Dodatok Krivky a funkcie dané parametricky

Nech je v rovine daná pravouhlá súradnicová sústava s rovnakými jednotkami dĺžok na súradnicových osiach Ox a Oy. Neprázdna množina K bodov roviny sa nazýva \underline{krivka daná parametricky} (v ďalšom stručne len krivka), ak existujú funkcie φ , ψ definované na intervale I také, že

K = {(φ(t), ψ(t)) ; t ∈ I} ^{1}.

Rovnice

x = φ(t) , y = ψ(t) ,  t ∈ I ,  (1)

sa nazývajú \underline{parametrické vyjadrenie krivky K}. Ak existuje funkcia f (funkcia g) tak, že

K = {(x, f(x)) ; x ∈ D(f)}
( K = {(g(y), y) ; y ∈ D(g)} ) ,

hovoríme, že \underline{rovnicami (1) je parametricky daná funkcia y = f(x)} (\underline{funkcia x = g(y)}). (Postačujúcou podmienkou pre existenciu funkcie f (funkcie g) je injektívnosť funkcie φ (funkcie ψ), potom f = ψ ∘ φ^{−1} ( g = φ ∘ ψ^{−1} ).) ^{2}

Špeciálnym prípadom parametrického vyjadrenia krivky je rovnica krivky v polárnych súradniciach: Usporiadanú dvojicu (ϱ, φ) , kde ϱ ≥ 0 , φ ∈ R , nazývame \underline{polárnymi súradnicami} bodu X ≡ (x, y) , ak

x = ϱ cos φ , y = ϱ sin φ ^{3}.

Ak f je nezáporná funkcia definovaná na intervale I a L je množina všetkých bodov roviny s polárnymi súradnicami (f(φ), φ) , φ ∈ I , nazýva sa rovnica

ϱ = f(φ) , φ ∈ I ,

\underline{rovnica krivky L v polárnych súradniciach^{4}}. (Zrejme jedno z možných parametrických vyjadrení krivky L má tvar

x = f(φ) cos φ , y = f(φ) sin φ , φ ∈ I . )

1spravidla sa požaduje aj spojitosť funkcií φ , ψ

2definíciu funkcie danej parametricky možno vysloviť aj vo všeobecnejšej podobe, ak podmienku ,,D(φ) = = D(ψ) = I“ nahradíme podmienkou ,,D(φ) = D(ψ)“

3 ϱ je teda vzdialenosť bodov X a O ≡ (0, 0) , φ je veľkosť (v radiánoch) niektorého z uhlov, o ktorý treba otočiť polpriamku OJ ( J ≡ (1, 0) ) okolo bodu O , aby splynula s polpriamkou OX; pritom φ ≥ 0 ( φ ≤ 0 ) , ak sa toto otočenie deje proti smeru (v smere) hodinových ručičiek

4niekedy sa polárne súradnice definujú všeobecnejšie: namiesto ϱ ≥ 0 sa uvažuje ϱ ∈ R , v takom prípade netreba pri zavádzaní rovnice krivky v polárnych súradniciach požadovať nezápornosť funkcie f

V ďalšom budeme názov krivka používať aj na označenie množín tvaru K_{1} ∪ K_{2} ∪ ⋯ ∪ K_{n} (n ∈ N ) , kde K_{1} , …, K_{n} sú krivky v zmysle horeuvedenej definície. Pokiaľ na označenie premenných použijeme písmená ϱ , φ , budeme tým vždy myslieť polárne súradnice.

408. Popíšte nasledujúce krivky pomocou polárnych súradníc:

1. (x^{2} + y^{2})^{2} = 2a^{2}xy ; 2. (x^{2} + y^{2})^{3} = 4a^{2}xy(x^{2} − y^{2}) ;

3. x^{4} + y^{4} = a^{2}xy ; 4. a(x^{3} + y^{3}) = x^{2} + y^{2} .

409. Nájdite parametrické vyjadrenie nasledujúcich kriviek:

1. (x + y)^{2} = a(x − y) (položte y = tx) ; 2. x^{4} + y^{4} = ax^{2}y ;

3. 4y^{2} = 4x^{2}y + x^{5} (položte y = tx^{2} ) ; 4. y^{5} + x^{4} = xy^{2} .

410. Rovnice nasledujúcich kriviek prepíšte na tvar F (x, y) = 0 , na základe toho zistite, o aké krivky ide:

1. x = a + b cos t , y = c + d sin t (b > 0 , d > 0) , t ∈ R ^{5} ;

2. x = ch t , y = sh t , t ∈ R ; 3. x = arctg t , y = arcctg t , t ∈ R ;

4. ϱ = \frac{d}{sin(φ − φ_{0})} ^{6} (d > 0) ; 5. ϱ = \frac{a}{cos^{2}(φ/2)} (a > 0) ;

6. ϱ = \frac{a}{sin^{2}(φ/2)} (a > 0) .

411. Nájdite parametrické vyjadrenie krivky K, ktorá je geometrickým miestom všetkých bodov M popísaných nasledujúcou konštrukciou:

1. Je dané číslo l > 0. Zvoľme body A ∈ Oy , B ∈ Ox tak, aby |AB| = l. M je pa̋ta kolmice spustenej z vrcholu C obdĺžnika OACB na úsečku AB.

2. Nech k je kružnica s polomerom r a stredom (r, 0). Z bodu O ≡ (0, 0) veďme tetivu OB kružnice k, z bodu B spusťme kolmicu na priemer OA, jej pa̋tu označme C. M je pa̋ta kolmice spustenej z bodu C na tetivu OB.

3. Nech a > b > 0 sú dané čísla. Bodom A ≡ (0, −a) veďme priamku p, ktorá nie je rovnobežná s osou Ox, jej priesečník s touto osou označme B. M je bod ležiaci na priamke p vo vzdialenosti b od bodu B.

Riešenie. 1. Označme K_{i} (i = 1, 2, 3, 4) tú časť krivky K, ktorá leží v i–tom kvadrante. Pretože — ako vyplýva zo zadania — krivka K je súmerná podľa osí Ox a Oy, stačí nájsť parametrické vyjadrenie krivky K_{1}, pomocou neho už ľahko nájdeme parametrické vyjadrenia kriviek K_{2} , K_{3} , K_{4}.

Nech teda úsečka AB leží v prvom kvadrante; za parameter zvoľme veľkosť φ uhla OBA, potom (pozri obr. 4)

– z pravouhlého △-a AOB dostávame

|OA| = |BC| = |AB| sin φ = l sin φ , |OB| = |AB| cos φ = l cos φ ;

– z △-a BCM:

|BM| = |BC| sin φ = l sin^{2} φ ;

– z △-a BDM:

|DM| = |BM| sin φ = l sin^{3} φ , |BD| = |BM| cos φ = l sin^{2} φ cos φ .

