Part I

Limita funkcie

Upozornenie pre čitateľa. Keďže cieľom prvého odseku tejto kapitoly je zaviesť základný pojem matematickej analýzy – pojem limity, je v ňom veľa miesta venovaného prípravným úvahám; naviac sa tu vyskytuje z hľadiska matematickej serióznosti nečestný ťah: dve definície toho istého pojmu (v paragrafoch .5 a .7). Preto považujeme za vhodné zaradiť návod

ako čítať nasledujúci odsek Čitateľ, ktorý si nepraje byť siahodlho privádzaný k definícii limity, ktorú budeme v ďalšom používať, môže

začať čítanie až paragrafom .7, z predchádzajúceho textu potrebuje len definície .2 a .4.

Pre čitateľa, ochotného prehrýzať sa celým textom, máme tiež zopár informácií. Na zavedenie pojmu limita sa spravidla používa jedna z dvoch definícií: Heineho (ktorú uvádzame v paragrafe .5) alebo Cauchyho (paragraf .7). Keďže Heineho definícia sa nám zdala vhodnejšia na osvetlenie tohto (nie úplne jednoduchého) pojmu, privádzame čitateľa v prvých paragrafoch odseku Definícia limity k limite funkcie použitím limity postupnosti; vo vete .6 potom ukážeme, že takto zavedený pojem možno popísať aj iným spôsobom. Ten iný spôsob je práve Cauchyho definícia limity, ktorú budeme využívať ako základnú v našich ďalších úvahách. Jej vyslovením v paragrafe .7 končí obdobie prípravných rečí. Heineho definícia v paragrafe .5 nám teda slúži len ako pomôcka a v ďalšom texte sa na ňu ako na definíciu nikdy nebudeme odvolávať; veta .6 dokazujúca ekvivalenciu obidvoch uvedených prístupov však ukazuje, že naša nečestnosť (je dobrým zvykom uvádzať \underline{jedinú} definíciu nového pojmu) nebola až taká strašná.

1 Definícia limity

.1 Definícia. Hovoríme, že postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} • konverguje k číslu l ∈ R, ak

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(|a_{n} − l| < ε)  (1)

• diverguje k ∞, ak

(∀K ∈ R)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(a_{n} > K)  (2)

• diverguje k −∞, ak

(∀K ∈ R)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(a_{n} < K)  (3)

• osciluje, ak nenastane ani jedna z predchádzajúcich možností.

Poznámka. Výroky (1), (2), (3) majú podobnú štruktúru:

(∀♡)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(V (a_{n}, ♡)) ,

kde V (a_{n}, ♡) hovorí, že číslo a_{n} leží v intervale popísanom pomocou ♡ (v prvom prípade je to interval (l − ε, l + ε) (tj.(l − ♡, l + ♡)), v druhom (K, ∞) (tj. (♡, ∞)), v treťom (−∞, K) (tj. (−∞, ♡)). Zavedieme teraz niekoľko pojmov, použitie ktorých umožní zapisovať (1), (2), (3) jednotným spôsobom; to sa v budúcnosti ukáže ako prospešné (vyhneme sa tým napríklad opakovaniu niektorých úvah, ktoré sú podobné vo všetkých troch prípadoch).

.2 Definícia. Množinu R^{∗} := R ∪ {−∞, ∞} budeme nazývať rozšírená reálna os a jej prvky budeme volať body (pričom pre označenie prvkov množiny R budeme okrem toho naďalej používať aj pomenovanie čísla).

Nech l ∈ R. Každý interval tvaru (l − ε, l + ε), kde ε > 0, budeme nazývať okolím (alebo presnejšie εokolím) bodu l; číslo ε sa bude nazývať polomer okolia. Každý interval tvaru (K, ∞) (resp. (−∞, K)), kde K ∈ R, budeme nazývať okolím bodu ∞ (resp. okolím bodu −∞). Okolie bodu b ∈ R^{∗} budeme označovať O(b), špeciálne ε-okolie bodu l ∈ R aj znakom O(ε, l). Množiny tvaru O(b) \ {b} budeme nazývať prstencové okolie bodu b a označovať P (b); pokiaľ nebude hroziť nedorozumenie, budeme namiesto O(b) alebo P (b) písať len O alebo P.

Poznámka. Zrejme v prípade b = ∞ a b = −∞ je pojem prstencové okolie totožný s pojmom okolie a zavádzame ho pre tieto prípady len kvôli zjednoteniu terminológie.♠

Zavedenie pojmu okolia nám umožňuje pristupovať k situáciám popísaným výrokmi (1), (2), (3) jednotne:

.3 Definícia. Hovoríme, že postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} má limitu b ∈ R^{∗}, ak

(∀O(b))(∃P (∞))(∀n ∈ P (∞) ∩ N)(a_{n} ∈ O(b))  (4)

Bod b sa označuje lim_{n→∞} a_{n}. Ak b ∈ R, hovoríme o vlastnej (alebo konečnej) limite, v prípade b = ∞ alebo b = −∞ o nevlastnej limite. Postupnosti, ktoré majú vlastnú limitu, sa nazývajú konvergentné, ostatné postupnosti (tj. postupnosti, ktoré majú nevlastnú limitu alebo nemajú limitu) sa nazývajú divergentné.♠

Definíciou limity postupnosti sme naplnili presným obsahom našu pôvodnú pracovnú formuláciu “pre rastúce n sa hodnoty a_{n} približujú k bodu b”. Naším ďalším cieľom je definovať pojem limity funkcie f v bode a, tj. popísať, čo presne myslíme formuláciou “pre x blížiace sa k a sa hodnoty f(x) blížia k b”, upresnime ešte, že “x blížiace sa k a” si v tomto prípade predstavujeme ako “x ≠ a približujúce sa k a” ^{1}. Je zrejmé, že ak sa chceme k bodu a približovať takýmto spôsobom, musíme požadovať, aby bol hromadným bodom definičného oboru funkcie f v zmysle nasledujúcej definície.

.4 Definícia. Bod b ∈ R^{∗} sa nazýva hromadný bod množiny M ⊂ R, ak v každom jeho prstencovom okolí leží aspoň jeden prvok množiny M. ^{2}♠

Jednou z možností je popísať “blíženie sa k bodu a” pomocou postupností, pre ktoré máme už tento pojem korektne definovaný ^{3}. Ak postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} bodov rôznych od a má limitu a, potom je skutočne x_{n} rôzne od a a blíži sa k a, požiadavka “pre takéto x sa hodnoty f(x) blížia k b” získa potom podobu lim_{n→∞} f(x_{n}) = b. Keďže k bodu a sa takýmto spôsobom môžeme blížiť prostredníctvom rôznych postupností {x_{n}}_{n=1}^{∞}, je prirodzené požadovať, aby pri každom takom približovaní sa k bodu a sa hodnoty f(x_{n}) približovali k b.

.5 Definícia. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu b (∈ R^{∗}), ak pre každú postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f)\{a} takú, že lim_{n→∞} a_{n} = a, platí lim_{n→∞} f(a_{n}) = b.♠

Ukážeme teraz, že takto definovanú limitu funkcie f v bode a možno popísať rovnakým spôsobom ako je v (4) popísaná limita postupnosti ^{4}.

.6 Veta. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f, nech b ∈ R^{∗}. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

(a) pre každú postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} takú, že lim_{n→∞} a_{n} = a, platí lim_{n→∞} f(a_{n}) = b;

(b) (∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ∈ O(b)).

Dôkaz. :-) Skôr ako začneme vlastný dôkaz, skúsme sa zamyslieť nad vlastnosťou (b). Ak si graf funkcie f predstavíme znázornený v podobe “šípka z x do f(x)”, tak (b) hovorí toto: akokoľvek si zvolíme okolie O(b) bodu b, vždy vieme nájsť prstencové okolie P (a) bodu a tak, že

• všetky šípky začínajúce v P (a) končia v O(b)

alebo nepatrne inak povedané:

• ak si chceme byť istí, že f(x) bude ležať v O(b), stačí zabezpečiť, aby x ležalo v P (a).(-:

1Pojmom limita funkcie f v bode a chceme totiž vyjadriť správanie sa funkcie f v “bezprostrednej blízkosti bodu a”, ale nezaujíma nás, čo sa deje v bode a, tj. či tam je alebo nie je funkcia f definovaná, resp. akú funkčnú hodnotu tam nadobúda. (Otázkou, či sa funkcia f v bode a správa tak, ako by sa dalo očakávať od jej správania sa “v bezprostrednej blízkosti bodu a”, sa budeme zaoberať v nasledujúcej kapitole.) Všimnime si ešte, že požiadavka x ≠ a bola automaticky splnená v našich ilustračných príkladoch, v ktorých funkcia f nebola v bode a definovaná.

2Výrok bod ∞ (−∞) je hromadný bod množiny M je zrejme len iné vyjadrenie skutočnosti, že množina M je zhora (zdola) neohraničená. (Teda skutočne novým pojmom je len pojem hromadného bodu pre prípad b ∈ R, pre b = ∞ a b = −∞ definujeme tento pojem kvôli zjednoteniu terminológie.)

3Samozrejme, že ďalšou možnosťou je ihneď chápať definíciu .7 ako presné vyjadrenie pracovnej formulácie “pre x blížiace sa k a sa f(x) blíži k b”, a nezdržiavať sa sprostredkovaním tohto pojmu cez postupnosti.

4Čitateľ, ktorého doteraz trápilo, prečo sme v (4) použili práve prstencové okolie P (∞) (keď sme v uvedenom prípade mohli rovnako dobre použiť aj okolie O(∞)), teraz už asi vidí, že dôvodom bola snaha, aby (4) a výrok (b) z nasledujúcej vety mali rovnakú podobu.

Dokážeme najprv implikáciu (b) ⇒ (a). Predpokladajme teda, že platí (b). Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} je postupnosť s limitou a. Chceme dokázať, že lim_{n→∞} f(a_{n}) = b, tj. že platí

(∀O(b))(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(f(a_{n}) ∈ O(b)) .

:-) Ak chceme dokázať tvrdenie zapísané v predchádzajúcom riadku, vidíme, že máme zodpovedať nasledujúcu otázku: ak je dané okolie O(b) bodu b, pre ktoré čísla n ∈ N vieme zaručiť, že f(a_{n}) leží v O(b)? Jednu možnosť poskytuje predpoklad (b): f(a_{n}) bude iste ležať v O(b), ak a_{n} bude ležať v P (a), čo prvú položenú otázku prevádza na druhú: pre ktoré n vieme zaručiť, že a_{n} leží v P (a)? Na to ale dávajú odpoveď predpoklady lim_{n→∞} a_{n} = a a (∀n ∈ N)(a_{n} ≠ a). Z prvého z nich vyplýva, že k okoliu O(a) := P (a) ∪ {a} iste existuje N_{1} ∈ N tak, že pre n ∈ N, n > N_{1} už platí a_{n} ∈ O(a), druhý z nich zaručuje, že z inklúzie a_{n} ∈ O(a) vyplýva inklúzia a_{n} ∈ P (a). Pre n ∈ N, n > N_{1} teda platí a_{n} ∈ P (a), a teda – podľa predchádzjúcich úvah – aj f(a_{n}) ∈ O(b).(-:

Teda znova stručne: Zvolíme okolie O(b) bodu b. K okoliu O(b) nájdeme prstencové okolie P (a) bodu a tak, že platí

x ∈ P (a) ⟹ f(x) ∈ O(b)  (5)

(existencia okolia P (a) vyplýva z predpokladu (b)). K okoliu O(a) := P (a) ∪ {a} nájdeme N_{1} ∈ N tak, že

n > N_{1} ⟹ a_{n} ∈ O(a)

(existencia čísla N_{1} vyplýva z nášho predpokladu lim_{n→∞} a_{n} = a). Z podmienky

(∀n ∈ N)(a_{n} ≠ a)

potom vyplýva

n > N_{1} ⟹ a_{n} ∈ P (a)  (6)

a z (6) a (5) dostávame

(∀n ∈ N, n > N_{1})(f(a_{n}) ∈ O(b)) .

Naša úvaha je správna pre každé pevne zvolené okolie O(b), teda

(∀O(b))(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(f(a_{n}) ∈ O(b)) ,

čo sme chceli dokázať.△

Implikáciu (a) ⇒ (b) budeme dokazovať nepriamo (tj. dokážeme implikáciu ¬(b) ⇒ ¬(a)). Nech teda

(∃O(b))(∀P (a))(∃x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ∉ O(b)) .  (7)

:-) Našou snahou je teraz dopracovať sa od tohto výroku (v ktorom čitateľ iste spoznal negáciu tvrdenia (b)) k výroku ¬(a), tj. ukázať, že existuje postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} tak, že platí rovnosť lim_{n→∞} a_{n} = a, ale číslo b nie je limitou postupnosti {f(a_{n})}.(-:

Predpokladajme najprv, že a ∈ R. Nech n ∈ N; označme P_{n}(a) := (a − 1/n, a + 1/n) \ {a}, potom P_{n}(a) je iste prstencové okolie bodu a, a preto podľa (7) existuje aspoň jedno číslo x ∈ P_{n}(a) tak, že f(x) ∉ O(b). Zvoľme jedno z čísel s touto vlastnosťou a označme ho a_{n}. Ak to urobíme pre každé n ∈ N, dostaneme postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} takú, že

• (∀n ∈ N)(|a_{n}−a| < 1/n) (to je len iný zápis inklúzie a_{n} ∈ P_{n}(a)), z tejto vlastnosti vyplýva, že lim_{n→∞} a_{n} = a (dôkaz prenechávame vždy ochotnému čitateľovi);

• (∀n ∈ N)(f(a_{n}) ∉ O(b)), odtiaľ ale vyplýva, že číslo b nemôže byť limitou postupnosti {f(a_{n})}_{n=1}^{∞} (pretože v takom prípade by až na konečný počet ležali všetky členy tejto postupnosti v okolí O(b)).

Z existencie postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} s uvedenými vlastnosťami vyplýva tvrdenie ¬(a), čím je náš dôkaz v prípade a ∈ R skončený.△

V prípade a = ∞, resp. a = −∞ je postup rovnaký, ale namiesto P_{n}(a) := (a − 1/n, a + 1/n) volíme P_{n}(∞) := (n, ∞), resp. P_{n}(−∞) := (−∞, −n).

Poznámka. V prípade dôsledne axiomatického budovania základov matematickej analýzy je potrebné na zdôvodnenie existencie postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}, ktorú sme použili v dôkaze implikácie (a) ⇒ (b) predchádzajúcej vety, použiť axiómu nazývanú axióma výberu. Jedna z jej možných formulácií znie:

Nech {A_{α}; α ∈ I}, kde I je neprázdna množina indexov, je systém neprázdnych množín ^{5} . Potom existuje zobrazenie I → ⋃_{α∈I} A_{α} také, že pre každé α ∈ I je f(α) ∈ A_{α}.

Treba upozorniť, že v matematike existujú smery nepovažujúce dôkazy založené na axióme výberu za korektné, preto aj v tomto texte ju budeme používať pokiaľ možno len v nevyhnutných prípadoch.♠

Po tejto dlhotrvajúcej delostreleckej príprave môžeme vysloviť definíciu limity v tejto jednotnej podobe.

5príklady ozrejmujúce pojem systém množín nájde čitateľ v poznámke k leme .46

.7 Definícia. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu b (∈ R^{∗}) (a zapisujeme lim_{x→a} f(x) = b alebo f(x) → b pre x → a), ak

(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ∈ O(b)) .  (8)

Ak b ∈ R (resp. a ∈ R), hovoríme o konečnej (alebo vlastnej) limite (resp. o limite v konečnom bode), v prípade b = ∞ alebo b = −∞ (resp. a = ∞ alebo a = −∞) o nevlastnej (alebo nekonečnej) limite (resp. limite v nevlastnom bode).

Poznámka. 1. Výrok (8) možno zrejme zapísať aj v tvare

(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ D(f))(x ∈ P (a) ⇒ f(x) ∈ O(b)) .  (9)

Všeobecná formulácia (8), resp (9), v sebe obsahuje 9 špeciálnych prípadov (zodpovedajúcich možnostiam a ∈ R, a = ∞ alebo a = −∞ a rovnakým možnostiam pre b), v každom z nich môžeme (8), resp. (9) nahradiť konkrétnejším zápisom. V prípade a ∈ R, b ∈ R môžeme okolia bodu b popísať ich polomerom ε a okolia bodu a ich polomerom δ, a (9) dostane tak podobu

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D(f))(0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε)  (10)

(kde nerovnosť 0 < |x − a| zrejme zabezpečuje, že x ≠ a, tj. že x leží v prstencovom okolí bodu a).

V prípade a ∈ R, b = −∞ môžeme okolia bodu b popísať ich pravým koncovým bodom K, okolia bodu a opäť popíšeme ich polomerom δ a (9) bude v tvare

(∀K ∈ R)(∃δ > 0)(∀x ∈ D(f))(0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < K) .

(Ďalšie prepisovanie prenechávame čitateľovi.)

2. Definícia limity postupnosti v (4), resp. v (1), (2), (3), je zrejme špeciálnym prípadom definície (8), ktorý dostaneme, ak zvolíme D(f) = N.♠

Skôr ako vyslovíme prvé tvrdenia o limitách, uveďme niekoľko elementárnych pomocných úvah zhrnutých do nasledujúcej lemy.

.8 Lema. (a) Nech n ∈ N. Ak P_{1}, P_{2}, …, P_{n} sú prstencové okolia bodu a ∈ R^{∗}, tak aj P_{1} ∩P_{2} ∩…∩P_{n} je prstencové okolie bodu a. (Analogické tvrdenie platí aj pre okolia.)

(b) Nech a, b ∈ R^{∗}, a ≠ b. Potom existujú okolie O(a) bodu a a okolie O(b) bodu b tak, že O(a)∩O(b) = ∅.

(c) Ak b ∈ R^{∗} je hromadný bod množiny M ⊂ R a N ⊃ M, tak b je aj hromadný bod množiny N.

(d) Nech P je prstencové okolie bodu b ∈ R^{∗}. Potom b je hromadný bod množiny M ⊂ R práve vtedy, keď je aj hroamdným bodom množiny M ∩ P.

Dôkaz. Napovieme len, že dôkaz implikácie ak b je hromadný bod množiny M, tak je aj hromadný bod množiny M ∩ P sa zakladá na tejto úvahe: ak P (b) je prstencové okolie bodu b, tak aj P ∩ P (b) je prstencovým okolím tohto bodu; keďže b je hromadný bod množiny M, leží v P ∩ P (b) aspoň jeden prvok množiny M, čo ale znamená, že v P (b) leží aspoň jeden prvok množiny M ∩ P.♠

Prvá z našich viet o limitách ukazuje, že pojem limity je definovaný jednoznačne v nasledujúcom zmysle:

.9 Veta. Funkcia má v každom hromadnom bode svojho definičného oboru najviac jednu limitu (tj. ak a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f a r = lim_{x→a} f(x), s = lim_{x→a} f(x), tak r = s).

Dôkaz. Sporom, nech r ≠ s a nech r aj s sú limitou funkcie f v bode a. Potom podľa lemy .8(b) existujú okolie O(r) bodu r a okolie O(s) bodu s tak, že O(r) ∩ O(s) = ∅. Keďže r = lim_{x→a} f(x), k okoliu O(r) musí podľa definície limity existovať prstencové okolie P_{1} bodu a tak, že

(∀x ∈ P_{1} ∩ D(f))(f(x) ∈ O(r)) .

Z rovnakých dôvodov k okoliu O(s) existuje prstencové okolie P_{2} bodu a tak, že

(∀x ∈ P_{2} ∩ D(f))(f(x) ∈ O(s)) .

Pre prvky neprázdnej množiny P_{1} ∩ P_{2} ∩ D(f) (je skutočne neprázdna?) potom musí platiť f(x) ∈ O(r) ∩ O(s) = ∅, čo je zrejme nemožné. Týmto sporom je náš dôkaz skončený.♠

Uveďme v závere tohto odstavca niekoľko tvrdení súvisiacich s definíciou limity, ktoré využijeme v ďalších úvahách. Prvé tri, zhrnuté do lemy .10, sa týkajú ohraničenosti.

.10 Lema. Nech b = lim_{x→a} f(x) ^{6} . Potom

(a) ak b ∈ R, tak funkcia f je ohraničená v niektorom prstencovom okolí P (a) bodu a (tj. na množine P (a) ∩ D(f));

(b) ak b > 0 alebo b = ∞, tak f je v niektorom prstencovom okolí bodu a ohraničená zdola kladnou konštantou, tj.

(∃P (a))(∃M > 0)(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ≥ M) ;

(c) ak b < 0 alebo b = −∞, tak f je v niektorom prstencovom okolí bodu a ohraničená zhora zápornou konštantou.

