/e}^{e} | ln x| dx ;

3. ∫_{1}^{e}(x ln x)^{2} dx ; 4. ∫_{1}^{n} x^{n} ln x dx ;

5. ∫_{0}^{π} e^{2x} cos 3x dx ; 6. ∫_{0}^{3} arcsin \sqrt{\frac{x}{1 + x}} dx ;

7. ∫_{0}^{1} arccos x dx ; 8. ∫_{0}^{1}(arcsin x)^{2} dx .

96. Pomocou rekurentných vzťahov vypočítajte integrály:

1. I_{n} = ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx ; 2. I_{n} = ∫_{0}^{1}(1 − x^{2})^{n} dx ;

3. I_{n} = ∫_{0}^{π/4} tg^{2n}x dx ; 4. I_{m,n} = ∫_{0}^{1} x^{m}(ln x)^{n} dx ;

5. I_{n} = ∫_{0}^{π/4} (\frac{sin x − cos x}{sin x + cos x})^{2n+1} dx .

Riešenie. 1. Odvoďme najprv rekurentný vzťah pre výpočet I_{n} : pre n ∈ N, n ≥ 2 dostaneme použitím metódy per partes

I_{n} = ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx = ∫_{0}^{π/2} sin x · sin^{n−1} x dx {(1) \atop =} u′ = sin x  u = − cos x v = sin^{n−1} x v′ = (n − 1) sin^{n−2} x cos x =

= [− cos x sin^{n−1} x]_{0}^{π/2} + (n − 1) ∫_{0}^{π/2} sin^{n−2} x cos^{2} x dx {(2) \atop =} (n − 1) ∫_{0}^{π/2} sin^{n−2} x · (1 − sin^{2} x) dx =
= (n − 1)I_{n−2} − (n − 1)I_{n} ,

teda

I_{n} = (n − 1)I_{n−2} − (n − 1)I_{n} ,

odtiaľ

I_{n} = \frac{n − 1}{n} I_{n−2}

(k označeným rovnostiam urobme tieto poznámky:

(1) aby sme mohli použiť vetu 13, musíme predpokladať n ≥ 2 (pre n < 2 je derivácia funkcie sin^{n−1} x neohraničená);

(2) pre n > 1 je [− cos x sin^{n−1} x]_{0}^{π/2} = 0).

Na základe tohto rekurentného vzťahu vieme pomocou hodnoty I_{0} ( = ∫_{0}^{π/2} sin^{0} x dx = ∫_{0}^{π/2} dx ) = \frac{π}{2}

vyjadriť I_{n} pre n párne:

I_{2} = \frac{1}{2}I_{0} = \frac{1}{2} · \frac{π}{2} ,
I_{4} = \frac{3}{4}I_{2} = \frac{3}{4} · \frac{1}{2} · \frac{π}{2} ,
⋮
I_{2k} = \frac{2k − 1}{2k} I_{2k−2} = \frac{2k − 1}{2k} · \frac{2k − 3}{2k − 2} ⋯ \frac{3}{4} · \frac{1}{2} · \frac{π}{2} ,

čo skrátene zapisujeme

I_{2k} = \frac{(2k − 1)!!}{(2k)!!} · \frac{π}{2}

(význam symbolu !! je čitateľovi iste zrejmý).

Podobne môžeme pomocou hodnoty I_{1} ( = ∫_{0}^{π/2} sin x dx = [− cos x]_{0}^{π/2} ) = 1 vyjadriť I_{n} pre n nepárne:

I_{3} = \frac{2}{3}I_{1} = \frac{2}{3} · 1 ,
I_{5} = \frac{4}{5}I_{3} = \frac{4}{5} · \frac{2}{3} · 1 ,
⋮
I_{2k+1} = \frac{2k}{2k + 1} I_{2k−1} = \frac{2k}{2k + 1} · \frac{2k − 2}{2k − 1} ⋯ \frac{4}{5} · \frac{2}{3} · 1 .

Získané výsledky teda môžeme zhrnúť

I_{n} = \{ \begin{matrix}\frac{(n − 1)!!}{n!!} · \frac{π}{2} , & ak n ∈ N je párne \\ \frac{(n − 1)!!}{n!!} , & ak n ∈ N je nepárne^{11} \end{matrix} .

97. Nech funkcia f je (n + 1)–krát spojite diferencovateľná na intervale I. Potom pre každé x , x_{0} ∈ I platí

f(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x − x_{0})^{k} + \frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt

(tento vzťah sa nazýva Taylorov vzorec so zvyškom v integrálnom tvare).

98. Vypočítajte nasledujúce integrály:

1. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{x^{2} − 2x cos α + 1} , 0 < α < π ; 2. ∫_{−1}^{1} \frac{x dx}{x^{2} + x + 1} ;

3. ∫_{0}^{3} \frac{x dx}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{5x + 1}} ; 4. ∫_{0}^{1} x^{15} \sqrt{1 + 3x^{8}} dx ;

5. ∫_{1}^{√\overline{3}} \frac{dx}{(1 + x^{2})^{3/2}} ; 6. ∫_{−2}^{−1} \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} + 1}} ;

7. ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{1 + a^{2} sin^{2} x} ; 8. ∫_{0}^{2π} \frac{dx}{sin^{4} x + cos^{4} x} ;

9. ∫_{0}^{4π} \frac{dx}{(2 + cos x)(3 + cos x)} ; 10. ∫_{0}^{π/2}\frac{dx}{(a^{2} sin^{2} x+b^{2} cos^{2} x)^{2}} , a, b > 0 ;

11. ∫_{−π}^{π} ^{3} \sqrt{sin x} dx ; 12. ∫_{0}^{π} x sin^{m} x dx , m ∈ N ;

13. ∫_{π/6}^{π/2} \frac{x + sin x}{1 + cos x} dx ; 14. ∫_{0}^{π} e^{x} cos^{2} x dx ;

15. ∫_{−1}^{1}(e^{x} + e^{−x})tg x dx ; 16. ∫_{0}^{π/2} xe^{x} sin x dx ;

11pritom kladieme 0!! := 1

17. ∫_{1}^{e}(1 − ln x)^{2} dx ; 18. ∫_{0}^{1/2} \begin{matrix}arcsin & \sqrt{x} \\ √ & \overline{x(1 − x)} \end{matrix} dx ;

19. ∫_{1}^{16} arctg \sqrt{\sqrt{x} − 1} dx ; 20. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)} ;

21. ∫_{−1}^{3} \frac{f′(x) dx}{1 + f^{2}(x)} , kde f(x) = \frac{(x + 1)^{2}(x − 1)}{x^{3}(x − 2)} ;

22. ∫_{−2−\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} (arcsin \frac{2x}{1 + x^{2}} )′ dx ; 23. ∫_{0}^{3} sgn (x − x^{3}) dx ;

24. ∫_{0}^{π} x sgn cos x dx ; 25. ∫_{0}^{2}[e^{x}] dx .

2.3 Integrál ako funkcia hornej (dolnej) hranice

Veta 14. Nech f ∈ R[a, b], c ∈ [a, b] a nech funkcia F:[a, b]→R je daná predpisom

F (x) = ∫_{c}^{x} f(t) dt ^{12}.

Potom a) F je spojitá funkcia;

b) ak funkcia f je spojitá v bode x_{0} ∈ [a, b], tak funkcia F má v bode x_{0} vlastnú deriváciu (v prípade x_{0} = a alebo x_{0} = b príslušnú jednostrannú deriváciu) rovnú f(x_{0}).

Poznámka. Z vety 14 vyplýva veta 2 z odseku 1.1.

99. Nech f:[c, d]→R je spojitá funkcia, funkcie φ, ψ sú diferencovateľné na intervale I a nech φ(I) ⊂ [c, d], ψ(I) ⊂ [c, d]. Potom funkcia G:I →R daná predpisom

G(x) = ∫_{φ(x)}^{ψ(x)} f(t) dt

je diferencovateľná na I a platí

G′(x) = f(ψ(x)) ψ′(x) − f(φ(x)) φ′(x) .  (2.3)

Dokážte!