Ak M ≡ (x, y) , tak

x = |OB| − |BD| = l cos φ · (1 − sin^{2} φ) = l cos^{3} φ , y = |MD| = l sin^{3} φ ,

5vzhľadom na periodičnosť funkcií sin , cos by stačilo uvažovať t ∈ [0, 2π] 6pokiaľ v rovnici ϱ = f(φ) , φ ∈ M , nie je množina M určená, kladieme M := {φ ∈ D(f) ; f(φ) ≥

0}; ak je naviac funkcia f periodická a jednou z jej periód je číslo 2nπ ( n ∈ N ) , stačí položiť M := := [a, a + 2nπ] ∩ {φ ∈ D(f) ; f(φ) ≥ 0} ( a ∈ D(f) )

obr. 4

teda parametrické vyjadrenie krivky K_{1} má tvar

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{3} φ , φ ∈ (0, π/2) .

Krivky K_{1} a K_{2} sú súmerné podľa osi Oy, preto

K_{2} = {(−x, y) ; (x, y) ∈ K_{1}} = {(−l cos^{3} φ, l sin^{3} φ) ; φ ∈ (0, π/2)} =
= {(l cos^{3}(π − φ), l sin^{3}(π − φ)) ; φ ∈ (0, π/2)} =
= {(l cos^{3} φ, l sin^{3} φ) ; φ ∈ (π/2, π)} ,

teda jedno z parametrických vyjadrení krivky K_{2} je

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{3} φ , φ ∈ (π/2, π) .

Podobne možno nájsť parametrické vyjadrenia kriviek K_{3} a K_{4} ( K_{3} , resp. K_{4} je súmerná podľa osi Ox s K_{2} , resp. K_{1} ) v tvare

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{3} φ , φ ∈ (π, 3π/2) ,

a

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{3} φ , φ ∈ (3π/2, 2π) .

Krivka K je teda určená rovnicami

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{3} φ , φ ∈ (0, 2π) \ {π/2, π, 3π/2} .

Poznámka. Krivka daná parametricky rovnicami

x = l cos^{3} φ , y = l sin^{φ} , φ ∈ [0, 2π] ^{7},

sa nazýva asteroida; túto krivku možno zadať tiež rovnicou

x^{2/3} + y^{2/3} = l^{2/3} .

(K inému geometrickému popisu asteroidy pozri poznámku za riešením pr. 412.2.)

412. 1. Cykloidou sa nazýva dráha, ktorú opisuje bod kružnice kotúľajúcej sa po priamke. Nájdite parametrické vyjadrenie cykloidy (za parameter zvoľte uhol otočenia polomeru spájajúceho stred kotúľajúcej sa kružnice s bodom, ktorého dráhu popisujeme).

7zrejme tú istú krivku dostaneme, ak interval [0, 2π] nahradíme intervalom (−∞, ∞) alebo intervalom [a, a + 2π)

2. Kružnica k s polomerom r sa zvnútra kotúľa po kružnici K s polomerom R , r < R. Nájdite parametrické vyjadrenie krivky, ktorú pri tomto pohybe opisuje bod kotúľajúcej sa kružnice (táto krivka sa nazýva hypocykloida).

3. Na kružnicu s polomerom R je namotaná niť nulovej hrúbky. Túto niť odmotávame z kružnice tak, aby bola niť stále napnutá (tj. aby bola vždy dotyčnicou ku kružnici). Nájdite parametrické vyjadrenie krivky, ktorú opisuje koniec rozmotávanej nite (táto krivka sa nazýva evolventa kruhu).

Riešenie. 2. Zvoľme súradnicovú sústavu tak, aby jej počiatkom O bol stred kružnice K a aby v jednom z okamihov, keď bod M ∈ k (ktorého dráhu popisujeme) je bodom dotyku obidvoch kružníc, platilo M ≡ (R, 0) ; predpokladajme, že kružnica k sa kotúľa po kružnici K proti smeru hodinových ručičiek. Za parameter φ zvoľme veľkosť uhla, ktorý zviera spojnica stredov obidvoch kružníc s kladným smerom osi Ox. Nech S je stred kružnice k , D je bod dotyku kružníc k a K , nech ϑ je uhol, ktorý zviera úsečka SD s úsečkou SM (pozri obr. 5).

obr. 5

Pretože kružnica k sa kotúľa po kružnici K , sú dĺžky oblúkov AD a MD rovnaké:

Rφ = rϑ ,

odtiaľ

ϑ = \frac{R}{r} φ .

Vzdialenosť bodu S ≡ (p, q) od počiatku O je R − r a orientovaný uhol s počiatočným ramenom OA a koncovým ramenom OS má veľkosť φ , preto

p = (R − r) cos φ , q = (R − r) sin φ .

Vzdialenosť bodov M a S je r a veľkosť orientovaného uhla s počiatočným ramenom SB a koncovým ramenom SM je −(ϑ − φ) , preto pre vektor u⃗ ≡ (u_{1}, u_{2}) = M − S je

u_{1} = r cos(−(ϑ − φ)) , u_{2} = r sin(−(ϑ − φ)) .

Pretože pre bod M ≡ (x, y) platí M = S + u⃗ , dostávame

x = p + u_{1} = (R − r) cos φ + r cos(ϑ − φ) = (R − r) cos φ + r cos ((\frac{R}{r} − 1) φ) ,
y = q + u_{2} = (R − r) sin φ − r sin(ϑ − φ) = (R − r) sin φ − r sin ((\frac{R}{r} − 1) φ) .

Teda parametrické vyjadrenie hypocykloidy má tvar

x = (R − r) cos φ + r cos ((\frac{R}{r} − 1) φ) ,  y = (R − r) sin φ − r sin ((\frac{R}{r} − 1) φ) ,  φ ∈ R .

Poznámka. Špeciálne pre R/r = 4 dostaneme rovnice asteroidy:

x = 3r cos φ + r cos 3φ = 4r cos^{3} φ = R cos^{3} φ ,
y = 3r sin φ − r sin 3φ = 4r sin^{3} φ = R sin^{3} φ .

413. 1. Nech sú dané funkcie φ , ψ definované na intervale I. Uveďte nutnú a postačujúcu podmienku, aby rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ I ,

bola parametricky daná funkcia y = f(x).

2. Nech sú dané funkcie φ:I → R , ψ:I → R , χ:J → I , kde I a J sú intervaly. Za akých podmienok je rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ I ,

resp.

x = φ(χ(t)) , y = ψ(χ(t)) , t ∈ J ,

daná parametricky tá istá funkcia y = f(x) ?

414. Nech funkcia y = f(x) je daná parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ I ,

kde I je interval.

1. Ak I = (α, β) , α, β ∈ R^{∗} , φ je rastúca (klesajúca) a existujú lim_{t→β−} φ(t) =: a ∈ R^{∗}, lim_{t→β−} ψ(t) =: b ∈ R^{∗} , tak lim_{x→a−} f(x) = b ( lim_{x→a+} f(x) = b). Dokážte!