Dôkaz. Dokážeme len tvrdenie (a). Z definície limity v (8) vyplýva, že ku každému okoliu O(b) bodu b vieme nájsť prstencové okolie bodu a s istými vlastnosťami. Keď ku každému, tak iste aj k okoliu O := (b − 1, b + 1) ^{7}. Existuje teda prstencové okolie P bodu a, pre ktoré platí

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) ∈ O) ,

tj.

(∀x ∈ P ∩ D(f))(b − 1 < f(x) < b + 1) .

Posledný výrok hovorí, že na P ∩ D(f) je funkcia f ohraničená, čím je dôkaz skončený ^{8}.△

K dôkazu tvrdenia (b) pre prípad b > 0 len napovieme, že postup je rovnaký ako v dôkaze (a), ale okolie O teraz zvolíme tak, aby jeho polomer bol menší než b.♠

Vzťahom limity funkcie a limity jej zúženia sa zaoberajú nasledujúce tvrdenia.

.11 Lema. (a) Nech funkcia g je zúžením funkcie f na množinu M. Ak a je hromadný bod množiny M ^{9} a existuje lim_{x→a} f(x), tak existuje aj lim_{x→a} g(x) a platí lim_{x→a} g(x) = lim_{x→a} f(x).

(b) Nech sa funkcie f, g zhodujú na niektorom prstencovom okolí P bodu a ∈ R^{∗}, tj. nech

D(f) ∩ P = D(g) ∩ P  (11)

a

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) = g(x)) .  (12)

Potom platí: ak existuje jedna z limít lim_{x→a} f(x), lim_{x→a} g(x) ^{10}, tak existuje aj druhá a obidve limity sa rovnajú.

(c) Nech f_{1}, resp. f_{2} je zúženie funkcie f na množinu M_{1}, resp. M_{2}. Ak limity lim_{x→a} f_{1}(x), lim_{x→a} f_{2}(x) existujú ^{11}, ale sú rôzne, tak lim_{x→a} f(x) neexistuje.

(d) Nech f_{1}, resp. f_{2} je zúženie funkcie f na množinu M_{1}, resp. M_{2}. Ak lim_{x→a} f_{1}(x) = lim_{x→a} f_{2}(x) = b ∈ R^{∗} a naviac platí rovnosť M_{1} ∪ M_{2} = D(f), tak existuje aj lim_{x→a} f(x) a rovná sa b ^{12}.

6Predpoklad nech lim_{x→a} f(x) = b chápeme ako “zhustenú podobu” formulácie nech a je hromadný bod definičného oboru funkcie f, nech v a existuje limita funkcie f a rovná sa b.

7Pri druhom čítaní tohto dôkazu by už čitateľovi malo byť jasné, že nebolo podstatné, že sme si zvolili práve okolie (b − 1, b + 1), rovnako by nám v tomto prípade poslúžilo ľubovoľné iné okolie bodu b.

8Tvrdenie (a) lemy zostane v platnosti, ak v ňom slová v niektorom prstencovom okolí nahradíme slovami v niektorom okolí (v prípade a ∉ D(f) je to zrejmé; v prípade a ∈ D(f) je množina f(O(a) ∩ D(f)), kde O(a) := P ∪ {a}, zjednotením ohraničených množín f(P ∩ D(f)) a {f(a)}). V prípadoch (b) a (c) to nemusí byť pravda (prečo?).

9z inklúzie M ⊂ D(f) vyplýva, že a je potom aj hromadný bod množiny D(f) (lema .8(c))

10predpoklad existencie jednej z uvedených limít v sebe “automaticky” obsahuje predpoklad, že a je hromadný bod definičného oboru príslušnej funkcie (a vzhľadom na podmienku (11) potom (podľa lemy .8(c),(d)) aj hromadný bod definičného oboru druhej z funkcií f, g)

11znovu pripomeňme, že predpokladajúc existenciu týchto limít, predpokladáme automaticky, že a je hromadný bod množiny M_{1} aj množiny M_{2} (a teda podľa lemy .8(c) iste aj definičného oboru funkcie f)

12S týmto tvrdením samozrejme možno vystrájať všelijaké duševné prostocviky, napr. ho indukciou zovšeobecniť na prípad D(f) = M_{1} ∪ M_{2} ∪ … ∪ M_{n} (kde n je niektoré prirodzené číslo) alebo ho upravovať použitím lemy .11(b). Iniciatíve čitateľa (ani menovateľa) sa medze nekladú, žiadame len, aby dosiahnuté výsledky boli správne.

Dôkaz. (b). Nasledujúce úvahy sú síce elementárne, ale kvôli prehľadnosti dôkaz urobíme v dvoch krokoch. Najprv dokážeme tento špeciálny prípad tvrdenia (b):

Nech P je prstencové okolie bodu a. Potom funkcia f má v bode a limitu b práve vtedy, keď ju tam má jej zúženie na množinu P (tj. funkcia f_{1} := f|_{P∩D(f)}).

Treba teda dokázať, že nasledujúce dva výroky sú ekvivalentné:

(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ∈ O(b)) (tj. lim_{x→a} f(x) = b)  (13)
(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ (P ∩ D(f)))(f(x) ∈ O(b)) (tj. lim_{x→a} f_{1}(x) = b)  (14)

To, že z (13) vyplýva (14), by malo byť zrejmé: ak pre všetky prvky množiny P (a) ∩ D(f) platí f(x) ∈ O(b), tak to iste platí aj pre všetky prvky jej podmnožiny P (a) ∩ P ∩ D(f). Ak chceme odvodiť tvrdenie (13) z tvrdenia (14), stačí si uvedomiť, čo vlastne požaduje (13): ku každému okoliu O(b) máme nájsť nejaké prstencové okolie (označme ho teraz S(a)) bodu a tak, aby platilo x ∈ S(a)∩D(f) ⇒ f(x) ∈ O(b). K okoliu O(b) ale podľa (14) existuje P (a) tak, že platí x ∈ (P (a) ∩ P) ∩ D(f) ⇒ f(x) ∈ O(b). Potom zrejme S(a) := P (a) ∩ P je hľadané prstencové okolie (to, že je to skutočne prstencové okolie, vyplýva z tvrdenia (a) lemy .8 ^{13}).△

Teraz už ľahko dokážeme tvrdenie (b) našej lemy. Označme f_{1} := f|_{P∩D(f)}, g_{1} := g|_{P∩D(g)}, potom z (11) a (12) vyplýva rovnosť

f_{1} = g_{1} .  (15)

Ak lim_{x→a} f(x) = b, tak podľa nášho pomocného tvrdenia (alebo aj podľa tvrdenia (a) tejto lemy) aj lim_{x→a} f_{1}(x) = b, z (15) potom vyplýva lim_{x→a} g_{1}(x) = b a napokon opäť z nášho pomocného tvrdenia 14 dostávame, že aj lim_{x→a} g(x) = b.

(c) Tvrdenie vyplýva z časti (a) a z vety .9. Budeme dokazovať sporom. Nech r := lim_{x→a} f_{1}(x), s := lim_{x→a} f_{2}(x). Keby existovala lim_{x→a} f(x), museli by podľa časti (a) tejto lemy platiť rovnosti lim_{x→a} f(x) = r , lim_{x→a} f(x) = s, čo – keďže r ≠ s – je v spore s tvrdením vety .9.

(d) Nech lim_{x→a} f_{1}(x) = lim_{x→a} f_{2}(x) = b a M_{1} ∪ M_{2} = D(f), chceme dokázať

(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(f(x) ∈ O(b)) .  (16)

Zvoľme teda okolie O(b) a hľadajme prstencové okolie P (a) s požadovanou vlastnosťou. K nášmu okoliu O(b) existuje – pretože lim_{x→a} f_{1}(x) = b – prstencové okolie P_{1}(a) bodu a také, že

(∀x ∈ P_{1}(a) ∩ M_{1})(f_{1}(x) ∈ O(b)) .

Keďže pre x ∈ M_{1} je f_{1}(x) = f(x), môžeme predchádzajúce tvrdenie zapísať v podobe

(∀x ∈ P_{1}(a) ∩ M_{1})(f(x) ∈ O(b)) .  (17)

Pretože aj lim_{x→a} f_{2}(x) = b, existuje aj prstencové okolie P_{2}(a) bodu a také, že

(∀x ∈ P_{2}(a) ∩ M_{2})(f(x) ∈ O(b))  (18)

(podobne ako predtým sme využili, že pre x ∈ M_{2} je f_{2}(x) = f(x)).

Ukážeme teraz, že za hľadané prstencové okolie P (a) môžeme zvoliť okolie P (a) := P_{1}(a) ∩ P_{2}(a), tj. že pre všetky x ∈ P (a) ∩ D(f) skutočne platí f(x) ∈ O(b). Z predpokladu M_{1} ∪ M_{2} = D(f) ^{15} vyplýva P (a) ∩ D(f) = P (a) ∩ (M_{1} ∪ M_{2}) = P (a) ∩ M_{1} ∪ P (a) ∩ M_{2} ⊂ P_{1}(a) ∩ M_{1} ∪ P_{2}(a) ∩ M_{2}, teda každý prvok x ∈ P (a) ∩ D(f) leží v P_{1}(a) ∩ M_{1} alebo P_{2}(a) ∩ M_{2}. Podľa (17) a (18) pre všetky prvky týchto množín platí inklúzia f(x) ∈ O(b). Tým je implikácia x ∈ P (a) ∩ D(f) ⇒ f(x) ∈ O(b) dokázaná. Keďže naše úvahy sú správne, nech na začiatku zvolíme akékoľvek okolie O(b), je tým výrok (16) dokázaný.

Poznámka. 1. Nenápadne vyzerajúce tvrdenie (b) lemy je často používaným teoretickým nástrojom pri výpočte limít: ak máme v bode a nájsť limitu funkcie f (zadanej spravidla v nejakej zakuklenej a komplikovanej podobe) a podarí sa nám ukázať, že na niektorom prstencovom okolí bodu a sa funkcia f zhoduje s nejakou nám už známou (čo sa limít týka) funkciou g, potom tvrdenie (b) lemy umožňuje previesť hľadanie limity funkcie f na hľadanie limity funkcie g.

13čitateľ by si mal rozmyslieť, že predpoklad P je prstencové okolie bodu a (ktorý využívame jedine v tomto mieste dôkazu) nemožno vynechať.

14tentokrát ovšem už nie z tvrdenia (a) tejto lemy

15tento predpoklad je v tomto dôkaze podstatný

2. Z dôkazu tvrdenia (d) by malo byť zrejmé, že toto tvrdenie zostane v platnosti, ak podmienku M_{1} ∪ M_{2} = D(f) nahradíme predpokladom M_{1} ∪ M_{2} = D(f) \ {a}.♠

Dôkaz nasledujúceho tvrdenia zatiaľ presahuje naše možnosti (po vybudovaní dostatočného teoretického aparátu sa k nemu samozrejme vrátime; pozri príklad .34, cvičenie .35 a paragrafy .72 a .73). Dôvodom jeho vyslovenia už v tomto okamihu je snaha umožniť čiatateľovi použiť teoretické poznatky o limitách pri riešení príkladov, ktorých počet by sa nemožnosťou používať elementárne funkcie značne zredukoval.

.12 Veta. (a) Ak f je elementárna funkcia a číslo a ∈ D(f) je hromadným bodom množiny D(f), tak lim_{x→a} f(x) = f(a).

(b) lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1 ; (c) lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1 ; (d) lim_{x→0} \frac{e^{x}−1}{x} = 1 .

2 Limita funkcií f ± g, fg, \frac{f}{g} , g ∘ f

V tomto odstavci uvedieme sériu viet popisujúcich “počítanie s limitami”, tj. umožňujúcich hľadanie limít funkcií f ± g, fg, \frac{f}{g} , g ∘ f, ak poznáme limity funkcií f a g.

Začnime zopár drobnosťami, ktoré budeme potrebovať v niektorých nasledujúcich úvahách.

.13 Lema. Nech k ∈ R. Potom platí (a) ak f(x) = k pre všetky x ∈ R, tak lim_{x→a} f(x) = k pre každé a ∈ R^{∗};

(b) ak lim_{x→a} f(x) = b ∈ R ^{16}, tak lim_{x→a}(k · f(x)) = k · b;

(c) ak lim_{x→a} f(x) = ∞, tak lim_{x→a}(f(x) + k) = ∞;

(d) ak k > 0 a lim_{x→a} f(x) = ∞, tak lim_{x→a} (k · f(x)) = ∞. Ďalej platí

(e) ak lim_{x→a} f(x) = b ∈ R, tak lim_{x→a} |f(x)| = |b|; (e_{1}) lim_{x→a} f(x) = 0 práve vtedy, keď lim_{x→a} |f(x)| = 0;

(f) lim_{x→a} f(x) = ∞ práve vtedy, keď lim_{x→a} ( − f(x)) = −∞.

Dôkaz. (b). V prípade k = 0 je to zrejmý dôsledok časti (a) a lemy .13(a); predpokladajme teraz, že k ≠ 0.

:-) Ak pre všetky čísla x ∈ D(f) ležiace v prstencovom okolí P bodu a platí |f(x) − b| < ε, tak pre tie isté čísla platí aj |k · f(x) − k · b| < |k| · ε. Z tejto triviality vyplýva: ak chceme nájsť prstencové okolie P tak, aby pre x ∈ D(f) ležiace v ňom platilo |k · f(x) − k · b| < ε, stačí hľadať P s vlastnosťou x ∈ P ∩ D(f) ⇒ |f(x) − b| < \frac{ε}{|k|}.

(-:

Nech lim_{x→a} f(x) = b, chceme dokázať tvrdenie

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(|k · f(x) − k · b| < ε) .  (19)

Nech je teda dané ε > 0. K číslu \frac{ε}{|k|} existuje – keďže lim_{x→a} f(x) = b – prstencové okolie P (a) tak, že

x ∈ P (a) ∩ D(f) ⇒ |f(x) − b| < \frac{ε}{|k|} .

Pre všetky x ∈ P (a) ∩ D(f) potom platí |k · f(x) − k · b| < ε, teda P (a) má vlastnosť požadovanú v (19). Keďže táto úvaha je správna pre každé ε > 0, je tým tvrdenie (19) dokázané.

(d) Nech lim_{x→a} f(x) = ∞, chceme dokázať výrok

(∀M ∈ R)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(f))(k · f(x) > M) .

16opätovne (a už naposledy – dúfajúc, že sa nám už podarilo vytvoriť u čitateľa potrebný pavlovovský reflex) upozorňujeme, že hovoriac “nech lim_{x→a} f(x) = b” máme vždy na mysli toto “nech a je hromadný bod množiny D(f), nech existuje limita funkcie f v bode a a nech sa rovná b”

Zvoľme teda M ∈ R a hľadajme prstencové okolie požadovaných vlastností. K číslu \frac{M}{k} existuje (pretože lim_{x→a} f(x) = ∞) prstencové okolie P (a) tak, že pre všetky x ∈ P (a) ∩ D(f) platí f(x) > \frac{M}{k}. Keďže k > 0, platí pre tieto x aj nerovnosť k · f(x) > M, čo znamená, že nájdené okolie P (a) spĺňa naše požiadavky.

(e) Dôkaz je založený na nerovnosti ||r| − |s|| ≤ |r − s| a jednoduchej z toho vyplývajúcej úvahe ak

pre x ∈ P (a) ∩ D(f) platí |f(x) − b| < ε, tak pre tie isté x platí aj ||f(x)| − |b|| < ε.

(e_{1}) Stačí si uvedomiť, že inklúzie f(x) ∈ O(ε, 0) a |f(x)| ∈ O(ε, 0) sú obidve ekvivalentné s nerovnosťou |f(x)| < ε.

.14 Veta. Nech funkcie f a g sú definované na množine M. Ak lim_{x→a} f(x) = 0 a funkcia g je ohraničená, tak lim_{x→a} (f(x)g(x)) = 0.

Dôkaz. Zvoľme K > 0 tak, aby platilo (∀x ∈ M)(|g(x)| ≤ K). Chceme dokázať výrok

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ M)(|f(x)g(x)| < ε) .

Zvoľme teda ε > 0 a hľadajme prstencové okolie s požadovanou vlastnosťou. Keďže lim_{x→a} f(x) = 0, iste existuje okolie P (a) bodu a tak, že

(∀x ∈ P (a) ∩ M) (|f(x)| < \frac{ε}{K} ) .

Nie je ťažké ukázať, že P (a) spĺňa naše požiadavky: keďže pre všetky x ∈ M je |g(x)| ≤ K, vyplýva z nerovnosti |f(x)| < \frac{ε}{K} nerovnosť |f(x)g(x)| < ε, preto

(∀x ∈ P (a) ∩ M)(|f(x)g(x)| < ε) .

Poznámka. Použitím časti (b) lemy .11 môžeme práve dokázané tvrdenie sformulovať vo všeobecnejšej podobe, napr.:

Nech funkcie f a g sú definované na množine M. Ak lim_{x→a} f(x) = 0 a funkcia g je ohraničená v niektorom prstencovom okolí P bodu a (tj. na množine P ∩ M), tak lim_{x→a} (f(x)g(x)) = 0. (Ak totiž definujeme f_{1} := f|_{P∩M}, g_{1} := g|_{P∩M}, tak funkcie f_{1}, g_{1} spĺňajú predpoklady vety .14, teda lim_{x→a} (f_{1}(x)g_{1}(x)) = 0, podľa časti (b) lemy .11 potom – keďže (fg)|_{P∩M} = f_{1}g_{1} – aj lim_{x→a} (f(x)g(x)) = 0).

.15 Veta. Nech funkcie f a g sú definované na množine M, nech lim_{x→a} f(x) = r ∈ R, lim_{x→a} g(x) = s ∈ R. Potom

(a) lim_{x→a} (f(x) + g(x)) = r + s, tj.

lim_{x→a} (f(x) + g(x)) = lim_{x→a} f(x) + lim_{x→a} g(x) ;

(b) lim_{x→a} (f(x) − g(x)) = r − s, tj.

lim_{x→a} (f(x) − g(x)) = lim_{x→a} f(x) − lim_{x→a} g(x) ;

(c) lim_{x→a}(f(x)g(x)) = r · s, tj.

lim_{x→a}(f(x)g(x)) = lim_{x→a} f(x) · lim_{x→a} g(x) ;

(d) ak s = lim_{x→a} g(x) ≠ 0, tak lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{r}{s}, tj.

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→a} f(x)}{lim_{x→a} g(x)} .

Dôkaz. (a) :-) Začnime ešte raz predbežnou úvahou. Ak R, resp. S je prstencové okolie bodu a také, že

(∀x ∈ R ∩ M)(|f(x) − r| < ε_{1}) ,

resp.

(∀x ∈ S ∩ M)(|g(x) − s| < ε_{2}) ,

tak pre x ∈ R ∩ S ∩ M bude platiť

|(f(x) + g(x)) − (r + s)| = |(f(x) − r) + (g(x) − s)| ≤ |f(x) − r| + |g(x) − s| < ε_{1} + ε_{2} ,

pritom R ∩ S je podľa lemy .8 prstencové okolie bodu a. Ak teda hľadáme prstencové okolie, pre prvky x ktorého by platilo |(f(x) + g(x)) − (r + s)| < ε, stačí napísať číslo ε v tvare súčtu dvoch kladných čísel ε_{1} a ε_{2} a nájsť príslušné prstencové okolia R a S. (-:

Chceme dokázať

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ M)(|(f(x) + g(x)) − (r + s)| < ε) .

Zvoľme teda ε > 0 a hľadajme prstencové okolie P (a) s požadovanou vlastnosťou. Keďže lim_{x→a} f(x) = r a lim_{x→a} g(x) = s, existujú prstencové okolia P_{1}(a) a P_{2}(a) tak, že

(∀x ∈ P_{1}(a) ∩ M) (|f(x) − r| < \frac{ε}{2}) , (∀x ∈ P_{2}(a) ∩ M) (|g(x) − s| < \frac{ε}{2}) .

Prstencové okolie P (a) := P_{1}(a) ∩ P_{2}(a) potom vyhovuje našim požiadavkám, pretože pre všetky x ∈ P (a) ∩ M platí

|(f(x) + g(x)) − (r + s)| ≤ |f(x) − r| + |g(x) − s| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .△

Tvrdenie (b) možno odvodiť z lemy .13(b) a z tvrdenia (a): Keďže lim_{x→a} g(x) = s, platí podľa lemy .13(b) (v ktorej položíme k = −1) rovnosť lim_{x→a} ( − g(x)) = −s; z existencie konečných limít lim_{x→a} f(x) = r, lim_{x→a} (−g(x)) = −s potom podľa tvrdenia (a) tejto vety vyplýva rovnosť lim_{x→a} (f(x)+ (−g(x))) = r − s, čo sme chceli dokázať.△

Tvrdenie (c) možno dokázať nasledujúcim výpočtom (ktorý hneď zdôvodníme):

lim_{x→a} (f(x)g(x)) =
=^{α} lim_{x→a} [(f(x) − r + r)g(x)] =
=^{β} lim_{x→a}[(f(x) − r)g(x)] + lim_{x→a}[r · g(x)] =
=^{γ} 0 + r · s = r · s .