100. Vypočítajte^{13}:

1. \frac{d}{db} ∫_{a}^{b} sin x^{2} dx ; 2. \frac{d}{da} ∫_{a}^{b} sin x^{2} dx ;

3. \frac{d}{dx} ∫_{a}^{b} sin x^{2} dx ; 4. ∫_{a}^{b} (\frac{d}{dx} sin x^{2}) dx ;

5. \frac{d}{dx} ∫_{a}^{b} sin x^{2} da .

12pretože hodnota určitého integrálu sa nezmení, ak integračnú premennú označíme x namiesto t, mohli by sme predpis funkcie F zapísať aj v tvare F (x) = ∫_{c}^{x} f(x) dx

13symbolom \frac{df}{dx} (resp. \frac{df(x)}{dx} ) označujeme deriváciu funkcie y = f(x); dx tu má podobnú úlohu ako v symbole ∫_{a}^{b} f(x) dx (kde označuje, ,,podľa čoho integrujeme“): určuje, čo v danom výraze ,,pokladáme za premennú“ (napr. \frac{d}{dx}(αx^{2}) = 2αx, \frac{d}{dα}(αx^{2}) = x^{2}, \frac{d}{dα} x^{2} = 0 )

101. Nájdite f′, ak

1. f(x) = ∫_{0}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{2}} dt ; 2. f(x) = ∫_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^{4}}} ;

3. f(x) = ∫_{sin x}^{cos x} cos (πt^{2}) dt .

102. 1. Nájdite lokálne extrémy funkcie F (t) = ∫_{0}^{e^{t}} \frac{x^{4} − 16}{1 + x} dx.

2. Nájdite lokálne extrémy a inflexné body funkcie y = ∫_{0}^{x}(t − 1)(t − 2)^{2} dt.

103. Vypočítajte limity:

1. lim_{x→0} \frac{∫_{0}^{x} cos x^{2} dx}{x} ; 2. lim_{x→∞} \frac{∫_{0}^{x}(arctg x)^{2} dx}{\sqrt{x^{2} + 1}} ;

3. lim_{x→∞} \frac{(∫_{0}^{x} e^{x^{2}} dx)^{2}}{∫_{0}^{x} e^{2x^{2}} dx} .

104. Nech f : [0, ∞) → R je spojitá funkcia a lim_{x→∞} f(x) = A ∈ R. Vypočítajte lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f(nx) dx.

105. Nech f : R → R je periodická funkcia s periódou ω, f ∈ R[0, ω], a ∈ R a nech funkcia F: R→R je daná predpisom F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt, x ∈ R. Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1. funkcia F je súčtom spojitej periodickej funkcie s periódou ω a lineárnej funkcie;

2. funkcia F je periodická práve vtedy, keď ∫_{0}^{ω} f(t) dt = 0.

106. Nech f ∈ R[a, b], nech funkcia F:[a, b]→R je daná predpisom F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt. Potom 1. funkcia F je lipschitzovsky spojitá na [a, b] (tj.

∃ L ∈ R^{+} ∀ x, y ∈ [a, b] : |F (x) − F (y)| ≤ L|x − y| );

2. funkcia F nemôže mať v žiadnom bode x_{0} ∈ [a, b] nevlastnú deriváciu (v prípade x_{0} = a, x_{0} = b nevlastnú jednostrannú deriváciu). Dokážte!

107. Nech f ∈ R[a, b], nech funkia F :[a, b]→R je daná predpisom F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt. Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1. ak x_{0} ∈ (a, b) je bod odstrániteľnej nespojitosti funkcie f, tak funkcia F je diferencovateľná v bode x_{0};

2. ak x_{0} ∈ (a, b) je bod nespojitosti 1. druhu funkcie f, tak funkcia F má vlastné jednostranné derivácie v bode x_{0}, ale nie je tam diferencovateľná.

108. Zostrojte funkciu f ∈ R[a, b], pre ktorú je funkcia F (x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt diferencovateľná na [a, b], ale pre nekonečne veľa x ∈ [a, b] platí F′(x) ≠ f(x) .

109. Zostrojte takú nespojitú riemannovsky integrovateľnú funkciu f:[0, 1]→R, aby pre funkciu F (x) := ∫_{0}^{x} f(t) dt, x ∈ [0, 1], platilo F′ = f.

2.4 Vety o strednej hodnote

Veta 15 (prvá veta o strednej hodnote). Nech f, g ∈ R[a, b], pričom g(x) ≥ 0 pre všetky x ∈ [a, b] ( g(x) ≤ 0 pre všetky x ∈ [a, b] ). Označme M := sup_{x∈[a,b]} f(x), m := inf_{x∈[a,b]} f(x). Potom existuje μ ∈ R také, že m ≤ μ ≤ M a

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = μ ∫_{a}^{b} g(x) dx .

Ak funkcia f je naviac spojitá na [a, b], tak existuje c ∈ [a, b] ^{14} také, že

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) ∫_{a}^{b} g(x) dx .

Špeciálne, pre každú funkciu f ∈ R[a, b] existuje číslo μ také, že m ≤ μ ≤ M a

∫_{a}^{b} f(x) dx = μ(b − a)

(číslo μ s touto vlastnosťou sa nazýva \underline{stredná hodnota funkcie f na intervale [a, b]} )^{15}.

110. Nájdite strednú hodnotu funkcie f na intervale I, ak:

1. f(x) = sin 3x, I = [0, π/3] ; 2. f(x) = x^{4}, I = [0, 1] ;

3. f(x) = \sqrt{x}, I = [0, 100] .

111. Nech funkcie f, g sú spojité na intervale [a, b], nech g(x) ≥ 0 pre všetky x ∈ [a, b] ( g(x) ≤ 0 pre všetky x ∈ [a, b] ). Potom existuje c ∈ (a, b) také, že

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) ∫_{a}^{b} g(x) dx .

Dokážte!

112. Určte znamienko nasledujúcich integrálov:

1. ∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx ; 2. ∫_{−2}^{2} x^{3}2^{x} dx ;

3. ∫_{1/2}^{1} x^{2} ln x dx ; 4. ∫_{0}^{2π} \frac{sin x}{x} dx ;

5. ∫\begin{matrix}√ & \overline{4π} \\ √ & \overline{2π} \end{matrix} sin x^{2} dx ; 6. ∫_{ln(π/2)}^{T} cos e^{x} dx , T > ln(π/2) .

Riešenie. 1.

∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx = ∫_{0}^{π} x^{158} sin x dx + ∫_{π}^{2π} x^{158} sin x dx ,

pritom podľa tvrdenia z pr. 111 (pre f(x) = x^{158}, g(x) = sin x, x ∈ [0, π] ) je

∫_{0}^{π} x^{158} sin x dx = c_{1}^{158} ∫_{0}^{π} sin x dx = 2c_{1}^{158}

pre niektoré c_{1} ∈ (0, π) a

∫_{π}^{2π} x^{158} sin x dx = c_{2}^{158} ∫_{π}^{2π} sin x dx = −2c_{2}^{158}

14možno dokonca dokázať že c ∈ (a, b) (pozri riešenie pr. 111)

15pre spojitú funkciu f:[a, b]→R teda platí ∫_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b − a) pre niektoré c ∈ (a, b), čo je vlastne len iná formulácia Lagrangeovej vety o strednej hodnote pre funkciu F (x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt pre niektoré c_{2} ∈ (π, 2π).

Pretože c_{1} ∈ (0, π) a c_{2} ∈ (π, 2π), je zrejme 0 < c_{1} < c_{2}, a teda c_{1}^{158} < c_{2}^{158}. Preto

∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx = 2c_{1}^{158} − 2c_{2}^{158} < 0 .