2. Ak φ je rýdzomonotónna a ψ spojitá funkcia, tak aj f je spojitá funkcia. Dokážte!

3. Ak φ a ψ sú spojité funkcie, tak aj f je spojitá funkcia. Dokážte!

4. Vyplýva zo spojitosti funkcie f spojitosť funkcií φ a ψ?

Veta 1. Nech funkcie φ a ψ definované na intervale I sú diferencovateľné v bode a ∈ I , nech φ je rýdzomonotónna funkcia spojitá na niektorej z množín I ∩O(a) , kde O(a) je okolie bodu a, a nech φ′(a) ≠ 0. Potom funkcia y = f(x) daná parametricky rovnicami (1) má v bode φ(a) deriváciu^{8} a

f′(φ(a)) = \frac{ψ′(a)}{φ′(a)} .  (2)

Špeciálne, ak funkcie φ , ψ sú diferencovateľné na intervale I a φ′(t) > 0 , t ∈ I ( φ′(t) < 0 , t ∈ I) , tak deriváciou funkcie y = f(x) danej parametricky rovnicami (1) je funkcia y = f′(x) daná parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = \frac{ψ′(t)}{φ′(t)} , t ∈ I .

Nech krivka K je daná parametricky rovnicami (1) ( I je interval). Ak funkcie φ , ψ sú diferencovateľné v bode a ∈ I a (φ′(a), ψ′(a)) ≠ (0, 0) , tak priamka p daná parametricky rovnicami

x = φ(a) + φ′(a) t , y = ψ(a) + ψ′(a) t , t ∈ R ,

sa nazýva \underline{dotyčnica ku krivke K v bode M ≡ (φ(a), ψ(a))}.

8ak D(f) ∩ (−∞, φ(a)) = ∅ alebo D(f) ∩ (φ(a), ∞) = ∅ , ide o príslušnú jednostrannú deriváciu v bode φ(a)

Poznámky. 1. Ak bod M krivky K zodpovedá niekoľkým rôznym hodnotám parametra t, môže mať krivka K v bode M viacero dotyčníc.

2. Ak φ′(a) ≠ 0 , možno rovnicu priamky p zapísať v tvare

y = ψ(a) + \frac{ψ′(a)}{φ′(a)}(x − φ(a)) .

V prípade, že rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ J ,

kde J ⊂ I je interval, je daná parametricky funkcia y = f(x) , definovaná v niektorom okolí bodu φ(a), dostávame tak už známu rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode (φ(a), ψ(a)) : y = ψ(a)+f′(φ(a))(x− −φ(a)). (Podobne možno uvažovať v prípade ψ′(a) ≠ 0 .)

415. Nájdite deriváciu funkcie y = f(x) danej parametricky rovnicami:

1. x = (t^{3} − 2t^{2} + 3t − 4)e^{t} , y = (t^{3} − 2t^{2} + 4t − 4)e^{t} , t ∈ (1, ∞) ;

2. x = ctg 2t , y = \frac{2 cos 2t − 1}{2 cos t} , t ∈ (0, \frac{π}{2} ) .

416. Ukážte, že cykloida x = a(φ − sin φ) , y = a(1 − cos φ) , má dotyčnicu v každom bode neležiacom na osi Ox, pričom dotyčnica (normála) v danom bode prechádza najvyšším (najnižším) bodom príslušnej polohy vytvárajúcej kružnice cykloidy (popis cykloidy pozri v pr. 412.1).

417. 1. Nech I je interval, f:I → R je kladná diferencovateľná funkcia. Potom pre uhol ω, ktorý zviera dotyčnica ku grafu krivky ϱ = f(φ) so spojnicou dotykového bodu a bodu (0, 0), platí

cos ω = \frac{f′(φ)}{\sqrt{f^{′2}(φ) + f^{2}(φ)}} .

Dokážte!

2. Nájdite uhol, pod ktorým sa pretínajú krivky ϱ = φ a ϱ = \frac{1}{φ}.

418. Nájdite druhú deriváciu funkcie y = f(x) danej parametricky rovnicami:

1. x = 2t − t^{2} , y = 3t − t^{3} , t ∈ (1, ∞) ; 2. x = e^{t} sin t, y = e^{t} cos t, t∈(−\frac{π}{4} , \frac{3π}{4} ) ;

3. x = \frac{t^{2} − 2t − 5}{t^{2} + 10t + 25} , y = \frac{t^{2} − 4t + 5}{t^{2} + 4t − 5} , t ∈ (1, ∞) ;

4. x = f′(t) , y = tf′(t)−f(t) , t ∈ I (pričom predpokladáme, že funkcia f je dvakrát diferencovateľná na intervale I a f′′(x) ≠ 0 , t ∈ I).

Riešenie. 1. Derivácia f′ funkcie f je podľa vety 1 daná parametricky rovnicami

x = 2t − t^{2} − t^{2} (=: Φ(t) ) , y = \frac{3 − 3t^{2}}{2 − 2t} = \frac{3}{2}(1 + t) (=: Ψ(t) ) , t ∈ (1, ∞) .

Deriváciou f′′ funkcie f′ bude preto opa̋ť podľa vety 1 funkcia daná parametricky rovnicami

x = Φ(t) , y = \frac{Ψ′(t)}{Φ′(t)} , t ∈ (1, ∞) ,

tj.

x = 2t − t^{2} , y = \frac{3}{4(1 − t)} , t ∈ (1, ∞) .

419. Ukážte, že nasledujúcimi rovnicami parametricky dané funkcie y = f(x) sú diferencovateľné v bode 0, ale ich deriváciu v tomto bode nemožno nájsť použitím vety 1:

1. x = 2t + |t| , y = 5t^{2} + 4t|t| , t ∈ R ; 2. x = t − \frac{t}{1 + t^{2}} , y = t − arctg t , t ∈ R ;

3. x = t + ^{5} \sqrt{t} , y = 2t + 3 ^{5} \sqrt{t} , t ∈ R .

420. 1. Nech funkcia y = f(x) je daná parametricky rovnicami (1) ( I je interval). Nech funkcie φ , ψ sú diferencovateľné v bode a ∈ I, pričom φ′(a) ≠ 0 a funkcia φ je spojitá na niektorom okolí O(a) bodu a. Potom funkcia f je diferencovateľná v bode φ(a) a platí (2). Dokážte! ^{9}

2. Uveďte príklad takých funkcií φ, ψ:(−1, 1)→ R diferencovateľných v bode 0, že φ′(0) ≠ 0 a rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ (−1, 1) ,

je parametricky daná funkcia y = f(x), ktorá nie je diferencovateľná v bode φ(0) !

Nech množina D je zjednotením konečného počtu intervalov, nech krivka K je daná parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ D .