Podľa lemy .13(b)^{17} je lim_{x→a}[r·g(x)] = r·s. Funkcia g je ohraničená v niektorom prstencovom okolí bodu a (lema .10) a lim_{x→a}(f(x)−r) = 0 (lema .13(a) a tvrdenie (b) našej vety), preto lim_{x→a}[(f(x)−r)g(x)] = 0 (tvrdenie v poznámke za vetou .14). Tým sme zdôvodnili rovnosť γ. Rovnosť β vyplýva z tvrdenia (a) a rovnosť α by mala byť zrejmá ^{18}.△

(d) Dokážeme naše tvrdenie najprv za dodatočného predpokladu

(∃K > 0)(∀x ∈ D(g))(|g(x)| > K)  (20)

a potom ukážeme, že všeobecný prípad lim_{x→a} f(x) = r, lim_{x→a} g(x) = s ≠ 0 možno vždy previesť na túto špeciálnu situáciu.

Nech teda lim_{x→a} f(x) = r ∈ R, lim_{x→a} g(x) = s ∈ R \ {0} a nech platí (20). Dokážeme najprv, že lim_{x→a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{s}, tj.

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ M) (|\frac{1}{g(x)} − \frac{1}{s}| < ε) .

17všimnime si, že na dôkaz tvrdenia (c) používame lemu .13(b), ktorá sama je špeciálnym prípadom tohto tvrdenia (ak jednu z funkcií f, g zvolíme konštantnú), túto situáciu dokazovania všeobecnejšieho tvrdenia pomocou jeho špeciálnych prípadov zažijeme častejšie

18Pre čitateľa ovšem nebude na škodu, ak skúsi dokázať tvrdenie (c) bez použitia všelijakých špinavých trikov obdobne ako sme dokazovali tvrdenie (a).

Nech je teda dané ε > 0, hľadajme P (a) požadovaných vlastností. Pretože lim_{x→a} g(x) = s, existuje prstencové okolie P (a) bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P (a) ∩ M)(|g(x) − s| < K · |s| · ε) .  (21)

Toto P (a) spĺňa naše požiadavky, pretože pre x ∈ P (a) ∩ M podľa (20) a (21) platí

|\frac{1}{g(x)} − \frac{1}{s}| = |\frac{s − g(x)}{s · g(x)}| ≤ \frac{|g(x) − s|}{K · |s|} < \frac{K · |s| · ε}{K · |s|} = ε .

Tým je dokázaná rovnosť lim_{x→a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{s}. Keďže \frac{f}{g} = f · \frac{1}{g}, podľa tvrdenia (c) tejto vety vyplýva

z existencie konečných limít lim_{x→a} f(x) = r, lim_{x→a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{s} rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{r}{s}, čím je naše tvrdenie – za doplňujúceho predpokladu (20) – dokázané. △

Nech sú teraz splnené len predpoklady bodu (d), tj. lim_{x→a} f(x) = r ∈ R, lim_{x→a} g(x) = s ∈ R \ {0}. Potom lim_{x→a} |g(x)| = |s| (lema .13(e)), preto (podľa lemy .10(b)) existuje kladná konštanta K > 0 a prstencové okolie S bodu a tak, že

(∀x ∈ S ∩ M)(|g(x)| > K) .

Pre funkcie f_{1} := f|_{S∩M}, g_{1} := g|_{S∩M} potom platí lim_{x→a} f_{1}(x) = r, lim_{x→a} g_{1}(x) = s (lema .11(a)) a g_{1} spĺňa podmienku (20), preto podľa už dokázaného je lim_{x→a} \frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)} = \frac{r}{s}. Z lemy .11(b) potom – keďže

funkcie \frac{f}{g} a \frac{f_{1}}{g_{1}} sa zhodujú na S ∩ M – vyplýva rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{r}{s}, ktorú sme chceli dokázať.

Poznámka. V prípade (a) možno predpoklad D(f) = D(g) = M z predchádzajúcej vety nahradiť všeobecnejším predpokladom a je hromadný bod množiny D(f + g) (= D(f) ∩ D(g)). Ak totiž položíme f_{1} := f|_{D(f+g)}, g_{1} := g|_{D(f+g)}, tak lim_{x→a} f_{1}(x) = r, lim_{x→a} g_{1}(x) = s (lema .11(a)), D(f_{1}) = D(g_{1}), podľa vety .15 teda platí lim_{x→a} (f_{1}(x) + g_{1}(x)) = r + s, čo je ovšem (keďže f + g = f_{1} + g_{1}) to isté ako lim_{x→a} (f(x) + g(x)) = r + s.

Podobne možno uvažovať aj v prípadoch (b), (c) a (d).

.16 Cvičenie. Bez použitia vety .12 dokážte rovnosti lim_{x→a} x^{n} = a^{n} (a ∈ R, n ∈ N), lim_{x→a} x^{−n} = a^{−n} (a ∈ R \ \{a\}, n ∈ N), lim_{z→0} \frac{z}{(z+1)^{n}−1} = \frac{1}{n} (n ∈ N).♠

Zaoberajme sa teraz zloženou funkciou g ∘ f.

:-) Predstavme si grafy funkcií g, f v podobe “šípka z bodu do funkčnej hodnoty” a funkciu g∘f ako “cestovanie s prestupom”: z bodu x ∈ D(f) nás funkcia f dopraví do bodu f(x) a odtiaľ – ak f(x) ∈ D(g), tj. ak x ∈ D(g ∘f)

– nás g dopraví do bodu g(f(x)). Nech lim_{x→a} f(x) = b (tj. nech šípky začínajúce v bodoch x ≠ a stále bližších k a končia stále bližšie k bodu b). Ak chceme, aby lim_{x→a}(g∘f)(x) bola c, tj. aby nás funkcia g∘f z čísel x ≠ a čoraz bližších k a dopravila do čísel čoraz bližších k c (a vieme už, že “po prvej polovici cesty” (realizovanej funkciou f) sa z čísel x ≠ a blízkych k a dostaneme do čísel blízkych k b), tak vidíme, že potrebujeme, aby funkcia g z čísel čoraz bližších k b dopravovala do čísel čoraz bližších k c. Je teda prirodzené požadovať, aby lim_{y→a} g(y) = c.

Ak sa však – skôr než sa vydáme s funkciou g ∘ f na cesty z bodov x ≠ a blížiacich sa k a (pritom stále predpokladáme, že lim_{x→a} f(x) = b) – ešte raz zamyslíme, zistíme, že na to, aby sme pri našom cestovaní končili čoraz bližšie k c, nestačí len predpoklad lim_{y→b} g(y) = c – ten totiž nekladie žiadnu podmienku na funkčnú hodnotu g(b); v prípade b ∈ D(g) teda nevieme, kam nás funkcia g z bodu b dopraví. Preto ak nechceme na ceste zažiť nečakané komplikácie, potrebujeme buď zabezpečiť, že pri cestovaní s funkciou g ∘ f nebudeme prechádzať cez bod b (to zaručuje predpoklad (a) alebo (b) z nasledujúcej vety) alebo – ak sa už ceste cez b nemožno vyhnúť – potrebujeme podmienku “pre y ≠ b blížiace sa k b sa g(y) blíži k c” rozšíriť aj na y = b, čo je možné len pre g(y) = c (čo je podmienka (c) z nasledujúcej vety). (-:

.17 Veta. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie g ∘ f, ^{19} nech lim_{x→a} f(x) = b ∈ R^{∗}, lim_{y→b} g(y) = c ∈ R^{∗}. Ak je splnená aspoň jedna z nasledujúcich podmienok

(a) (∀x ∈ D(f) \ {a})(f(x) ≠ b) ;

(b) b ∉ D(g) ;

(c) g(b) = c ; ^{20} tak lim_{x→a}(g ∘ f)(x) = c.

19predpoklad, že a je hromadný bod množiny D(g ∘ f), nemožno vypustiť; tento fakt totiž vo všeobecnosti nemožno odvodiť z toho, že a je hromadný bod množiny D(f) a b je hromadný bod množiny D(g) (tieto dva predpoklady – ako sme si už zvykli – sú zahrnuté v požiadavke existencie limít lim_{x→a} f(x) a lim_{y→b} g(y))

20samozrejme, že v tomto prípade musíme predpokladať c ∈ R

Dôkaz. Chceme dokázať tvrdenie

(∀O(c))(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ D(g ∘ f))(g(f(x)) ∈ O(c))  (22)

Nech je teda dané okolie O(c) bodu c, hľadajme okolie P (a) požadovaných vlastností. K O(c) existuje – pretože lim_{y→b} g(y) = c – prstencové okolie P (b) bodu b s vlastnosťou

y ∈ P (b) ∩ D(g) ⇒ g(y) ∈ O(c) .  (23)

K okoliu O(b) := P (b)∪{b} existuje – keďže lim_{x→a} f(x) = b – prstencové okolie P (a) bodu a s vlastnosťou

x ∈ P (a) ∩ D(f) ⇒ f(x) ∈ O(b) .  (24)

Pre x ∈ D(g ∘ f) je f(x) ∈ D(g), z (24) preto vyplýva

x ∈ P (a) ∩ D(g ∘ f) ⇒ f(x) ∈ O(b) ∩ D(g) .  (25)

:-) Potrebujeme dokázať implikáciu

x ∈ P (a) ∩ D(g ∘ f) ⇒ g(f(x) ∈ O(c) ;

to by sa dalo urobiť “spojením” (25) a (23), keby ovšem na pravej strane implikácie (25) stála namiesto množiny O(b) ∩ D(g) množina P (b) ∩ D(g) (alebo keby naopak na ľavej strane implikácie (23) bolo O(b) ∩ D(g), a nie P (b) ∩ D(g). (-:

Ak platí (a) alebo (b), tak z (25) vyplýva

x ∈ P (a) ∩ D(g ∘ f) ⇒ f(x) ∈ P (b) ∩ D(g) ;  (26)

z (26) a (23) už vidno, že potom P (a) má skutočne vlastnosť požadovanú v (22).

Ak je splnený predpoklad (c), tak z (23) vyplýva

y ∈ O(b) ∩ D(g) ⇒ g(y) ∈ O(c)  (27)

a z (25) a (27) opäť vidno, že P (a) je hľadané prstencové okolie.

Poznámka. 1. Z tvrdenia (b) lemy .11 vyplýva, že veta .17 zostane v platnosti, ak podmienku (a) nahradíme predpokladom

(a’) existuje prstencové okolie P bodu a tak, že

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) ≠ b) .

(Ak totiž označíme f_{1} := f|_{P∩D(f)}, možno na funkcie f_{1} a g aplikovať vetu .17 (f_{1} spĺňa teraz predpoklad (a)), podľa ktorej lim_{x→a}(g ∘ f_{1})(x) = c. Pretože g ∘ f_{1} = (g ∘ f)|_{P∩D(g∘f)}, platí podľa lemy .11(b) aj rovnosť lim_{x→a}(g ∘ f)(x) = c.)

2. V úvahách o limitách postupností viackrát použijeme tvrdenie ak lim_{n→∞} a_{n} = a ∈ R^{∗}, tak aj lim_{n→∞} a_{n+k} = a (kde k je niektoré celé číslo), ktoré síce možno odvodiť z vety o limite zloženej funkcie, ale – vzhľadom na jeho jednoduchosť – za prirodzenejšie považujeme dokázať ho samostatne (čo ako zvyčajne prenechávame na čitateľa).

Príklad. Na vete .17 sa (okrem iného) zakladá použitie substitúcií pri hľadaní limít; predveďme to na výpočte limity lim_{x→1} \frac{^{n} \sqrt{x}−1}{x−1} (n ∈ N).

Skúsme (v snahe zbaviť sa odmocnín a v nádeji, že nám to nejak pomôže) položiť y = ^{n} \sqrt{x} − 1; potom n \sqrt{x} = y + 1, x = (y + 1)^{n} a limitovaný výraz zapísaný pomocou y má podobu \frac{y}{(y+1)^{n}−1} . Našu pôvodnú funkciu

h(x) = \frac{^{n} \sqrt{x}−1}{x−1} môžeme teraz zapísať v tvare h = g ∘ f, kde f(x) = ^{n} \sqrt{x}, g(y) = \frac{y}{(y+1)^{n}−1} . Pretože lim_{x→1} f(x) = f(1) = 0 (veta .12) a lim_{y→0} g(y) = \frac{1}{n} (cvičenie .16), vyplýva z vety .17 (oprávnenie na jej použitie je dané splnením podmienky (a): funkcia f je totiž prostá a lim_{x→1} f(x) = f(1)) rovnosť lim_{x→1} h(x) = lim_{y→0} g(y), tj.

lim_{x→1} \frac{^{n} \sqrt{x} − 1}{x − 1} = |^{n} \sqrt{x} − 1 = y| = lim_{y→0} \frac{y}{(y + 1)^{n} − 1} = \frac{1}{n} .

Teda použitím substitúcie y = f(x) limitovanú funkciu h napíšeme v tvare h = g ∘ f a veta .17 nám potom (pokiaľ budeme oprávnení ju použiť) umožní previesť hľadanie limity funkcie h = g∘f na hľadanie limity vonkajšej zložky g.♠

Informácie o limite podielu dvoch funkcií z tvrdenia (d) vety .15 doplňme ešte nasledujúcim poznatkom.

.18 Veta. (a) Nech lim_{x→a} |f(x)| = ∞. Potom lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = 0.

(b) Nech lim_{x→a} f(x) = 0. Ak funkcia f je nezáporná (nekladná) na niektorom prstencovom okolí P bodu a a bod a je hromadný bod množiny D(\frac{1}{f}), tak lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = ∞ ( lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = −∞).

Dôkaz. (b) Dokážeme najprv, že lim_{x→a} \frac{1}{|f(x)|} = ∞, tj. že

(∀K ∈ R)(∃P (a)) (∀x ∈ P (a) ∩ D (\frac{1}{|f|})) (\frac{1}{|f(x)|} > K) .  (28)

Zvoľme teda K a hľadajme príslušné prstencové okolie P (a). Ak K ≤ 0, vyhovuje požiadavkám tvrdenia (28) každé prstencové okolie P (a) (pre všetky x ∈ D (\frac{1}{|f|}) totiž platí \frac{1}{|f(x)|} > 0 ≥ K).

Nech teraz K > 0. K číslu \frac{1}{K} existuje (pretože lim_{x→a} f(x) = 0) prstencové okolie P (a) tak, že

(∀x ∈ P (a) ∩ D(f)) (|f(x)| < \frac{1}{K} ) .

Z tejto nerovnosti vyplýva

(∀x ∈ P (a) ∩ D (\frac{1}{f} )) (\frac{1}{|f(x)|} > K) ,

čo znamená, že P (a) je prstencové okolie s vlastnosťou požadovanou v (28), a teda skutočne platí rovnosť lim_{x→a} \frac{1}{|f(x)|} = ∞.△

Teraz už ľahko dokážeme tvrdenie (b). Ak

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) ≥ 0) ,

možno použiť tvrdenie (b) lemy .11: funkcie \frac{1}{f} a \frac{1}{|f|} sa zhodujú na prstencovom okolí P, preto lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = lim_{x→a} \frac{1}{|f(x)|} = ∞.

Ak

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) ≤ 0) ,

tak sa na prstencovom okolí P zhodujú funkcie \frac{1}{f} a −\frac{1}{|f|}, a preto platí lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = lim_{x→a} (−\frac{1}{|f(x)|}) = −∞ (prvá rovnosť vyplýva z lemy .11(b), druhá z lemy .13(f)).♠

Naším ďalším cieľom je dokázať analógiu tvrdení (a), (b) a (c) vety .15 pre prípad, že aspoň jedna z limít lim_{x→a} f(x), lim_{x→a} g(x) je nevlastná.

.19 Lema. Nech M je definičný obor funkcií f, g. Ak lim_{x→a} f(x) = ∞ a

(∀x ∈ M \ {a})(f(x) ≤ g(x)) ,  (29)

tak existuje aj lim_{x→a} g(x) a rovná sa ∞.

Dôkaz. Realizáciu elementárneho dôkazu, založeného na úvahe ak pre x ∈ P (a) ∩ M platí f(x) > K, tak z (29) vyplýva, že pre tie isté x platí aj g(x) > K, prenechávame čitateľovi.

Poznámka. 1. Z časti (b) lemy .11 vyplýva – podobne ako už viackrát predtým – že tvrdenie predchádzajúcej lemy zostane v platnosti, ak podmienku (29) nahradíme podmienkou

(∀x ∈ P ∩ M)(f(x) ≤ g(x)) ,

kde P je niektoré prstencové okolie bodu a.

2. Čitateľovi by nemalo robiť ťažkosti dokázať (buď kopírovaním dôkazu lemy .19 alebo aplikáciou jej tvrdenia na funkcie −f, −g) toto tvrdenie:

Nech M je definičný obor funkcií f, g. Ak lim_{x→a} f(x) = −∞ a (∀x ∈ P ∩ M)(f(x) ≥ g(x)) – kde P je niektoré prstencové okolie bodu a – tak lim_{x→a} g(x) = −∞.

.20 Veta. Nech funkcie f, g sú definované na množine M.

(a) Ak lim_{x→a} f(x) = ∞ a funkcia g je zdola ohraničená na niektorom prstencovom okolí P bodu a, tak lim_{x→a} (f(x) + g(x)) = ∞.

(b) Ak lim_{x→a} f(x) = ∞ a funkcia g je na niektorom prstencovom okolí P bodu a zdola ohraničená kladnou konštantou, tak lim_{x→a} (f(x)g(x)) = ∞.

Dôkaz. (b) Nech k > 0 je číslo také, že

(∀x ∈ P ∩ M)(g(x) > k > 0)  (30)

Pretože lim_{x→a} f(x) = ∞, existuje podľa tvrdenia (b) lemy .11 prstencové okolie S bodu a tak, že

(∀x ∈ S ∩ M)(f(x) > 0) .  (31)

Potom R := P ∩ S je prstencové okolie bodu a (lema .8(a)) také, že pre x ∈ R ∩ M platia nerovnosti g(x) > k a f(x) > 0 súčasne (prvá z nich vyplýva z inklúzie R ∩ M ⊂ P ∩ M a z (30), druhá z inklúzie R ∩ M ⊂ S ∩ M a (31)). Jednoduchá úvaha ak g(x) > k a f(x) > 0, tak f(x)g(x) > k · f(x) potom implikuje

(∀x ∈ R ∩ M)(f(x)g(x) > k · f(x)) .  (32)

Teraz je už všetko dostatočne pripravené na použitie tvrdenia z poznámky za lemou .19: pretože lim_{x→a} (k· f(x)) = ∞ (lema .13(d)); vyplýva z nerovnosti (32), že lim_{x→a} (f(x)g(x)) = ∞, čo sme chceli dokázať.△

Z práve dokázanej vety možno odvodiť ďalšie “pravidlá pre počítanie s nevlastnými limitami”, ktoré zapíšeme v nasledujúcej symbolickej podobe:

\begin{matrix}∞ + b = ∞ & ∞ · b = ∞ pre b > 0 & ∞ · ∞ = ∞ \\ −∞ + b = −∞ & ∞ · b = −∞ pre b < 0 & ∞ · (−∞) = −∞ \\ ∞ + ∞ = ∞ & (−∞) · b = −∞ pre b > 0 & (−∞) · (−∞) = ∞ \\ −∞ − ∞ = −∞ & (−∞) · b = ∞ pre b < 0 \end{matrix} \}  (33)

Pritom napr. zápis ∞ · b = ∞ pre b > 0 tu chápeme ako symbolickú skratku tvrdenia Nech funkcie f, g sú definované na množine M, nech lim_{x→a} f(x) = ∞, lim_{x→a} g(x) = b > 0. Potom

lim_{x→a} (f(x)g(x)) = ∞.

Nasledujúci dôkaz tohto tvrdenia je príkladom úvah, ktorými možno dokázať výroky obsiahnuté v (33).

