Chapter 3

Číselné rady

3. Číselné rady

3.1 Základné pojmy

Ak je daná postupnosť {a_{n}}_{n=k}^{∞} ( k ∈ N ∪ {0}) , tak symbol ∑_{n=k}^{∞} a_{n} (alebo a_{k} + a_{k+1} + ⋯ + a_{n} +

⋯ ^{1}) nazývame \underline{(nekonečný číselný) rad}. Symboly ∑_{n=k}^{∞} a_{n} a ∑_{n=m}^{∞} a_{n+k−m} považujeme za totožné, preto — keďže každý rad ∑_{n=k}^{∞} a_{n} možno zapísať v podobe ∑_{n=1}^{∞} a_{n+k−1} — budú nasledujúce definície a vety formulované spravidla pre rady tvaru ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Číslo a_{k}, resp.

S_{k} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} , k ∈ N ,

sa nazýva \underline{k–ty člen}, resp. \underline{k–ty čiastočný súčet radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ^{2}}. Hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje} (\underline{je konvergentný}), ak existuje konečná lim_{n→∞} S_{n}, číslo lim_{n→∞} S_{n} sa potom nazýva \underline{súčet radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}} a označuje sa spravidla tým istým symbolom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ( a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} + ⋯). Ak neexistuje konečná lim_{n→∞} S_{n}, hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje} (\underline{je divergentný}), vtedy možno rozlíšiť tri prípady:

1. ak lim_{n→∞} S_{n} = +∞, hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje k +∞};

2. ak lim_{n→∞} S_{n} = −∞, hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje k −∞};

3. ak lim_{n→∞} S_{n} neexistuje, hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} osciluje}.

Hovoríme, že \underline{rady ∑_{n=k}^{∞} b_{n} a ∑_{n=m}^{∞} c_{n} majú rovnaký charakter}, ak obidva súčasne konvergujú alebo obidva oscilujú alebo obidva divergujú k +∞ alebo obidva divergujú k −∞.

\underline{k–tym zvyškom radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}} sa nazýva rad ∑_{n=k+1}^{∞} a_{n}. \underline{Súčtom radov ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=1}^{∞} b_{n}} ( \underline{k–ná-} \underline{sobkom radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}}) sa nazýva rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} + ∑_{n=1}^{∞} b_{n} := ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} + b_{n}) ( k ∑_{n=1}^{∞} a_{n} := := ∑_{n=1}^{∞}(ka_{n}) ).

Rad

a + aq + aq^{2} + ⋯ + aq^{n−1} + ⋯,

kde a, q ∈ R sú dané, sa nazýva \underline{geometrický rad (s kvocientom q)}. Tento rad konverguje, ak a = 0 alebo |q| < 1; diverguje k +∞ (k −∞), ak a > 0 a q ≥ 1 (ak a < 0 a q ≥ 1); osciluje, ak a ≠ 0 a q ≤ −1.

Pre q ≠ 1 platí

S_{n} = a + aq + ⋯ + aq^{n−1} = a \frac{1 − q^{n}}{1 − q} ;

1niekedy použijeme aj ,,zmiešané“ označenie, napr. a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

2rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} sa niekedy definuje ako postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} alebo ako usporiadaná dvojica postupností ({a_{n}}_{n=1}^{∞}, {S_{n}}_{n=1}^{∞}) ak |q| < 1, tak

a + aq + aq^{2} + ⋯ + aq^{n−1} + ⋯ = \frac{a}{1 − q} .

Veta 1. Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Potom rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=k}^{∞} a_{n} majú rovnaký charakter. Veta 2 (Cauchyho–Bolzanovo kritérium konvergencie). Rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje práve vtedy, keď platí

∀ ε > 0 ∃ n_{0} ∈ N ∀ n ∈ N, n > n_{0} ∀ p ∈ N : |a_{n+1} + ⋯ + a_{n+p}| < ε .

Veta 3 (nutná podmienka konvergencie). Ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, tak lim_{n→∞} a_{n} = 0.

204. Napíšte jedno z možných vyjadrení n–tého člena a_{n} radu, ak poznáte niekoľko prvých členov^{3}:

1. 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + ⋯; 2. 1 − \frac{1}{4} + \frac{1}{9} − \frac{1}{16} + ⋯;

3. \frac{1}{2} − \frac{1}{6} + \frac{1}{12} − \frac{1}{20} + \frac{1}{30} − \frac{1}{42} + ⋯; 4. 1 − \frac{1 · 3}{1 · 4} + \frac{1 · 3 · 5}{1 · 4 · 7} − \frac{1 · 3 · 5 · 7}{1 · 4 · 7 · 10} + ⋯;

5. 2 + \frac{2^{2}}{1 · 2} + \frac{2^{3}}{1 · 2 · 3} + \frac{2^{4}}{1 · 2 · 3 · 4} + ⋯; 6. \frac{2}{2} − \frac{5}{6} + \frac{8}{18} − \frac{11}{54} + · · · .

205. Nájdite n–tý člen a_{n} a súčet S radu, ak poznáte postupnosť jeho čiastočných súčtov:

1. S_{n} = \frac{n + 1}{n} ; 2. S_{n} = \frac{−1 + 2^{n}}{2^{n}} ;

3. S_{n} = sin (\frac{n + 1}{n} π) ; 4. S_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} .

206. Nájdite n–tý čiastočný súčet S_{n} nasledujúcich radov, na základe toho rozhodnite, ktoré z nich konvergujú:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2^{n−1}} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{3^{n}} ) ;

3. ∑_{n=1}^{∞}(2^{−n} + (−2)^{n}) ; 4. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}n ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(3n − 2)(3n + 1)} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 2)(n + 3)} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{n + 2} − 2\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) ;

9. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n − \sqrt{n^{2} − 1}}{\sqrt{n(n + 1)}} ; 10. ∑_{n=1}^{∞} ln (\frac{n + 1}{n}) ;

11. ∑_{n=1}^{∞} nq^{n} ; 12. ∑_{n=1}^{∞} \frac{2n − 1}{2^{n}} ;

13. ∑_{n=1}^{∞} sin \frac{α}{2^{n+1}} cos \frac{3α}{2^{n+1}} ; 14. ∑_{n=1}^{∞} sin \frac{n! π}{720} .

byť napr. a_{n} = n , a_{n} = n + (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) , a_{n} = \{ \begin{matrix}1 , ak n = & 4k − 3 , k ∈ N \\ 2 , ak n = & 4k − 2 , k ∈ N \\ 3 , ak n = & 4k − 1 , k ∈ N \\ 4 , ak n = & 4k , k ∈ N \end{matrix} atď; preto

3to, že hľadáme len ,,jedno z možných vyjadrení“, je úplne namieste: v prípade 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ môže v ďalšom budeme pri takomto zápise radu uvádzať spravidla okrem niekoľkých prvých aj n–tý člen

207. Ktoré z nasledujúcich radov možno na základe vety 3 vyhlásiť za divergentné?

1. ∑_{n=1}^{∞} n tg \frac{n}{n^{2} + 3} ; 2. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (cos \frac{1}{n})^{n} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) ; 4. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{\sqrt[n]{ln n}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{2n^{2}}{1000n^{2} + 3} .

208. Nech je daná rastúca postupnosť {p_{n}}_{n=1}^{∞} prirodzených čísel a postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}; označme A_{n} := ∑_{k=p_{n}}^{p_{n+1}−1} a_{k}, n = 1, 2, . . ..

1. Ak konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} A_{n} ^{4}. Dokážte!

2. Ak a_{n} ≥ 0 pre všetky n ∈ N a rad ∑_{n=1}^{∞} A_{n} konverguje, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} A_{n}. Dokážte!

3. Uveďte príklad postupností {a_{n}}_{n=1}^{∞} a {p_{n}}_{n=1}^{∞}, pre ktoré rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje a rad ∑_{n=1}^{∞} A_{n} konverguje.

209. Aký musí byť kvocient q geometrického radu ∑_{n=1}^{∞} q^{n−1}, aby rad ∑_{n=1}^{∞} R_{n}, kde R_{n} je súčet n–tého zvyšku radu ∑_{n=1}^{∞} q^{n−1}, mal súčet 5/4 ?

210. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentný rad, nech R_{n} je súčet jeho n–tého zvyšku. Ak {R_{n}}_{n=1}^{∞} je geometrická postupnosť, tak ∑_{n=2}^{∞} a_{n} je geometrický rad. Dokážte!

211. 1. Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna postupnosť a rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje. Potom lim_{n→∞} na_{n} = 0. Dokážte! Na základe tohto tvrdenia dokážte divergenciu radov ∑_{n=1}^{∞}(1/n^{p}) pre p ≤ 1.

2. Zostane tvrdenie z pr. 211.1 v platnosti, ak v ňom vynecháme predpoklad ,,{a_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna postupnosť“?

212. Konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ak

1. pre každé p ∈ N je lim_{n→∞}(a_{n+1} + ⋯ + a_{n+p}) = 0 ?

2. pre každé n ∈ N je lim_{p→∞}(a_{n+1} + ⋯ + a_{n+p}) = 0 ?

3.2 Rady s nezápornými (nekladnými) členmi

Rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} sa nazýva \underline{radom s kladnými} (\underline{zápornými}, \underline{nezápornými}, \underline{nekladnými}) \underline{členmi}, ak počínajúc skoro všetky n ∈ N ). γ) ak K = ∞ a rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} diverguje, tak diverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Veta 5^{6}. Rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} ^{7} konverguje, ak p > 1, a diverguje, ak p ≤ 1.

niektorým n_{0} ^{5} je a_{n} > 0 (a_{n} < 0 , a_{n} ≥ 0 , a_{n} ≤ 0 ).

Nasledujúce kritériá (vety 4, 6, 7, 9 a 10) formulované pre rady s nezápornými členmi možno využívať aj pri vyšetrovaní konvergencie radov s nekladnými členmi; na vyšetrenie konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} s nekladnými členmi totiž stačí vyšetriť konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞}(−a_{n}) s nezápornými členmi.