Poznámky. 1. Keby sme pri riešení pr. 112.1 použili namiesto tvrdenia z pr. 111 vetu 15, podarilo by sa nám dokázať len nerovnosť ∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx ≤ 0 (z vety 15 totiž vyplýva iba c_{1} ∈ [0, π], c_{2} ∈ [π, 2π], odtiaľ 0 ≤ c_{1} ≤ c_{2}, a teda 2(c_{1}^{158} − c_{2}^{158}) ≤ 0 ).

2. Nerovnosť ∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx < 0 možno dokázať aj na základe tvrdenia z pr. 76.2 (ktorého dôsledkom je napokon aj tvrdenie z pr. 111): Pretože ∫_{π}^{2π} x^{158} sin x dx = − ∫_{0}^{π}(x + π)^{158} sin x dx (stačí použiť substitúciu x = t − π), je ∫_{0}^{2π} x^{158} sin x dx = ( = ∫_{0}^{π} + ∫_{π}^{2π} ) = ∫_{0}^{π}[x^{158} − (x + π)^{158}] sin x dx < 0 ; posledná nerovnosť vyplýva z tvrdenia pr. 76.1 (ktoré je špeciálnym prípadom tvrdenia z pr. 76.2).

113. Vypočítajte limity:

1. lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} dx ; 2. lim_{ε→0} ∫_{0}^{1} \frac{dx}{εx^{3} + 1} ;

3. lim_{ε→0+} ∫_{aε}^{bε} f(x)\frac{dx}{x} , kde 0 < a < b, f:[0, 1]→R je spojitá funkcia ;

4. lim_{n→∞} ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx .

Riešenie. 1. Podľa vety 15 je

∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} dx = \frac{1}{1 + c_{n}} ∫_{0}^{1} x^{n} dx = \frac{1}{1 + c_{n}} · \frac{1}{n + 1}

pre niektoré c_{n} ∈ [0, 1]. Postupnosť \{\frac{1}{1 + c_{n}} \}_{n=1}^{∞} je ohraničená ( c_{n} ∈ [0, 1] pre každé n ∈ N, preto

\frac{1}{2} ≤ \frac{1}{1 + c_{n}} ≤ 1, n ∈ N ) a lim_{n→∞} \frac{1}{n + 1} = 0, preto

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} dx = lim_{n→∞} (\frac{1}{1 + c_{n}} · \frac{1}{n + 1}) = 0 .

114. Nech strednou hodnotou spojitej funkcie f:[a, b]→R na ľubovoľnom intervale [α, β] ⊂ [a, b] je vždy to isté číslo k ∈ R. Potom f(x) ≡ k, x ∈ [a, b]. Dokážte!

115. Nech pre spojitú funkciu f : (a, b) → R a spojitú nezápornú funkciu g : [a, b] → R platí fg ∈ R[a, b]. Potom existuje c ∈ R také, že

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) ∫_{a}^{b} g(x) dx .  (2.4)

Dokážte!

Veta 16 (druhá veta o strednej hodnote). Nech f : [a, b] → R je montónna funkcia, g ∈ R[a, b]. Potom existuje c ∈ [a, b] také, že

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(a) ∫_{a}^{c} g(x) dx + f(b) ∫_{c}^{b} g(x) dx ^{16}.

16pre niektoré špeciálne prípady dokážeme túto rovnosť v pr. 119 a 387

116. Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1. Nech g ∈ R[a, b], f : [a, b] → R je neklesajúca funkcia, nech A ≤ lim_{x→a+} f(x), B ≥ ≥ lim_{x→b−} f(x). Potom existuje c ∈ [a, b] tak, že

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = A ∫_{a}^{c} g(x) dx + B ∫_{c}^{b} g(x) dx.

2_{0}. Nech g ∈ R[a, b], f : [a, b] → R je neklesajúca (nerastúca) funkcia a f(a) ≥ 0 ( f(b) ≥ 0 ). Potom

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(b) ∫_{c}^{b} g(x) dx  (2.5)

( ∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(a) ∫_{a}^{c} g(x) dx )  (2.6)

pre niektoré c ∈ [a, b] (rovnosti (2.5) a (2.6) sa nazývajú Bonnetove vzorce).

117. Pomocou druhej vety o strednej hodnote dokážte nasledujúce nerovnosti:

1. |∫_{a}^{b} \frac{sin x}{\sqrt{x}} dx| ≤ \frac{2}{\sqrt{a}} , 0 < a < b ; 2_{0}. |∫_{a}^{b} \frac{1}{x}e^{−αx} cos x dx| ≤ \frac{2}{a} , 0 < a < b ;

3. |∫_{a}^{b} sin x^{4} dx| ≤ \frac{1}{2a^{3}} , 0 < a < b ;

4_{0}. |∫_{a}^{b} cos φ(x) dx| ≤ \frac{2}{φ′(a)} , 0 < a < b , kde φ : [0, ∞) → R je dvakrát diferencovateľná

funkcia, φ′′(x) ≥ 0 pre všetky x ∈ (0, ∞) a φ′(0) > 0 .

Riešenie. 1. Pre funkcie f(x) = 1/\sqrt{x}, g(x) = sin x sú na intervale [a, b] splnené všetky predpoklady tvrdenia z pr. 116.2 (ktoré je špeciálnym prípadom vety 16), preto

∫_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}} sin x dx = \frac{1}{\sqrt{a}} ∫_{a}^{c} sin x dx = \frac{1}{\sqrt{a}}(cos a − cos c) .

Pretože | cos a − cos c| ≤ | cos a| + | cos c| ≤ 2, je

|∫_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}} sin x dx| = \frac{1}{\sqrt{a}}| cos a − cos c| ≤ \frac{2}{\sqrt{a}} .

118. Dokážte rovnosť

lim_{x→∞} ∫_{x}^{x^{2}} sin e^{t} dt = 0 .

119. Nech g: [a, b] → R je spojitá funkcia, nech derivácia f′ funkcie f: [a, b] → R je nezáporná riemannovsky integrovateľná funkcia definovaná na [a, b]. Dokážte za týchto predpokladov druhú vetu o strednej hodnote použitím integrácie per partes a prvej vety o strednej hodnote!

2.5 Niektoré aplikácie Riemannovho určitého integrálu

Veta 17. Nech f, g : [a, b] → R sú spojité funkcie a f(x) ≤ g(x) pre všetky x ∈ [a, b]. Potom plošným obsahom^{17} množiny {(x, y) ∈ R × R ; a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} je číslo

∫_{a}^{b}(g(x) − f(x)) dx .

120^{18}. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného krivkami:

1. y = \frac{x^{2}}{2} , y = 2 − \frac{3}{2}x ;

2. y = f(x) = 2 − 4x^{2} + 4x^{3} − x^{4} , y = 0 , x = x_{1} , x = x_{2} , kde x_{1}, x_{2} sú body lokálneho maxima funkcie f ;

3. y = |log x| , y = 0 , x = 0.1 , x = 10 ; 4. y = arctg \sqrt{x} , y + x^{2} = 0 , x = 1 ;

5. y = tg x , y = \frac{2}{3} cos x , x = 0 ; 6. y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;

7. y = sin^{3} x + cos^{3} x , y = 0 , x ∈ [−\frac{π}{4} , \frac{3π}{4} ] ;

8. y = 6x^{2} − 5x + 1 , y = cos πx , x ∈ [0, \frac{1}{2}] ;

9. \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ; 10. y^{2} = x^{2}(a^{2} − x^{2}) ;

11. y^{2} = sin^{2} x cos x ,  x ∈ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] ;  12. \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{y}{b}} = 1 , x = 0 , y = 0 ;

13. (y − arcsin x)^{2} = x − x^{2} ; 14. (y − x + 2)^{2} = 9y , x = 0 , y = 0 ;

15. x^{2} + y^{2} = 16 , x^{2} + y^{2} = 4y , \sqrt{3} y − x = 4\sqrt{3} , y + \sqrt{3} x = 4 ;

16. x^{2} + y^{2} = 3a^{2} , x^{2} = 2ay , y^{2} = 2ax .