Keďže lim_{x→a} g(x) = b > 0, je funkcia g v niektorom prstencovom okolí P bodu a zdola ohraničená kladnou konštantou (lema .10(b)), z vety .20 potom vyplýva lim_{x→a} (f(x)g(x)) = ∞.△

Zvyšné tvrdenia obsiahnuté v strednom stĺpci (33) môžeme dokázať podobne alebo ich odvodiť z práve dokázaného použitím lemy .13(f) (obtiažnosť je v obidvoch prípadoch rovnaká, tj. žiadna). Dokumentujme stručne druhý z navrhnutých postupov na dôkaze pravidla ∞ · b = −∞ pre b < 0. Nech lim_{x→a} f(x) = ∞, lim_{x→a} g(x) = b < 0. Keďže lim_{x→a} ( − g(x)) = −b > 0, platí lim_{x→a} ( − f(x)g(x)) = lim_{x→a} (f(x) · (−g(x))) = ∞ (prvá rovnosť by mala byť zrejmá, druhá vyplýva z už dokázaného tvrdenia ∞ · b = ∞ pre b > 0), podľa .13(f) je potom lim_{x→a} (f(x)g(x)) = −∞.

.21 Cvičenie. Dokážte rovnosti lim_{x→∞} x^{n} = ∞, lim_{x→−∞} x^{n} = \{ \begin{matrix}∞ & pre n párne \\ −∞ & pre n nepárne \end{matrix} , lim_{x→∞} \frac{1}{x^{n}} = 0,

lim_{x→−∞} \frac{1}{x^{n}} = 0 (n ∈ N).

.22 Neurčité výrazy. Limita \frac{1}{0}. Ak teraz urobíme dôkladnú inventúru, zistíme, že naša zbierka viet o výpočte limít funkcií f ± g, fg, \frac{f}{g} pomocou limít funkcií f, g nie je kompletná – nedoriešili sme úplne prípad \frac{1}{0} (“nakúsnutý” vo vete .18(b)) a nevyslovili sme žiadne všeobecné tvrdenia o limitách typu ∞−∞, 0·∞, \frac{0}{0}, \frac{∞}{∞} ^{21} (v tomto zozname chýbajúcich tvrdení vedome neuvádzame typy 0·(−∞), \frac{−∞}{∞}, \frac{∞}{−∞} a \frac{−∞}{−∞}, keďže skúmanie každého z nich možno použitím lemy .13(f) previesť na skúmanie prípadu 0 · ∞, resp. \frac{∞}{∞}).

21čitateľovi je iste jasné, že napr. pod limitou typu \frac{r}{s} (kde r, s ∈ R^{∗}) rozumieme limitu funkcie \frac{f}{g} takej, že lim_{x→a} f(x) = r, lim_{x→a} g(x) = s

Dokončime najprv náš rozbor prípadu \frac{1}{0}, tj. hľadania lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} za predpokladu lim_{x→a} f(x) = 0.

Ak a je hromadný bod množiny D (\frac{1}{f} ) (inak by o limite funkcie \frac{1}{f} v bode a nemalo ani zmysel uvažovať),

nastane práve jedna z troch možností ^{22}

• funkcia f je nezáporná v niektorom prstencovom okolí bodu a;

• funkcia f je nekladná v niektorom prstencovom okolí bodu a;

• v každom prstencovom okolí bodu a nadobúda funkcia f kladné aj záporné hodnoty.

V prvom z týchto prípadov – ako už vieme – platí (veta .18(b)) lim_{x→a} f(x) = ∞, v druhom lim_{x→a} f(x) = −∞. Dokážeme, že lim_{x→a} f(x) neexistuje, ak nastane tretí prípad; vtedy je totiž číslo a hromadným bodom množiny M_{1} := {x ∈ D(f) ; f(x) > 0} aj množiny M_{2} := {x ∈ D(f) ; f(x) < 0}. Pre f_{1} := f|_{M_{1}} potom platí lim_{x→a} f_{1}(x) = 0 (lema .11(a)) a (∀x ∈ D(f_{1}))(f_{1}(x) > 0), preto podľa vety .18(b) je lim_{x→a} \frac{1}{f_{1}(x)} = ∞; pre funkciu f_{2} := f|_{M_{2}} ale z analogických úvah dostávame lim_{x→a} \frac{1}{f_{2}(x)} = −∞. Z lemy .11(c) potom vyplýva, že limita lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} nemôže existovať.△

Vráťme sa teraz k prípadom ∞ − ∞, 0 · ∞, \frac{0}{0}, \frac{∞}{∞}. Nasledujúce (prudko elementárne) príklady ukazujú (po doplnení čitateľom), že nemôže existovať žiadne všeobecné tvrdenie, ktoré by umožňovalo nájsť limitu typu ∞−∞, 0·∞, \frac{0}{0}, \frac{∞}{∞} \underline{len} na základe znalostí limít lim_{x→a} f(x), lim_{x→a} g(x); preto sa limity uvedených typov niekedy nazývajú neurčité výrazy.

Začnime prípadom ∞ − ∞, limity v nasledujúcej tabuľke uvažujeme v bode a = ∞.

funkcia f  funkcia g lim_{x→∞} (f(x) − g(x))
f(x) = x^{2}  g(x) = x  ∞
f(x) = x  g(x) = x^{2}  −∞
f(x) = x + b  g(x) = x  b ∈ R
f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} , ak & x ∈ Q \\ x , ak & x ∉ Q \end{matrix}  g(x) = x  neexistuje

(34)

Presvedčme sa, že funkcia f v poslednom riadku prvého stĺpca tejto tabuľky má skutočne v bode ∞ limitu ∞ (u ostatných funkcií z prvých dvoch stĺpcov by to malo byť zrejmé): pretože pre všetky x ≥ 1 je x^{2} ≥ x, platí pre všetky x z intervalu (1, ∞) (ktorý je prstencovým okolím bodu ∞) nerovnosť f(x) ≥ x, z lemy .19 (a z poznámky za ňou) potom vyplýva rovnosť lim_{x→∞} f(x) = ∞.

Preverme ešte správnosť údajov v poslednom stĺpci:

• lim_{x→∞}(x^{2} − x) = lim_{x→∞} (x(x − 1)) = ∞, posledná rovnosť vyplýva z pravidla ∞ · ∞ = ∞ z (33), keďže lim_{x→∞} x = lim_{x→∞}(x − 1) = ∞;

• z práve dokázaného a z lemy .13(f) vyplýva lim_{x→∞}(x − x^{2}) = −∞;

• overovanie tvrdenia ďalšieho riadku je pod našu dôstojnosť;

• neexistencia limity lim_{x→∞} (f(x) − g(x)) v poslednom riadku vyplýva z lemy .11(c): pre x ∈ Q je f(x) − g(x) = x^{2} − x, teda pre f_{1} := (f − g)|Q je lim_{x→∞} f_{1}(x) = ∞ ^{23}; pre x ∉ Q je f(x) − g(x) ≡ 0, teda pre f_{2} := (f − g)|_{R\Q} je lim_{x→∞} f_{2}(x) = 0, podľa lemy .11(c) teda lim_{x→∞} (f(x) − g(x)) nemôže existovať. △

Uveďme ešte príklady pre prípad 0 · ∞, všetky limity v nasledujúcej tabuľke opäť uvažujeme v bode a = ∞.

funkcia f  funkcia g lim_{x→∞} (f(x)g(x))
f(x) = \frac{1}{x}  g(x) = x^{2}  ∞
f(x) = − \frac{1}{x}  g(x) = x^{2}  −∞
f(x) = \frac{b}{x}  g(x) = x  b ∈ R
f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} , ak & x ∈ Q \ \{0\} \\ \frac{1}{x^{2}} , ak & x ∉ Q \end{matrix}  g(x) = x  neexistuje

(35)

22treba si uvedomiť, že dôkaz faktu, že nemôže súčasne nastať prvá aj druhá z nasledujúcich možností, je založený práve na predpoklade a je hromadný bod množiny D (\frac{1}{f} )

23doplňme podrobné zdôvodnenie (ktoré už v prípade funkcie f_{2} prenecháme na čitateľa): rovnosť lim_{x→∞} f_{1}(x) = ∞ vyplýva z už dokázanej rovnosti lim_{x→∞}(x^{2} − x) = ∞ a lemy .11(a)

Preverenie správnosti údajov tejto tabuľky už prenechávame na čitateľa (napovieme len, že rovnosť lim_{x→∞} f(x) = 0, kde f je funkcia z posledného riadku prvého stĺpca, vyplýva na základe vety .18(a) z rovnosti lim_{x→∞} \frac{1}{f(x)} = ∞, ktorú sme dokázali v súvislosti s predchádzajúcou tabuľkou ^{24}) rovnako ako vymýšľanie podobných tabuliek pre prípady \frac{0}{0} a \frac{∞}{∞}. K prípadu \frac{∞}{∞} ešte jedno upozornenie: pokusy vymyslieť dvojicu funkcií f, g definovaných na M tak, aby lim_{x→a} f(x) = ∞ = lim_{x→a} g(x) a lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} bola záporná alebo −∞, sú beznádejné. Z lemy .10(c) by potom totiž vyplývalo, že funkcia \frac{f}{g} nadobúda v niektorom prstencovom okolí P_{1} bodu a len záporné hodnoty, zatiaľčo z predpokladov lim_{x→a} f(x) = ∞, lim_{x→a} g(x) = ∞ by podľa lemy .10(b) súčasne vyplývalo, že v niektorom prstencovom okolí P_{2}, resp. P_{3}, bodu a nadobúda funkcia f, resp. funkcia g, len kladné hodnoty. Pre prvky neprázdnej množiny P_{1} ∩ P_{2} ∩ P_{3} ∩ M by potom museli súčasne platiť nerovnosti \frac{f(x)}{g(x)} < 0 a \frac{f(x)}{g(x)} > 0, čo zrejme nie je možné.♠

Na záver tohto odseku venujme ešte trocha miesta otázke existencie limity súčtu, resp. súčinu v prípade, že lim_{x→a} f(x) = b ∈ R^{∗} a lim_{x→a} g(x) neexistuje.

Pokiaľ b ∈ R, dáva odpoveď (úplnú pre prípad súčtu a čiastočnú pre prípad súčinu) nasledujúca lema.

.23 Lema. Nech funkcie f a g sú definované na množine M,nech lim_{x→a} f(x) = b ∈ R. Potom (a) lim_{x→a} (f(x) + g(x)) existuje práve vtedy, keď existuje lim_{x→a} g(x);

(b) lim_{x→a} (f(x)g(x)) existuje práve vtedy, keď existuje lim_{x→a} g(x).

Dôkaz. (a) Implikácia ′′ ⇐′′ je v prípade konečnej lim_{x→a} g(x) obsahom tvrdenia (a) vety .15, v prípade nekonečnej lim_{x→a} g(x) vyplýva z prvých dvoch tvrdení prvého stĺpca tabuľky (33). Implikácia ′′ ⇒′′ je rovnako elementárna: ak existuje lim_{x→a} (f(x) + g(x)) =: r ∈ R^{∗} a konečná lim_{x→a} f(x), tak z rovnosti g = (f + g) − f vyplýva existencia limity lim_{x→a} g(x) na základe .15(b) (pre prípad r ∈ R), resp. podľa prvých dvoch tvrdení ^{25} v prvom stĺpci tabuľky (33) (pre prípady r = ∞ a r = −∞).

Poznámka. Tvrdenie (a) predchádzajúcej lemy možno zrejme ešte doplniť informáciou, že lim_{x→a} (f(x) + g(x)), lim_{x→a} g(x) – pokiaľ existujú – sú buď obidve ∞ alebo obidve −∞ alebo obidve konečné. Podobne možno doplniť tvrdenie (b) poznatkom (nie veľmi prekvapujúcim), že pokiaľ limity lim_{x→a} (f(x)g(x)), lim_{x→a} g(x) existujú, sú buď obidve nevlastné alebo obidve konečné.△

Postačujúce podmienky existencie limity lim_{x→a} (f(x) + g(x)), resp. lim_{x→a} (f(x)g(x)) v prípade, že jedna z funkcií f, g nemá v bode a limitu, sú sformulované vo vetách .14 a .20.

Príklady z tabuľky (35) ukazujú, že pokiaľ lim_{x→a} f(x) = 0 a lim_{x→a} g(x) síce existuje, ale funkcia g nespĺňa predpoklady vety .14 (čo – ako vyplýva z lemy .10(a) – je možné len v prípade, že lim_{x→a} g(x) je nevlastná), nemožno už vo všeobecnosti o existencii limity lim_{x→a} (f(x)g(x)) nič povedať. (Podobne súvisia príklady z tabuľky (35) s vetou .20(a).)

Len pre zaujímavosť (pre naše ďalšie úvahy to totiž nemá nejaký veľký význam) uveďme ešte príklady ukazujúce, že rozhodnúť vo všeobecnosti o existencii či neexistencii limity lim_{x→a} (f(x)g(x)) nemožno ani v prípade, že lim_{x→a} f(x) = 0, funkcia g nespĺňa predpoklady vety .14 a lim_{x→a} g(x) neexistuje. Položme

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x^{2}} , ak & x ∈ Q \\ − \frac{1}{x^{2}} , ak & x ∉ Q \end{matrix}

a za g postupne voľme funkcie

g_{1}(x) = \{ \begin{matrix}x^{3} , ak & x ∈ Q \\ −x^{3} , ak & x ∉ Q \end{matrix} , g_{2}(x) = −g_{1}(x) , g_{3}(x) = \{ \begin{matrix}bx^{2} , ak & x ∈ Q \\ −bx^{2} , ak & x ∉ Q \end{matrix} ,

g_{4}(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ∈ Q \\ −x , ak & x ∉ Q \end{matrix} , g_{5}(x) = \{ \begin{matrix}ax^{2} , ak & x ∈ Q \\ bx^{2} , ak & x ∉ Q \end{matrix}

(v prípade funkcie g_{3} predpokladáme b ≠ 0, v prípade g_{5} nech a > 0 > b); z tvrdenia lemy .11(d) vyplýva, že ani jedna z funkcií g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}, g_{5} nemá v bode ∞ limitu. Platí ale lim_{x→a} (f(x)g_{1}(x)) = ∞, lim_{x→a} (f(x)g_{2}(x)) = −∞, lim_{x→a} (f(x)g_{3}(x)) = b ∈ R \ {0}, lim_{x→a} (f(x)g_{4}(x)) = 0 a lim_{x→a} (f(x)g_{5}(x)) neexistuje ^{26}.

24prezradíme ešte viac: naša funkcia \frac{1}{f} sa na R \ \{0\} zhoduje s funkciou v poslednom riadku prvého stĺpca tabuľky (34)

25a keď chceme byť úplne (ubíjajúco) podrobní, tak ešte aj podľa tvrdenia (b) lemy .13, umožňujúceho previesť limitu rozdielu na limitu súčtu

26Čitateľ nech sa nedá klamať tým, že pri tvorbe našich príkladov sa kŕčovite pridržiavame schémy “f(x)= niečo pre x ∈ Q a niečo iné pre x ∉ Q”. V uvedených príkladoch by sme namiesto x ∈ Q, x ∉ Q mohli písať napr. x ∈ N je párne, x ∈ N je nepárne (tj. uvádzať príklady postupností, lebo aj to sú funkcie) alebo [x] je párna, [x] je nepárna (kde [.] označuje celú časť) alebo aj horšie veci, ale také, ktoré nám umožňujú použiť tvrdenia (c) a (d) lemy .11.

Čitateľ sa sám môže presvedčiť, že podobná situácia nastane aj v prípade vety .20.

3 O nerovnostiach a limitách

Aby sme sprehľadnili zápis nasledujúcej vety, označme znakom ≺ usporiadanie na R^{∗}, ktoré vznikne prirodzeným rozšírením usporiadania < definovaného na R; tj. pre a, b ∈ R je a ≺ b práve vtedy, keď a < b, a naviac platí −∞ ≺ a ≺ ∞ pre každé a ∈ R.

.24 Veta. Nech funkcie f, g sú definované na množine M. Ak existujú limity lim_{x→a} f(x) =: r ∈ R^{∗}, lim_{x→a} g(x) := s ∈ R^{∗} a pre niektoré prstencové okolie P bodu a platí

(∀x ∈ P ∩ M)(f(x) ≤ g(x)) ,  (36)

tak platí aj nerovnosť

r ⪯ s , tj. lim_{x→a} f(x) ⪯ lim_{x→a} g(x) .

Dôkaz. Sporom; predpokladajme, že r ≻ s. Potom existujú okolie O(r) bodu r a okolie O(s) bodu s s vlastnosťou

y ∈ O(r) ∧ z ∈ O(s) ⇒ y > z  (37)

(tj. O(r) a O(s) sú disjunktné množiny a O(r) “leží vpravo” od množiny O(s)).

Pretože lim_{x→a} f(x) = r, existuje k okoliu O(r) z (37) prstencové okolie P_{1}(a) bodu a s vlastnosťou

x ∈ P_{1}(a) ∩ M ⇒ f(x) ∈ O(r) ;  (38)

podobne k okoliu O(s) z (37) existuje prstencové okolie P_{2}(a) bodu a, pre ktoré platí

x ∈ P_{2}(a) ∩ M ⇒ g(x) ∈ O(s) .  (39)

Pretože pre ľubovoľný prvok x neprázdnej množiny A := P ∩ P_{1}(a) ∩ P_{2}(a) ∩ M platí súčasne x ∈ P_{1}(a) ∩ M aj x ∈ P_{2}(a) ∩ M, z (38) a (39) vyplýva

(∀x ∈ A)(f(x) ∈ O(r) ∧ g(x) ∈ O(s)) ,

z (37) potom dostávame

(∀x ∈ A)(f(x) > g(x)) .  (40)

Súčasne ale A ⊂ P ∩ M a z (36) teda vyplýva

(∀x ∈ P ∩ P_{1}(a) ∩ P_{2}(a) ∩ M)(f(x) < g(x)) ,

čo – keďže A ≠ ∅ – je spor s (40).

Poznámka. Jednoduchý príklad f(x) = − \frac{1}{x}, g(x) = \frac{1}{x} – kedy platí (∀x ∈ (0, ∞))(f(x) < g(x)), ale lim_{x→a} f(x) = 0 = lim_{x→a} g(x) – ukazuje, že pokiaľ v predpoklade (36) nahradíme neostrú nerovnosť ≤ ostrou nerovnosťou <, nemusí odtiaľ ešte vyplývať, že aj nerovnosť medzi limitami by sa musela zmeniť na ostrú.♠

Lema .19 ukazuje, že v práve dokázanom tvrdení možno v prípade r = ∞ predpoklad existencie limity lim_{x→a} g(x) vypustiť (podobne možno podľa poznámky za lemou .19 vypustiť predpoklad existencie limity lim_{x→a} f(x) v prípade s = −∞). Analógiou tejto lemy pre prípad konečných limít je nasledujúca veta.

.25 Veta. Nech funkcie f, g, h sú definované na množine M. Ak lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = b ∈ R a pre niektoré prstencové okolie P bodu a platí

(∀x ∈ P ∩ M)(f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)) ,

tak existuje aj lim_{x→a} g(x) a rovná sa b.

Dôkaz. ^{27} Označme F := h − f, G := h − g, z predpokladov našej vety potom dostávame lim_{x→a} F (x) = lim_{x→a} h(x) − lim_{x→a} g(x) = 0 (veta .15(b)) a

(∀x ∈ P ∩ M)(0 ≤ G(x) ≤ F (x)) .  (41)

Teraz stačí dokázať rovnosť lim_{x→a} G(x) = 0, pretože z existencie konečných limít lim_{x→a} G(x) = 0 a lim_{x→a} h(x) = b bude podľa vety .15(a) vyplývať rovnosť lim_{x→a} g(x) = lim_{x→a} (G(x) + h(x)) = b, ktorú sme chceli dokázať.

Chceme teda dokázať výrok

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x ∈ P (a) ∩ M)(|G(x)| < ε) .  (42)

Keďže lim_{x→a} F (x) = 0, existuje k okoliu O_{ε}(0) bodu 0 prstencové okolie P_{1}(a) bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P_{1}(a) ∩ M)(|F (x)| < ε) .  (43)

Čitateľ teraz na základe (41) a (43) ľahko overí, že prstencové okolie P (a) := P_{1}(a) ∩ P má vlastnosť požadovanú v (42).

.26 Príklad (klasický ^{28}). Ak a > 0, tak lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1.