Veta 4 (porovnávacie kritérium). a) Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sú rady s nezápornými členmi, nech počínajúc niektorým n_{0} platí a_{n} ≤ b_{n}. Potom z konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n} vyplýva konvergencia radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}; z divergencie radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} vyplýva divergencia radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

b) Špeciálne, nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s nezápornými a ∑_{n=1}^{∞} b_{n} rad s kladnými členmi, nech existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} =: K. Potom

α) ak K ∈ (0, ∞), tak rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=1}^{∞} b_{n} majú rovnaký charakter; β) ak K = 0 a rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}; 4rad ∑_{n=1}^{∞} A_{n} teda vznikne ,,uzátvorkovaním“ radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} 5Nech V je výroková forma. Hovoríme, že počínajúc niektorým n_{0} (platí) V (n), ak existuje n_{0} ∈ N také, že pre všetky n ∈ N, n > n_{0} platí V (n) (namiesto ,,počínajúc niektorým n_{0}“ sa používa tiež spojenie pre

213. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n5^{n−1}} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{5^{n}}{2^{n}(2^{n} − 1)} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{2} 3n}{n\sqrt{n + 1}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{1000n + 1} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2n + 1} ^{3} \sqrt{2n − 1}} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg n}{n^{2} + 1} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{3n^{2} + 2n^{3}}{n + 5n^{5}} ;

9. ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n − 1}}{\sqrt{n + 2}} ; 10. ∑_{n=1}^{∞} sin (\frac{3 + (−1)^{n}}{n^{2}} ) ;

11. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln^{2} n} ; 12. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} − ln n} ;

13. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{1+1/n}} ; 14. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{π}{n} ;

15. ∑_{n=1}^{∞} (e^{1/n} − 1) sin \frac{1}{\sqrt{n + 1}} ; 16. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n})) ;

17. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{n^{2}} − n sin \frac{1}{n^{3}} ) ; 18. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln (1 + sin \frac{1}{n})}{n − ln^{2} n} .

Riešenie. Ak chceme pri vyšetrovaní konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} c_{n} s nezápornými členmi použiť porovnávacie kritérium, snažíme sa

• nájsť konvergentný rad, ktorého členy počínajúc niektorým sú všetky va̋čšie alebo rovné ako zodpovedajúce členy radu ∑_{n=1}^{∞} c_{n}:

1. \frac{1}{n5^{n−1}} ≤ \frac{1}{5^{n−1}} pre všetky n ∈ N a geometrický rad ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{5})^{n−1} konverguje, preto podľa vety 4a) konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n5^{n−1}} ;

• alebo nájsť divergentný rad, ktorého členy niektorým počínajúc sú všetky nezáporné a menšie alebo rovné ako zodpovedajúce členy radu ∑_{n=1}^{∞} c_{n}:

2. \frac{5^{n}}{2^{n}(2^{n} − 1)} ≥ \frac{5^{n}}{4^{n}} pre všetky n ∈ N a geometrický rad ∑_{n=1}^{∞} (\frac{5}{4})^{n} diverguje, preto podľa vety 4a)

diverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{5^{n}}{2^{n}(2^{n} − 1)};

6pozri tiež pr. 211.1, 227.2 a poznámku k pr. 234.1d) 7tieto rady sa nazývajú Riemannove, špeciálne rad ∑_{n=1}^{∞}(1/n) sa nazýva harmonický, rady ∑_{n=1}^{∞}(1/n^{p})

pre p ≠ 1 sa niekedy nazývajú zovšeobecnené harmonické rady 11. lim_{n→∞} \frac{1/ ln^{2} n}{1/n} = lim_{n→∞} \frac{n}{ln^{2} n} = ∞ ^{8}, teda (ako vyplýva z definície limity) počínajúc niektorým n_{0} platí \frac{n}{ln^{2} n} ≥ 1 , tj. \frac{1}{ln^{2} n} ≥ \frac{1}{n} ^{9}. Rad ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n} diverguje (vyplýva to z divergencie radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} a vety 1), preto podľa vety 4a)^{10} diverguje aj rad ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln^{2} n};

• alebo nájsť rad ∑_{n=1}^{∞} d_{n}, ktorý má rovnaký charakter ako rad ∑_{n=1}^{∞} c_{n}, pričom konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} d_{n} vieme vyšetriť:

14. Pretože lim_{n→∞} \frac{\frac{1}{n} sin \frac{π}{n}}{\frac{1}{n^{2}}} je nenulová a konečná, majú podľa tvrdenia α) vety 4b) rady ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{π}{n} a ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} rovnaký charakter. O rade ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} vieme, že konverguje (veta 5), preto konverguje aj rad

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{π}{n};

16. Aby sme mohli použiť vetu 4b), hľadáme rad ∑_{n=1}^{∞} d_{n} s kladnými členmi taký, že lim_{n→∞} \frac{\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n})}{d_{n}} je konečná a nenulová (a taký, ktorého konvergenciu vieme vyšetriť); na to použijeme myšlienku výpočtu limít pomocou Taylorových polynómov (pozri pr. I.390): Pretože

ln(1 + u) = u − \frac{u^{2}}{2} + o(u^{2}) pre u → 0

a pretože lim_{n→∞}(1/2n) = 0, je

ln (1 + \frac{1}{2n}) = \frac{1}{2n} − \frac{1}{8n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}} ) pre n → ∞ ,

\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n}) = \frac{1}{2} − n (\frac{1}{2n} − \frac{1}{8n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}} )) = \frac{1}{8n} + o (\frac{1}{n}) ^{11}.

Z tohto vyjadrenia vidno, že za rad ∑_{n=1}^{∞} d_{n} môžeme zvoliť harmonický rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}:

lim_{n→∞} \frac{\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n})}{\frac{1}{n}} = lim_{n→∞} \frac{\frac{1}{8n} + o (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = lim_{n→∞} (\frac{1}{8} + \frac{o (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{8} ,  (3.1)

teda rady ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} a ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n})) majú podľa tvrdenia α) vety 4b) rovnaký charakter, pritom o harmonickom rade ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} vieme, že diverguje. Preto diverguje aj rad

∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2} − n ln (1 + \frac{1}{2n})).

8využili sme rovnosť lim_{n→∞} \frac{n}{ln^{2} n} = lim_{x→∞} \frac{x}{ln^{2} x} (x ∈ R^{+}), na výpočet lim_{x→∞} \frac{x}{ln^{2} x} sme použili l’Hospitalovo pravidlo

9táto úvaha kopíruje myšlienku dôkazu tvrdenia γ) vety 4b) 10znova pripomeňme, že všetky kritériá z tejto kapitoly (hoci sú formulované pre rady tvaru ∑_{n=1}^{∞} c_{n})

možno použiť pri vyšetrovaní konvergencie radov tvaru ∑_{n=k}^{∞} c_{n} 11pri úpravách sme využili, že o((1/2n)^{2}) = o(1/n^{2}) , no(1/n^{2}) = o(1/n) a −o(1/n) = o(1/n)

Poznámka. Čitateľovi by sa mohlo zdať, že pri riešení pr. 213.16 sme zabudli preveriť, či rad ∑_{n=1}^{∞}(1/2 − n ln(1 + 1/2n)) je radom s nezápornými (prípadne nekladnými) členmi (inak by sme neboli oprávnení použiť vetu 4). Toto preverenie je zahrnuté vo výpočte limity (3.1): ak totiž ∑_{n=1}^{∞} d_{n} je rad s kladnými členmi a lim_{n→∞}(c_{n}/d_{n}) je kladná (záporná), tak ∑_{n=1}^{∞} c_{n} je rad s kladnými (zápornými) členmi.

214. Nájdite všetky hodnoty α, pre ktoré rad ∑_{n=2}^{∞} a_{n} konverguje, ak:

1. a_{n} = n^{α}(ln(n^{2} + 1) − ln n^{2}) ; 2. a_{n} = (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})^{α} ln \frac{2n + 1}{2n − 1} ;

3. a_{n} = (1 − n sin \frac{1}{n})^{α} ; 4. a_{n} = |ln \frac{n + 1}{n − 1} − \frac{2}{n − 1}|^{α} ;

5. a_{n} = α^{1/n} + α^{−1/n} − 2 , α > 0 ; 6. a_{n} = α^{1/n} − α^{1/(n+1)} , α > 0 ;

7. a_{n} = \frac{ln^{α} n}{n^{2}} ; 8. a_{n} = \frac{ln n}{n^{α}} .

215. Vyšetrite konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, kde

a_{n} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n} & , ak n ∈ \{m^{2} ; m ∈ N\} \\ \frac{1}{n^{2}} & , ak n ∈ N \ \{m^{2} ; m ∈ N\} \end{matrix} .

216. Ak a_{n} ≥ 0 pre všetky n ∈ N a postupnosť {na_{n}}_{n=1}^{∞} je ohraničená, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} konverguje. Dokážte!

217. Ak rady ∑_{n=1}^{∞} b_{n}, ∑_{n=1}^{∞} c_{n} konvergujú a platí b_{n} ≤ a_{n} ≤ c_{n}, n ∈ N, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Dokážte^{12}!

218. Ak konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} s nezápornými členmi, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2}. Dokážte! Platí aj obrátená implikácia?

219. Ak konvergujú rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2}, ∑_{n=1}^{∞} b_{n}^{2}, tak konvergujú aj rady ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}b_{n}|, ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} + b_{n})^{2}, ∑_{n=1}^{∞}(|a_{n}|/n). Dokážte!

220. Dokážte konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{n} − ln (1 + \frac{1}{n})); na základe toho dokážte, že existuje

číslo C také, že

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln n + C + ε_{n} ,  (3.2)

kde lim_{n→∞} ε_{n} = 0. (Číslo C sa nazýva Eulerova konštanta, C ≈ 0.577216).

Veta 6 (d’Alembertovo kritérium). Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s kladnými členmi. Potom

a) ak lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje;

b) ak počínajúc niektorým n_{0} platí \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≥ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Špeciálne, nech existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} =: k. Ak k < 1 (k > 1), tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

konverguje (diverguje). (Tento špeciálny prípad sa nazýva limitný tvar d’Alembertovho kritéria.)