Riešenie. 1. Krivky y = \frac{x^{2}}{2} a y = 2 − \frac{3}{2}x sa pretínajú v bodoch, ktorých x-ové súradnice nájdeme riešením rovnice

\frac{x^{2}}{2} = 2 − \frac{3}{2}x ;

tej vyhovujú čísla x_{1} = −4, x_{2} = 1. Pre všetky x ∈ (−4, 1) platí 2 − \frac{3}{2}x > \frac{x^{2}}{2} ^{19}. Útvar ohraničený

krivkami y = \frac{x^{2}}{2} a y = 2 − \frac{3}{2}x je teda množina \{(x, y) ∈ R × R ; −4 ≤ x ≤ 1, \frac{x^{2}}{2} ≤ y ≤ 2 − \frac{3}{2}x\} a jeho

plošným obsahom je podľa vety 17 číslo

∫_{−4}^{1} (2 − \frac{3}{2}x − \frac{x^{2}}{2} ) dx = [2x − \frac{3}{4}x^{2} − \frac{x^{3}}{6} ]_{−4}^{1} = \frac{125}{12} .

17korektná definícia pojmov plošný obsah rovinného útvaru, objem telesa, plošný obsah povrchu telesa, dĺžka rovinnej krivky presahuje rámec tohto textu, čitateľ ju môže nájsť napr. v [10]

18všetky parametre vystupujúce v pr. 120–141 pokladáme za kladné

19spojitá funkcia y = (2 − \frac{3}{2}x) − \frac{x^{2}}{2} nadobúda nulové hodnoty len v bodoch x_{1} = −4, x_{2} = 1, preto na

intervale (−4, 1) nemení znamienko; na zistenie jej znamienka na tomto intervale stačí nájsť funkčnú hodnotu v niektorom jeho bode

10. Rovnosť y^{2} = x^{2}(a^{2} − x^{2}) možno upraviť na tvar |y| = |x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}, krivka y^{2} = x^{2}(a^{2} − x^{2}) je teda zjednotením grafov funkcií f_{1}(x) = |x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}, f_{2}(x) = −|x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}, pritom f_{1}(x) ≥ f_{2}(x) pre všetky x ∈ [−a, a] ^{20}. Útvar ohraničený krivkou y^{2} = x^{2}(a^{2} − x^{2}) je preto množina {(x, y) ∈ R × R ; −a ≤ x ≤ ≤ a, −|x|\sqrt{a^{2} − x^{2}} ≤ y ≤ |x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}\} a jeho plošný obsah je

∫_{−a}^{a}(|x|\sqrt{a^{2} − x^{2}} + |x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}) dx = 2∫_{−a}^{a}|x|\sqrt{a^{2} − x^{2}}dx {(1) \atop =} 4∫_{0}^{a}x\sqrt{a^{2} − x^{2}}dx = 4 [−\frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{3} ]_{0}^{a} = \frac{4}{3}a^{3}

(rovnosť (1) vyplýva z párnosti integrandu – pozri pr. 93.1).

121. Vypočítajte plošný obsah krivočiareho štvoruholníka ohraničeného grafmi elíps x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1, x^{2}/b^{2} + y^{2}/a^{2} = 1 (a > b).

122. 1. Vypočítajte plošný obsah tej časti útvaru ohraničeného krivkami y^{m} = x^{n} a y^{n} = x^{m} (m, n ∈ N, m > n), ktorá leží v prvom kvadrante.

2. Vypočítajte plošný obasah celého útvaru!

123. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného parabolou y = x^{2} +4x+9 a jej dotyčnicami v bodoch x_{1} = −3, x_{2} = 0.

124. Priamka sa dotýka paraboly v bode A, tetiva BC paraboly je s ňou rovnobežná. Dokážte, že plošný obsah útvaru ohraničeného úsečkou BC a parabolou je 4P/3, kde P je plošný obsah trojuholníka ABC.

125. 1. Nech sú dané čísla p, q, b, pričom b ≥ q. Pre ktoré k ∈ R je plošný obsah útvaru ohraničeného krivkami y = x^{2} + px + q a y = kx + b minimálny?

2. Kedy je plošný obsah útvaru ohraničeného parabolou x^{2} = 2py (p > 0 je dané) a normálou k nej najmenší?

Veta 18. Nech f, g : [a, b] → R sú spojité funkcie, nech 0 ≤ f(x) ≤ g(x) pre všetky x ∈ [a, b]. Potom objem telesa, ktoré vznikne rotáciou množiny M = {(x, y) ∈ R × R ; a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} okolo osi Ox, je číslo

π ∫_{a}^{b}(g^{2}(x) − f^{2}(x)) dx .

Ak a ≥ 0, tak objem telesa, ktoré vznikne rotáciou množiny M okolo osi Oy, je číslo

2π ∫_{a}^{b} x(g(x) − f(x)) dx ^{21}.

126. Vypočítajte objem telesa, ktoré vzniklo rotáciou plochy ohraničenej grafmi kriviek

1. y = b (\frac{x}{a})^{2/3}, x ∈ [0, a] , okolo osi Ox ;

2. \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 , x = a + h okolo osi Ox ;

20krivku y^{2} = x^{2}(a^{2} − x^{2}) možno samozrejme zapísať aj v tvare zjednotenia grafov iných funkcií premennej x (napr. g_{1}(x) = x\sqrt{a^{2} − x^{2}}, g_{2}(x) = −x\sqrt{a^{2} − x^{2}} ), uvedené vyjadrenie nám však vyhovuje preto, lebo f_{1}(x) ≥ f_{2}(x) pre všetky x ∈ [−a, a] a f_{1}, f_{2} sú spojité funkcie

21z geometrickej interpretácie potom vyplýva, že pre spojitú rastúcu funkciu f : [a, b] → R takú, že a ≥ 0, f(a) ≥ 0, platí

2 ∫_{a}^{b} xf(x) dx = ∫_{f(a)}^{f(b)} (b^{2} − (f^{−1}(x))^{2}) dx

(porovnaj s pr. 137 a 143)

3. 2px = y^{2} , 2q(a − x) = y^{2} okolo osi Ox ;

4. 2px = y^{2} , 2q(x − a) = y^{2}  (q > p)  okolo osi Ox ;
5. y = 2x − x^{2} , y = 0  a) okolo osi Ox ;  b) okolo osi Oy ;
6. y = b (\frac{x}{a})^{2} , y = b |\frac{x}{a}|  a) okolo osi Ox ;  b) okolo osi Oy ;

7. \frac{x^{2}}{4} + \frac{(y − 3)^{2}}{9} = 1 okolo osi Ox ;

8. x^{2} − xy + y^{2} = a^{2} okolo osi Ox ;

9. y = cos x , y = \frac{9}{2π^{2}} x^{2} okolo osi Ox ;

10. y = x , y = x + sin^{2} x , x = 0 , x = π okolo osi Oy ;

11. y = \frac{a^{3}}{a^{2} + x^{2}} , y = 0 , x = 0 , x = a okolo osi Oy ;

12. y = x\sqrt{\frac{3 + 3x}{3 − x}} , x = 0 , x = 2 , y = 6 okolo osi Oy ;

13. y = arcsin x , x = 1 , y = −\frac{π}{2} okolo priamky y = \frac{π}{2} .

127. Tórus je teleso, ktoré vznikne rotáciou kruhu (s polomerom a) okolo osi ležiacej v rovine kruhu, ktorej vzdialenosť od stredu kruhu je b (b ≥ a). Nájdite vzorec pre jeho objem!

128. Nájdite vzorec pre objem zrezaného rotačného kužela (rovina rezu je kolmá na os rotácie) s polomermi základní R, r (r < R) a výškou h.

129. Rovina kolmá na os rotačného paraboloidu z neho odsekáva segment s polomerom základne r a výškou h. Vypočítajte objem tohto segmentu!