Riešenie. Pre a = 1 je tvrdenie zrejme pravdivé ^{29}. Predpokladajme teraz a > 1. Potom ^{n} \sqrt{a} > 1 pre všetky n ∈ N (to vyplýva z tvrdenia ak b ∈ [0, 1], tak (∀n ∈ N)(b^{n} ≤ 1), ktoré možno dokázať indukciou), a existuje teda nezáporná postupnosť {ω_{n}}_{n=1}^{∞} definovaná rovnosťou

n \sqrt{a} = 1 + ω_{n} .  (44)

Potom

a = (1 + ω_{n})^{n} = 1 + nω_{n} + ( \begin{matrix}n \\ 2 \end{matrix} ) ω_{n}^{2} + ⋯ + ω_{n}^{n} .  (45)

Z nerovnosti ω_{n} ≥ 0 potom vyplýva, že pravá strana rovnosti (45) sa vynechaním členov ( \begin{matrix}n \\ 2 \end{matrix} ) ω_{n}^{2}, … ω_{n}^{n} nemôže

zväčšiť, preto

a ≥ 1 + nω ,

a teda

0 ≤ ω_{n} ≤ \frac{a − 1}{n} .

Keďže lim_{n→∞} \frac{a−1}{n} = 0, vyplýva z vety .25 (v ktorej položíme M = N, f(n) ≡ 0, g(n) = ω_{n}, h(n) = \frac{a−1}{n}) rovnosť lim_{n→∞} ω_{n} = 0 a z (44) dostávame (veta .15(a))

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = lim_{n→∞}(1 + ω_{n}) = 1 + lim_{n→∞} ω_{n} = 1 .

Zostáva dokázať naše tvrdenie pre prípad a ∈ (0, 1). Označme b := \frac{1}{a}. Potom b > 1 a podľa už dokázaného je lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{b} = 1. Z rovnosti ^{n} \sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{b}} potom podľa vety .15(c) vyplýva

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{b}} = \frac{1}{lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{b}} = 1 .

27ako uvidíme, tento dôkaz bude opäť názorným príkladom dokazovania všeobecnejšieho tvrdenia pomocou niektorého jeho špeciálneho prípadu

28ak ho v niektorej učebnici diferenciálneho počtu nenájdete, je to dôvod na vyšetrovanie, prečo tam nie je a ako sa bez neho autor zaobišiel

29nedôverčivý čitateľ môže zvrat je zrejme pravdivé nahradiť slovami vyplýva z lemy .13(a) a lemy .11(a)

4 Limity monotónnych funkcií

:-) Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je rastúca zhora ohraničená postupnosť, označme b := sup_{n∈N} a_{n}. Ak čísla a_{n} budeme postupne zakresľovať na číselnú os, tak každé nasledujúce bude ležať napravo od všetkých už zakreslených a naľavo od b (tj. pre rastúce n budú čísla a_{n} postupovať doprava, ale neprekročia b). Ak si teraz zvolíme ε > 0, musí niektoré z čísel a_{n} ležať v intervale (b − ε, b] (pretože inak by b nebolo suprémom), nech je to a_{N}. Potom všetky za ním nasledujúce členy postupnosti už tiež ležia v tomto intervale, pretože ležia napravo od a_{N} a naľavo od b (teda akonáhle čísla a_{n} pri svojom pochode vpravo vstúpia do intervalu (b − ε, b + ε) – a raz tam vstúpiť musia, keďže b = sup_{n∈N} a_{n} – tak tam už zostanú). Z týchto úvah ale vyplýva, že b je limitou postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Všeobecnejšej formulácii uvedeného faktu a jeho dôsledkom je venovaný tento odsek. (-:

.27 Definícia. Nech f je funkcia definovaná na M. Ak bod a ∈ R ∪ {−∞} je hromadný bod množiny M_{+} := M ∩ (a, ∞) a existuje lim_{x→a} f_{1}(x) =: b ∈ R^{∗}, kde f_{1} := f|_{M_{+}}, nazýva sa číslo b limita funkcia f v bode a sprava a označuje sa lim_{x→a+} f(x).

Definíciu limity funkcie f v bode a zľava (ktorú označujeme lim_{x→a−} f(x)) dostaneme, ak v práve uvedenej definícii nahradíme predpoklad a ∈ R ∪ {−∞} inklúziou a ∈ R ∪ {∞}, množinu M_{+} množinou M_{−} := M ∩ (−∞, a) a funkciu f_{1} funkciou f_{2} := f|_{M_{−}}.

Limity sprava a zľava sa súhrnne označujú ako jednostranné limity.

Poznámka. Zrejme pre a = ∞ sú pojmy lim_{x→a} f(x) a lim_{x→a−} f(x) totožné (podobne pre a = −∞ pojmy lim_{x→a} f(x) a lim_{x→a+} f(x)). Všeobecnejšie, ak M ∩ (−∞, a) = M, tak pojmy lim_{x→a} f(x) a lim_{x→a−} f(x) splývajú (obdobná poznámka sa vzťahuje na limity sprava).♠

Keďže M_{+} ∪M_{−} = D(f)\{a}, je nasledujúce tvrdenie dôsledkom častí (a) a (d) lemy .11 (a poznámky 2 za ňou).

.28 Lema. Nech funkcia f je definovaná na množine M a bod a ∈ R je hromadný bod množín M_{+} := M ∩ (a, ∞), M_{−} := M ∩ (−∞, a). Potom lim_{x→a} f(x) existuje práve vtedy, keď v bode a existujú obidve jednostranné limity funkcie f a rovnajú sa. Limitou funkcie f v bode a je v takom prípade spoločná hodnota jednostranných limít.♠

Skôr ako vyslovíme nasledujúce tvrdenie, zastavme sa ešte pri jednej drobnosti. Výrok lim_{x→a−} f(x) = b (a ∈ R ∪ {∞}, b ∈ R^{∗}) hovorí, že

(∀O(b))(∃P (a))(∀x ∈ D(f))(x ∈ P (a) ∩ (−∞, a) ⇒ f(x) ∈ O(b)) .  (46)

Tento všeobecný zápis možno opäť v jednotlivých prípadoch nahradiť konkrétnejším; napr. pre a, b ∈ R zápisom

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D(f))(a − δ < x < a ⇒ |f(x) − b| < ε)

alebo pre a ∈ R, b = ∞ zápisom

(∀K ∈ R)(∃δ > 0)(∀x ∈ D(f))(a − δ < x < a ⇒ f(x) > K) .

Pre potreby nasledujúceho dôkazu podobu výroku (46), ktorá je na náš vkus už priveľmi zaľudnená symbolmi, trochu zjednodušíme. Keďže P (a) ∩ (−∞, a) je interval, ktorý (ak považujeme a za dané) je jednoznačne určený svojím ľavým koncovým bodom ξ, možno (46) prepísať do podoby

(∀O(b))(∃ξ < a)(∀x ∈ D(f))(ξ < x < a ⇒ f(x) ∈ O(b)) .  (47)

.29 Veta. Ak f je monotónna funkcia definovaná na M a a ∈ R ∪ {∞} je hromadný bod množiny M_{−} := M ∩ (−∞, a), tak existuje lim_{x→a−} f(x). Pritom platí

(a) ak f je neklesajúca a na množine M_{−} zhora ohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = sup_{x∈M_{−}} f(x) ;

(b) ak f je neklesajúca a na množine M_{−} zhora neohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = ∞ ;

(c) ak f je nerastúca a na množine M_{−} zdola ohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = inf_{x∈M_{−}} f(x) ;

(d) ak f je nerastúca a na množine M_{−} zdola neohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = −∞ .

Dôkaz. (a) Označme b := sup_{x∈M_{−}} f(x). Chceme dokázať, že lim_{x→a−} f(x) = b, tj. (pozri (47)), že

(∀ε > 0)(∃ξ < a)(∀x ∈ M)(ξ < x < a ⇒ b − ε < f(x) < b + ε)  (48)

(pre istotu vysvetlime, že okolie O(b) sme popísali jeho polomerom ε a inklúzia f(x) ∈ O(b) získala tak podobu b − ε < f(x) < b + ε).

Nech je teda dané ε > 0, hľadajme ξ s uvedenou vlastnosťou. Keďže b = sup_{x∈M_{−}} f(x), vyplýva z definície supréma funkcie, že k nášmu ε > 0 existuje ξ ∈ M_{−} tak, že f(ξ) > b − ε. Ukážeme, že toto ξ vyhovuje našim požiadavkám:

Keďže ξ ∈ M_{−}, je zrejme ξ < a. Pretože funkcia f je neklesajúca, platí

(∀x ∈ M)(ξ < x ⇒ f(ξ) < f(x))

z nerovnosti f(ξ) > b − ε potom dostávame

(∀x ∈ M)(ξ < x ⇒ b − ε < f(x)) .  (49)

Na druhej strane, z rovnosti b = sup_{x∈M_{−}} f(x) vyplýva (∀x ∈ M_{−})(f(x) ≤ b), čo môžeme zapísať v podobe

(∀x ∈ M)(x < a ⇒ f(x) ≤ b)  (50)

Z (49) a (50) vyplýva

(∀x ∈ M)(ξ < x < a ⇒ b − ε < f(x) ≤ b) ,

odkiaľ už vidno, že ξ spĺňa dokonca trochu viac, než požaduje (48).△ Dôkaz tvrdenia (b) je obdobný a prenechávame ho na čitateľa; pripomeňme len, že treba dokázať

(∀K ∈ R)(∃ξ < a)(∀x ∈ M)(ξ < x < a ⇒ f(x) > K)

a že výrok funkcia f je na M_{−} zhora neohraničená možno zapísať v podobe

(∀K ∈ R)(∃ξ ∈ M_{−})(f(ξ) > K)

(tú sme získali negáciou výroku (∃K ∈ R)(∀x ∈ M_{−})(f(x) ≤ K), ktorý hovorí, že f je na M_{−} zhora ohraničená). △

Tvrdenie (c) (ktoré možno samozrejme dokázať skopírovaním dôkazu použitého v prípade (a)) odvodíme z (a). Ak f je nerastúca a na množine M_{−} ohraničená zdola, tak funkcia −f je neklesajúca a na M_{−} ohraničená zhora. Podľa tvrdenia (a) teda existuje lim_{x→a−} ( − f(x)) a platí lim_{x→a−} ( − f(x)) = sup_{x∈M_{−}} ( − f(x)).

Náš dôkaz bude hotový, ak ukážeme, že môžeme použiť vetu .15(c), podľa nej bude totiž z existencie lim_{x→a−} ( − f(x)) vyplývať existencia lim_{x→a−} f(x) a bude platiť

lim_{x→a−} f(x) = − lim_{x→a−} ( − f(x)) = − sup_{x∈M_{−}} ( − f(x)) = inf_{x∈M_{−}} f(x) .

Chceme teda preveriť platnosť prvej z uvedených rovností^{30}. Podľa definície limity zľava je lim_{x→a−} f(x) := lim_{x→a} f_{1}(x), kde f_{1} := f|_{M_{−}}. Na funkciu f_{1} už tvrdenie vety .15(c) môžeme použiť, preto lim_{x→a} f_{1}(x) = − lim_{x→a} ( − f_{1}(x)), ale, opäť podľa definície limity zľava, lim_{x→a} ( − f_{1}(x)) = lim_{x→a−} ( − f(x)).

30nasledujúce (pomerne rozvláčne) zdôvodnenie predstavuje všeobecný návod, ako prenášať tvrdenia o limitách na jednostranné limity

Tým je rovnosť lim_{x→a−} f(x) = − lim_{x→a−} ( − f(x)), a teda aj rovnosť lim_{x→a−} f(x) = inf_{x∈M_{−}} f(x), dokázaná.△

Tvrdenie (d) možno podobne odvodiť z tvrdenia (b).

Poznámka. 1. V prípade (b) z predpokladov f je neklesajúca na M a je zhora neohraničená na M_{−} vyplýva, že M = M_{−} (sporom; keby funkcia f bola definovaná ešte v niektorom bode α ≥ a, vyplývala by z faktu, že f je neklesajúca, nerovnosť (∀x ∈ M_{−})(f(x) ≤ f(α)), čo by bolo v spore s predpokladom, že f je na M_{−} zhora neohraničená).

2. Z rovnakých úvah vyplýva: ak f je monotónna na M a M_{−} ≠ M (tj. M_{−} ≠^{⊂} M), tak funkcia f spĺňa predpoklady bodu (b) alebo (d) (teda f je buď neklesajúca a na M_{−} zhora ohraničená, alebo je nerastúca a na M_{−} zdola ohraničená).♠

Nasledujúcu analógiu vety .29 možno dokázať rovnakým postupom alebo ju z tejto vety odvodiť (my uprednostníme druhý prístup).

.30 Dôsledok. Ak f je monotónna funkcia definovaná na M a a ∈ R∪{−∞} je hromadný bod množiny M_{+} := M ∩ (a, ∞), tak existuje lim_{x→a−} f(x). Pritom platí

(a) ak f je neklesajúca a na množine M_{+} zdola ohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x) ;

(b) ak f je neklesajúca a na množine M_{+} zdola neohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = −∞ ;

(c) ak f je nerastúca a na množine M_{+} zhora ohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = sup_{x∈M_{+}} f(x) ;

(d) ak f je nerastúca a na množine M_{+} zhora neohraničená, tak

lim_{x→a−} f(x) = ∞ .

Dôkaz. Aby sme sa v nasledujúcich (ako čitateľ neskôr uvidí, pomerne jednoduchých) úvahách nezamotávali priveľmi v zápisoch, označme f_{1} := f|_{M_{+}}, máme teda (vzhľadom na definíciu pojmu limity sprava) dokázať existenciu lim_{x→a} f_{1}(x).

(a) Na množine D := −M_{+} (tj. D = {−x; x ∈ M_{+}}) definujme funkciu g predpisom g(x) = f_{1}(−x). Z rovnosti g(D) = f_{1}(M_{+}) = f(M_{+}) vyplýva, že funkcia g je zdola ohraničená a inf_{x∈D} g(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x). Keďže f (a teda aj f_{1}) je neklesajúca, je funkcia g nerastúca. Funkcia g, množina D(g) = D a bod −a spĺňajú predpoklady vety .29 (g je monotónna a bod −a je hromadný bod množiny D(g) ∩ (−∞, a), ktorá je v tomto prípade totožná s množinou D), preto podľa tvrdenia (c) tejto vety je lim_{x→a} g(x) = lim_{x→a+} g(x) = inf_{x∈D} g(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x) (prvá rovnosť je dôsledkom rovnosti D(g) ∩ (−∞, a) = D(g), pozri poznámku za definíciou .27).

Z rovnosti f_{1}(x) = g(−x), pre x ∈ M_{+} = D(f_{1}), vyplýva, že funkcia f_{1} je zložená z funkcie v(x) = −x, x ∈ R, ako vnútornej zložky a funkcie g ako vonkajšej zložky. Pretože lim_{x→a} v(x) = lim_{x→a}(−x) = −a a lim_{x→−a} g(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x) (čo sme práve dokázali), bude rovnosť lim_{x→a} f_{1}(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x), ktorú chceme dokázať, vyplývať z vety .17 o limite zloženej funkcie, pokiaľ ukážeme, že je splnená aspoň jedna z podmienok (a), (b), (c) tejto vety. To je našťastie pravda: funkcia v je prostá, preto spĺňa podmienku (a). Tým je dôkaz rovnosti lim_{x→a} f_{1}(x) = inf_{x∈M_{+}} f(x) skončený.△

Postup v prípade (b) je obdobný; v prípadoch (c) a (d) má čitateľ na výber: môže ich dokázať samostatne (postupom, akým sme dokazovali (a), resp. (b) z vety .29), môže ich odvodiť z tvrdení (c) a (d) vety .29 postupom, ktorý sme použili na dôkaz tvrdenia (a) tohto dôsledku, alebo ich môže odvodiť z tvrdení (a), (b) tohto dôsledku tak, ako sme dokazovali tvrdenia (c) a (d) vo vete .29.

Poznámka. Na tvrdenie uvedeného dôsledku sa vzťahujú obdobné poznámky ako na vetu .29.

.31 Dôsledok. Ak f : (α, β) → R je monotónna funkcia, tak f má v každom bode a ∈ (α, β) konečné jednostranné limity, pričom platí:

ak f je neklesajúca, tak

lim_{x→a−} f(x) ≤ f(a) ≤ lim_{x→a+} f(x) ;

ak f je nerastúca, tak

lim_{x→a−} f(x) ≥ f(a) ≥ lim_{x→a+} f(x) .

Dôkaz. Predpokladajme, že f je neklesajúca. Potom (teraz čiastočne opakujeme úvahy z poznámky za vetou .29) platí

(∀x ∈ (α, a))(f(x) ≤ f(a)) ,

teda f(a) je horné ohraničenie množiny {f(x) ; x ∈ (α, a)}, a preto

sup_{x∈(α,a)} f(x) ≤ f(a) .  (51)

Podľa tvrdenia (a) vety .29 existuje lim_{x→a−} f(x) a platí lim_{x→a−} = sup_{x∈(α,a)} f(x), z (51) teda dostávame

lim_{x→a−} f(x) ≤ f(a) .

Dôkaz druhej rovnosti je obdobný a zakladá sa na tvrdení (a) dôsledku .30.

Prípad f nerastúca prenechávame na čitateľa.

Poznámky. 1. Obdobnými úvahami možno dokázať toto tvrdenie.

Veta. Ak a je vnútorný bod intervalu I (tj. pre niektoré ε > 0 platí inklúzia O(a, ε) ⊂ I) a f : I \ {a} → R je neklesajúca funkcia, tak existujú konečné lim_{x→a−} f(x), lim_{x→a+} f(x) a platí

lim_{x→a−} f(x) ≤ lim_{x→a+} f(x) .

Dôkaz. Obdobne ako v predchádzajúcom dôkaze možno pre každé b ∈ I, b > a, z nerovnosti

(∀x ∈ I, x < a)(f(x) ≤ f(b))

odvodiť nerovnosť

α := sup{f(x); x ∈ I ∧ x < a} ≤ f(b) ;

z takto dokázaného tvrdenia

(∀x ∈ I, x > a)(f(x) ≥ α)

vyplýva, že α je dolné ohraničenie množiny M := {f(x); x ∈ I ∧ x > a}, preto

α ≤ inf M ,

tj.

lim_{x→a−} f(x) = α ≤ inf M = lim_{x→a+} f(x) .

2. Lema. Ak sú splnené predpoklady tvrdenia z poznámky 1 a funkcia f je rastúca, platí

(∀x ∈ I, x < a)(f(x) ≤ lim_{y→a−} f(y)) ,

(∀x ∈ I, x > a)(f(x) > lim_{y→a+} f(y)) .

Dôkaz. Dokážeme prvú z uvedených nerovností. Nech x ∈ I, x < a. Zvoľme z ∈ (x, a) (potom iste platí aj z ∈ I); keďže f rastie, platí

f(x) < f(z) ,  (52)

súčasne — keďže z ∈ I, z < a — z rovnosti lim_{y→a_{−}} f(y) = sup{f(y), y ∈ I ∧ y < a} vyplýva

f(z) ≤ lim_{y→a−} f(y)  (53)

a z (52) a (53) dostávame

f(x) < lim_{y→a−} f(y ,

čo sme chcceli dokázať.

.32 Príklad (kedy existuje a čomu sa rovná limita postupnosti {q^{n}}_{n=1}^{∞}). Pre q = 0 a q = 1 je postupnosť {q^{n}}_{n=1}^{∞} zrejme konštantná, a teda konvergentná (používame terminológiu z definície .3). Pre q = −1 táto postupnosť osciluje, pretože jej zúženia na množiny N_{1} := {2n − 1 ; n ∈ N} a N_{2} := {2n ; n ∈ N}, ktoré sú konštantné, majú rôzne limity (lema .11(c)).

Nech teraz 0 < |q| < 1. Potom postupnosť {|q|^{n}}_{n=1}^{∞} je klesajúca a zdola ohraničená, preto podľa vety .29 (v ktorej položíme M = N, a = ∞, f(n) = |q|^{n}) existuje lim_{n→∞} |q|^{n} =: a ∈ R. Podľa vety o limite zloženej funkcie potom platí a = lim_{n→∞} |q|^{n+1} (funkciu c(n) = |q|^{n+1} možno písať v tvare a ∘ b, kde b(n) = n + 1, a(n) = |q|^{n}); súčasne z lemy .13(b) vyplýva lim_{n→∞} |q|^{n+1} = |q| lim_{n→∞} |q|^{n} = |q|a, teda

a = lim_{n→∞} |q|^{n+1} = |q| lim_{n→∞} |q|^{n} = |q|a .

Keďže |q| ≠ 1, z rovnosti a = |q|a vyplýva a = 0 a z tvrdenia (e_{1}) lemy .13 dostávame, že pre 0 < |q| < 1 je lim_{n→∞} q^{n} = 0.