12veta 4a) je špeciálnym prípadom tohto tvrdenia (stačí zvoliť b_{n} ≡ 0, n ∈ N)

Veta 7 (Cauchyho kritérium). Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s nezápornými členmi. Potom

a) ak lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} < 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje;

b) ak pre nekonečne veľa n ∈ N platí ^{n} \sqrt{a_{n}} ≥ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje. Špeciálne, nech existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} =: k. Ak k < 1 (k > 1), tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

konverguje (diverguje). (Tento špeciálny prípad sa nazýva limitný tvar Cauchyho kritéria.)

Veta 8. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť kladných čísel, tak

lim inf_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ lim inf_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} .

Dôsledok. Ak \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} je postupnosť kladných čísel a existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}, tak existuje aj lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} a platí

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} .

221. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1000^{n}}{n!} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{(2 + \frac{1}{n})^{n}} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n + 1}{n − 1})^{n^{2}(n−1)} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}n!}{n^{n}} , a > 0 ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{2^{n} + 3^{n}} ;

7. ∑_{n=1}^{∞}(\sqrt{2} − ^{3} \sqrt{2})(\sqrt{2} − ^{5} \sqrt{2}) ⋯ (\sqrt{2} − ^{2n+1} \sqrt{2}) ;

8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(3n)!}{(n!)^{2}4^{3n}} ; 9. ∑_{n=1}^{∞} \frac{3 · 6 ⋯ (3n)}{(n + 1)!} arcsin \frac{1}{2^{n}} ;

10. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{3}(\sqrt{2} + (−1)^{n})^{n}}{3^{n}} .

Riešenie. 5.

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{a^{n+1}(n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}}}{\frac{a^{n}n!}{n^{n}}} = \frac{an^{n}}{(n + 1)^{n}} = \frac{a}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} ,

preto

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{a}{e} .

Ak použijeme d’Alembertovo kritérium v limitnom tvare, dostaneme: ak 0 < a < e (tj. ak \frac{a}{e} < 1), tak rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}n!}{n^{n}} konverguje; ak a > e , tak rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}n!}{n^{n}} diverguje.

Zostáva vyšetriť prípad a = e.

Hoci v prípade a = e je lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 (a limitný tvar d’Alembertovho kritéria nedáva teda žiadnu

informáciu o konvergencii radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{e^{n}n!}{n^{n}} ), možno aj tu použiť vetu 6: postupnosť \{(1 + \frac{1}{n})^{n}\}_{n=1}^{∞} je

rastúca ^{13} a lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = sup_{n∈N} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e, preto pre všetky n ∈ N platí

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{e}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} > 1 ,

podľa tvrdenia b) vety 6 je teda rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{e^{n}n!}{n^{n}} divergentný.

6. Pre všetky n ∈ N platí

\frac{n^{5}}{2^{n} + 3^{n}} < \frac{n^{5}}{3^{n}} .

Na dôkaz konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{3^{n}} použijeme limitný tvar Cauchyho kritéria:

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{n^{5}}{3^{n}}} = lim_{n→∞} \frac{( ^{n} \sqrt{n})^{5}}{3} = \frac{1}{3} ^{14}.

Rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{3^{n}} teda podľa Cauchyho kritéria konverguje, z porovnávacieho kritéria potom vyplýva konvergencia

radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{2^{n} + 3^{n}}.

Poznámky. 1. Limitný tvar Cauchyho kritéria sme mohli aplikovať aj priamo na rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{2^{n} + 3^{n}},

výpočet lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{n^{5}}{2^{n} + 3^{n}}} ( = \frac{1}{3} ) by však bol trocha komplikovanejší.

2. Na dôkaz konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{3^{n}} sme mohli rovnako dobre použiť aj d’Alembertovo kritérium.

222^{15}. Na základe konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} dokážte rovnosť lim_{n→∞} a_{n} = 0, ak

1_{0}. a_{n} = \frac{n!}{n^{n}} ; 2_{0}. a_{n} = \frac{n^{n}}{(n! )^{2}} ;

3. a_{n} = \frac{(n!)^{n}}{n^{n^{2}}} .

223. Zostrojte postupnosť \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} kladných čísel takú, aby lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1, lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} < 1.

224. Zostrojte divergentný^{16} rad s kladnými členmi, konvergenciu ktorého možno vyšetriť pomocou d’Alembertovho kritéria, ale nemožno o nej rozhodnúť na základe Cauchyho kritéria.

13pripomeňme, že dôkaz monotónnosti postupnosti (1 + 1/n)^{n} je súčasťou dôkazu existencie konečnej lim_{n→∞}(1 + 1/n)^{n}, pozri [23, str. 85]

14lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1 (pozri pr. I.135.2, I.380.1)

15porovnaj s pr. I.133.1 a I.185.1

16ak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentný rad s kladnými členmi, tak z vety 8 vyplýva: ak o konvergencii radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} možno rozhodnúť použitím d’Alembertovho kritéria, tak o nej možno rozhodnúť aj na základe Cauchyho kritéria

Poznámka. Dôsledok vety 8, ktorá umožňuje porovnať ,,silu“ Cauchyho a d’Alembertovho kritéria (pozri poznámku k pr. 224), možno využiť pri výpočte limít: vyplývajú z neho napr. rovnosti lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} =

= 0, lim_{n→∞} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e ^{17}.

Veta 9 (Raabeho kritérium). Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s kladnými členmi. Potom

a) ak lim inf_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) > 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje;

b) ak počínajúc niektorým n_{0} platí n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) ≤ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Špeciálne, nech existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) =: k. Ak k > 1 ( k < 1 ), tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje (diverguje). (Tento špeciálny prípad sa nazýva limitný tvar Raabeho kritéria.)

225. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n! e^{n}}{n^{n+2}} ;

3. ∑_{n=0}^{∞} \frac{a(a + d)(a + 2d) ⋯ (a + nd)}{b(b + d)(b + 2d) ⋯ (b + nd)} , a > 0 , b > 0 , d > 0 ;

4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n!}}{(2 + \sqrt{1})(2 + \sqrt{2}) ⋯ (2 + \sqrt{n})} ; 5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln 2 · ln 3 ⋯ ln(n + 1)}{ln(2 + p) · ln(3 + p) ⋯ ln(n + 1 + p)} ;

6. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!})^{p} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 · 4 ⋯ (3n − 2) · 2 · 5 ⋯ (3n + 2)}{n!(n + 1)!} tg \frac{1}{9^{n}} .

Riešenie. 2.

\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{n! e^{n}}{n^{n+2}} · \frac{(n + 1)^{n+3}}{(n + 1)! e^{n+1}} = \frac{1}{e} (\frac{n + 1}{n})^{n+2} ,

teda

n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) = n (\frac{1}{e} (\frac{n + 1}{n})^{n+2} − 1) = n (\frac{1}{e} · e(n + 2) ln(1 + 1/n) − 1) =
= n (e(n + 2) ln(1 + 1/n) − 1 − 1) .

Pri ďalších úpravách si pomôžeme Taylorovými polynómami:

ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) pre x → 0 ,

preto

ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} − \frac{1}{2n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}} ) pre n → ∞ .

17uvedené rovnosti možno dokázať aj na základe tvrdenia ,,ak b_{n} ≥ 0, lim_{n→∞} b_{n} = b ∈ R^{∗}, tak lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{b_{1}b_{2} … b_{n}} = b“, ak zvolíme b_{n} = 1/n, resp. b_{n} = (1 + 1/n)^{n}; toto tvrdenie vyplýva z pr. I.171 ( ^{n} \sqrt{b_{1} ⋯ b_{n}} = e(ln b^{1} + ⋯ + ln b^{n})/n) a možno pomocou neho dokázať aj dôsledok vety 8 (stačí položiť b_{1} = a_{1}, b_{n} = a_{n}/a_{n−1} pre n ≥ 2 )

Odtiaľ

(n + 2) ln (1 + \frac{1}{n}) − 1 = (n + 2) (\frac{1}{n} − \frac{1}{2n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}} )) − 1 =
= (1 − \frac{1}{2n} + no (\frac{1}{n^{2}} ) + \frac{2}{n} − \frac{1}{n^{2}} + 2o (\frac{1}{n^{2}} )) − 1 = \frac{3}{2n} + o (\frac{1}{n}) ^{18}.

Ak teraz využijeme, že lim_{n→∞} (\frac{3}{2n} + o (\frac{1}{n})) = 0 a lim_{u→0} \frac{e^{u} − 1}{u} = 1, dostaneme

lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) = lim_{n→∞} n (e(n + 2) ln(1 + 1/n) − 1 − 1) = lim_{n→∞} n (e3/2n + o(1/n) − 1) =

= lim_{n→∞} n (\frac{3}{2n} + o (\frac{1}{n})) \frac{e3/2n + o(1/n) − 1}{3/2n + o(1/n))} = lim_{n→∞} n (\frac{3}{2n} + o (\frac{1}{n})) = \frac{3}{2} .

Podľa limitného tvaru Raabeho kritéria teda rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{n! e^{n}}{n^{n+2}} konverguje.

Poznámka. D’Alembertovo kritérium je špeciálnym prípadom Raabeho kritéria^{19}, teda ak konvergenciu radu možno vyšetriť použitím vety 6, tak sa o nej dá rozhodnúť aj na základe vety 9. Opačná implikácia ne-

platí; napr. konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{n! e^{n}}{n^{n+2}} , skúmaného v pr. 225.2, nemožno vyšetriť použitím d’Alembertovho

kritéria^{20}: predpoklady tvrdenia b) tohto kritéria zrejme nemôžu byť v tomto prípade splnené, pretože — ako už vieme — náš rad konverguje; na základe tvrdenia a) vety 6 však o jeho konvergencii nevieme rozhodnúť, pretože

lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim sup_{n→∞} \frac{e}{(1 + 1/n)^{n+2}} = lim_{n→∞} \frac{e}{(1 + 1/n)^{n}(1 + 1/n)^{2}} = 1 .

Poznamenajme, že konvergenciu uvedeného radu nemožno vyšetriť ani použitím Cauchyho kritéria, pretože

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{n! e^{n}}{n^{n+2}}} = e · lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{\frac{1}{n^{2}}} · lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = 1

(k výpočtu lim_{n→∞}( ^{n} \sqrt{n!}/n) pozri poznámku za pr. 224).