Priamka x = a ( y = a) sa nazýva \underline{vertikálna asymptota krivky K} (\underline{horizontálna asymptota krivky K pre} \underline{x → ∞}), ak pre niektorý hromadný bod b ∈ R^{∗} množiny D platí

lim_{t→b+} φ(t) = a , lim_{t→b+} |ψ(t)| = ∞  alebo  lim_{t→b−} φ(t) = a , lim_{t→b−} |ψ(t)| = ∞
(  lim_{t→b+} φ(t) = ∞ , lim_{t→b+} ψ(t) = a  alebo  lim_{t→b−} φ(t) = ∞ , lim_{t→b−} ψ(t) = a  ) .

Priamka y = kx + q , k ≠ 0 , sa nazýva \underline{asymptota so smernicou krivky K pre x → ∞}, ak pre niektorý hromadný bod b ∈ R^{∗} množiny D platí

lim_{t→b+} φ(t) = lim_{t→b+} |ψ(t)| = ∞ ,  lim_{t→b+} \frac{ψ(t)}{φ(t)} = k ,  lim_{t→b+}(ψ(t) − kφ(t)) = q ,

alebo

lim_{t→b−} φ(t) = lim_{t→b−} |ψ(t)| = ∞ ,  lim_{t→b−} \frac{ψ(t)}{φ(t)} = k ,  lim_{t→b−}(ψ(t) − kφ(t)) = q .

Analogicky sa definuje \underline{horizontálna asymptota krivky K pre x → −∞} a \underline{asymptota so smernicou krivky K} \underline{pre x → −∞}.

Špeciálne, ak krivka K je daná rovnicou v polárnych súradniciach

ϱ = f(φ) , φ ∈ D ,

tak priamka

ϱ sin(φ − φ_{0}) = d ^{10},

je asymptotou krivky K práve vtedy, keď

lim_{φ→φ0+} f(φ) = ∞ ,  lim_{φ→φ0+} f(φ) sin(φ − φ_{0}) = d ,

alebo

lim_{φ→φ0−} f(φ) = ∞ ,  lim_{φ→φ0−} f(φ) sin(φ − φ_{0}) = d ,

kde φ_{0} ∈ R je hromadný bod množiny D.

9na rozdiel od vety 1 v tomto tvrdení nepredpokladáme rýdzu monotónnosť funkcie φ, preto jeho dôkaz nemožno vykonať len na základe viet o derivácii zloženej a inverznej funkcie (z ktorých vyplýva veta 1)

10jej rovnica v pravouhlých súradniciach je y cos φ_{0} − x sin φ_{0} = d , teda jej smerový vektor (cos φ_{0}, sin φ_{0}) zviera s kladným smerom osi Ox uhol φ_{0} 421. Načrtnite nasledujúce krivky:

1. ϱ = φ (Archimedova špirála) ; 2. ϱ = \frac{1}{φ} (hyperbolická špirála) ;

3. ϱ = sin 5φ ;

4. ϱ = \sqrt{2} c\sqrt{cos 2φ} (Bernoulliho lemniskáta^{11}) ;

5. (x^{2} + y^{2})^{3} = a^{2}(x^{2} − y^{2})^{2} , a > 0 ; 6. x(x^{2} − y^{2}) = a(x^{2} + y^{2}) , a > 0 .

Riešenie. 3. Keďže funkcia sin 5φ nadobúda kladné aj záporné hodnoty a jednou z jej periód je číslo 2π, chápeme uvedenú rovnicu krivky L v polárnych súradniciach nasledovne (pozri poznámku ^{6} k pr. 410.4):

ϱ = sin 5φ , φ ∈ [0, \frac{π}{5} ] ∪ [\frac{2π}{5} , \frac{3π}{5} ] ∪ [\frac{4π}{5} , π] ∪ [\frac{6π}{5} , \frac{7π}{5} ] ∪ [\frac{8π}{5} , \frac{9π}{5} ] .

Ak f : [α, β] → R je spojitá nezáporná funkcia, môžeme si krivku K, ktorej rovnica v polárnych súradniciach je ϱ = f(φ) , φ ∈ [α, β] , predstaviť nasledovne: Na polpriamke p : φ = α (teda p je množina všetkých bodov s polárnymi súradnicami (ϱ, α) , ϱ ≥ 0 , tj polpriamka vychádzajúca z počiatku a zvierajúca s kladným smerom osi Ox uhol α) vyznačme bod M s polárnymi súradnicami (f(α), α). Otáčajme teraz polpriamkou p okolo bodu (0, 0) proti smeru hodinových ručičiek, až kým sa neprekryje s polpriamkou φ = β; na otáčajúcej sa polpriamke p pritom pohybujme bodom M tak, aby v okamžiku, keď sa p kryje s polpriamkou φ = γ (kde γ ∈ [α, β] , tj. keď zviera s kladným smerom osi Ox uhol γ), bola jeho vzdialenosť od bodu (0, 0) rovná číslu f(γ) ^{12} (teda ak funkcia f rastie (klesá), tak bod M sa vzďaľuje od (približuje k) bodu (0, 0) ); potom dráhou bodu M je krivka K.

Na základe toho môžeme teraz — keďže poznáme graf funkcie y = sin 5x (a vieme teda, kde táto funkcia rastie a kde klesá) — načrtnúť krivky K_{i} ( i = 0, 1, 2, 3, 4 ) dané rovnicami

ϱ = sin 5φ ,  φ ∈ [\frac{2iπ}{5} , \frac{(2i + 1)π}{5} ] ,  i = 0, 1, 2, 3, 4 ,

ktorých zjednotením je hľadaná krivka L (pozri obr. 6) ^{13}; pritom — pretože číslo 2π/5 je periódou funkcie y = sin 5x — krivka K_{i} je obrazom krivky K_{i−1} pri otočení o uhol 2π/5 okolo bodu (0, 0) proti smeru hodinových ručičiek ( i = 1, 2, 3, 4 ); súčasne zo súmernosti grafu funkcie y = sin 5x , x ∈ ∈ [2iπ/5, (2i + 1)π/5] , podľa priamky x = (4i + 1)π/10 vyplýva súmernosť krivky K_{i} podľa priamky obsahujúcej polpriamku φ = (4 + 1)π/10 ( i = 0, 1, 2, 3, 4 ).

422. Zostrojte nasledujúce krivky (ak má číslo úlohy exponent ^{1}, stačí použiť len prvé derivácie):

1. x = −5t^{2} + 2t^{5} , y = −3t^{2} + 2t^{3} ; 2. x = 2t − t^{2} , y = 2t^{2} − t^{3} ;

3. x^{4} + 2y^{3} = 4x^{2}y (položte y = tx) ; 4^{1}. 4y^{2} = 4x^{2}y + x^{5} (položte y = tx^{2} ) ;

5. x = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , y = \frac{(t − 2)^{2}}{t − 1} ; 6. x^{3} − 2x^{2}y − y^{2} = 0 ;

7^{1}. y^{5} + x^{4} = xy^{2} (položte x = ty^{3} ) ; 8. x^{5} + y^{5} = xy^{2} ;

9. x^{3} + y^{3} = 3axy (Descartesov list) ; 10. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}, a > 0 (asteroida) ;

11. x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) , a > 0 (cykloida) ;

12. ϱ = a(1 + cos φ) , a > 0 (kardioida) ; 13. ϱ = 1 + 2 cos φ (Pascalova závitnica)^{14};

14. x = t + e^{−t} , y = 2t + e^{−2t} .