130. Vypuklá šošovka je ohraničená dvoma súosými paraboloidmi, jej priemer (v rovine prieniku paraboloidov) je D, hrúbka (v ich spoločnej osi) je h. Vypočítajte objem V šošovky!

131. Parabolický segment je ohraničený oblúkom paraboly a jej tetivou dĺžky 2a, ktorá je kolmá na os paraboly a je vzdialená h od vrcholu paraboly. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tohto segmentu okolo tetivy!

Veta 19. Nech f : [a, b] → R je spojite diferencovateľná funkcia. Potom dĺžkou krivky {(x, y) ∈ R × R ; x ∈ [a, b], y = f(x)} je číslo

∫_{a}^{b} \sqrt{1 + [f′(x)]^{2}} dx .

132. Vypočítajte dĺžku krivky danej rovnicou

1. y = x^{3/2}, x ∈ [0, 4] ; 2. y^{2} = 2px , x ∈ [0, x_{0}] ;

3. x = \frac{1}{4} y^{2} − \frac{1}{2} ln y , y ∈ [1, e] ;

4. y = 2a ln \frac{\sqrt{a} + \sqrt{x}}{\sqrt{a} − \sqrt{x}} − 4\sqrt{ax} , x ∈ [0, x_{0}] (x_{0} < a) ;

5. y = \sqrt{e^{2x} − 1} − arctg \sqrt{e^{2x} − 1} , x ∈ [0, 1] ;

6. y = \frac{1}{2} (x\sqrt{x^{2} − 1} − ln (x + \sqrt{x^{2} − 1})) , x ∈ [1, a + 1] ;

7. x = a ln \frac{a + \sqrt{a^{2} − y^{2}}}{y} − \sqrt{a^{2} − y^{2}} , y ∈ [b, a] ;

8. y = 2 arctg \sqrt{\frac{1 − x}{1 + x}} − \sqrt{1 − x^{2}} , |x| ≤ a < 1 ;

9. y = a ln \frac{a^{2}}{a^{2} − x^{2}} , x ∈ [0, b] (b < a) ;

10. y = \frac{x}{6} \sqrt{x + 12} , x ∈ [−11, −3] ; 11. e^{y} = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} − 1} , x ∈ [a, b] ;

12. y = \sqrt{2x − x^{2}} − 1 , x ∈ [\frac{1}{4}, 1] ;  13. y = ln cos x , x ∈ [0, a]  (a < \frac{π}{2} ) ;

14. y = 2\sqrt{1 + e^{x/2}} , ln 9 ≤ x ≤ ln 64 ; 15. y = \frac{x}{4}\sqrt{2 − x^{2}} , x ∈ [0, 1] ;

16. y^{2} = \frac{x^{3}}{2a − x} , x ∈ [0, \frac{5}{3}a] ; 17. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} .

133. Vypočítajte dĺžku krivky y = ∫_{−π/2}^{x} \sqrt{cos t} dt.

134. Vypočítajte obvod útvaru ohraničeného krivkami y^{3} = x^{2}, y = \sqrt{2 − x^{2}} .

135. Vypočítajte dĺžku tej časti krivky x^{2/3} − y^{2/3} = a^{2/3}, ktorá leží vnútri paraboly 27ax = 10\sqrt{10} y^{2} .

136. Nech M je bod reťazovky y = a ch (x/a), l jej dotyčnica v bode M. Označme M_{1} projekciu bodu M na os Ox a N projekciu bodu M_{1} na priamku l. Dokážte, že dĺžka oblúka AM reťazovky (kde A ≡ (0, a) je vrchol reťazovky) je rovnaká ako dĺžka úsečky MN.

137. Nech f:[a, b]→R je prostá spojite diferencovateľná funkcia, pričom f′(x) ≠ 0 pre všetky x ∈ [a, b], f(b) > f(a). Potom

∫_{a}^{b} \sqrt{1 + [f′(x)]^{2}} dx = ∫_{f(a)}^{f(b)} \sqrt{1 + [(f^{−1})′(x)]^{2}} dx .

Dokážte uvedenú rovnosť a interpretujte ju geometricky!

Veta 20. a) Nech f : [a, b] → R je spojite diferencovateľná funkcia. Potom plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou krivky y = f(x) okolo osi Ox, je číslo

2π ∫_{a}^{b} |f(x)|\sqrt{1 + [f′(x)]^{2}} dx .

b) Ak naviac a ≥ 0, tak plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou krivky y = f(x) okolo osi Oy, je číslo

2π ∫_{a}^{b} x\sqrt{1 + [f′(x)]^{2}} dx .

138. Vypočítajte plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou krivky

1. y = x \sqrt{\frac{x}{a}} , x ∈ [0, a] , okolo osi Ox ;

2. y = tg x , x ∈ [0, \frac{π}{4} ] , okolo osi Ox ;

3. y^{2} = 2px , x ∈ [0, x_{0}] ,  a) okolo osi Ox ;  b) okolo osi Oy ;

4. x = a ln \frac{a + \sqrt{a^{2} − y^{2}}}{y} − \sqrt{a^{2} − y^{2}} , 0 < b ≤ y ≤ a , okolo osi Ox ;

5. y = \frac{1}{2a}(a^{2} + x^{2}) , x ∈ [0, a] , okolo osi Ox ;

6. y = \frac{1}{x} , x ∈ [1, a] , okolo osi Ox ;

7. y = ln (x − \sqrt{x^{2} − 1}) , x ∈ [\frac{5}{4}, \frac{5}{3}] , okolo osi Ox ;

8. y = \frac{1}{4}(x^{2} − 2 ln x) , x ∈ [\frac{1}{e}, e] , okolo osi Ox ;

9. y = a arcsin \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{x(a − x)} , x ∈ [\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}] , okolo osi Ox ;

10. y = \frac{1}{2} (arcsin x + x \sqrt{1 − x^{2}}) , x ∈ [0, 1] , okolo osi Oy .

139. Vypočítajte plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou oblúka reťazovky y = a ch (x/a) odrezaného priamkou y = 5a/3 okolo tejto priamky.

140. Vypočítajte plošný obsah množiny, ktorá vznikne rotáciou oblúka kružnice x^{2} + y^{2} = a^{2} od bodu A ≡ (a, 0) po bod B ≡ (0, a) okolo priamky x + a = y.

141. Nájdite vzorec pre výpočet plošného obsahu povrchu segmentu rotačného paraboloidu s výškou h a polomerom základne R.

142. Krivka y = cos x, x ∈ [−π, π], rotuje okolo priamky y = a. Pri akom a bude plošný obsah S množiny, ktorá vznikne touto rotáciou, minimálny? Vypočítajte tento minimálny plošný obsah!

143. Nech f : [a, b] → R je nezáporná prostá spojite diferencovateľná funkcia, pričom a ≥ 0, f(a) ≤ f(b), f′(x) ≠ 0 pre všetky x ∈ [a, b]. Potom

∫_{a}^{b} f(x)\sqrt{1 + [f′(x)]^{2}} dx = ∫_{f(a)}^{f(b)} x\sqrt{1 + [(f^{−1})′(x)]^{2}} dx .

Dokážte uvedenú rovnosť a interpretujte ju geometricky!

Poznámka (Newtonov integrál a zovšeobecnená primitívna funkcia). Pri riešení príkladov 91.1 a 95.7 sme sa stretli s pojmom Newtonov integrál, preto na tomto mieste uvádzame jeho definíciu a niektoré základné tvrdenia.

Nech F : (a, b) → R je primitívna funkcia k funkcii f : (a, b) → R, nech existujú konečné lim_{x→a} F (x), lim_{x→b} F (x). Newtonovým integrálom funkcie f na intervale (a, b) sa potom nazýva číslo

(N) ∫_{a}^{b} f(x) dx := [F (x)]_{a}^{b} := lim_{x→b} F (x) − lim_{x→a} F (x) .