Pre |q| > 1 je {|q|^{n}}_{n=1}^{∞} rastúca postupnosť, ktorá má podľa vety .29 limitu a ∈ R ∪ {∞}. Dokážeme, že a = ∞. Keby totiž platilo a ∈ R, mohli by sme použiť predchádzajúce úvahy, z ktorých by vyplývalo, že a = 0, čo je ovšem v spore s predpokladom |q| > 1 a rovnosťou a = sup_{n∈N} |q|^{n} (veta .29(a)). Tým je rovnosť lim_{n→∞} |q|^{n} = ∞ pre |q| > 1 dokázaná. Pre q > 1 potom dostávame lim_{n→∞} q^{n} = lim_{n→∞} |q|^{n} = ∞. Postupnosť {q^{n}}_{n=1}^{∞} pre q < −1 osciluje, pretože jej zúženie na množinu N_{1}, resp. N_{2} (pozri prvý odstavec tohto príkladu) má limitu −∞, resp. ∞ (pre n ∈ N_{1} je q^{n} = −|q|^{n}, pre n ∈ N_{2} platí q^{n} = |q|^{n}).

Zistili sme teda

lim_{n→∞} q^{n} \{ \begin{matrix}= 0  pre & |q| < 1 \\ = 1  pre & q = 1 \\ = ∞  pre & q > 1 \\ neexistuje pre & q ≤ −1 \end{matrix} .

.33 Príklad. Ukážeme, že existuje konečná lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} (ktorú budeme označovať písmenom e).

Dokážeme, že postupnosť a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} je rastúca a zhora ohraničená. Prvá z týchto skutočností je ekvivalentná s nerovnosťou \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1, tú možno dokázať nasledovne:

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \begin{matrix}(1 + \frac{1}{n+1}) & n+1 \\ (1 + \frac{1}{n}) & n \end{matrix} = \begin{matrix}(\frac{n+2}{n+1}) & n+1 \\ (\frac{n+1}{n}) & n \end{matrix} = \frac{n + 1}{n} · \begin{matrix}(\frac{n+2}{n+1}) & n+1 \\ (\frac{n+1}{n}) & n+1 \end{matrix} =

= \frac{n + 1}{n} · [\frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}]^{n+1} = \frac{n + 1}{n} (1 − \frac{1}{(n + 1)^{2}} )^{n+1} >
> \frac{n + 1}{n} (1 − \frac{1}{n + 1}) = 1

(nerovnosť (1 − \frac{1}{(n+1)^{2}} )^{n+1} > 1 − \frac{1}{n+1} vyplýva z Bernoulliho nerovnosti (1 + x)^{n+1} > 1 + (n + 1)x, n ∈ N, x >

−1, x ≠ 0, v ktorej sme položili x = − \frac{1}{(n+1)^{2}} ).

Ohraničenosť postupnosti \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} dokážeme možno trocha prekvapujúcim spôsobom: Označme b_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n+1}, potom zrejme b_{n} ≥ a_{n}. Postupnosť {b_{n}}_{n=1}^{∞} je pritom klesajúca (preverenie úprav obdobných úpravám pri dôkaze rastu postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} prenechávame na čitateľa):

\frac{b_{n}}{b_{n+1}} = \begin{matrix}(1 + \frac{1}{n}) & n+1 \\ (1 + \frac{1}{n+1}) & n+2 \end{matrix} = \frac{n}{n + 1} (\frac{(n + 1)^{2}}{n(n + 2)})^{n+2} = \frac{n}{n + 2} (1 + \frac{1}{n(n + 2)})^{n+2} >

> \frac{n}{n + 1} (1 + (n + 2) · \frac{1}{n(n + 2)}) = 1 .

Z nerovností b_{1} ≥ b_{n} ≥ a_{n} potom vyplýva, že číslo b_{1} je iste horné ohraničenie postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} (dokonca každé b_{k} je jej horným ohraničením).

Z vety .29(a) (pre M = N, a = ∞, f(n) = a_{n}) vyplýva teda existencia konečnej lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} =: e, pritom (keďže e = sup_{n∈N} a_{n} a postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} je rastúca)

(1 + \frac{1}{n})^{n} < e , n ∈ N .

Postupnosť {b_{n}}_{n=1}^{∞}, použitá v predchádzajúcich úvahách, umožňuje odhadovať číslo e zhora: Podľa vety .15(c) o limite súčinu je lim_{n→∞} b_{n} = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n}) · lim_{n→∞} a_{n} = e, pritom – keďže \{b_{n}\}_{n=1}^{∞} je klesajúca – platí

e < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} , n ∈ N .

Pre číslo e tak dostávame odhad

(1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} , n ∈ N ,

ktorý je jednou z možností jeho približného výpočtu (neskôr uvedieme ešte ďalšie).

Poznámka. Predchádzajúce úvahy mohli na časť čitateľskej obce pôsobiť trocha trikovým dojmom (nebolo jasné, odkiaľ sme vopred tušili, že {a_{n}}_{n=1}^{∞} bude rastúca a dôkaz ohraničenosti bol tiež trocha nezvyčajný); ponúkame preto ešte jeden dôkaz ohraničenosti a monotónnosti postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}, ktorý je z tohto hľadiska názornejší.

Upravme vyjadrenie a_{n} nasledovne

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + ( \begin{matrix}n \\ 1 \end{matrix} ) \frac{1}{n} + ( \begin{matrix}n \\ 2 \end{matrix} ) \frac{1}{n^{2}} + ⋯ + ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) \frac{1}{n^{n}} =

1 + 1 + \frac{n(n − 1)}{2!} · \frac{1}{n^{2}} + \frac{n(n − 1)(n − 2)}{3!} · \frac{1}{n^{3}} +

+ ⋯ + \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k + 1)}{k!} · \frac{1}{n^{k}} + ⋯ \frac{n(n − 1) ⋯ 1}{n!} · \frac{1}{n^{n}} =

= 1 + 1 + [1 · (1 − \frac{1}{n})] \frac{1}{2!} + ⋯ + [1 · (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{k − 1}{n})] \frac{1}{k!} + ⋯ +

+ [1 · (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{n − 1}{n})] \frac{1}{n!} .

Z takto získaného vyjadrenia pre a_{n} by malo byť vidieť, že a_{n+1} > a_{n} (čísla v hranatých zátvorkách sa zväčšia, ak namiesto n dosadíme n + 1, okrem toho vo vyjadrení čísla a_{n+1} bude o jeden kladný sčítanec viac než vo vyjadrení pre a_{n}). Keďže v každej z hranatých zátvoriek je kladné číslo menšie než 1, dostávame odhad

a_{n} ≤ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ⋯ + \frac{1}{n!} ≤ 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ⋯ + \frac{1}{2^{n−1}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} <
< 1 + \frac{1}{1 − \frac{1}{2}} = 3

(využili sme nerovnosť n! ≥ 2^{n−1}, n ∈ N, a pre q = \frac{1}{2} rovnosť 1 + q + q^{2} + ⋯ + q^{n} = \frac{1−q^{n}}{1−q} ).

.34 Príklad. Dokážeme teraz, že lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1.

Náš postup bude nasledovný:

1. dokážeme rovnosti lim_{t→∞} t ln (1 + \frac{1}{t}) = 1, lim_{t→−∞} t ln (1 + \frac{1}{t}) = 1;

2. z nich substitúciou x = \frac{1}{t} odvodíme rovnosti

lim_{x→0+} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1 , lim_{x→0−} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1

a použijeme lemu .28.

Použijeme pritom tieto informácie o funkcii ln:

• ln je inverzná funkcia k funkcii e^{x}, preto ln je rastúca funkcia, ln 1 = 0, ln e = 1, ln \frac{1}{e} = −1 a r ln s = ln (s^{r});

• pre každé a ∈ (0, ∞) je lim_{x→a} ln x = ln a;

a dokazovanie v bode 1 bude založené na nasledujúcej úvahe (ktorej dôkaz prenechávame na čitateľa):

Lema. Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť s limitou a ∈ R^{∗} a funkcia f : [1, ∞) → R je daná vzťahom f(x) = a_{n} pre [x] = n (kde [.] označuje celú časť), tak lim_{x→∞} f(x) = a.△

Po tomto úvode môžeme prejsť k realizácii bodov 1 a 2.

1a) Pre t ∈ [n, n + 1) platí

0 < [t] ≤ t ≤ [t] + 1

a (keďže funkcia ln je rastúca a ln 1 = 0)

0 < ln (1 + \frac{1}{[t] + 1}) ≤ ln (1 + \frac{1}{t}) ≤ ln (1 + \frac{1}{[t]}) ,

preto

f(t) := [t] ln (1 + \frac{1}{[t] + 1}) ≤ t ln (1 + \frac{1}{t}) ≤ ([t] + 1) ln (1 + \frac{1}{[t]}) =: h(t) .  (54)

Označme teraz a_{n} := n ln (1 + \frac{1}{n+1}), b_{n} := (n + 1) ln (1 + \frac{1}{n}). Pretože

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = e

(pozri predchádzajúci príklad) a

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n + 1})^{n} = lim_{n→∞} \frac{1}{1 + \frac{1}{n+1}} · lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n + 1})^{n+1} = ^{31}e ,

dostávame

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} ln [(1 + \frac{1}{n + 1})^{n}] =^{(∗)} ln ( lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n + 1})^{n}) = ln e = 1

a obdobne lim_{n→∞} b_{n} = 1 (rovnosť (*) vyplýva z vety .17 o limite zloženej funkcie a vety .12, ktorá tiež zaručila splnenie podmienky (c) vety .17).

Z našej lemy potom vyplýva lim_{t→∞} f(t) = 1 (pretože lim_{n→∞} a_{n} = 1) a lim_{t→∞} h(t) = 1 (pretože lim_{n→∞} b_{n} = 1), z (54 ) a vety .25 potom dostávame rovnosť lim_{t→∞} t ln (1 + \frac{1}{t}) = 1.

1b) Ak použijeme substitúciu z = −t, stačí namiesto rovnosti lim_{t→−∞} t ln (1 + \frac{1}{t}) = 1 dokazovať rovnosť lim_{z→∞} (−z ln (1 − \frac{1}{z})) = 1, tj. lim_{z→∞} z ln (1 − \frac{1}{z}) = −1.Ďalší postup je obdobný ako v 1a): treba dokázať nerovnosti

[z] ln (1 − \frac{1}{[z]}) ≤ z ln (1 − \frac{1}{z}) ≤ ([z] + 1) ln (1 − \frac{1}{[z] + 1})

a v ďalších úvahách využiť výpočet

lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n} = lim_{n→∞} (\frac{n − 1}{n})^{n} = lim_{n→∞} \frac{1}{(\frac{n}{n−1})n} =

= lim_{n→∞} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n−1})^{n}} = lim_{n→∞} (\frac{1}{(1 − \frac{1}{n−1})} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n−1})^{n−1}} ) = \frac{1}{e}

(rovnosť lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n−1})^{n−1} = e opäť vyplýva z tvrdenia v poznámke 2 za vetou .17).

2. Ak h : (−1, ∞)\\{0\} → R je funkcia s predpisom \frac{ln(1+x)}{x}, tak h_{1} := h|_{(0,∞)} možno písať v tvare h_{1} = g∘f, kde f(x) = \frac{1}{x}, x > 0; g(y) = y ln (1 + \frac{1}{y} ), y > 0; z vety .17 o limite zloženej funkcie potom vyplýva lim_{x→0} h_{1}(x) = 1, tj. lim_{x→0+} h(x) = 1 (oprávnenie k použitiu vety .17 sme získali splnením podmienky (b)). Dôkaz rovnosti lim_{x→0−} h(x) = 1 je rovnaký.

.35 Cvičenie. Na základe predchádzajúceho príkladu použitím substitúcie t = e^{x}−1 dokážte rovnosť lim_{x→1} \frac{e^{x}−1}{x} = 1. (Pri dokazovaní môžete použiť tieto (v našom texte zatiaľ nedokázané) tvrdenia: 1. funkcia ln x je inverzná k funkcii e^{x}; 2. lim_{x→0} e^{x} = e^{0} = 1.) △

Poznámka. Z predchádzajúceho cvičenia a vety o limite zloženej funkcie vyplýva toto tvrdenie: Ak lim_{x→a} f(x) = 0 (a ∈ R^{∗}), pričom a je hromadný bod definičného oboru funkcie \frac{e^{f(x)}−1}{f(x)} , tak

lim_{x→a} \frac{e^{f(x} − 1}{f(x)} = 1 .

Špeciálne platí: ak a ∈ (0, ∞) \ {1}, tak

lim_{x→0} \frac{a^{x} − 1}{x} = lim_{x→∞} \frac{e^{x ln a} − 1}{x ln a} ln a = 1 · ln a = ln a

31táto rovnosť vyplýva z rovnosti lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e a tvrdenia v poznámke 2 za vetou .17 o limite zloženej funkcie

(v tomto prípade teda bolo f(x) = x ln a).

Podobne z vyplýva z príkladu .34 a vety o limite zloženej funkcie:

Ak lim_{x→a} f(x) = 0 (a ∈ R^{∗}), pričom a je hromadný bod definičného oboru funkcie ^{\frac{ln(1+f(x))}{f(x)}} , tak

lim_{x→a} \frac{ln (1 + f(x))}{f(x)} = 1 . ♠

Zaveďme teraz označenie, ktoré využijeme pri formulácii nasledujúcej vety: pre I := [a, b] (kde a, b ∈ R, a ≤ b) označíme znakom |I| číslo b − a (tj. dĺžku (degenerovaného alebo nedegenerovaného) intervalu I).

.36 Veta. (Princíp do seba vložených intervalov) Nech {I_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť uzavretých (nedegenerovaných alebo degenerovaných) ohraničených intervalov s vlastnosťou

(i) I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ … ⊃ I_{n} ⊃ I_{n+1} ⊃ ….

Potom ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} ≠ ∅.

Ak naviac platí

(ii) lim_{n→∞} |I_{n}| = 0 ,

tak ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} je jednoprvková množina, tj. existuje práve jedno číslo c ∈ R s vlastnosťou (∀n ∈ N)(c ∈ I_{n}).

Dôkaz. Začnime prvou časťou nášho tvrdenia. Ak I_{n} je uzavretý interval s koncovými bodmi a_{n} ≤ b_{n}, tak predpoklad (i) možno sformulovať v podobe {a_{n}}_{n=1}^{∞} je nerastúca, {b_{n}}_{n=1}^{∞} je neklesajúca postupnosť a platí

(∀n ∈ N)(a_{n} ≤ b_{n}) .  (55)

Z nerovností b_{1} ≥ b_{n} ≥ a_{n} vyplýva, že postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} je zhora ohraničená, preto podľa vety .29(a) existuje konečná lim_{n→∞} a_{n} =: c. Podobne možno dokázať existenciu čísla d := lim_{n→∞} b_{n}; z (55) potom na základe vety .24 (pre M = N, f(n) = a_{n}, g(n) = b_{n}) vyplýva nerovnosť c ≤ d.

Keďže c = sup_{n∈N} a_{n}, d = inf_{n∈N} b_{n} (veta .29) platí

(∀n ∈ N)(a_{n} ≤ c ≤ d ≤ b_{n}) ,  (56)

čo znamená, že čísla c, d (a ľubovoľné x z (nedegenerovaného alebo degenerovaného) uzavretého intervalu [c, d]) ležia v každom intervalov I_{n} = [a_{n}, b_{n}], čím je prvá časť našej vety dokázaná.△

Dokážme teraz ešte naviac rovnosť ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} = [c, d], ktorej dôsledkom bude druhá časť nášho tvrdenia. Inklúziu [c, d] ⊂ ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} sme už dokázali (tvrdenie (56). Ak naopak x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} I_{n}, tak z nerovností

(∀x ∈ N)(a_{n} ≤ x ≤ b_{n})

podľa vety .24 (použitej najprv pre M = N, f(n) = a_{n}, g(n) ≡ x, a potom pre M = N, f(n) ≡ x, g(n) = b_{n}) vyplýva nerovnosť c ≤ x ≤ d, čím je dokázaná inklúzia ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} ⊂ [c, d], a tým aj rovnosť ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} = [c, d].△

Predpokladajme teraz naviac, že platí (ii), ktoré zrejme možno prepísať do podoby lim_{n→∞}(b_{n}−a_{n}) = 0. Z tohto predpokladu dostávame

d = lim_{n→∞} b_{n} = lim_{n→∞} a_{n} + lim_{n→∞}(b_{n} − a_{n}) = c + 0 = c ,

z práve dokázanej rovnosti c = d a z rovnosti ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} = [c, d] (dokázanej v predchádzajúcom odstavci) už vyplýva druhá časť tvrdenia našej vety.

5 Späť k postupnostiam (a nielen k nim)

Tento odsek, venovaný rozšíreniu našich teoretických poznatkov o limitách postupností, uvedieme definíciou pojmu podpostupnosti.

.37 Definícia. Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} a rastúca postupnosť {n_{k}}_{k=1}^{∞} prirodzených čísel. Potom postupnosť {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} sa nazýva podpostupnosť (alebo vybraná postupnosť z) postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}.♠

Nasledujúce tvrdenie možno – keďže postupnosť {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} je zložením postupností {a_{n}}_{n=1}^{∞} a {n_{k}}_{k=1}^{∞} – odvodiť z vety o limite zloženej funkcie ^{32}, rovnako dobre ho však – vzhľadom na jeho jednoduchosť – možno dokázať priamo na základe definície limity postupnosti.

.38 Lema. Ak {b_{n}}_{n=1}^{∞} je podpostupnosť postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} ^{33} a lim_{n→∞} a_{n} = a ∈ R^{∗}, tak aj lim_{n→∞} b_{n} = a. ♠

Nasledujúcu vetu popisujúcu súvislosť medzi limitou postupnosti a limitou funkcie sme vyslovili už v paragrafe .6, aby sme pomocou nej ukázali, že definícia limity vyslovená v .5 (ktorá sa nazýva aj Heineho definíciou limity) je ekvivalentná s nami používanou definíciou .7 (nazývanou niekedy aj Cauchyho definícia limity). Kvôli poriadku sformulujeme v tomto odseku spomínané tvrdenie znova (ovšem už bez dôkazu, ktorý čitateľ nájde v paragrafe .6), aby sa tak vrátilo na miesto, z ktorého sme si ho vypožičali.

.39 Veta. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f, nech b ∈ R^{∗}. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

(a) pre každú postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} s limitou a platí lim_{n→∞} f(x_{n}) = b;

(b) lim_{x→a} f(x) = b.

Poznámka. Z vety .39 možno odvodiť toto tvrdenie.

Veta. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné: (a’) pre každú postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} s limitou a existuje lim_{n→∞} f(x_{n}); (b’) existuje lim_{x→a} f(x). Špeciálne, platí ekvivalencia medzi týmito tvrdeniami: (a”) pre každú postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} s limitou a je postupnosť {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} konvergentná; (b”) existuje konečná lim_{x→a} f(x). :-) Všimnime si, že v (a’) netreba – na rozdiel od (a) z vety .39 – overovať, či pre rôzne postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂

D(f) \ \{a\} s limitou a majú postupnosti \{f(x_{n})\}_{n=1}^{∞} vždy \underline{rovnaké} limity, požadujeme len \underline{existenciu} limity lim_{n→∞} f(x_{n}). (-:

Dôkaz. Keďže náš výrok (b’) je ekvivalentný s (b) z vety .39, bude tvrdenie našej vety vyplývať z vety .39, ak dokážeme ekvivalenciu (a)⇔(a’). Implikácia (a)⇒(a’) zrejme platí, stačí preto dokázať, že z predpokladu (a’) možno odvodiť tvrdenie ak postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞}, {y_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} majú limitu a, tak lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} f(y_{n}), z ktorého už vyplýva (a) z vety .39.

Nech teda {x_{n}}_{n=1}^{∞}, {y_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a}, lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} y_{n} = a, potom postupnosť

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, …, x_{n}, y_{n}, …

má tiež limitu a (lema .11(d)) a všetky prvky tejto postupnosti ležia v D(f) \ {a}. Z predpokladu (a’) vyplýva, že postupnosť

f(x_{1}), f(y_{1}), f(x_{2}), f(y_{2}), …, f(x_{n}), f(y_{n}), …

má limitu, preto podľa lemy .38 jej podpostupnosti {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} a {f(y_{n})}_{n=1}^{∞} musia mať rovnaké limity. Dôkaz ekvivalencie (a”)⇔(b”) prenechávame na čitateľa. ♠

Naším ďalším cieľom je veta .43, formulujúca spolu s lemou .42 nutnú a postačujúcu podmienku konvergencie postupnosti. Tvrdenie .40, ktoré použijeme pri jej dôkaze, sa ukáže ako užitočné aj neskôr.

32v takom prípade stačí dokázať “zrejmé” tvrdenie lim_{k→∞} n_{k} = ∞

33dúfame, že čiatateľa nezaskočilo zákerné použitie písmenka n ako premennej aj v postupnosti {b_{n}}_{n=1}^{∞} aj v postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} (ktorá je vonkajšou zložkou vo vyjadrení {b_{n}}_{n=1}^{∞})

.40 Veta. Z každej ohraničenej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť.