11Bernoulliho lemniskáta je geometrické miesto bodov, ktorých súčin vzdialeností od bodov (−c, 0) a (c, 0) je konštantný a rovná sa c^{2}, možno ju popísať rovnicou (x^{2} + y^{2})^{2} − 2c^{2}(x^{2} − y^{2}) = 0

12ak v definícii polárnych súradníc nahradíme podmienku ,,ϱ ≥ 0“ podmienkou ,,ϱ ∈ R“ (pozri poznámku 4 k definícii polárnych súradníc; v takom prípade stráca poznámka ^{6} k pr. 410.4 platnosť) a f: [α, β] → R je spojitá funkcia, tak bod M leží v prípade, že f(γ) ≥ 0, na polpriamke φ = γ vo vzdialenosti f(γ) od bodu (0, 0), a leží na opačnej polpriamke φ = π + γ vo vzdialenosti |f(γ)| od bodu (0, 0) pre f(γ) < 0

13zhodou okolností (čitateľovi odporúčame rozmyslieť si, v čom táto zhoda okolností spočíva) je v tomto prípade tá istá krivka popísaná aj rovnicou ϱ = sin 5φ , kde ϱ a φ chápeme ako ,,všeobecnejšie polárne súradnice“ v zmysle poznámky ^{4}

obr. 6. ϱ = sin 5φ

Riešenie. 5. Ak má parametrické vyjadrenie krivky tvar

x = φ(t) , y = ψ(t) ,

pričom nie je určená množina, na ktorej uvažujeme funkcie φ a ψ , kladieme M := D(φ) ∩ D(ψ). V našom prípade

φ(t) = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , ψ(t) = \frac{(t − 2)^{2}}{t − 1} ,

teda D(φ) = R \ {−1} , D(ψ) = R \ {1} , M = D(φ) ∩ D(ψ) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞). Pri zobrazovaní krivky K s parametrickým vyjadrením

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ M ,

kde množina M je zjednotením konečného počtu intervalov a funkcie φ , ψ sú spojité na M, postupujeme spravidla nasledovne:

• riešením rovníc φ(t) = 0 , t ∈ M , resp. ψ(t) = 0 , t ∈ M , nájdeme priesečníky krivky K s osou Oy, resp. Ox;

• množinu M rozdelíme na intervaly J_{1} , …, J_{n} tak, aby na každom z nich boli funkcie φ a ψ rýdzomonotónne (ak sú funkcie φ , ψ diferencovateľné, stačí teda vyšetriť ich rast a klesanie pomocou znamienka funkcií φ′ , ψ′); rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ J_{i} ,

je tak parametricky daná rýdzomonotónna spojitá funkcia y = f_{i}(x) ( i = 1, … n) ^{15} ;

• nájdeme množiny φ(J_{i}) , ψ(J_{i}) , i = 1, …, n (prvá z nich je zrejme definičným oborom a druhá oborom hodnôt funkcie f_{i}), na to stačí — pretože funkcie φ , ψ sú na J_{i} rýdzomonotónne a spojité — nájsť funkčné hodnoty, resp. príslušné jednostranné limity funkcií φ , ψ v krajných bodoch intervalu J_{i}; v prípade, že niektorá z týchto limít je nevlastná, vyšetríme existenciu asymptoty krivky K;

• na základe znamienka druhej derivácie funkcie f_{i} (samozrejme pokiaľ táto derivácia existuje) vyšetríme konvexnosť a konkávnosť funkcie f_{i};

• načrtneme grafy jednotlivých funkcí f_{i} , i = 1, …, n , ktorých zjednotením je krivka K (pokiaľ pritom nie je zrejmé, či sa grafy dvoch funkcií f_{i} a f_{j} pretnú alebo nepretnú, vyšetríme, či existujú u ≠ v , u ∈ J_{i} , v ∈ J_{j} také, že φ(u) = φ(v) , ψ(u) = ψ(v) ; ak áno, pretínajú sa grafy funkcií f_{i} a f_{j} v bode (φ(u) ψ(u)) ).

14vo všeobecnosti je Pascalova závitnica daná rovnicou ϱ = a cos φ + l ( a > 0 , l > 0 ); špeciálne pre a = l dostávame kardioidu

15a tiež rýdzomonotónna spojitá funkcia x = g_{i}(y) inverzná k funkcii f_{i} V našom prípade, keď parametrické vyjadrenie krivky K má tvar

x = φ(t) = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , y = ψ(t) = \frac{(t − 2)^{2}}{t − 1} , t ∈ M = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) ,

je φ(t) = 0 pre t = −2, teda priesečníkom krivky K s osou Oy je bod (φ(−2), ψ(−2)) = (0, −16/3), a ψ(t) = 0 pre t = 2, teda priesečníkom s osou Ox je bod (16/3, 0). Ďalej

φ′(t) = \frac{t(t + 2)}{(t + 1)^{2}} , t ∈ M , ψ′(t) = \frac{t(t − 2)}{(t − 1)^{2}} , t ∈ M ,

a pretože φ′(t) = 0 pre t = 0 , t = −2 , ψ′(t) = 0 pre t = 0, t = 2 , dostávame

J_{1} = (−∞, −2] , J_{2} = [−2, −1) , J_{3} = (−1, 0] , J_{4} = [0, 1) , J_{5} = (1, 2] , J_{6} = [2, ∞) .

Krivka K je teda zjednotením grafov šiestich funkcií y = f_{1}(x) , …, y = f_{6}(x) , daných parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ J_{i} , i = 1, …, 6 .

V nasledujúcej tabuľke sú zaznačené limity funkcií φ|J_{i} , ψ|J_{i} v krajných bodoch intervalu J_{i} ( i = 1, …, 6 ):

(−∞, −2]  [−2, −1)  (−1, 0]  [0, 1)  (1, 2] [2, ∞)
φ −∞ 0  0 −∞ ∞ 4 4 \frac{9}{2} \frac{9}{2} \frac{16}{3} \frac{16}{3} ∞
ψ −∞ −\frac{16}{3} − \frac{16}{3} −\frac{9}{2} −\frac{9}{2} −4 −4 −∞ ∞ 0 0 ∞

Odtiaľ vidíme, že definičným oborom funkcií f_{1} , …, f_{6} sú postupne intervaly (−∞, 0] , (−∞, 0], [4, ∞) , [4, 9/2) , (9/2, 16/3] , [16/3, ∞). Ďalej, pretože lim_{t→−1−} φ(t) = −∞ , lim_{t→−1−} ψ(t) = −9/2 , je priamka y = −9/2 horizontálnou asymptotou krivky K pre x → −∞ , a pretože lim_{t→−1+} φ(t) = = ∞ , lim_{t→−1+} ψ(t) = −9/2 , je priamka y = −9/2 aj horizontálnou asymptotou krivky K pre x → ∞. Z rovností lim_{t→1−} φ(t) = 9/2 , lim_{t→1−} ψ(t) = −∞ a lim_{t→1+} φ(t) = 9/2 , lim_{t→1+} ψ(t) = ∞ vyplýva, že priamka x = 9/2 je vertikálna asymptota krivky K.