Použitím pojmu Newtonovho integrálu môžeme vetu 11 (Newtonov–Leibnizov vzorec) sformulovať takto:

Nech f ∈ R[a, b] a existuje (N) ∫_{a}^{b} f(x) dx. Potom

∫_{a}^{b} f(x) dx = (N) ∫_{a}^{b} f(x) dx .

Pojem Newtonovho integrálu môžeme zovšeobecniť, ak v jeho definícii použijeme namiesto pojmu primitívnej funkcie pojem zovšeobecnenej primitívnej funkcie definovaný nasledovne:

Spojitá funkcia F definovaná na intervale I sa nazýva zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii f:I → R, ak existuje konečná množina K ⊂ I taká, že

∀ x ∈ I \ K : F′(x) = f(x) .

(V súvislosti s takto zovšeobecneným pojmom Newtonovho integrálu si všimnite pr. 87.)

Veta (integrácia per partes pre Newtonov integrál). Nech F, G : (a, b) → R sú zovšeobecnené primitívne funkcie k funkciám f, g : (a, b) → R, nech existuje (N) ∫_{a}^{b} F (x)g′(x) dx a konečné lim_{x→a} F (x)G(x), lim_{x→b} F (x)G(x). Potom

(N) ∫_{a}^{b} f(x)G(x) dx = [F (x)G(x)]_{a}^{b} − (N) ∫_{a}^{b} F (x)g(x) dx .

Veta (substitučná metóda pre Newtonov integrál). Nech ω je spojitá rýdzomonotónna funkcia zobrazujúca interval (a, b) na interval (c, d) (a, b, c, d ∈ R^{∗}); nech pre každé x ∈ (a, b) \ K, kde K je konečná množina, existuje nenulová vlastná derivácia ω′(x). Potom

(N) ∫_{a}^{b} f(ω(x)) |ω′(x)| dx = (N) ∫_{c}^{d} f(x) dx ,

ak aspoň jeden z uvedených integrálov existuje.

Využime teraz Newtonov integrál pri výpočte ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{1 + sin^{2} x} (pr. 91.1) a ∫_{0}^{1} arccos x dx (pr. 95.7):

∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{1 + sin^{2} x} = (N) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{1 + sin^{2} x} = (N) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{2 sin^{2} x + cos^{2} x} = (N) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx/ cos^{2} x}{2 tg^{2}x + 1} =
= | \begin{matrix}tg x = & t \\ dx/ cos^{2} x = & dt \end{matrix} tg ((0, π/2)) = (0, ∞)| = (N) ∫_{0}^{∞} \frac{dt}{1 + 2t^{2}} = [\frac{1}{\sqrt{2}} arctg \sqrt{2} t]_{0}^{∞} =
= \frac{1}{2\sqrt{2}}π ;

∫_{0}^{1} arccos x dx = (N) ∫_{0}^{1} arccos x dx = \begin{matrix}G = & arccos x & g = & −1/\sqrt{1 − x^{2}} \\ f = & 1 & F = & x \end{matrix} =
= [x arccos x]_{0}^{1} + (N) ∫_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = [x arccos x]_{0}^{1} + [−\sqrt{1 − x^{2}}]_{0}^{1} = 1 .

2.6 Ďalšie príklady

144_{0}. Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je prostá postupnosť bodov intervalu [a, b], pričom a_{1} = a, a_{2} = b. Nech delenie D_{n} intervalu [a, b] je vytvorené deliacimi bodmi a_{1}, …, a_{n+1} (usporiadanými podľa veľkosti). Dokážte nasledujúce tvrdenie:

{D_{n}}_{n=1}^{∞} je normálnou postupnosťou delení práve vtedy, keď každý bod intervalu [a, b] je hromadnou hodnotou postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}.

145. Dokážte, že pre každé číslo λ ∈ [0, 1] a každú normálnu postupnosť {D_{n}}_{n=1}^{∞} delení intervalu [0, 1] existuje postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} integrálnych súčtov Dirichletovej funkcie χ taká, že S_{n} je integrálny súčet pri delení D_{n} a lim_{n→∞} S_{n} = λ.

146. Ak nekonštantná periodická funkcia f:R→R je integrovateľná na každom uzavretom ohraničenom intervale I ⊂ R, tak f má najmenšiu periódu. Dokážte!

147. Ak f : [a, b] → R je ohraničená funkcia a f ∈ R[a − ε, b] pre každé ε ∈ (0, b − a), tak f ∈ R[a, b]. Dokážte!

148. Nech f : [a, b] → R je nezáporná ohraničená funkcia, nech pre každé α > 0 je množina {x ∈ [a, b] ; f(x) ≥ α} konečná. Potom f ∈ R[a, b]. Dokážte!

149. Nech M ⊂ [a, b] je nekonečne spočítateľná množina. Na [a, b] definujte funkciu f tak, aby bola nespojitá v každom bode množiny M a aby platilo f ∈ R[a, b].

150. Označme E_{n} := \{\frac{0}{2^{n}} , \frac{1}{2^{n}} , …, \frac{2^{n} − 1}{2^{n}}\} , n = 0, 1, 2, …, nech E_{n}^{∗} := E_{n} \ ⋃_{k=0}^{n−1} E_{k}, n ∈ N; nech

{λ_{n}}_{n=1}^{∞} je ohraničená postupnosť reálnych čísel. Definujme funkciu f:[0, 1]→R predpisom

f(x) = \{ \begin{matrix}λ_{n} , ak & x ∈ E_{n}^{∗} \\ 0 ak & x ∈ [0, 1] \ ⋃_{n∈N} E_{n}^{∗} \end{matrix} .

Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1_{0}. f ∈ R[0, 1] práve vtedy, keď lim_{n→∞} λ_{n} = 0 ;

2. ak f ∈ R[0, 1], tak ∫_{0}^{1} f(x) dx = 0.

151. Ohraničená funkcia f:[a, b]→R je riemannovsky integrovateľná práve vtedy, keď existuje normálna postupnosť {D_{n}}_{n=1}^{∞} delení intervalu [a, b] taká, že všetky k nej patriace postupnosti integrálnych súčtov (tj. všetky postupnosti {S_{n}}_{n=1}^{∞} také, že S_{n} je integrálny súčet funkcie f pri delení D_{n}) konvergujú k tomu istému číslu. Dokážte!

152. Nech f:[a, b]→ R je ohraničená funkcia. Dokážte, že nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné:

a) f ∈ R[a, b];

b) pre každé ε > 0 a každé λ > 0 existuje delenie D intervalu [a, b], pre ktoré súčet d dĺžok tých jeho čiastočných intervalov, na ktorých je oscilácia funkcie f va̋čšia alebo rovná λ, je menší ako ε. (Osciláciou funkcie f na intervale [a, b] sa nazýva číslo ω(f, [a, b]) := sup_{x∈[a,b]} f(x) − inf_{x∈[a,b]} f(x).)

153. Ak f ∈ R[a, b] a [α, β] ⊂ [a, b], tak

lim_{h→0} ∫_{α}^{β} |f(x + h) − f(x)| dx = 0 .

Dokážte!

154. Ak ohraničená funkcia f : [a, b] → R je nespojitá v každom bode intervalu [a, b], tak f ∉ R[a, b]. Dokážte!

155. Ak ohraničená funkcia f:[0, 1]→ R je spojitá v každom bode x ∈ [0, 1] ∩ (R \ Q), tak f ∈ R[0, 1]. Dokážte!

156. Nech A ⊂ R je ohraničená množina. Definujme množiny A^{(n)}, n = 0, 1, 2, …, nasledovne: A^{(0)} := A, …, A^{(n+1)} := (A^{(n)})′ (symbol B′ označuje množinu všetkých hromadných bodov množiny B). Dokážte tvrdenie:

Ak niektorá z množín A^{(n)}, n = 0, 1, …, má Jordanovu mieru nula, tak aj A má Jordanovu mieru nula.