Dôkaz. Nech teda {a_{n}}_{n=1}^{∞} je ohraničená postupnosť, zvoľme c_{1}, d_{1} ∈ R tak, aby platilo (∀n ∈ N)(c_{1} ≤ a_{n} ≤ d_{1}), a konštruujme postupnosť uzavretých ohraničených do seba vložených intervalov {I_{n}}_{n=1}^{∞} nasledovne:

Položíme I_{1} := [c_{1}, d_{1}]. Interval I_{1} rozdelíme bodom b_{1} := \frac{c_{1}+d_{1}}{2} na intervaly I_{11} := [c_{1}, b_{1}], I_{12} := [b_{1}, d_{1}], vyberieme ten z intervalov I_{11}, I_{12}, ktorý obsahuje nekonečne veľa členov postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} 34 (čitateľ ľahko zistí, že aspoň jeden z nich túto vlastnosť musí mať; pokiaľ ju majú oba, zvolíme I_{11}) a označíme ho I_{2} a jeho koncové body c_{2} < d_{2}. Interval I_{2} rozdelíme bodom b_{2} := \frac{c_{2}+d_{2}}{2} na intervaly I_{21} := [c_{2}, b_{2}], I_{22} := [b_{2}, d_{2}], vyberieme ten z nich, ktorý obsahuje nekonečne veľa členov postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} (pokiaľ túto vlastnosť majú obidva, zvolíme I_{21}) a označíme ho I_{3} a jeho koncové body c_{3} < d_{3}.

Popis konštrukcie intervalu I_{n+1} za predpokladu, že intervaly I_{1}, I_{2}, …, I_{n} sú už skonštruované, vie čitateľ už teraz iste urobiť sám ^{35}.

Naša postupnosť spĺňa predpoklady (i) a (ii) z vety .36 (splnenie predpokladu (ii) vyplýva z rovnosti |I_{n}| = \frac{d_{1}−c_{1}}{2^{n−1}} ), preto existuje práve jedno číslo a ∈ R ležiace súčasne vo všetkých intervaloch I_{n}. Skonštruujeme teraz podpostupnosť {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} konvergujúcu k číslu a, čím bude náš dôkaz skončený.

:-) Myšlienka konštrukcie postupnosti {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} je jednoduchá: z každého intervalu I_{k} vyberieme nejaký prvok b_{k} postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} (podľa definície množiny I_{k} tam nejaký musí ležať); z nerovnosti 0 ≤ |b_{k} − a| ≤ |I_{k}| bude už – keďže lim_{k→∞} I_{k} = 0 – vyplývať, že lim_{k→∞} b_{k} = a. Pretože však chceme, aby \{b_{k}\}_{k=1}^{∞} bola \underline{podpostupnosťou} postupnosti \{a_{n}\}_{n=1}^{∞}, musíme zabezpečiť, že prvok b_{k+1} vybraný z intervalu I_{k+1} leží v postupnosti \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} \underline{za} prvkom b_{k} vybraným z intervalu I_{k} (tj. ak b_{k} = a_{r}, b_{k+1} = a_{s}, tak s > r) ^{36}.(-:

Definujme teraz indukciou postupnosť {n_{k}}_{k=1}^{∞} prirodzených čísel nasledovne:

n_{1} := min{n ∈ N ; a_{n} ∈ I_{1}} , n_{k+1} := min{n ∈ N ; n > n_{k} ∧ a_{n} ∈ I_{k+1}}

(korektnosť našej konštrukcie vyplýva z faktu, že množina {n ∈ N ; a_{n} ∈ I_{k+1}} je nekonečná, preto {n ∈ N ; n > n_{k} ∧ a_{n} ∈ I_{k+1}} je neprázdna množina).

Zrejme {n_{k}}_{k=1}^{∞} je rastúca postupnosť prirodzených čísel. Z inklúzie a_{n_{k}} ∈ I_{k} vyplýva – keďže súčasne platí aj a ∈ I_{k} – nerovnosť 0 ≤ |a_{n_{k}} − a| ≤ |I_{k}|, a keďže lim_{k→∞} |I_{k}| = 0, dostávame z vety .25 rovnosť lim_{k→∞} |a_{n_{k}} − a| = 0, tj. lim_{k→∞} a_{n_{k}} = a, čo sme chceli dokázať.

Poznámka. 1. Keďže ohraničená monotónna postupnosť je konvergentná (veta .29), možno predchádzajúce tvrdenie dokázať aj na základe tejto lemy:

Lema. Z každej postupnosti možno vybrať monotónnu podpostupnosť.

Dôkaz. Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Číslo k ∈ N nazveme začiatok úpadku postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}, ak bude platiť (∀n > k)(a_{n} ≤ a_{k}). Nech U je množina všetkých začiatkov úpadku postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Ak U je nekonečná, možno ju zoradiť do rastúcej postupnosti {n_{k}}_{k=1}^{∞} prirodzených čísel; postupnosť {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} je potom nerastúca. Ak U je konečná, môžeme z {a_{n}}_{n=1}^{∞} vybrať rastúcu postupnosť {a_{n_{k}}}_{n=1}^{∞} nasledovne. Zvoľme n_{1} ∈ N tak, aby platilo (∀u ∈ U)(u < n_{1}). Keďže n_{1} nie je začiatok úpadku, existuje n_{2} > n_{1} tak, že a_{n_{2}} > a_{n_{1}}. Keďže ani n_{2} nie je začiatok úpadku, existuje n_{3} > n_{2} tak, že a_{n_{3}} > a_{n_{2}}, atď. (Vycifrovaný formálne korektný zápis prenechávame na čitateľa poučeného predchádzajúcim textom.)

2. Čitateľa, vyplašeného našimi skazkami o axióme výberu v poznámke v paragrafe .6, upozorňujeme, že ani jeden z uvedených dôkazov vety .40 sa nezakladá na tejto axióme (v prvom z uvedených dôkazov totiž vždy \underline{jednoznačne} určujeme, ktorý interval I, resp. bod a zvolíme, a druhý z uvedených dôkazov možno do takejto podoby ľahko upraviť); k axióme výberu sa uchyľujeme v situáciách, kedy takéto jednoznačné kritérium výberu nevieme nájsť.

3. Obdoba vety .40 platí aj pre neohraničené postupnosti:

Lema. Z každej zhora (zdola) neohraničenej postupnosti možno vybrať rastúcu (klesajúcu) postupnosť s limitou ∞ (−∞).

Dôkaz. V prípade zhora neohraničenej postupnosti stačí položiť n_{1} := min{n ∈ N; a_{n} > 1}, n_{k+1} := min{n ∈ N; n > n_{k} ∧ a_{n} ≥ a_{n_{k}} + 1}.

Cvičenie. (Limes superior a limes inferior postupnosti.)

34formulácia interval J obsahuje nekonečne veľa členov postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} znamená množina {n ∈ N ; a_{n} ∈ J} je nekonečná

35Tento spôsob tvorenia postupnosti {I_{n}}_{n=1}^{∞} sa nazýva konštrukcia indukciou. Postupnosť {I_{n}}_{n=1}^{∞} považujeme za danú, ak je daný člen I_{1} a postup, ktorým možno za predpokladu, že už poznáme členy I_{1}, I_{2}, …, I_{n}, skonštruovať prvok I_{n+1}.

36okrem toho sa snažíme vyhnúť sa použitiu axiómy výberu

Nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} je zhora ohraničená postupnosť, potom je množina M := {x ∈ R; (∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n >

N)(a_{n} ≤ x)} neprázdna. Ak M je zdola ohraničená, nazýva sa číslo inf M limes superior postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} a označuje sa lim sup_{n→∞} a_{n}. Ak M je zdola neohraničená, kladieme lim sup_{n→∞} a_{n} := −∞.

Pre zhora neohraničenú postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} definujeme jej limes superior rovnosťou lim sup_{n→∞} a_{n} := ∞.

1. a) Nech je daná postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Dokážte, že existuje jej podpostupnosť {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞}, ktorej limitou je lim sup_{n→∞} a_{n}. (Možno naviac požadovať, aby {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} bola neklesajúca postupnosť?)

b) Ak {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} je podpostupnosť postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} a lim_{k→∞} a_{n_{k}} = l, tak l ⪯ lim sup_{n→∞} a_{n} (symbol ≺ sme definovali pred paragrafom .24).

(Návod: Sporom; nech α := lim sup_{n→∞} a_{n}, z nerovnosti l ≻ α vyplýva existencia okolí O(l) a O(ε, α), ktoré sú disjunktné, preto

(∀x ∈ O(l))(x > α + ε) .  (57)

Keďže l = lim_{k→∞} a_{n_{k}}, v okolí O(l) leží nekonečne veľa členov postupnosti {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞}, a teda aj nekonečne veľa členov postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Z (57) potom vyplýva, že v intervale (α, α + ε) neleží žiadny prvok množiny M, čo je v spore s rovnosťou α = inf M.) △

Z (a) a (b) vidno, že lim sup_{n→∞} a_{n} je najväčší spomedzi tých prvkov usporiadanej množiny (R^{∗}, ≺), ktoré sú limitou niektorej postupnosti vybranej z {a_{n}}_{n=1}^{∞}.

Ako sa dá očakávať, existuje aj najmenší z týchto prvkov, ten sa nazýva limes inferior postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} a označuje sa lim inf_{n→∞} a_{n}. Pri definícii limes inferior postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} možno buď zopakovať postup, ktorý sme použili na začiatku tohto cvičenia pri definovaní pojmu limes superior, alebo limes inferior zaviesť rovnosťou

lim inf_{n→∞} a_{n} := − lim sup_{n→∞}(−a_{n})

(v tomto texte budeme za definíciu pojmu limes superior považovať práve uvedenú rovnosť).

Ďalšiu z možných definícií (pre prípad zdola ohraničenej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}) obsahuje nasledujúce cvičenie.

c) Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} je zdola (zhora) ohraničená postupnosť, tak lim inf_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞}(inf{a_{k}; k ≥ n} (lim sup_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞}(sup{a_{n}; k ≥ n})). Dokážte!

d) Postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} má limitu práve vtedy, keď platí rovnosť lim inf_{n→∞} a_{n} = lim sup_{n→∞} a_{n} (a touto limitou je spoločná hodnota limes inferior a limes superior). Dokážte!

2. Dokážte toto tvrdenie:

Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné: (a”) existujú postupnosti {x_{k}}_{k=1}^{∞}, {y_{k}}_{k=1}^{∞} ⊂ D(f)\{a} také, že lim_{k→∞} x_{k} = a = lim_{k→∞} y_{k}, ale postupnosti

{f(x_{k})}_{k=1}^{∞} a {f(y_{k})}_{k=1}^{∞} majú navzájom rôzne limity; (b”) neexistuje lim_{x→a} f(x). (Návod: Implikácia ”⇒” vyplýva z vety .39 (z nášho (a”) vyplýva totiž negácia tvrdenia (a) z uvedenej vety). ”⇐” Nech lim_{x→a} f(x) neexistuje; potom existuje postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} taká, že lim_{n→∞} a_{n} = a,

ale lim_{n→∞} f(a_{n}) neexistuje (veta z poznámky v paragrafe .39). To znamená, že lim inf_{n→∞} f(a_{n}) ≠ lim sup_{n→∞} f(a_{n}) (bod d predchádzajúceho cvičenia), preto existujú z {a_{n}}_{n=1}^{∞} vybrané postupnosti {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} a {a_{n_{l}}}_{l=1}^{∞} tak, že lim_{k→∞} f(a_{n_{k}}) = lim sup_{n→∞} a_{n} (bod a predchádzajúceho cvičenia), lim_{l→∞} f(a_{n_{l}}) = lim inf_{n→∞} f(a_{n}); pritom lim_{k→∞} a_{n_{k}} = a = lim_{l→∞} a_{n_{l}} (lema .38).

.41 Definícia. Hovoríme, že postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} je fundamentálna (alebo cauchyovská), ak

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n, p ∈ N, n, p > N)(|a_{n} − a_{p}| < ε) .  (58)

.42 Lema. Každá konvergentná postupnosť je fundamentálna.

Dôkaz. Jednoduchý dôkaz založený na úvahe ak pre všetky m > N je |a_{m} − a| ≤ ε, tak pre n, p > N platí

|a_{n} − a_{p}| = |(a_{n} − a) + (a − a_{p})| ≤ |a_{n} − a| + |a_{p} − a| < 2ε

prenechávame na čitateľa.

.43 Veta. (Cauchy, Bolzano) Každá fundamentálna postupnosť je konvergentná.

Dôkaz. Najprv dokážeme toto tvrdenie:

Lema. Ak fundamentálna postupnosť má konvergentnú podpostupnosť, tak je sama konvergentná.

Dôkaz. Nech {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} je konvergentná podpostupnosť fundamentálnej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}. Ukážeme, že číslo a := lim_{k→∞} a_{n_{k}} je aj limitou postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}, tj. že platí

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(|a_{n} − a| < ε) .  (59)

Zvoľme teda ε > 0 a hľadajme N. Podľa (58) existuje N ∈ N s vlastnosťou

(∀n, p ∈ N, n, p > N) (|a_{n} − a_{p}| < \frac{ε}{2}) ,

tj.

(∀p ∈ N, p > N)(∀n ∈ N, n > N) (|a_{n} − a_{p}| < \frac{ε}{2}) .  (60)

Ukážeme, že toto N vyhovuje našim požiadavkám.

Keďže lim_{k→∞} a_{n_{k}} = a, musí existovať n_{k} > N tak, že

|a_{n_{k}} − a| < \frac{ε}{2} ^{37}.  (61)

(60) platí pre každé p > N, platí teda špeciálne aj pre p = n_{k}, teda

(∀n ∈ N, n > N) (|a_{n} − a_{n_{k}}| < \frac{ε}{2}) .  (62)

Pretože z nerovností |a_{n} − a_{n_{k}}| < \frac{ε}{2} a |a_{n_{k}} − a| < \frac{ε}{2} vyplýva

|a_{n} − a| = |(a_{n} − a_{n_{k}}) + (a_{n_{k}} − a)| ≤ |a_{n} − a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}} − a| < ε ,

platí podľa (61) a (62)

(∀n ∈ N, n > N)(|a_{n} − a| < ε) ,

teda naše N skutočne vyhovuje požiadavkám z (59). Tým je dôkaz rovnosti lim_{n→∞} a_{n} = a skončený.△

Dôkaz Cauchyho-Bolzanovej vety už teraz bude stručný. Ukážeme, že každá fundamentálna postupnosť je ohraničená, podľa vety .40 z nej potom možno vybrať konvergentnú podpostupnosť a tvrdenie Cauchyho-Bolzanovej vety potom vyplýva z našej práve dokázanej lemy.

Zostáva teda dokázať implikáciu ak postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} je fundamentálna, tak je ohraničená. Podľa (58) existuje (k číslu ε = 1) číslo N ∈ N s vlastnosťou

(∀n, p ∈ N, n, p > N)(|a_{n} − a_{p}| < 1) ,

tj.

(∀p ∈ N, p > N)(∀n ∈ N, n > N)(|a_{n} − a_{p}| < 1) .

Keďže toto tvrdenie platí pre všetky p > N, platí iste pre p = N +1, čo – keďže nerovnosť |a_{n} −a_{N+1}| < 1 je ekvivalentná s nerovnosťami a_{N+1} − 1 < a_{n} < a_{N+1} + 1 – znamená, že platí

(∀n ∈ N, n > N)(a_{N+1} − 1 < a_{n} < a_{N+1} + 1) ,

a teda množina B := {a_{n} ; n > N} je ohraničená. Pretože A := {a_{n} ; n ∈ N} je zjednotenie konečnej, a teda ohraničenej, množiny {a_{1}, a_{2}, …, a_{N}} s ohraničenou množinou B, je aj A ohraničená množina, čím je naše tvrdenie dokázané.

Poznámka.

2. Na základe vety .43 a vety z poznámky v paragrafe .39 možno dokázať toto tvrdenie:

Veta. Funkcia f má v hromadnom bode a ∈ R^{∗} svojho definičného oboru konečnú limitu práve vtedy, keď platí

(∀ε > 0)(∃P (a))(∀x, y ∈ P (a) ∩ D(f))(|f(x) − f(y)| < ε) .  (63)

Dôkaz pre záujemcov len naznačíme: Dôkaz implikácie “⇒” je obdobou úvahy použitej pri odvodení lemy .42. Dôkaze implikácie ”⇐” založíme na ekvivalencii (a”)⇔(b”) z vety v poznámke z paragrafu .39: ak postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) \ {a} má limitu a, tak z (63) vyplýva, že postupnosť {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} je fundamentálna, a teda podľa vety .43 konvergentná.

37Dôkaz tohto “na prvý pohľad zrejmého” tvrdenia prenechávame na čitateľa; jedna z (viacerých) možností uvažovania je nasledovná: k číslu \frac{ε}{2} existuje – pretože lim_{k→∞} a_{n_{k}} = a – číslo K_{1} ∈ N tak, že pre k > K_{1} je |a_{n_{k}} − a| < \frac{ε}{2} ; množina A := {n_{k} ; k > K_{1}} je nekonečná množina prirodzených čísel (pretože {n_{k}}_{k=1}^{∞} je monotónna, a teda prostá postupnosť a množina {K_{1} + 1, K_{1} + 2, …} je nekonečná), preto nemôže byť podmnožinou konečnej množiny B := {1, 2, …, N}, teda musí existovať aspoň jeden prvok n_{k} ∈ A \ B.

6 Niektoré topologické pojmy

V tomto odseku zavedieme pojem otvorenej, uzavretej a kompaktnej množiny (a pre záujemcov naviac aj množiny typu F_{σ} a typu G_{δ}) a dokážeme niektoré základné tvrdenia o nich.

.44 Definícia. Číslo a ∈ R sa nazýva vnútorný bod množiny A ⊂ R, ak pre niektoré jeho okolie O(a) platí O(a) ⊂ A.

Množina A ⊂ R sa nazýva otvorená, ak každý jej bod je jej vnútorným bodom.

∅ považujeme za otvorenú množinu.

Množina B ⊂ R sa nazýva uzavretá, ak jej doplnok R \ B je otvorená množina.

Poznámka. 1. Dohodu, že množinu ∅ pokladáme za otvorenú, sme mohli v predchádzajúcej definícii vynechať (uvádzame ju tam len na zdôraznenie tejto skutočnosti), pretože to vyplýva priamo z našej definície založenej na pojme vnútorného bodu. Ak je totiž V (x) na R definovaná výroková forma “x je vnútorný bod množiny ∅”, musí byť výrok (∀x ∈ ∅)(V (x)) pravdivý, keďže jeho negácia (∃x ∈ ∅)(¬V (x)) je zrejme nepravdivá.

2. Po tragických skúsenostiach z minulosti dôrazne nabádame čitateľa, aby si uvedomil, že negáciou výrokovej formy množina B je otvorená \underline{nie je} výroková forma množina B je uzavretá. Existujú totiž množiny, ktoré nie sú otvorené ani uzavreté (napr. každý interval tvaru [a, b), kde a < b). Opačným prípadom sú množiny R a ∅, ktoré sú súčasne otvorené aj uzavreté (dá sa dokázať, že iná množina A ⊂ R už túto vlastnosť nemá).

.45 Lema. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné:

(a) množina B ⊂ R je uzavretá;

(b) B′ ⊂ B, kde B′ := {b ∈ R ; b je hromadný bod množiny B} ^{38}.

Dôkaz. (a) ⇒ (b). Ak B je uzavretá množina, je podľa definície .44 množina R \ B otvorená; ak teda c ∉ B, tj. c ∈ R \ B, tak existuje okolie O(c) bodu c s vlastnosťou O(c) ⊂ R \ B. V tomto okolí O(c) teda nemôže ležať žiadny prvok množiny B, čo znamená, že c nie je hromadný bod B. Tým sme dokázali implikáciu c ∉ B ⇒ c ∉ B′ ekvivalentnú s implikáciou c ∈ B′ ⇒ c ∈ B, tj. s inklúziou B′ ⊂ B.

(b) ⇒ (a). Nech c ∈ R\B; pretože B′ ⊂ B, nie je bod c hromadný bod množiny B, existuje teda jeho prstencové okolie P (c) s vlastnosťou P (c) ∩ B = ∅. Keďže súčasne c ∉ B, platí aj rovnosť O(c) ∩ B = ∅, kde O(c) := P (c) ∪ {c} je okolie bodu c. Z práve dokázanej inklúzie O(c) ⊂ R \ B vyplýva, že c je vnútorný bod množiny R \ B, a keďže táto úvaha platí pre každé c ∈ R \ B, je množina R \ B otvorená. To ale znamená, že B je uzavretá množina, čo sme chceli dokázať.