226. Uveďte príklad radu, ktorého konvergenciu

1. možno vyšetriť pomocou Cauchyho, ale nie pomocou Raabeho kritéria;

2. možno vyšetriť pomocou Raabeho, ale nie pomocou Cauchyho kritéria.

Veta 10 (integrálne kritérium). Nech f : [1, ∞) → R je nezáporná nerastúca funkcia. Potom rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) konverguje (diverguje) práve vtedy, keď lim_{x→∞} ∫_{1}^{x} f(t) dt ^{21} je vlastná (nevlastná).

Špeciálne, ak funkcia f je naviac spojitá, tak rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) konverguje (diverguje), ak lim_{x→∞} F (x), kde F je primitívna funkcia k funkcii f, je vlastná (nevlastná).

18využili sme, že no(1/n^{2}) = o(1/n), −1/n^{2} = o(1/n), 2o(1/n^{2}) = o(1/n) a o(1/n) + o(1/n) + o(1/n) = = o(1/n)

19ak lim sup_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1, tj. ak pre niektoré q ∈ (0, 1) platí ∃ n_{0} ∈ N ∀ n ∈ N, n ≥ n_{0} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ q,

tak lim_{n→∞} n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) = ∞; ak počínajúc niektorým n_{0} je \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≥ 1, tak počínajúc tým istým n_{0} platí

n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) ≤ 0 < 1

20možno samozrejme nájsť aj jednoduchšie príklady dokumentujúce neplatnosť opačnej implikácie 21pomocou tejto limity sa definuje nevlastný Riemannov integrál ∫_{1}^{∞} f(t) dt (pozri napr. [1])

227. Použitím integrálneho kritéria vyšetrite konvergenciu radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}(n + 1)} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} , p > 0 ;

3. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n ln^{p} n} , p > 0 ; 4. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n ln n(ln ln n)^{p}} , p > 0 ;

5. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln n!} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg \sqrt{n + 2}}{n ln^{2}(n + 1)} ;

7. ∑_{n=2}^{∞} \frac{ln(n + 1) − ln n}{ln^{2} n} .

Riešenie. 6. Pretože

lim_{n→∞} \frac{\frac{arctg \sqrt{n + 2}}{n ln^{2}(n + 1)}}{\frac{1}{(n + 1) ln^{2}(n + 1)}} = \frac{π}{2} ,

má podľa tvrdenia α) vety 4b) rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg \sqrt{n + 2}}{n ln^{2}(n + 1)} rovnaký charakter ako rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1) ln^{2}(n + 1)}, ktorého konvergenciu možno vyšetriť použitím integrálneho kritéria:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1) ln^{2}(n + 1)} = ∑_{n=1}^{∞} f(n), kde f : [1, ∞) → R je funkcia daná predpisom f(x) = = \frac{1}{(x + 1) ln^{2}(x + 1)}. Funkcia f je zrejme spojitá, nezáporná a nerastúca; jednou z funkcií k nej primitívnych je funkcia F (x) = −\frac{1}{ln(x + 1)}. Pretože lim_{x→∞} F (x) = 0, rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1) ln^{2}(n + 1)} podľa vety 10 konverguje. Pretože rady ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1) ln^{2}(n + 1)} a ∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg \sqrt{n + 2}}{n ln^{2}(n + 1)} majú rovnaký charakter, konverguje aj rad

∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg \sqrt{n + 2}}{n ln^{2}(n + 1)}.

228. Nech f:[1, ∞)→ R je nezáporná nerastúca funkcia. Potom

1. existuje konečná lim_{n→∞}(S_{n} − ∫_{1}^{n+1} f(x) dx), kde S_{n} := f(1) + f(2) + ⋯ + f(n) ^{22};

2. ak rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) konverguje, tak platia nasledujúce odhady:

∫_{1}^{∞} f(x) dx ≤ S ≤ ∫_{1}^{∞} f(x) dx + f(1) ,

∫_{k+1}^{∞} f(x) dx ≤ R_{k} ≤ ∫_{k+1}^{∞} f(x) dx + f(k + 1) ,

kde ∫_{a}^{∞} f(x) dx := lim_{t→∞} ∫_{a}^{t} f(x) dx , S je súčet radu ∑_{n=1}^{∞} f(n) a R_{k} súčet jeho k–teho zvyšku. Dokážte!

229. Koľko prvých členov radu treba sčítať, aby sme našli súčet radu

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{5/2}} s chybou menšou než 0.1 ?

2. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n ln^{6} n} s chybou menšou než 0.01 ?

22z tohto tvrdenia priamo vyplýva veta 10; na jeho základe možno opa̋tovne dokázať rovnosť (3.2) z pr. 220

230. Uveďte príklad nezápornej spojitej funkcie f:[1, ∞)→ R takej, že

1. rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) konverguje a lim_{x→∞} ∫_{1}^{x} f(t) dt = ∞;

2. rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) diverguje a lim_{x→∞} ∫_{1}^{x} f(t) dt je konečná.

231. Vyšetrite konvergenciu radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{6n + 1}{5n − 3})^{n/2} (\frac{5}{6})^{2n/3} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{(n! )^{2}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n! )^{2}}{2^{n^{2}}} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{α}}{(ln(n + 1))^{n/2}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n)!}{(n! )^{2}} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} ntg \frac{π}{2^{n+1}} ;

7. ∑_{n=2}^{∞} \frac{n^{ln n}}{(ln n)^{n}} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{ln n}{n})^{2n} ;

9. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{α(α − 1)(α − 2) ⋯ (α − n + 1)}{n!} ;

10. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{q(q + 1) ⋯ (q + n)} ; 11. ∑_{n=1}^{∞} ^{n} \sqrt{0.001} ;

12. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln n + sin n}{n^{2} + 2 ln n} ; 13. ∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg (3 + 2(−1)^{n})}{\sqrt{n}} tg \frac{1}{\sqrt{n}} ;

14. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2} + 3}{n^{3} (3 − 2 sin \frac{nπ}{3} )} ; 15. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n+1/n}}{(n + \frac{1}{n})^{n}} ;

16. ∑_{n=1}^{∞} log_{b^{n}} (1 + \frac{\sqrt[n]{a}}{n}) , b > 0 , b ≠ 1 , a > 0 ;

17. ∑_{n=1}^{∞} (n ln \frac{2n + 1}{2n − 1} − 1) ; 18. ∑_{n=1}^{∞} ln \frac{n + 3}{n^{2} + 4} ;

19. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{n}} − \sqrt{ln (1 + \frac{1}{n})} ) ; 20. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{1+k/ ln n}} ;

21. ∑_{n=1}^{∞} e^{− ^{3} \sqrt{n}} ; 22. ∑_{n=1}^{∞} n^{2}e^{−\sqrt{n}} ;

23. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{ln^{2} sin(1/n)} ; 24. ∑_{n=1}^{∞} (n^{n^{α}} − 1) ;

25. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1! + 2! + ⋯ + n!}{(2n)!} ; 26. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln n!}{n^{α}} ;

27. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{α} ln^{β} n} ; 28. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n ln^{2}(1 + n^{α})} .

232. Nech a_{n} ≥ 0 , b_{n} ≥ 0 ( n ∈ N ). Čo možno povedať o konvergencii radu ∑_{n=1}^{∞} c_{n} , ak a) c_{n} = max{a_{n}, b_{n}} ; b) c_{n} = min{a_{n}, b_{n}}

a 1. rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konvergujú;

2. rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n} divergujú;

3. jeden z radov ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje a druhý diverguje?

233. 1_{0}. Dokážte logaritmické kritérium: Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s kladnými členmi. Potom

ak lim inf_{n→∞} \frac{ln(1/a_{n})}{ln n} > 1 , tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje;

ak počínajúc niektorým n_{0} platí \frac{ln(1/a_{n})}{ln n} ≤ 1 , tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

2. Vyšetrite konvergenciu radov:

a) ∑_{n=3}^{∞} \frac{1}{(ln ln n)^{ln n}} ; b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(ln n)^{ln ln n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n! )^{3}}{3^{n^{4/3}}} .

234. 1. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť nezáporných čísel, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} má rovnaký charakter ako rady:

a_{0}) ∑_{n=1}^{∞} a_{2n} ; b) ∑_{n=1}^{∞} na_{n^{2}} ;

c_{0}) ∑_{n=1}^{∞} n^{2}a_{n^{3}} ; d_{0}) ∑_{n=1}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} ^{23}.

Dokážte!

2. Vyšetrite konvergenciu radov:

a) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(n − \sqrt{n})^{\sqrt{n}}} ; b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(ln n)^{ln n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(\sqrt{n})^{ln n}} .

235. Nech \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť kladných čísel a existuje lim_{n→∞} \frac{a_{2n}}{a_{n}} =: q. Potom

platí: ak q < 1/2, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje; ak q > 1/2, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje. Dokážte!

3.3 Absolútne a relatívne konvergentné rady

Veta 11. Ak konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Konvergentný rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} sa nazýva \underline{absolútne} (\underline{relatívne}) \underline{konvergentný}, ak rad ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konverguje (diverguje).

Poznámka. Pri vyšetrovaní konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| (tj. pri vyšetrovaní absolútnej konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}) možno použiť kritériá z odseku 3.2. Pretože rady vyhovujúce predpokladom tvrdení b) vety 6 alebo 7 nespĺňajú nutnú podmienku konvergencie^{24}, možno d’Alembertovo a Cauchyho kritérium sformulovať nasledovne^{25}:

23rovnaký charakter radov ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=1}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} možno využiť napr. na vyšetrenie konvergencie Riemannových radov ∑_{n=1}^{∞}(1/n^{p}) , p ≥ 0

24pozri tiež poznámku k riešeniu pr. 207 25tvrdenie b) Raabeho kritéria takto preformulovať nemožno; výrok ,,ak počínajúc niektorým n_{0} je a_{n} > 0 a n(|a_{n}|/|a_{n+1}|−1) ≤ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje“ totiž neplatí (stačí uvažovať a_{n} = (−1)^{n}/n^{p}, p ∈ (0, 1], pozri pr. 239.1)

Veta 6’. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s nenulovými členmi. Potom

a) ak lim sup_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolútne konverguje;

b) ak počínajúc niektorým n_{0} platí |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≥ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Veta 7’. Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Potom

a) ak lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} < 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolútne konverguje;

b) ak pre nekonečne veľa n ∈ N platí ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ≥ 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

236. Dokážte, že nasledujúce rady absolútne konvergujú:

1_{0}. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} ln^{2} n}{2^{n}} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} cos^{3} n · arctg \frac{n + 1}{n^{3} + 2} ;

3. ∑_{n=2}^{∞} \sqrt{\frac{n^{2} + 3}{n^{3} + 4n}} ln (1 + \frac{(−1)^{n}}{n} ) ; 4. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n(n+1)/2} \frac{2^{n} + n^{2}}{3^{n} + n^{3}} ;

5_{0}. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}(2n)!!}{(n + 1)^{n}} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{n sin(1/n)} − cos \frac{1}{n}) cos πn .

237. Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}, definujme postupnosti {a_{n}^{+}}_{n=1}^{∞}, {a_{n}^{−}}_{n=1}^{∞} nasledovne

a_{n}^{+} := \{ \begin{matrix}a_{n} , ak & a_{n} ≥ 0 \\ 0 , ak & a_{n} < 0 \end{matrix} , a_{n}^{−} := \{ \begin{matrix}−a_{n} , ak & a_{n} ≤ 0 \\ 0 , ak & a_{n} > 0 \end{matrix} .

Potom 1. ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje absolútne, tak rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+}, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} konvergujú;

2. ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje relatívne, tak rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+}, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} divergujú a platí

lim_{n→∞} \frac{S_{n}^{+}}{S_{n}^{−}} = 1 ,  (3.3)

kde S_{n}^{+} ( S_{n}^{−}) je n–tý čiastočný súčet radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} ( ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−});

3. ak konverguje práve jeden z radov ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+}, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−}, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje. Dokážte!

238. Rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je absolútne konvergentný práve vtedy, keď pre každú ohraničenú postupnosť {b_{n}}_{n=1}^{∞} je konvergentný rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}. Dokážte!

Rad ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n}, kde a_{n} > 0 počínajúc niektorým n_{0} alebo a_{n} < 0 počínajúc niektorým n_{0}, sa nazýva \underline{rad so striedavými znamienkami}.

Veta 12 (Leibnizovo kritérium). Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je rýdzomonotónna^{26} postupnosť a lim_{n→∞} a_{n} = 0. Potom rad ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1}a_{n} (ktorý je zrejme radom so striedavými znamienkami) konverguje a pre súčet R_{n} jeho n–tého zvyšku platí odhad

|R_{n}| < a_{n+1} , n ∈ N .  (3.4)

26tvrdenie zostane v platnosti, aj keď slovo ,,rýdzomonotónna“ nahradíme slovom ,,monotónna“, v (3.4) treba v tom prípade ostrú nerovnosť nahradiť neostrou Poznámka. Z vety 1 vyplýva, že Leibnizovo kritérium možno vysloviť aj v nasledujúcej podobe:

Veta 12’. Nech postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} vyhovuje nasledujúcim podmienkam:

1. lim_{n→∞} a_{n} = 0;

2. existuje n_{0} ∈ N tak, že {a_{n}}_{n=n_{0}}^{∞} je rýdzomonotónna postupnosť. Potom rad ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} konverguje.

Podobne možno upraviť formulácie dvoch nasledujúcich kritérií — Abelovho a Dirichletovho (vety 13, 14) aj formuláciu integrálneho kritéria.

239. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{p}} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1} ln n}{\sqrt{n}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} cos (\frac{π}{4} + nπ) sin \frac{1}{n} ; 4. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (1 − cos \frac{π}{\sqrt{n}}) ;

5. ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n + (−1)^{n}}} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[n]{n}} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} sin(π\sqrt{n^{2} + k^{2}} ) ; 8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1} ln ln(n + 2)}{ln(n + 1)} .

Riešenie. 2. Pretože \frac{ln n}{\sqrt{n}} > 0 pre všetky n ∈ N, je ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1} ln n}{\sqrt{n}} rad so striedavými znamienkami,

preto na vyšetrenie jeho konvergencie skúsime použiť Leibnizovo kritérium. Musíme teda preveriť splnenie predpokladov vety 12’:

1. lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} \frac{ln n}{\sqrt{n}} = lim_{x→∞} \frac{ln x}{\sqrt{x}} = lim_{x→∞} \frac{1/x}{1/2\sqrt{x}} = 0 ^{27} (na výpočet lim_{x→∞} \frac{ln x}{\sqrt{x}} sme použili l’Hospitalovo

pravidlo);

2. ak pomocou prvej derivácie vyšetríme rast a klesanie funkcie f(x) = \frac{ln x}{\sqrt{x}}

( f′(x) = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} − \frac{ln x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 − ln x}{2\sqrt{x}} , f′(x) > 0 pre x ∈ (0, e^{2}) , f′(x) < 0 pre x ∈ (e^{2}, ∞) ) ,

zistíme, že funkcia f je klesajúca na intervale [e^{2}, ∞); preto \{\frac{ln n}{\sqrt{n}}\}_{n=8}^{∞} ^{28} je klesajúca postupnosť.

Rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1} ln n}{\sqrt{n}} teda podľa Leibnizovho kritéria konverguje.

240. Ukážte, že postupnosť a_{n} = \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!} má limitu 0. (Návod: dokážte, že rad ∑_{n=1}^{∞} ln \frac{a_{n+1}}{a_{n}}

diverguje k −∞ ^{29}.) Na základe toho vyšetrite konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!} .

27pripomeňme, že podmienka lim_{n→∞} a_{n} = 0 je súčasne nutnou podmienkou konvergencie radu ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} (pozri aj poznámku k riešeniu pr. 207), preto z jej nesplnenia by vyplývala divergencia radu ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n}

28e^{2} ≈ 7.389

29keby rad ∑_{n=1}^{∞} ln \frac{a_{n+1}}{a_{n}} konvergoval, existovala by konečná nenulová lim_{n→∞} a_{n}

241. Koľko prvých členov radu treba sčítať, aby sme našli súčet radu

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{7/2}} s chybou menšou než 10^{−7} ?

2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{5/2}2^{n}} s chybou menšou než 10^{−6} ?

242. Rozhodnite o platnosti tvrdenia ,,ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť kladných čísel a lim_{n→∞} a_{n} = = 0, tak rad ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} konverguje“!

Veta 13 (Abelovo kritérium)^{30}. Nech

1. rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje;

2. {b_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna ohraničená postupnosť^{31}. Potom konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}.

Veta 14 (Dirichletovo kritérium)^{32}. Nech

1. postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} čiastočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je ohraničená;

2. {b_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna postupnosť a lim_{n→∞} b_{n} = 0. Potom rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konverguje.

Skutočnosť, že existuje k ∈ N také, že {b_{n}}_{n=k}^{∞} je nerastúca (neklesajúca) postupnosť s limitou a ∈ R^{∗}, budeme v ďalšom zapisovať b_{n} ↘ a ( b_{n} ↗ a) ^{33}.

243. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} cos(π/n)}{n} ; 2. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n − 1}{n + 1} · \frac{1}{\sqrt[100]{n}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln^{100} n}{n} sin \frac{nπ}{4} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(n + π/4)}{ln^{2}(n + 1)} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{ln ln(n + 2)} cos \frac{1}{n} ;

9. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{2} n}{n} ; 10. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{sin^{2} n}{n} .

Riešenie. 4. Ukážeme najprv, že postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} čiastočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} sin nx (kde x ∈ R je dané) je ohraničená. Pre x = kπ ( k ∈ Z ) je zrejme S_{n} = 0, n ∈ N. Pre x ≠ 2kπ ( k ∈ Z ) použitím vzorca sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β))/2 dostaneme

S_{n} = sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx = \frac{1}{sin \frac{x}{2}} (sin x sin \frac{x}{2} + sin 2x sin \frac{x}{2} + ⋯ + sin nx sin \frac{x}{2}) =

= \frac{1}{sin \frac{x}{2}} [\frac{1}{2} (cos \frac{x}{2} − cos \frac{3x}{2})+ \frac{1}{2} (cos \frac{3x}{2} − cos \frac{5x}{2})+ ⋯ + \frac{1}{2} (cos (n − \frac{1}{2}) x − cos (n + \frac{1}{2}) x)]=

= \frac{1}{2 sin \frac{x}{2}} (cos \frac{x}{2} − cos (n + \frac{1}{2}) x) = sin (\frac{n + 1}{2}x) sin \frac{nx}{2} ; sin \frac{x}{2} ^{34}.

30pozri tiež pr. 275 a 277 31tento výrok je zrejme ekvivalentný s výrokom ,,{b_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna konvergentná postupnosť“ 32pozri tiež pr. 275 a 276 33v súvislosti s týmto označením odporúčame čitateľovi sformulovať Abelovo a Dirichletovo kritérium tak,

ako formuluje veta 12’ Leibnizovo kritérium (pozri poznámku za vetou 12)

Teda S_{n} = 0 pre x = kπ ( k ∈ Z ), |S_{n}| ≤ \frac{1}{|sin \frac{x}{2}|} pre x ≠ kπ ( k ∈ Z ).

Teraz už môžeme použiť Dirichletovo kritérium: Nech je dané x ∈ R; potom podľa predchádzjúceho je postupnosť \{S_{n}\}_{n=1}^{∞} čiastočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} sin nx ohraničená. Súčasne \frac{1}{n} ↘ 0, preto podľa vety 14 rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} konverguje.

6. Podľa pr. 243.4 rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} konverguje, súčasne b_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n} ↗ e ^{35}, preto podľa Abelovho kritéria rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n} konverguje.

Poznámka. Podobne, ako sme v riešení pr. 243.6 od konvergentného radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} dospeli ku konvergentnému radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n}, mohli by sme teraz na základe Abelovho kritéria vo vytváraní konvergentných radov pokračovať:

ak {b_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna ohraničená postupnosť, tak z vety 13 vyplýva konvergencia radu

∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n} b_{n};

ak {c_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna ohraničená postupnosť, tak opa̋ť z vety 13 vyplýva konvergencia radu

∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n} b_{n}c_{n}, atď.