157. Ak f:R→ R je konvexná funkcia a g ∈ R[0, 1], tak

f (∫_{0}^{1} g(x) dx) ≤ ∫_{0}^{1} f(g(x)) dx .  (2.7)

Dokážte!

158. Nech f:[a, b]→ R je spojitá funkcia a nech pre každú funkciu g ∈ R[a, b] platí ∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = 0. Potom f(x) = 0 pre všetky x ∈ [a, b]. Dokážte!

159. Ak f:[a, b]→ R je spojitá nezáporná fukcia, tak

lim_{n→∞} (∫_{a}^{b} f^{n}(x) dx)^{1/n} = max_{x∈[a,b]} f(x) .

Dokážte!

160. Nech f : [0, π] → R je spojitá funkcia, nech ∫_{0}^{π} f(x) sin x dx = ∫_{0}^{π} f(x) cos x dx = 0. Potom funkcia f nadobúda aspoň v dvoch rôznych bodoch intervalu (0, π) nulovú hodnotu. Dokážte!

161. Ak f ∈ R[a, b] a f(x) > 0 pre všetky x ∈ [a, b], tak ∫_{a}^{b} f(x) dx > 0. Dokážte! 162_{0}. Ak f, g ∈ R[a, b] a f(x) > g(x) pre všetky x ∈ [a, b], tak ∫_{a}^{b} f(x) dx > ∫_{a}^{b} g(x) dx. Dokážte!

163. Ak f ∈ R[a, b] a f(x) > 0 pre všetky x ∈ [a, b], tak existuje interval [α, β] ⊂ [a, b] taký, že inf_{x∈[α,β]} f(x) > 0. Dokážte!

164. Nech f:[a, b]→ R je nezáporná riemannovsky integrovateľná funkcia. Potom ∫_{a}^{b} f(x) dx > 0 práve vtedy, keď množina N := {x ∈ [a, b] ; f(x) = 0} nie je hustá v [a, b] (definíciu hustoty pozri v pr. 70). Dokážte!

165. Nech f ∈ R[a, b], f(x) ≠ 0 pre všetky x ∈ [a, b]. Potom fχ ∉ R[a, b]. Dokážte!

166. Ak f:[a, b]→ R je spojitá konkávna funkcia, tak

(b − a)\frac{f(a) + f(b)}{2} ≤ ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ (b − a) f (\frac{a + b}{2}) .

Dokážte!

167. Ak f:[0, 1]→ R je spojite diferencovateľná funkcia a f(1) − f(0) = 1, tak

∫_{0}^{1}(f′(x))^{2} dx ≥ 1 .

Dokážte!

168. Nech f:[a, b]→ R je spojite diferencovateľná funkcia, označme

Δ_{n} := ∫_{a}^{b} f(x) dx − \frac{b − a}{n} ∑_{k=1}^{n} f (a + k · \frac{b − a}{n}) .

Nájdite lim_{n→∞} nΔ_{n} !

169. Dokážte nasledujúce nerovnosti:

1. 1 < ∫_{0}^{1} \frac{1 + x^{20}}{1 + x^{40}} dx < \frac{43}{42} ; 2. 1 − \frac{1}{n + 1} < ∫_{0}^{1} e^{−x^{n}} dx < 1 ;

3. 0.03 < ∫_{0}^{1} \frac{x^{7}}{(e^{x} + e^{−x})\sqrt{1 + x^{2}}} dx < 0.05 .

170. Porovnajte čísla ∫_{0}^{π} e^{sin^{2} x} dx a \frac{3π}{2} !

171_{0}. Dokážte nerovnosť

∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k} < ∫_{1}^{n} \frac{dx}{x} < ∑_{k=1}^{n−1} \frac{1}{k}

a na jej základe rovnosť

lim_{n→∞} \frac{1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}}{ln n} = 1 .

172. Vypočítajte približne 1^{5} + 2^{5} + ⋯ + 100^{5} .

173. Nájdite lim_{n→∞} S_{n}, ak

1. S_{n} = (sin \frac{π}{n}) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2 + cos(kπ/n)} ;

2. S_{n} = \frac{1}{n^{2}} ∑_{k=1}^{n} \sqrt{(nx + k)(nx + k + 1)} , x ≥ 0 ;

3. S_{n} = \frac{2^{1/n}}{n + 1} + \frac{2^{2/n}}{n + 1/2} + ⋯ + \frac{2^{n/n}}{n + 1/n} ;

4. S_{n} = (1 + \frac{1}{n}) sin \frac{π}{n^{2}} + (1 + \frac{2}{n}) sin \frac{2π}{n^{2}} + ⋯ + (1 + \frac{n − 1}{n}) sin \frac{(n − 1)π}{n^{2}} ;

5. S_{n} = (∑_{k=1}^{n} e^{1/(n+k)}) − n ;

6. S_{n} = ∑_{k=1}^{n} cos \frac{1}{\sqrt{n + k}} ; 7. S_{n} = ∑_{k=0}^{n} sin \frac{1}{\sqrt{n + k}} .

174. Vypočítajte integrály:

1. ∫_{0}^{π/2} \frac{sin(2m − 1)x}{sin x} dx , m ∈ N ; 2. ∫_{0}^{π/2} (\frac{sin nx}{sin x})^{2} dx , n ∈ N ;

3. ∫_{0}^{π} \frac{sin nx}{sin x} dx , n ∈ N .

175. Vypočítajte integrály:

1. ∫_{−1}^{1} \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} dx (použite substitúciu x − \frac{1}{x} = t) ;

2. ∫_{a}^{b} \frac{(1 − x^{2}) dx}{(1 + x^{2})\sqrt{1 + x^{4}}} .

176. 1. Nech φ: R → R je periodická funkcia s periódou P, φ ∈ R[0, P], nech f : [a, b] → R je spojitá funkcia. Potom

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f(x)φ(nx) dx = 0 .

Dokážte!

2. Ak f:[a, b]→ R je spojitá funkcia, tak

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f(x) | sin nx| dx = \frac{2}{π} ∫_{a}^{b} f(x) dx .

Dokážte!

177. Vypočítajte ∫_{1/2}^{2} (1 + x − \frac{1}{x}) e^{x+1/x} dx!

178. Použitím rekurentného vzťahu vypočítajte integrál I = ∫_{0}^{1}(1−x^{2})^{n} dx , n ∈ N. Na základe získaného výsledku dokážte rovnosť

1 − \frac{\binom{n}{1}}{3} + \frac{\binom{n}{2}}{5} − \frac{\binom{n}{3}}{7} + ⋯ + (−1)^{n} \frac{\binom{n}{n}}{2n + 1} = \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!} .

179. Viacnásobným integrovaním per partes vypočítajte Eulerov integrál

B(m, n) = ∫_{0}^{1} x^{m−1}(1 − x)^{n−1} dx ( m, n ∈ N ) .

Na základe získaného výsledku dokážte rovnosť

∑_{k=0}^{n−1} \frac{(−1)^{k}}{k + m}\binom{n − 1}{k} = \frac{(m − 1)!(n − 1)!}{(m + n − 1)!} .

180. Dokážte rovnosť

I_{m,n} := ∫_{0}^{π/2} sin^{m} x cos^{n} x dx = \{ \begin{matrix}\frac{(m − 1)!!(n − 1)!!}{(m + n)!!} · \frac{π}{2} , & ak m, n ∈ N sú párne \\ \frac{(m − 1)!!(n − 1)!!}{(m + n)!!} , & ak aspoň jedno z čísel m, n ∈ N je nepárne \end{matrix} .

181. Na základe výsledku pr. 96.1 a nerovností sin^{2n+1} x < sin^{2n} x < sin^{2n−1} x pre n ∈ N a x ∈ (0, π/2) dokážte Wallisov vzorec:

lim_{n→∞} \frac{1}{2n + 1} (\frac{(2n)!!}{(2n − 1)!!})^{2} = \frac{π}{2} .