Keďže lim_{t→−∞} φ(t) = −∞ , lim_{t→−∞} ψ(t) = −∞ a lim_{t→∞} φ(t) = ∞ , lim_{t→∞} ψ(t) = ∞ , môže mať krivka K aj asymptoty so smernicou; vyšetrime ich existenciu : pretože

lim_{t→−∞} \frac{ψ(t)}{φ(t)} = lim_{t→−∞} \frac{(t − 2)^{2}(t + 1)}{(t + 2)^{2}(t − 1)} = 1 (=: k) ,

lim_{t→−∞}(ψ(t) − kφ(t)) = lim_{t→−∞} (\frac{(t − 2)^{2}}{t − 1} − \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} ) = −6 ,

je priamka y = x − 6 asymptota so smernicou krivky K pre x → −∞ , podobne z rovností

lim_{t→∞} \frac{ψ(t)}{φ(t)} = 1 (:= k) ,  lim_{t→∞}(ψ(t) − kφ(t)) = −6 ,

vyplýva, že priamka y = x − 6 je aj asymptotou so smernicou krivky K pre x → ∞.

Pretože pre t ∈ (−∞, −2) je φ′(t) < 0 , má podľa vety 1 funkcia f_{1} deriváciu v každom bode množiny φ((−∞, −2)) = (−∞, 0) , tj. v každom vnútornom bode svojho definičného oboru; rovnako z vety 1 vyplýva existencia derivácie funkcií f_{2} , f_{3} , f_{4} v každom vnútornom bode ich definičného oboru a existencia derivácie funkcií f_{5} , f_{6} v každom bode ich definičného oboru ^{16}, tieto derivácie sú dané parametricky rovnicami

x = φ(t) = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} ,  y = \frac{ψ′(t)}{φ′(t)} = \frac{(t − 2)(t + 1)^{2}}{(t + 2)(t − 1)^{2}} (:= Ψ(t) ) ,  (3)

kde parameter t postupne prebieha intervaly (−∞, −2) , (−2, −1) , (−1, 0) , (0, 1) , (1, 2] , [2, ∞). (Otázkou existencie (f_{1})′_{−}(φ(−2)) , (f_{2})′_{−}(φ(−2)) , (f_{3})′_{+}(φ(0)) , (f_{4})′_{+}(φ(0)) , ktorú nemožno zodpovedať len na základe vety 1, sa budeme zaoberať neskôr.)

16v prípade funkcií f_{5} , f_{6} a bodu 16/3 ide o jednostranné derivácie

Ak použijeme vetu 1 na nájdenie derivácie funkcií daných parametricky rovnicami (3), vidíme, že funkcie f_{1} , f_{2} , f_{3} , f_{4} , resp. f_{5} , f_{6} majú v každom vnútornom bode svojho definičného oboru, resp. v každom bode svojho definičného oboru druhú deriváciu, danú parametricky rovnicami

x = φ(t) = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , y = \frac{Ψ′(t)}{φ′(t)} = \frac{12(t + 1)^{3}}{t(t + 2)^{3}(t − 1)^{3}} ,

kde parameter t prebieha postupne intervaly (−∞, −2) , (−2, −1) , (−1, 0) , (0, 1) , (1, 2] , [2, ∞) ^{17}. Zo

znamienka funkcie \frac{12(t + 1)^{3}}{t(t + 2)^{3}(t − 1)^{3}} vnútri jednotlivých uvedených intervalov vyplýva, že funkcie f_{1} , f_{3} , f_{5}

a f_{6} sú rýdzo konvexné, funkcie f_{2} a f_{4} rýdzo konkávne.

Teraz by sme už v podstate mohli načrtnúť grafy funkcií f_{1} , …, f_{6} , vyšetrime však ešte predtým pre úplnosť existenciu (f_{1})′_{−}(0) , (f_{2})′_{−}(0) , (f_{3})′_{+}(4) , (f_{4})′_{+}(4):

Inverzná funkcia x = f_{1}^{−1}(y) k funkcii y = f_{1}(x) je daná parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ (−∞, −2] ,

táto funkcia je rastúca ako superpozícia rastúcich funkcií φ a ψ^{−1} a podľa vety 1 má v bode ψ(−2) = −16/3 jednostrannú deriváciu

(f_{1}^{−1})′_{−} (−\frac{16}{3}) = \frac{φ′(−2)}{ψ′(−2)} = 0 ,

preto podľa vety o derivácii inverznej funkcie je (f_{1})′_{−}(φ(−2)) = (f_{1})′_{−}(0) = ∞. Podobne možno dokázať rovnosť (f_{2})′_{−}(0) = −∞ ^{18}.

Ako sme už ukázali, spojitá funkcia f_{3} má v každom vnútornom bode svojho definičného oboru deriváciu danú parametricky rovnicami

x = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , y = \frac{(t + 1)^{2}(t − 2)}{(t − 1)^{2}(t + 2)} , t ∈ (−1, 0) .

Takto parametricky daná funkcia y = f′_{3}(x) má v bode x = 4 limitu sprava rovnú −1 (pozri pr. 414.1), z čoho vyplýva (f_{3})′_{+}(4) = −1 (pozri pr. I.384.1, ktorého analógia platí aj pre jednostranné limity), podobne sa dokáže rovnosť (f_{4})′_{+}(4) = −1 ; teda grafy funkcií f_{3} a f_{4} majú v bode (4, −4) spoločnú dotyčnicu sprava.

Pokiaľ sa teraz na základe získaných údajov pokúsime načrtnúť grafy funkcií f_{1} , …, f_{6} , zistíme, že nie je jasné, či grafy funkcií f_{3} a f_{4} , ktoré na seba ,,nadva̋zujú“ v bode (4, −4) , majú okrem tohto bodu ešte ďalší spoločný bod. Odpoveď na túto otázku možno (v tomto prípade) nájsť dvoma spôsobmi:

1. Keby sa grafy funkcií f_{3} a f_{4} pretli v niektorom bode rôznom od bodu (4, −4) (= (φ(0), ψ(0)) ) , museli by existovať čísla s ∈ (−1, 0) , t ∈ (0, 1) , ktoré sú riešením sústavy rovníc

φ(s) = φ(t) , ψ(s) = ψ(t) ,

tj.