Ukážeme teraz navyše, že pre x ≠ kπ ( k ∈ Z ) konverguje rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} relatívne. Konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} sme dokázali v pr. 243.4, stačí teda dokázať, že rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{| sin nx|}{n} diverguje. Využijeme pritom výsledok pr. 243.5, podľa ktorého rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos ny}{n} konverguje pre každé y ≠ 2kπ ( k ∈ Z ).

Pretože | sin α| ≥ sin^{2} α = (1 − cos 2α)/2, je

\frac{1}{n}| sin nx| ≥ \frac{1}{2n} − \frac{cos 2nx}{2n} .  (3.5)

Pre x ≠ kπ ( k ∈ Z ) je 2x ≠ 2kπ, preto podľa pr. 243.5 rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos n(2x)}{n} — a teda aj rad − ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos 2nx}{2n} — konverguje. Odtiaľ vyplýva, že rad ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2n} − \frac{cos 2nx}{2n}) — ktorý je súčtom divergentného radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2n} a konvergentného radu − ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos 2nx}{2n} — diverguje.

341. snaživý čitateľ sa môže presvedčiť, že v prípade x = (2k + 1)π, k ∈ Z, kedy — ako už vieme — je S_{n} = 0 ( n ∈ N ), skutočne platí (cos \frac{x}{2} − cos (n + \frac{1}{2}) x) / (2 sin \frac{x}{2}) = 0;

2. z rovnosti S_{n} = \frac{1}{2}ctg \frac{x}{2} − \frac{1}{2 sin(x/2)} cos (n + \frac{1}{2}) x vyplýva, že pre x ≠ kπ ( k ∈ Z ) rad ∑_{n=1}^{∞} sin nx osciluje (neexistencia limity lim_{n→∞} cos(n + 1/2)x pre x ≠ kπ, k ∈ Z, sa dokáže rovnako ako v pr. I.178)

35opa̋tovne pripomíname, že dôkaz monotónnosti postupnosti (1 + 1/n)^{n} je súčasťou dôkazu existencie konečnej lim_{n→∞}(1 + 1/n)^{n}

Z rovnosti \frac{1 − cos 2nx}{2} = sin^{2} nx vyplýva, že ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2n} − \frac{cos 2nx}{2n}) je rad s nezápornými členmi; môžeme preto použiť porovnávacie kritérium, podľa ktorého z divergencie radu ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{2n} − \frac{cos 2nx}{2n}) a z nerovnosti (3.5) vyplýva divergencia radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{| sin nx|}{n}.

244. 1. Ukážte, že Leibnizovo a Abelovo kritérium možno odvodiť z Dirichletovho kritéria! 2_{0}. Nech k ∈ N. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je monotónna postupnosť s limitou 0, tak rad ∑_{n=k}^{∞}(−1)^{k[n/k]}a_{n}

konverguje ([.] tu označuje celú časť). Dokážte!

245. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{ln n}{n} ; 2. ∑_{n=2}^{∞}(−1)^{n} \frac{\sqrt[n]{n}}{ln n} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n(n+1)/2}}{2^{n}} ; 4. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (\frac{2n + 100}{3n + 1})^{n} ;

5. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{2^{n} sin^{2n} x}{n} ; 6. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{sin 3n}{n ln(n + 1) ln^{2}(n + 2)} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} cos (nπ + \frac{π}{6} ) ln (1 + \frac{2}{n}) ; 8. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{n + 100} ;

9. ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n} + (−1)^{n}} ; 10. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n}{n + 2} · \frac{1}{\sqrt[4]{n + 1}} ;

11. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n(n+1)/2} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} (1 + \frac{2}{n})^{n} ; 12. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{cos^{2} 2n}{\sqrt{n}} ;

13. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{3} n}{\sqrt{n}} ; 14. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{4} n − 3/8}{\sqrt{n + 1}} ;

15. 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} − \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5} − \frac{1}{3^{3}} + ⋯ + \frac{1}{2n − 1} − \frac{1}{3^{n}} + · · · .

246. Zistite, ktoré z nasledujúcich radov konvergujú relatívne a ktoré absolútne:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{p}} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{p+1/n}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{(2n + 1)!!}{2 · 5 · 8 ⋯ (3n − 1)} ; 4. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n(n+1)/2} \frac{n^{100}}{2^{n}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{ln^{2} n}{n^{p}} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[n^{2}]{n}} ;

7. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} − \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} − ⋯;

8. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{n}{(n + 1)\sqrt{n + 2}} tg \frac{1}{\sqrt{n}} ; 9. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin n}{n^{p}} , p > 0 ;

10. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos n}{n^{p}} , p > 0 ; 11. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos^{4} n}{n} ;

12. ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos n · cos(1/n)}{\sqrt[4]{n}} ; 13. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{\sqrt[3]{n + 1}}{\sqrt{n} + 2} ;

14. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n + 1) sin 2n}{n^{2} − ln n} ; 15. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nπ/12)}{ln n} ;

16. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin 2n · ln^{2} n}{n^{p}} , p > 0 .

Hovoríme, že \underline{rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} je} (\underline{vznikne}) \underline{prerovnaním radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}}, ak existuje bijekcia p:N→N taká, že b_{n} = a_{p(n)} , n ∈ N.

Veta 15 (Riemannova veta o prerovnaní). Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je relatívne konvergentný rad; nech a, b ∈ R^{∗}, a ≤ b. Potom existuje prerovnanie ∑_{n=1}^{∞} b_{n} radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} také, že

a = lim inf_{n→∞} S_{n} , b = lim sup_{n→∞} S_{n} ,

kde {S_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť čiastočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

Veta 16. Rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je absolútne konvergentný práve vtedy, keď každé jeho prerovnanie konverguje k tomu istému súčtu.

247. 1. Zo vzťahu

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln n + C + ε_{n} ,

kde lim_{n→∞} ε_{n} = 0 a C je Eulerova konštanta (pozri pr. 220 a poznámku k pr. 228.1), odvoďte vzťah

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{2n − 1} = ln \sqrt{4n} + \frac{C}{2} + η_{n} ,

kde lim_{n→∞} η_{n} = 0.

2. Nájdite súčet radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} a súčty nasledujúcich radov, ktoré vzniknú jeho prerovnaním:

a) 1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} − \frac{1}{6} + ⋯;

b) 1 − \frac{1}{2} − \frac{1}{4} + \frac{1}{3} − \frac{1}{6} − \frac{1}{8} + \frac{1}{5} − \frac{1}{10} − \frac{1}{12} + ⋯;

c) 1 − \frac{1}{2} − \frac{1}{4} − \frac{1}{6} − \frac{1}{8} + \frac{1}{3} − \frac{1}{10} − \frac{1}{12} − \frac{1}{14} − \frac{1}{16} + \frac{1}{5} − · · · .

3_{0}. Nech rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} vznikne prerovnaním radu ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1}/n tak, že za každou skupinou p za sebou nasledujúcich kladných členov dáme skupinu m za sebou nasledujúcich záporných členov. Potom

∑_{n=1}^{∞} b_{n} = ln 2 + \frac{1}{2} ln \frac{p}{m} .

Dokážte!

248. 1. Z rovnosti

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{2n − 1} = \frac{π}{4} ^{36}

odvoďte vzťahy

1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + ⋯ + \frac{1}{4k − 3} = ln ^{4} \sqrt{8k} + \frac{π}{8} + \frac{C}{4} + ϑ_{k} ,
\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + ⋯ + \frac{1}{4k − 1} = ln ^{4} \sqrt{8k} − \frac{π}{8} + \frac{C}{4} + τ_{k} ,

36túto rovnosť dokážeme v pr. 344.2

kde lim_{k→∞} ϑ_{k} = 0 , lim_{k→∞} τ_{k} = 0 a C je Eulerova konštanta.

2. Nájdite súčty nasledujúcich radov, ktoré vznikli prerovnaním radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{2n − 1} :

a) 1 − \frac{1}{3} − \frac{1}{7} + \frac{1}{5} − \frac{1}{11} − \frac{1}{15} + \frac{1}{9} − ⋯;

b) 1 + \frac{1}{5} − \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} − \frac{1}{7} + · · · .

249. Pomocou rovnosti

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12} ^{37}

nájdite súčty radov

1. 1 + \frac{1}{3^{2}} − \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} − \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{9^{2}} + \frac{1}{11^{2}} − \frac{1}{6^{2}} + ⋯;

2. 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} − \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{9^{2}} − \frac{1}{4^{2}} + · · · .

250. Dokážte, že rad

1 + \frac{1}{\sqrt{3}} − \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7}} − \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{11}} − \frac{1}{\sqrt{6}} + ⋯,

ktorý vznikne prerovnaním konvergentného radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{\sqrt{n}} , je divergentný.

251. Vyšetrite konvergenciu radu

1 + \frac{1}{3^{p}} − \frac{1}{2^{p}} + \frac{1}{5^{p}} + \frac{1}{7^{p}} − \frac{1}{4^{p}} + ⋯

(pre p = 1, 2, 1/2 ide o rady z pr. 247.2a), 249.1 a 250).

251. 1. Nech c ∈ N a nech p:N→N je bijekcia taká, že |p(n) − n| ≤ c , n ∈ N. Ak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentný rad, tak jeho prerovnanie ∑_{n=1}^{∞} a_{p(n)} ^{38} konverguje k tomu istému súčtu ako rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Dokážte!

2. Nájdite súčet radu −\frac{1}{2} + ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n + 2(−1)^{n}}.

3.4 Cauchyho súčin radov

\underline{Cauchyho súčinom radov ∑_{n=0}^{∞} a_{n} a ∑_{n=0}^{∞} b_{n}} nazývame rad ∑_{n=0}^{∞} c_{n}, kde c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}. Rad

∑_{n=0}^{∞} c_{n} budeme označovať symbolom ∑_{n=0}^{∞} a_{n} · ∑_{n=0}^{∞} b_{n}.