182. Vypočítajte integrály:

1. K_{n} = ∫_{0}^{π/2} cos^{n} x cos nx dx ; 2. L_{n} = ∫_{0}^{π/2} cos^{n} x sin nx dx .

183. Dokážte nasledujúce rovnosti:

1. ∫_{0}^{π/2}cos^{α−1} x sin(α + 1)x dx = \frac{1}{α} ; 2_{0}. ∫_{0}^{π/2}cos^{α−1} x cos(α + 1)x dx = 0 ;

3_{0}. ∫_{0}^{π/2}sin^{α−1} x cos(α + 1)x dx = \frac{cos(απ/2)}{α} ; 4_{0}. ∫_{0}^{π/2}sin^{α−1} x sin(α + 1)x dx = \frac{sin(απ/2)}{α} .

184_{0}. Nech a < α < β < b, nech funkcie f, g:[a, b]→ R sú n–krát spojite diferencovateľné a nech platí

∀ x ∈ [a, b] \ (α, β) : f(x) = g(x) = 0 .

Potom

∫_{a}^{b} f^{(n)}(x)g(x) dx = (−1)^{n} ∫_{a}^{b} f(x)g^{(n)}(x) dx .

Dokážte!

185. Nech f ∈ R[a, b] je kladná funkcia. Potom existuje c ∈ (a, b) také, že ∫_{a}^{c} f(x) dx = ∫_{c}^{b} f(x) dx. Dokážte!

186. Vypočítajte limity:

1. lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n}} ∫_{1}^{n} ln (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx ; 2. lim_{x→0+} \frac{∫_{0}^{sin x} \sqrt{tg t} dt}{∫_{0}^{tg x} \sqrt{sin t} dt} .

187. Nech f:(0, ∞)→ R je spojitá kladná funkcia. Dokážte, že funkcia g:(0, ∞)→ R daná predpisom

g(x) = \frac{∫_{0}^{x} tf(t) dt}{∫_{0}^{x} f(t) dt}

je rastúca.

188. Nech f : R → R je spojitá funkcia. Rozhodnite, či platí tvrdenie ,,Ak ∫_{−a}^{a} f(x) dx = 0 pre každé a > 0, tak f je nepárna funkcia.“.

189. Spojitá funkcia f je kladná na intervale [a, b] práve vtedy, keď platí

∃ λ > 0 ∀ α, β ∈ R, a ≤ α < β ≤ b : ∫_{α}^{β} f(x) dx ≥ λ(β − α) .

Dokážte!

190. Zostrojte funkciu f : [−1, 1] → R tak, aby f ∈ R[−1, 1] a funkcia F (x) = ∫_{−1}^{x} f(t) dt, x ∈ [−1, 1], nemala deriváciu sprava ani zľava v bode 0.

191. Ukážte, že funkcia F (x) = ∫_{−1}^{x} sin(1/x) dx je diferencovateľná v bode 0.

192. Nech funkcia f:R→ R je riemannovsky integrovateľná na každom intervale [a, b] ⊂ R, nech δ > 0. Definujme funkciu F_{δ}:R→ R predpisom

F_{δ}(x) = \frac{1}{2δ} ∫_{x−δ}^{x+δ} f(t) dt .

Dokážte nasledujúce tvrdenia:

1_{0}. F_{δ} je spojitá funkcia; 2_{0}. ak f je spojitá, tak F_{δ} je spojite diferencovateľná; 3_{0}. ak f je n–krát spojite diferencovateľná, tak F_{δ} je (n + 1)–krát spojite diferencovateľná;

4. ak f je rastúca (klesajúca), tak aj F_{δ} je rastúca (klesajúca): 5_{0}. ak f je konvexná (konkávna), tak aj F_{δ} je konvexná (konkávna);

6. ak f je spojitá, tak platí

∀ [a, b] ⊂ R ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ [a, b] : |f(x) − F_{δ}(x)| < ε .

193. Nech f:[a, b]→ R je spojitá funkcia, nech n ∈ N a ε > 0 sú dané. Potom existuje n–krát spojite diferencovateľná funkcia f_{ε}:[a, b]→ R, pre ktorú platí

∀ x ∈ [a, b] : |f(x) − f_{ε}(x)| < ε .

Dokážte!

194 (Steffensenova nerovnosť). Nech pre spojitú funkciu g:[a, b]→ R platí 0 ≤ g(x) ≤ 1, x ∈ [a, b], nech f:[a, b]→ R je spojitá rastúca funkcia; označme l := ∫_{a}^{b} g(x) dx. Potom

∫_{a}^{a+l} f(t) dt ≤ ∫_{a}^{b} f(t)g(t) dt ≤ ∫_{b−l}^{b} f(t) dt .

Dokážte!

195. Nech f:[0, 1]→ R je klesajúca funkcia. Potom pre každé ϑ ∈ (0, 1) platí nerovnosť

ϑ ∫_{0}^{1} f(x) dx ≤ ∫_{0}^{ϑ} f(x) dx .

Dokážte!

196. Nájdite lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} nf(x)e^{−nx} dx, kde f:[0, 1]→ R je spojitá funkcia.

197. Nech f, g:[0, 1]→ R sú spojité neklesajúce funkcie. Dokážte nerovnosť

∫_{0}^{1} f(x)g(x) dx ≥ ∫_{0}^{1} f(x) dx · ∫_{0}^{1} g(x) dx .

198. Nech f : [a, b] → R je spojitá funkcia, nech v každom intervale [α, β] ⊂ [a, b] existuje práve jedno číslo c také, že f(c) je stredná hodnota funkcie f na intervale [α, β]. Potom f je rýdzomonotónna funkcia. Dokážte!

199 (Schwarzova–Cauchyho–Bunjakovského nerovnosť). Nech f, g ∈ R[a, b]. Potom

(∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx)^{2} ≤ ∫_{a}^{b} f^{2}(x) dx · ∫_{a}^{b} g^{2}(x) dx .

Dokážte!

200. Nech f, g ∈ R[a, b], nech 0 < p ≤ inf_{x∈[a,b]} f(x) ≤ sup_{x∈[a,b]} f(x) ≤ P, 0 < q ≤ inf_{x∈[a,b]} g(x) ≤ ≤ sup_{x∈[a,b]} g(x) ≤ Q. Potom

(∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx)^{2} (\sqrt{\frac{P Q}{pq}} + \sqrt{\frac{pq}{P Q}} )^{2} ≥ 4 ∫_{a}^{b} f^{2}(x) dx · ∫_{a}^{b} g^{2}(x) dx .

Dokážte!

201 (Youngova nerovnosť). Nech f : [0, ∞) → R je diferencovateľná rastúca funkcia taká, že f(0) = 0 a lim_{x→∞} f(x) = ∞; nech g:[0, ∞)→ R je inverzná funkcia k funkcii f. Potom pre každé a, b ∈ [0, ∞) platí

ab ≤ ∫_{0}^{a} f(x) dx + ∫_{0}^{b} g(x) dx .

Dokážte! Na základe toho dokážte nerovnosť

∀ p > 1, q > 1; \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 ∀ u ≥ 0, v ≥ 0 : uv ≤ \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q} .  (2.8)

202 (Hőlderova nerovnosť). Nech f, g ∈ R[a, b], nech pre čísla p > 1, q > 1 platí 1/p + 1/q = 1. Potom

∫_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx ≤ (∫_{a}^{b} |f(x)|^{p} dx)^{1/p} (∫_{a}^{b} |g(x)|^{q} dx)^{1/q} .

Dokážte^{22}!

203. Odhadnite hodnotu integrálu I = ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{4}} dx

1. pomocou prvej vety o strednej hodnote;

2. na základe pr. 166;

3. na základe nerovnosti \sqrt{1 + x^{4}} < 1 + x^{4}/2, x > 0;

4. pomocou Schwarzovej–Cauchyho–Bunjakovského nerovnosti.

22zrejme špeciálnym prípadom tejto nerovnosti je Schwarzova–Cauchyho–Bunjakovského nerovnosť z pr.