\frac{(s + 2)^{2}}{s + 1} = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , \frac{(s − 2)^{2}}{s − 1} = \frac{(t − 2)^{2}}{t − 1} ,

odtiaľ

(s + 2)^{2}(t + 1) = (t + 2)^{2}(s + 1) , (s − 2)^{2}(t − 1) = (t − 2)^{2}(s − 1) ,

a po roznásobení a úprave

s^{2}t + s^{2} = t^{2}s + t^{2} ,
s^{2}t − s^{2} = t^{2}s − t^{2} .

17v prípade funkcií f_{5} , f_{6} a bodu 16/3 ide o jednostranné druhé derivácie

18pre t ∈ (−∞, −1) je ψ′(t) > 0 , teda rovnicami x = φ(t) , y = ψ(t) , t ∈ (−∞, −1) je parametricky daná funkcia x = g(y) , ktorej graf je zjednotením grafov funkcií f_{1} a f_{2} ; z vety 1 vyplýva g′(ψ(−2)) = = φ′(−2)/ψ′(−2) = 0 , teda dotyčnicou ku grafu funkcie g v bode (φ(−2), ψ(−2)) = (0, −16/3) je priamka x = 0 , čo je skutočne v súlade s definíciou dotyčnice ku krivke K, podľa ktorej smerovým vektorom dotyčnice v bode (φ(−2), ψ(−2)) je vektor (φ′(−2), ψ′(−2)) = (0, 8/9)

Ak tieto rovnice sčítame, dostaneme

2st(s − t) = 0 ,

teda pre hľadané riešenia by muselo platiť s = 0 alebo t = 0 alebo s = t , čo — keďže má platiť s ∈ ∈ (−1, 0) , t ∈ (0, 1) — nie je možné. To znamená, že grafy funkcií f_{3} a f_{4} majú jediný spoločný bod (4, −4).

2. Grafy funkcií f_{3} a f_{4} majú spoločnú dotyčnicu sprava v bode (4, −4) , pritom na intervale (4, ∞) leží graf rýdzo konvexnej funkcie f_{3} nad touto dotyčnicou (pozri pr. I.362.1) a graf rýdzo konkávnej funkcie f_{3} leží na intervale (4, 9/2) pod touto dotyčnicou, preto okrem bodu (4, −4) nemôžu mať grafy funkcií f_{3} a f_{4} žiadne ďalšie spoločné body.

Vyšetrovaná krivka je znázornená na obr. 7.

obr. 7. x = \frac{(t + 2)^{2}}{t + 1} , y = \frac{(t − 2)^{2}}{t − 1}

Veta 2. Nech funkcie φ , ψ sú diferencovateľné na intervale [a, b] , pričom φ′ ∈ R[a, b] , ψ′ ∈ R[a, b]. Potom dĺžkou krivky danej parametricky rovnicami

x = φ(t) , y = ψ(t) ,  t ∈ [a, b] ,  (4)

je číslo

∫_{a}^{b} \sqrt{φ^{′2}(t) + ψ^{′2}(t)} dt .

Špeciálne, ak funkcia f je diferencovateľná na intervale [a, b] a f′ ∈ R[a, b] , tak dĺžkou krivky, ktorej rovnica v polárnych súradniciach má tvar

ϱ = f(φ) ,  φ ∈ [a, b] ,  (5)

je číslo

∫_{a}^{b} \sqrt{f^{2}(φ) + f^{′2}(φ)} dφ .

423. Nájdite dĺžku nasledujúcich kriviek:

1. x = a(cos t + t sin t) , y = a(sin t − t cos t) , t ∈ [0, 2π] ;

2. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} ; 3. x = ch^{3}t , y = sh^{3}t , t ∈ [0, T] ;

4. slučky krivky x = 2t^{3}(1 − t^{2}) , y = \sqrt{15} t^{4} ; 5. x = ∫_{1}^{t} \frac{cos z dz}{z} , y = ∫_{1}^{t} \frac{sin z dz}{z} od bodu (0, 0) po najbližší bod, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou Oy ;

6. ϱ = a(1 + cos φ) ; 7. ϱ = a sin^{3} \frac{φ}{3} ;

8. φ = \frac{1}{2} (ϱ + \frac{1}{ϱ}) ; 9. φ = ∫_{0}^{ϱ} \frac{sh r}{r} dr , ϱ ∈ [0, R] ;

10. ϱ = 1 + cos t , φ = t − tg \frac{t}{2} , 0 ≤ t ≤ T < π .

424. Na cykloide x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) nájdite bod, ktorý delí dĺžku jej prvého oblúka v pomere 1 : 3.

425. Dokážte, že pri kotúľaní sa paraboly p : x^{2} = 4ay po osi Ox sa jej ohnisko (tj. bod (0, a) ) pohybuje po reťazovke y = a ch \frac{x}{a}.

Veta 3. Nech krivka K je daná parametricky rovnicami (4), pričom φ je rýdzomonotónna a diferencovateľná a ψ nezáporná spojitá funkcia. Potom plošným obsahom útvaru ohraničeného krivkou K a priamkami y = 0 , x = φ(a) , x = φ(b) je číslo

P = ∫_{a}^{b} |φ′(t)| ψ(t) dt .

Poznámka. Ak funkcia ψ je diferencovateľná na [a, b] a φ je rastúca, tak použitím metódy per partes dostávame

P = ∫_{a}^{b} φ′(t)ψ(t) dt = [φ(t)ψ(t)]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} φ(t)ψ′(t) dt .

Ak teda [φ(t)ψ(t)]_{a}^{b} = 0 , možno plošný obsah P vypočítať aj použitím vzorcov

P = − ∫_{a}^{b} φ(t)ψ′(t) dt ,

P = \frac{1}{2} ∫_{a}^{b}(φ′(t)ψ(t) − φ(t)ψ′(t)) dt ;

podobne možno uvažovať v prípade klesajúcej funkcie φ.

Veta 4. Nech 0 < b − a ≤ 2π , nech f:[a, b]→ R je spojitá nezáporná funkcia. Potom plošným obsahom útvaru ohraničeného krivkou ϱ = f(φ) , φ ∈ [a, b] , a polpriamkami φ = a , φ = b je číslo

\frac{1}{2} ∫_{a}^{b} f^{2}(φ) dφ .