Veta 17. a) Ak aspoň jeden z konvergentných radov ∑_{n=0}^{∞} a_{n} , ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konverguje absolútne, tak ich Cauchyho súčin konverguje a jeho súčtom je číslo (∑_{n=0}^{∞} a_{n}) (∑_{n=0}^{∞} b_{n}).

b) Ak rady ∑_{n=0}^{∞} a_{n} , ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergujú absolútne, tak ich Cauchyho súčin konverguje absolútne.

37odvodenie uvedenej rovnosti presahuje rámec tohto textu (dokazuje sa spravidla dosadením x = 0 do rovnosti x^{2} = \frac{π^{2}}{3} + 4 ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{cos nx}{n^{2}}, x ∈ [−π, π] , ktorá vyplýva z teórie Fourierových radov (pozri napr.

[1, str. 40, pr. 2.4])

38rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} teda prerovnáme tak, aby sa žiadny jeho člen ,,nevzdialil“ zo svojho pôvodného miesta viac ako o c miest

253. Nájdite Cauchyho súčin radov ∑_{n=0}^{∞} a_{n} a ∑_{n=0}^{∞} b_{n}, kde

a) a_{n} = a^{n} , b_{n} = b^{n} , a ≠ b ; b) a_{n} = \frac{q^{n+1}}{(n + 1)(n + 2)} , b_{n} = q^{n} ;

c) a_{n} = \frac{2^{n}}{n!} , b_{n} = \frac{3^{n}}{n!} ; d) a_{n} = \frac{3^{n}}{n!} , b_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n!} ^{39} .

2. Dokážte rovnosti

a) (∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}) (∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!} ) = 1 ; b) (∑_{n=0}^{∞} q^{n})^{2} = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)q^{n} .

254. Nech a_{n} > 0 , b_{n} > 0 ( n ∈ N ), rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} diverguje. Potom Cauchyho súčin týchto radov diverguje. Dokážte!

255. Dokážte, že druhá mocnina konvergentného radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{\sqrt{n}} (tj. jeho Cauchyho súčin

so sebou samým) diverguje.

256. Dokážte, že Cauchyho súčin divergentných radov

1 − ∑_{n=1}^{∞} (\frac{3}{2})^{n}  a  1 + ∑_{n=1}^{∞} ((\frac{3}{2})^{n−1} (2^{n} + \frac{1}{2^{n+1}} ))

je absolútne konvergentný rad.

257. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sú absolútne konvergentné rady, nech p:N × N→N je bijekcia; nech c_{n} := a_{j}b_{k}, ak p(n) = (j, k). Potom ∑_{n=1}^{∞} c_{n} je absolútne konvergentný rad, ktorého súčtom je číslo (∑_{n=1}^{∞} a_{n})(∑_{n=1}^{∞} b_{n}). Dokážte!

3.5 Ďalšie príklady

258. Nájdite súčet radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} [\frac{ln n}{n − ln n}] ^{40} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{3n + 4}{n(n + 1)(n + 4)} ;

3. ∑_{n=2}^{∞} ln \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1} ; 4. ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n! (n + 2)} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} arctg \frac{\sqrt{3}}{2n(2n − 1)} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} arctg \frac{1}{2n^{2}} ;

7. ∑_{n=1}^{∞} ln cos \frac{x}{2^{n}} , x ∈ (−π, π) ; 8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} tg \frac{x}{2^{n}} , x ∈ (−π, π) .

f(x) = \{ \begin{matrix}a_{n} , ak & x ∈ (\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}] \\ 0 , ak & x = 0 \end{matrix} .

259. Nech m ∈ N, nech a_{k} := \frac{1}{u_{k}u_{k+1} ⋯ u_{k+m}} ( k ∈ N ), kde \{u_{n}\}_{n=1}^{∞} je aritmetická postupnosť nenulových čísel s diferenciou d ≠ 0. Potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = \frac{1}{mdu_{1}u_{2} ⋯ u_{m}}. Dokážte!

260. Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je ohraničená postupnosť reálnych čísel; definujme funkciu f:[0, 1]→ R predpisom 39pritom kladieme (−1)^{0} := 1 40[.] tu označuje celú časť

Potom f ∈ R[0, 1] a ∫_{0}^{1} f(x) dx = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n(n + 1)} . Dokážte!

261. Ak a_{n} ≥ 0 , b_{n} ≥ 0 , c_{n} ≥ 0 ( n ∈ N ) a rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{3} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n}^{3} , ∑_{n=1}^{∞} c_{n}^{3} konvergujú, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}c_{n}. Dokážte!

262. Ak \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť nezáporných čísel a rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} konverguje, tak konverguje aj rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2}. Dokážte! (Návod: využite pr. 211.1.)

263. Fibonacciho postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} je definovaná nasledovne: a_{1} = a_{2} = 1 , a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1} ( n ∈ N ). Dokážte, že rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} konverguje.

264. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} n^{−n/3} ^{3} \sqrt{n! + 1} ; 2. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n)!! arctg (1/3^{n})}{n!} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{((n + 1)!)^{n}}{2! 4! ⋯ (2n)!} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{\sqrt{n}}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} \frac{p(p + 1) ⋯ (p + n − 1)}{n!} · \frac{1}{\sqrt{n}} ; 6. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!})^{p} \frac{1}{n^{q}} , q ≤ 1 ;

7. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n!}{q(q + 1) ⋯ (q + n − 1)})^{p} , q > 0 ;

8. \sqrt{2} + \sqrt{2 − \sqrt{2}} + \sqrt{2 − \sqrt{2 + \sqrt{2}}} + \sqrt{2 − \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} + ⋯ (návod: \sqrt{2} = 2 sin(π/4) = 2 cos(π/4) ) ;

9. \sqrt{2} + \sqrt{2 − \sqrt{3}} + \sqrt{2 − \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \sqrt{2 − \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} + ⋯;

10. ∑_{n=1}^{∞} cos \frac{πn^{2}}{2(n^{2} + αn + β)} ; 11. ∑_{n=1}^{∞} (1 − (cos \frac{1}{n^{p}} )^{n}) , p > 0 ;

12. ∑_{n=1}^{∞} (e − (1 + \frac{1}{n})^{n})^{p} ; 13. ∑_{n=1}^{∞} ((1 + \frac{1}{n})^{n+1} − (1 + \frac{1}{n + 1})^{n}) ;

14. ∑_{n=1}^{∞} arccos \sqrt{1 − \frac{1}{n^{3}}} ; 15. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{π}{2} − arcsin \frac{n}{n + 1}) ;

16. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n + 1}{pn + q} )n ln n , p > 0 , q > 0 ; 17. ∑_{n=1}^{∞}(\sqrt{n + a} − ^{4} \sqrt{n^{2} + n + b}) ;

18. ∑_{n=1}^{∞} (n1/(n^{2} + 1) − 1) ; 19. ∑_{n=1}^{∞} e(a ln n + b)/(c ln n + d) ;

20. ∑_{n=1}^{∞} (a^{1/n} − \frac{b^{1/n} + c^{1/n}}{2} ) , a > 0 , b > 0 , c > 0 ;

21. ∑_{n=1}^{∞} (ln \frac{1}{n^{p}} − ln sin \frac{1}{n^{p}} ) , p > 0 ; 22. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n2n}{(n + a)(n + b)(n + b)(n + a)} ;

23. ∑_{n=1}^{∞} a−(b ln n + c ln^{2} n), a > 0 ; 24. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{1/n} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^{2}} dx ;

25. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{∫_{0}^{n} ^{4} \sqrt{1 + x^{4}} dx} ; 26. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{nπ}^{(n+1)π} \frac{sin^{2} x}{x} dx ;

27. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} e^{−\sqrt{x}} dx ; 28. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{π/n} \frac{sin^{3} x}{1 + x} dx ;

29. ∑_{n=3}^{∞} \frac{1}{n^{p} ln^{q} n(ln ln n)^{r}} ; 30. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln (1 + ln n)}{^{4} \sqrt{n^{4} + 3n^{2} + 1} ln^{3}(n + 2)} ;

31. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln (e^{n} + n^{2})}{n^{2} ln^{2}(n + 1)} ; 32. ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln (n^{2} − n + 1)}{arcsin^{p}(e^{1/\sqrt{n}} − 1)}

33. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(ln 2)^{2} + (ln 3)^{2} + ⋯ + (ln n)^{2}} ; 34. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n})} ;

35. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt[n]{n(n + 1)(n + 2) ⋯ (2n)}} ; 36. ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ⋯ + \sqrt{n}}{n^{p}} .

265. Nájdite postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} kladných čísel takú, že lim_{n→∞} a_{n} = 0 a rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{p} diverguje pre každé p ≥ 1.

266. Dokážte nerovnosti:

1. −\frac{π}{2} < ∑_{n=1}^{∞} \frac{x}{n^{2} + x^{2}} < \frac{π}{2} , x ∈ R ; 2. \frac{π}{2} < ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}(n + 1)} < \frac{1}{2}(π + 1) .

267. Na základe porovnania radu ∑_{n=2}^{∞} a_{n} s radom ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n ln^{p} n} odvoďte Bertrandovo kritérium: Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je rad s kladnými členmi. Potom

1. ak existuje p > 1 tak, že počínajúc niektorým n_{0} platí

ln n · (n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) − 1) ≥ p ,  (3.6)

tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje:

2. ak počínajúc niektorým n_{0} platí ln n · (n (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − 1) − 1) ≤ 1 , tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

268. Nech f:[1, ∞)→ R je kladná nerastúca funkcia a φ:[1, ∞)→ R je kladná diferencovateľná rastúca funkcia vyhovujúca podmienke φ(x) > x. Nech existuje lim_{x→∞} \frac{f(φ(x)) φ′(x)}{f(x)} =: A ( ∈ R^{∗}). Potom

1. ak A < 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) konverguje; 2_{0}. ak A > 1, tak rad ∑_{n=1}^{∞} f(n) diverguje.

Dokážte!

269. Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť s limitou 0. Potom rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} má rovnaký charakter ako rad ∑_{m=1}^{∞} p_{m}2^{−m} , kde p_{m} je počet prvkov množiny {a_{n}; a_{n} ≥ 2^{−m}} (pritom ∅ pokladáme za 0–prvkovú množinu). Dokážte!