426. Vypočítajte plošný obsah P útvarov ohraničených nasledujúcimi krivkami:

1. x = 2t − t^{2} , y = 2t^{2} − t^{3} ; 2. x = \frac{1}{1 + t^{2}} , y = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} ;

3. x = a(cos t + t sin t) , y = a(sin t − t cos t) , t ∈ [0, 2π] , a spojnicou bodov (a, 0) a (a, −2πa) ;

4. asteroidou x = cos^{3} t , y = sin^{3} t ; 5. kardioidou ϱ = a(1 + cos φ) ;

6. ϱ = a sin nφ , a > 0 , n ∈ N ;

7. ϱ = a cos φ , ϱ = a(cos φ + sin φ) , a > 0 , pričom bod s pravouhlými súradnicami (\frac{a}{2}, 0) leží v danom útvare ;

8. φ = ϱ arctg ϱ , φ = 0 , φ = \frac{π}{\sqrt{3}} ;

9. ϱ = \frac{a}{\sqrt{1 + t^{2}}} , φ = t − arctg t , 0 ≤ t ≤ t_{0} , φ(t_{0}) ≤ 2π ;

10. x^{4} + y^{4} = a^{2}(x^{2} + y^{2}) .

427. Vypočítajte plošný obsah tej časti útvaru ohraničeného Bernoulliho lemniskátou (x^{2} + y^{2})^{2} =

= a^{2}(x^{2} − y^{2}) , ktorá leží vnútri kruhu x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2}}{2} .

Veta 5. Nech krivka K je daná parametricky rovnicami (4), pričom φ je rýdzomonotónna spojite diferencovateľná a ψ nezáporná (nekladná) spojitá funkcia. Nech M je útvar ohraničený krivkou K a priamkami y = 0 , x = φ(a) , x = φ(b). Potom objemom telesa, ktoré vznikne rotáciou útvaru M okolo osi Ox , je číslo

V = π ∫_{a}^{b} ψ^{2}(t) |φ′(t)| dt .

Ak naviac φ([a, b]) ⊂ [0, ∞) , tak objemom telesa, ktoré vznikne rotáciou útvaru M okolo osi Oy , je číslo

V = 2π ∫_{a}^{b} φ(t) |ψ(t)| |φ′(t)| dt .

Veta 6. Nech 0 ≤ a < b ≤ π , nech f : [a, b] → R je spojitá funkcia a M je útvar ohraničený krivkou ϱ = f(φ) , φ ∈ [a, b] , a polpriamkami φ = a , φ = b. Potom objemom telesa, ktoré vznikne rotáciou útvaru M okolo osi Ox , je číslo

V = \frac{2π}{3} ∫_{a}^{b} f^{3}(φ) sin φ dφ .

428. Vypočítajte objem V telesa, ktoré vznikne rotáciou útvaru M ohraničeného krivkami

1. x = a sin^{3} t, y = b cos^{3} t, t ∈ [0, 2π], a > 0, b > 0 , a) okolo osi Ox , b) okolo osi Oy ;

2. x = a(t^{2} + 1) , y = \frac{at}{3}(3 − t^{2}) , |t| ≤ \sqrt{3} ,  a) okolo osi Ox ,  b) okolo osi Oy ;
3. x = 2t − t^{2} , y = 4t − t^{3}  a) okolo osi Ox ,  b) okolo osi Oy ;

4. y = x^{2} , y = x okolo priamky y = x ; 5. ϱ = a(1 + cos φ) okolo osi Ox ;

6. ϱ = a\sqrt{cos 2φ} okolo priamky y = x ;

7. x(x^{2} − y^{2}) = a(x^{2} + y^{2}) , x = 3a okolo osi Ox .

Riešenie. 4. Priesečníkmi daných kriviek sú zrejme body (0, 0) a (1, 1). Objem telesa, ktoré vznikne rotáciou útvaru M okolo priamky y = x , je rovnaký ako objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi Ox útvaru M′ , ktorý získame otočením množiny M okolo bodu (0, 0) o uhol π/4 v smere hodinových ručičiek ( π/4 je uhol, ktorý zviera priamka y = x a os Ox). Toto otočenie možno jednoducho popísať pomocou polárnych súradníc: obrazom bodu s polárnymi súradnicami (ϱ , φ) je bod (ϱ , φ−π/4). Ak teda obrazom bodu s pravouhlými súradnicami (x, y) je bod (x′, y′) , tak zo vzťahov

x = ϱ cos φ , y = ϱ sin φ , x′ = ϱ cos (φ − \frac{π}{4} ) , y′ = ϱ sin (φ − \frac{π}{4} )

dostávame x′ = ϱ cos φ cos \frac{π}{4} + ϱ sin φ sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y) ,

y′ = ϱ sin φ cos \frac{π}{4} − ϱ cos φ sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(y − x) .

Obrazom grafu funkcie y = x^{2} , x ∈ [0, 1] , tj. množiny {(x, x^{2}) ; x ∈ [0, 1]} , je teda množina

\{(\frac{1}{\sqrt{2}}(x + x^{2}), \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{2} − x)) ; x ∈ [0, 1]\} , tj. krivka K daná parametricky rovnicami

x = φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(t^{2} + t) , y = ψ(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(t^{2} − t) , t ∈ [0, 1] .

Útvar M′ je ohraničený krivkou K a osou Ox , pritom φ′(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2t + 1) > 0 pre t ∈ [0, 1] , preto objem

telesa, ktoré vznikne rotáciou M′ okolo osi Ox , je

V = π ∫_{0}^{1} ψ^{2}(t)φ′(t) dt = \frac{π}{2\sqrt{2}} ∫_{0}^{1}(t^{2} − t)^{2}(2t + 1) dt = \frac{π}{2\sqrt{2}} ∫_{0}^{1}(2t^{5} − 3t^{4} + t^{2}) dt =

= \frac{π}{2\sqrt{2}} [\frac{t^{6}}{3} − \frac{3t^{5}}{5} + \frac{t^{3}}{3} ]_{0}^{1} = \frac{π}{30\sqrt{2}} .

Veta 7. Nech krivka K je daná parametricky rovnicami (4), pričom

1. funkcie φ , ψ sú spojite diferencovateľné na [a, b];

2. ∀ t ∈ (a, b) : φ^{′2}(t) + ψ^{′2}(t) > 0 ;

3. neexistujú u, v ∈ [a, b] , u ≠ v . také, že φ(u) = φ(v) , ψ(u) = ψ(v) ;

4. ψ je nezáporná (nekladná) funkcia. Potom plošným obsahom plochy vytvorenej rotáciou krivky K okolo osi Ox je číslo

S = 2π ∫_{a}^{b} |ψ(t)| \sqrt{φ^{′2}(t) + ψ^{′2}(t)} dt .

429. Vypočítajte plošný obsah S plochy vytvorenej rotáciou

1. krivky x = a cos^{3} t , y = a sin^{3} t  a) okolo osi Ox ,  b) okolo priamky y = x ;
2. krivky x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) , t ∈ [0, 2π] ,  a) okolo osi Ox ,  b) okolo osi Oy ;

3. krivky ϱ = a(1 + cos φ) okolo osi Ox ;

4. oblúka paraboly y^{2} = 2px odrezaného priamkou y = 2x okolo tejto priamky .

430. Vypočítajte veľkosť povrchu telesa, ktoré vznikne rotáciou kocky s hranou dĺžky a okolo jej diagonály!