270. Zistite, ktoré z nasledujúcich radov konvergujú absolútne a ktoré relatívne:

1. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2 ^{3} \sqrt{n} + (−1)^{n+1}} ; 2. ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n + (−1)^{n})^{p}} ;

3. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{(\sqrt{n} + (−1)^{n+1})^{p}} ; 4. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nπ/4)}{n^{p} + sin(nπ/4)} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} ln (1 + \frac{(−1)^{n+1}}{(n + 1)^{p}} ) ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{p(p − 1) ⋯ (p − n + 1)}{n!} ;

7. ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (\frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!})^{p} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n ln^{p}(n + 1)} , x ∈ (0, π) ;

9. \frac{1}{1^{p}} − \frac{1}{2^{q}} + \frac{1}{3^{p}} − \frac{1}{4^{q}} + \frac{1}{5^{p}} − \frac{1}{6^{q}} + · · · .

271. Nech rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} spĺňa nutnú podmienku konvergencie a nech c ∈ N. Nech {p_{n}}_{n=1}^{∞} je rastúca postupnosť prirodzených čísel taká, že p_{1} = 1 a p_{n+1} − p_{n} ≤ c , n ∈ N. Potom rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=1}^{∞} A_{n} , kde A_{n} := ∑{p_{n+1} − 1 \atop k = p_{n}} a_{k} ^{41}, majú rovnaký charakter. Dokážte!

272. ,,Uzátvorkujme“ rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} tak, aby žiadna zátvorka neobsahovala členy s opačnými znamienkami. Potom rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a uzátvorkovaný rad majú rovnaký charakter. (Korektnejšiu formuláciu zadania prenechávame čitateľovi.) Dokážte!

273. Relatívne konvergentný rad možno ,,uzátvorkovať“ tak, aby vznikol absolútne konvergentný rad. (Aj v tomto prípade prenechávame presnú formuláciu čitateľovi.) Dokážte!

274. Vyšetrite konvergenciu nasledujúcich radov:

1. ∑_{n=1}^{∞} (\frac{sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}} − sin (\frac{sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}})) ; 2. ∑_{n=1}^{∞} sin (π \frac{n^{3} + 1}{n^{2} + 1}) ;

3. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln^{2} n} cos \frac{πn^{2}}{n + 1} ; 4. ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)n(n + 1)/2}{\sqrt{n} · \sqrt{n + (−1)n}} ;

5. ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{1 + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}} − 1) ; 6. ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin n}{n + sin n} ;

7. ∑_{n=2}^{∞} \frac{sin(n + 1/n)}{ln ln n} ; 8. ∑_{n=1}^{∞} sin (\frac{sin n}{\sqrt[3]{n}}) ;

9. ∑_{n=1}^{∞} sin π(2 + \sqrt{3})^{n} (návod: vyšetrite konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} sin π(2 − \sqrt{3})^{n}) ;

10. ∑_{n=3}^{∞} \frac{a_{n}}{n ln(n + 1)} , kde a_{n} = \{ \begin{matrix}1 , ak & n = 5k + 1 , 5k + 2 \\ −1 , ak & n = 5k , 5k − 1 , 5k − 2 \end{matrix} , k ∈ N ;

11. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)[^{\sqrt{n}}]}{n^{p}} ; 12. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)[ln n]}{n} .

275. Nech S_{n} je n–tý čiastočný súčet radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n} , nech lim_{n→∞} a_{n}S_{n} = 0. Dokážte, že ak konverguje jeden z radov ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} , ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} − a_{n+1})S_{n} , tak konverguje aj druhý z nich a platí ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} = = ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} − a_{n+1})S_{n}. Dokážte!

276. Dokážte, že rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konverguje, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

(i) postupnosť {S_{n}}_{n=1}^{∞} čistočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n} je ohraničená; (ii) rad ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} − a_{n+1}) absolútne konverguje; (iii) lim_{n→∞} a_{n} = 0.

277. Dokážte, že rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konverguje, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

(i) rad ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje; (ii) rad ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} − a_{n+1}) konverguje absolútne.

278. Dokážte, že pre súčet S_{p} radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{p}} ( p > 0 ) platí odhad \frac{1}{2} < S_{p} < 1.

279. Nech p, m ∈ N; nemeniac poradie členov harmonického radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}, zmeňme ich znamienka tak, aby vždy za skupinou p kladných členov nasledovala skupina m záporných členov. Takto získaný rad diverguje (konverguje), ak p ≠ m ( p = m). Dokážte!

41teda rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ,,uzátvorkujeme“ tak, aby žiadna zátvorka neobsahovala viac ako c členov

280. 1. Nájdite také prerovnanie radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n}, ktorého súčet je dvojnásobkom súčtu radu

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n}.

2. Nájdite divergentné prerovnanie radu ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n}.

281. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je relatívne konvergentný rad, a, b ∈ R^{∗} , a < b. Nech ∑_{n=1}^{∞} b_{n} je také prerovnanie radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, že lim sup_{n→∞} S_{n} = b , lim inf_{n→∞} S_{n} = a , kde {S_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť čiastočných súčtov radu ∑_{n=1}^{∞} b_{n} ^{42}. Potom aj každé číslo z intervalu (a, b) je hromadnou hodnotou postupnosti {S_{n}}_{n=1}^{∞}. Dokážte!

282. Nech a_{0} ≠ kπ , k ∈ Z , definujme postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} nasledovne: a_{1} = sin a_{0} , a_{n+1} = = sin a_{n} ( n ∈ N ).

1. Dokážte, že rad ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} − sin a_{n}) je konvergentný. Na základe toho dokážte konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{3}.

2. Dokážte, že rady ∑_{n=1}^{∞} ln (a_{n+1}/a_{n}) a ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} divergujú.

3. Vyšetrite konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} , x ∈ R.

283. Vyšetrite konvergenciu radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , kde

1. a_{1} = 1 , a_{n+1} = (\frac{3}{4} + \frac{(−1)^{n}}{2} ) a_{n} , n ∈ N ;

2. a_{1} = sin α , a_{n+1} = (−1)^{n} sin a_{n} , n ∈ N ;

3. a_{1} = a > 0 , a_{n+1} = ln (1 + a_{n}) , n ∈ N ;

4. a_{1} = a ∈ R , a_{n+1} = a_{n} − a_{n}^{2} , n ∈ N .

284. Ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e−nx^{0} konverguje, tak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e−nx konverguje absolútne pre každé x > x_{0}. Dokážte!

285. Ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−p} ( p > 0 ) konverguje, tak

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{p}} ∑_{k=1}^{n} a_{k} = 0 .

Dokážte!

286. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je divergentný rad s kladnými členmi. Potom

1. rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{1 + a_{n}} diverguje;

2. rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{S_{n}^{p}} , kde S_{n} je n–tý čiastočný súčet radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, konverguje pre p > 1 a diverguje pre

p ≤ 1. Dokážte!

287. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentný rad s kladnými členmi, nech R_{n} := ∑_{k=n+1}^{∞} a_{k}. Potom

1. rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{R_{n}} diverguje; 2. rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{\sqrt{R_{n}}} konverguje.

Dokážte!

288. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť a lim_{n→∞} a_{n} = 0 , tak rady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} a ∑_{n=1}^{∞} n(a_{n} − a_{n+1}) majú rovnaký charakter. Dokážte!

289. Uveďte príklad konvergentného radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} takého, že rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{3} diverguje.

42pozri vetu 15

290. Nech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je divergentný rad, pričom {a_{n}}_{n=1}^{∞} je nerastúca postupnosť s limitou 0; nech c ∈ N a {p_{n}}_{n=1}^{∞} je rastúca postupnosť prirodzených čísel taká, že p_{n+1} − p_{n} ≤ c. Potom rad ∑_{n=1}^{∞} a_{pn} diverguje. Dokážte!

291. Ak rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n} s kladnými členmi konverguje, tak existuje postupnosť {b_{n}}_{n=1}^{∞} taká, že b_{n} ↗ ∞ a rad ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konverguje. Dokážte!

292. 1_{0}. Nech S_{n} , σ_{n} je n–tý čiastočný súčet radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} , ∑_{n=1}^{∞} b_{n}; pričom ∑_{n=1}^{∞} b_{n} je divergentný

rad s kladnými členmi. Ak lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = k , tak lim_{n→∞} \frac{S_{n}}{σ_{n}} = k ( k ∈ R^{∗}). Dokážte!

2. Dokážte Stolzovu vetu: Ak \{y_{n}\}_{n=1}^{∞} je rastúca divergentná postupnosť a existuje lim_{n→∞} \frac{x_{n+1} − x_{n}}{y_{n+1} − y_{n}} ,

tak existuje aj lim_{n→∞} \frac{x_{n}}{y_{n}} a platí

lim_{n→∞} \frac{x_{n}}{y_{n}} = lim_{n→∞} \frac{x_{n+1} − x_{n}}{y_{n+1} − y_{n}} .

3. Vypočítajte limity:

a) lim_{n→∞} \frac{1^{p−1} + 2^{p−1} + ⋯ + n^{p−1}}{n^{p}} , p > 1 ;

b) lim_{n→∞} n (\frac{1^{p−1} + 2^{p−1} + ⋯ + n^{p−1}}{n} − \frac{1}{p}) , p > 1 .

4. Nech S_{n} je n–tý čiastočný súčet divergentného radu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} s kladnými členmi; nech lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{S_{n}} = 0.

Potom

lim_{n→∞} \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}S_{k}^{−1}}{ln S_{n}} = 1 .

Dokážte!

293. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je ohraničená (neohraničená) rastúca postupnosť kladných čísel, tak rad

∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ) konverguje (diverguje). Dokážte!

294. Nech f : [0, ∞) → R_{0}^{+} je rastúca konkávna funkcia taká, že lim_{x→0} f(x) = 0 a rad ∑_{n=1}^{∞} f (\frac{1}{2^{n}} )

konverguje. Potom platí: ak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentný rad s nezápornými členmi, tak aj rad ∑_{n=1}^{∞} \frac{f(a_{n})}{n}

konverguje. Dokážte!