Poznámka. 1. Informáciu z predchádzajúcej lemy možno ešte doplniť:

Lema. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné:

(a) množina B ⊂ R je uzavretá;

(c) ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B je konvergentná postupnosť s limitou a, tak a ∈ B.

Dôkaz. Vzhľadom na už dokázanú ekvivalenciu (a) ⇔ (b) z predchádzajúcej lemy dokážeme implikácie (b) ⇒ (c) a (c) ⇒ (a).

(b) ⇒ (c). Ak {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B je konvergentná postupnosť s limitou a, môže nastať jedna z dvoch možností:

1. pre niektoré n ∈ N platí a_{n} = a; z inklúzie {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B potom vyplýva aj a ∈ B.

2. platí (*) (∀n ∈ N)(a_{n} ≠ a); v takom prípade je a hromadný bod množiny B (keďže a = lim_{n→∞} a_{n}, vyplýva z definície limity, že v každom okolí O(a) bodu a leží aspoň jeden prvok a_{N} postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B, ktorý je prvkom množiny B; podľa (*) je a_{N} ≠ a, tj. a_{N} leží v prstencovom okolí bodu a), inklúzia a ∈ B potom vyplýva z predpokladu B′ ⊂ B a inklúzie a ∈ B′.

(c) ⇒ (a). Budeme postupovať nepriamo. Ak B nie je uzavretá, znamená to (podľa definície .44), že R\B nie je otvorená množina. Existuje preto bod a ∈ R \ B, ktorý nie je vnútorným bodom množiny R \ B. To znamená, že každé okolie O(a) bodu a obsahuje prvky neležiace v R \ B, teda prvky z B. Vyberme niektorý z prvkov množiny B ležiacich v okolí O (\frac{1}{n} , a) a označme ho a_{n}. Ak tento výber urobíme pre každé n ∈ N, dostaneme

39 postupnosť \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} ⊂ B, ktorá konverguje k a (z inklúzie a_{n} ∈ O (\frac{1}{n} , a) vyplýva 0 ≤ |a_{n} − a| ≤ \frac{1}{n}, podľa

vety .25 potom lim_{n→∞} |a_{n} − a| = 0, čo je ekvivalentné s rovnosťou lim_{n→∞} a_{n} = a). Z existencie konvergentnej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B s limitou a ∉ B ovšem vyplýva tvrdenie ¬(c).

38štandardne používané (a priam sa núkajúce) slovné vyjadrenie inklúzie B′ ⊂ B, ktorým je formulácia B obsahuje všetky svoje hromadné body nemôžeme, žiaľ, použiť, keďže sme si k nemu sami zahatali cestu definíciou .4 (inak užitočnou), podľa ktorej za hromadný bod zhora (zdola) neohraničenej množiny B ⊂ R považujeme aj bod ∞ (−∞), ktorý zrejme nemôže byť prvkom B

39axióma výberu opäť medzi nami

2. V niektorých doplňujúcich úvahách využijeme toto tvrdenie:

Lema. Nech B ⊂ R. Potom B ∪ B′ je uzavretá množina.

Dôkaz. Nech a je hromadný bod množiny B ∪B′. Dokážeme, že a je aj hromadný bod množiny B, a leží teda iste v B ∪ B′; uzavretosť množiny B ∪ B′ bude potom vyplývať z lemy .45. V našich úvahách pritom využijeme, že pre každý bod x ∈ B ∪ B′ platí

(∀ε > 0)(O(ε, x) ∩ B ≠ ∅) .  (64)

Zvoľme ε > 0. Pretože a je hromadný bod množiny B ∪ B′, existuje číslo x ∈ B ∪ B′ ležiace v P (ε, a). Nech ε_{1} := min{|x − a|, a + ε − x, x − (a − ε)}, potom ε_{1} > 0 a O(ε_{1}, x) ⊂ P (ε, a). Podľa (64) v okolí O(ε_{1}, x) leží aspoň jeden prvok množiny B, z inklúzie O(ε_{1}, x) ⊂ P (ε, a) potom vyplýva P (ε_{1}, a) ∩ B ≠ ∅. Keďže táto úvaha platí pre každé ε > 0, je a hromadný bod množiny B.

.46 Lema. Nech {A_{α}; α ∈ I}, kde I je neprázdna množina indexov, je systém množín reálnych čísel ^{40} . Potom platí

(a) ak každá z množín A_{α} je otvorená, tak aj množina ⋃_{α∈I} A_{α} je otvorená;

(b) ak každá z množín A_{α} je uzavretá, tak aj množina ⋂_{α∈I} A_{α} je uzavretá. Ak množina I je naviac konečná, položme I = {1, 2, … n}. Potom

(c) ak každá z množín A_{1}, A_{2}; …, A_{n} je otvorená, tak aj množina ⋂_{i=1}^{n} A_{i} je otvorená;

(d) ak každá z množín A_{1}, A_{2}, …, A_{n} je uzavretá, tak aj množina ⋃_{i=1}^{n} A_{i} je uzavretá.

Dôkaz. (a) Označme A := ⋃_{α∈I} A_{α}. Ak x ∈ A, tak (podľa definície množiny ⋂_{α∈I} A_{α}) pre niektoré

α′ ∈ I platí inklúzia x ∈ A_{α′}. Keďže množina A_{α′} je podľa predpokladu otvorená, existuje okolie O(x) bodu x s vlastnosťou O(x) ⊂ A_{α′}. Z inklúzie A_{α′} ⊂ A potom vyplýva O(b) ⊂ A, čo znamená, že x je vnútorný bod množiny A. Keďže táto úvaha platí pre každý prvok x ∈ A, je množina A otvorená.

(c) Ak x ∈ A, tak pre každé i ∈ {1, 2, …, n} platí x ∈ A_{i}. Keďže množina A_{i} je otvorená, vyplýva z inklúzie x ∈ A_{i} existencia čísla ε_{i} > 0 takého, že O(ε_{i}, x) ⊂ A_{i}. Pre ε := min{ε_{1}, …, ε_{n}} potom platí

(∀i ∈ {1, 2, …, n})(O(ε, x) ⊂ O(ε_{i}, x) ⊂ A_{i}) , tj. O(ε, x) ⊂ ⋂_{i=1}^{n} A_{i} ,

čo znamená, že x je vnútorný bod množiny ⋂_{i=1}^{n} A_{i}. Tvrdenia (b) a (d) možno odvodiť z (a) a (c) použitím de Morganových pravidiel

⋂_{α∈I} A_{α} = R \ (⋃_{α∈I} (R \ A_{α})) a ⋃_{i=1}^{n} A_{i} = R \ (⋂_{i=1}^{n} (R \ A_{i})) .

Poznámka. Nasledujúce príklady ukazujú, že predpoklad I je konečná množina nemožno v tvrdeniach (c) a (d) vynechať. Ak položíme I = N, A_{n} := (− \frac{1}{n} , \frac{1}{n}), tak každá z množín A_{n} je otvorená, ale o množine ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = \{0\} to neplatí. Podobne v prípade I = N, A_{n} := (−1, \frac{1}{n}), kedy ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = (−1, 0]. Z uvedených príkladov už možno odvodiť príklady dokumentujúce nemožnosť vynechania uvedeného predpokladu aj v prípade (d), doplňme ich ešte jedným: pre I = N, A_{n} := [0, \frac{1}{n}] (teda všetky A_{n} sú uzavreté) je ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = [0, 1), čo zrejme nie je uzavretá množina.♠

V našich ďaších úvahách budú mať množiny, s príkladmi ktorých sme sa stretli v predchádzajúcej poznámke, istý význam.

.47 Definícia. Množina A ⊂ R sa nazýva množina typu G_{δ}, ak je možné ju písať v tvare najviac spočítateľného prieniku otvorených množín.

Množina B ⊂ R sa nazýva množina typu F_{σ}, ak je možné ju písať v tvare najviac spočítateľného zjednotenia uzavretých množín.

Poznámka. Z de Morganových pravidiel

R \ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = ⋂_{n=1}^{∞} (R \ A_{n}) a R \ ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = ⋃_{n=1}^{∞} (R \ A_{n})

40Uveďme tu niekoľko príkladov systémov množín reálnych čísel. V systéme {(x − 1, x + 1); x ∈ R} všetkých otvorených intervalov dĺžky 2 je indexovou množinou množina R a A_{x} := (x − 1, x + 1); v systéme {[a, b]; a, b ∈ R, a < b} všetkých nedegenerovaných uzavretých intervalov je indexovou množinou množina I všetkých usporiadaných dvojíc (a, b) ∈ R × R takých, že a < b; v systéme {O(ε, x); ε > 0, x ∈ R} všetkých okolí reálnych čísel je indexovou množinou množina R × R^{+}.

zrejme vyplýva tvrdenie množina B je typu F_{σ} práve vtedy, keď R \ B je typu G_{δ}.

Príklad. 1. Množina Q je typu F_{σ}, keďže Q = ⋃_{q∈Q}{q} (za indexovú množinu sme zvolili spočítateľnú množinu Q, jednoprvkové množiny {q} sú zrejme uzavreté).

2. Ukážeme teraz, že Q nie je typu G_{δ} (a teda R \ Q nie je typu F_{σ}). Využijeme pritom nasledujúce tvrdenie: Lema. Ak {A_{n} ; n ∈ N} je spočítateľný systém uzavretých množín taký, že ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = R, tak aspoň jedna z

množín A_{n} musí mať vnútorný bod.

Dôkaz. Sporom. Predpokladajme, že ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = R a žiadna z množín A_{n} nemá vnútorné body. Potom musí existovať bod c_{1} tak, že c_{1} ∉ A_{1} (inak by platilo A_{1} = R a každý bod množiny A_{1} by bol jej vnútorným bodom). Keďže A_{1} je uzavretá množina, je množina R\A_{1} otvorená, a existuje preto ε_{1} > 0 tak, že (c_{1}−ε_{1}, c_{1}+ε_{1}) ⊂ R\A_{1}. Označme I_{1} := [c_{1} − \frac{ε_{1}}{2} , c_{1} + \frac{ε_{1}}{2} ]. I_{1} je teda uzavretý ohraničený interval neobsahujúci prvky množiny A_{1}.

V intervale I_{1} musí ležať aspoň jeden bod c_{2} s vlastnosťou c_{2} ∉ A_{2} (keby totiž platilo I_{1} ⊂ A_{2}, bol by bod c_{1} vnútorný bod množiny A_{2}, čo podľa predpokladov nie je možné). Keďže R \ A_{2} je otvorená množina, existuje ε_{2} > 0 tak, že (c_{2} − ε_{2}, c_{2} + ε_{2}) ⊂ R \ A_{2}. Označme I_{2} := I_{1} ∩ [c_{2} − \frac{ε_{2}}{2} , c_{2} + \frac{ε_{2}}{2} ]. I_{2} je teda uzavretý ohraničený interval neobsahujúci prvky z A_{2}, pritom I_{2} ⊂ I_{1}.

Ak budeme týmto spôsobom postupovať ďalej, dostaneme postupnosť uzavretých ohraničených intervalov

I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ ⋯ ⊃ I_{n} ⊃ I_{n+1} ⊃ ⋯,

pričom interval I_{n} neobsahuje prvky množiny A_{n}. Podľa vety .36 má systém {I_{n}; n ∈ N} neprázdny prienik. Pre prvky x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} z inklúzie ⋂_{n=1}^{∞} I_{n} ⊂ I_{k} vyplýva x ∉ A_{k}. Keďže táto úvaha platí pre každé k ∈ N, dostávame

(∀k ∈ N)(x ∉ A_{k}) , tj. x ∉ ⋃_{k=1}^{∞} A_{k} ,

čo je ale v spore s predpokladom ⋃_{k=1}^{∞} A_{k} = R. Tým je dôkaz našej lemy skončený.△

Naše tvrdenie budeme tiež dokazovať sporom; predpokladajme, že množina Q je typu G_{δ}. Existujú teda spočítateľný systém {A_{n} ; n ∈ N} otvorených množín tak, že Q = ⋂_{n=1}^{∞} A_{n}. Označme B_{i} = R \ A_{i}. Množina B_{i} je potom uzavretá (lebo A_{i} bola otvorená) a neobsahuje vnútorné body (keby c ∈ B_{i} bol vnútorný bod množiny B_{i}, platilo by O(ε, c) ⊂ B_{i} pre niektoré ε > 0; keďže každý interval obsahuje aspoň jedno racionálne číslo, platila by pre niektoré q ∈ Q inklúzia q ∈ O(ε, c), a teda aj q ∈ B_{i}; potom ale q ∈ B_{i} ∩Q = B_{i} ∩⋂_{n=1}^{∞} A_{n} ⊂ B_{i} ∩A_{i} = ∅, inklúzia q ∈ ∅ je ovšem vytúžený spor). Z de Morganovho pravidla vyplýva ⋃_{n=1}^{∞} B_{n} = R\⋂_{n=1}^{∞}(R\B_{n}) = R\⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = R \ Q, teda množinu R \ Q možno písať v tvare zjednotenia spočítateľného systému B := {B_{n}; n ∈ N} uzavretých množín, ktoré nemajú vnútorné body. Každý prvok spočítateľného systému A := {{q}; q ∈ Q} je tiež uzavretá množina bez vnútorných bodov, zjednotením tohto systému je množina Q. Potom A ∪ B je spočítateľný systém uzavretých množín bez vnútorných bodov, zjednotením ktorého je množina R = Q ∪ (R \ Q). To je však v spore s tvrdením našej lemy, čím je dôkaz skončený.♠

Záver tohto odseku venujeme kompaktným množinám. Nasledujúce tvrdenie je sčasti nepovinným úvodom do tejto problematiky (,,nepovinnosť” sa týka implikácie (a)⇒(b)).

.48 Lema. Nech B ⊂ R. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

(a) z každej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v B;

(b) množina B je uzavretá a ohraničená.

Dôkaz. (b) ⇒ (a). Nech B je uzavretá a ohraničená, nech {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B. Keďže B (a teda aj {a_{n}}_{n=1}^{∞}) je ohraničená, možno z {a_{n}}_{n=1}^{∞} vybrať podľa vety .40 konvergentnú podpostupnosť s limitou a. Pretože B je uzavretá, vyplýva z poznámky za lemou .45 inklúzia a ∈ B.

(a) ⇒ (b). Treba dokázať implikáciu ak platí (a), tak B je uzavretá a implikáciu ak platí (a), tak B je ohraničená, začneme prvou z nich. Stačí dokázať, že z (a) vyplýva vlastnosť (c) z poznámky za lemou .45. Nech teda {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B je konvergentná postupnosť s limitou a. Podľa predpokladu (a) možno z {a_{n}}_{n=1}^{∞} vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v B. Keďže limitou tejto podpostupnosti môže byť len a (lema .38), platí a ∈ B, čo sme chceli dokázať.

Implikáciu ak platí (a), tak B je ohraničená dokážeme nepriamo. Ak B nie je ohraničená zhora, zostrojíme postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ B s limitou ∞, z lemy .38 potom vyplýva, že z {a_{n}}_{n=1}^{∞} už nemožno vybrať konvergentnú podpostupnosť (keďže všetky jej podpostupnosti divergujú k ∞).

Nech teda B nie je zhora ohraničená, tj. nech

(∀K ∈ R)(∃b ∈ B)(b > K) .

Zvoľme n ∈ N, množina {b ∈ B ; b > n} je neprázdna, vyberme jeden jej prvok a označme ho a_{n}. Ak to urobíme pre každé n ∈ N, dostaneme postupnosť ^{41} {a_{n}}_{n=1}^{∞} s vlastnosťou (∀n ∈ N)(a_{n} > n), z tejto nerovnosti už podľa lemy .19 (pre M = N, f(n) = n, g(n) = a_{n}) vyplýva lim_{n→∞} a_{n} = ∞.

Podobne možno pre zdola neohraničenú množinu B skonštruovať postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} s limitou −∞.

.49 Definícia. Systém množín {A_{α}; α ∈ I} sa nazýva otvorené pokrytie množiny A ⊂ R, ak A ⊂ ⋃_{α∈I} A_{α} a každá z množín A_{α} je otvorená.

Množina A ⊂ R sa nazýva kompaktná množina (alebo kompakt), ak z každého jej otvoreného pokrytia {A_{α}; α ∈ I} možno vybrať konečné podpokrytie (tj. existuje konečná množina J ⊂ I tak, že systém {A_{α}; α ∈ J} je otvorené pokrytie množiny A).

.50 Veta. Množina A ⊂ R je kompaktná práve vtedy, keď je uzavretá a ohraničená.

Dôkaz. “⇒” Dokážeme najprv implikáciu ak A je kompaktná, tak je ohraničená. Nech A_{n} := (−\frac{1}{n} \frac{1}{n}), potom A := {A_{n}; n ∈ N} je otvorené pokrytie množiny A (keďže platí ⋃ A = R), možno z neho teda – pretože A je kompakt – vybrať konečné podpokrytie B. Nech N := max{n; A_{n} ∈ B}, potom A ⊂ ⋃_{n=1}^{N} A_{n} = (−N, N), teda A je ohraničená množina.△

Dôkaz implikácie ak A je kompaktná, tak A je uzavretá je nepatrne dlhší. Treba dokázať (definícia .44), že každé číslo b ∈ R \ A je vnútorný bod množiny R \ A. Zvoľme teda pevne b ∈ R \ A. Ak x ∈ A, potom zrejme x ≠ b, a teda ε_{x} := \frac{|b−x|}{2} je kladné číslo, pre okolia O(ε_{x}, x) a O(ε_{x}, b) potom iste platí

O(ε_{x}, x) ∩ O(ε_{x}, b) = ∅ .  (65)

Systém {O(ε_{x}, x); x ∈ A} je otvorené pokrytie kompaktnej množiny A, existuje teda jeho konečné podpokrytie B = {O(ε_{x_{1}}, x_{1}), …, O(ε_{x_{n}}, x_{n})}. Nech ε := min{ε_{x_{1}}, …, ε_{x_{n}}}; dokážeme, že O(ε, b) ⊂ R \ A (odporúčame ovšem čitateľovi, aby si najprv sám rozmyslel, že to musí byť pravda). Sporom, nech pre niektoré a ∈ A platí

a ∈ O(ε, b) , tj. |b − a| < ε .  (66)

Keďže B je pokrytie množiny A, existuje j ∈ {1, 2, …, n} tak, že

a ∈ O(ε_{x_{j}}, x_{j}) , tj. |a − x_{j}| < ε_{x_{j}} .  (67)

Z (66), (67) a nerovnosti ε ≤ ε_{x_{j}} potom vyplýva

2ε_{x_{j}} = |b − x_{j}| = |(b − a) + (a − x_{j})| ≤ |b − a| + |a − x_{j}| < ε + ε_{x_{j}} ≤ 2ε_{x_{j}} ;

nerovnosť 2ε_{x_{j}} < 2ε_{x_{j}} ovšem zrejme nemôže platiť^{42}.

“⇐” Budeme postupovať sporom. Nech teda A je uzavretá a ohraničená množina, ktorá nie je kompaktná. Potom existuje jej otvorené pokrytie A, z ktorého nemožno vybrať konečné podpokrytie. Naše ďalšie úvahy budú teraz nápadne pripomínať dôkaz vety .40.

Nech I_{1} := [c_{1}, d_{1}] je interval s vlastnosťou A ⊂ I_{1} (existencia I_{1} vyplýva z ohraničenosti množiny A). Rozdeľme ho bodom b_{1} := \frac{c_{1}+d_{1}}{2} na intervaly I_{11} := [c_{1}, b_{1}], I_{12} := [b_{1}, d_{1}], vyberme ten z nich, ktorého prienik s množinou A nemožno pokryť konečným počtom množín z A (ak majú túto vlastnosť obidva, zvoľme I_{11}) a označme ho I_{2} a jeho koncové body c_{2} < d_{2}. Opakovaním tohto postupu získame postupnosť intervalov spĺňajúcich predpoklady (i) a (ii) vety .36, pričom

žiadnu z množín I_{n} ∩ A nemožno pokryť konečným počtom množín pokrytia A

(68)

O(ε, b) ∩ A ⊂ O(ε, b) ∩ ⋃_{n=1}^{N} O(ε_{x_{n}}, x_{n}) = ⋃_{n=1}^{N} (O(ε, b) ∩ O(ε_{x_{n}}, x_{n})) ⊂

⊂ ⋃_{n=1}^{N} (O(ε_{x_{n}}, b) ∩ O(ε_{x_{n}}, x_{n})) = ∅ ,

41axióma výberu večne živá

42Pokiaľ sa čitateľovi náš dôkaz sporom nepáčil, ponúkame mu tento priamy:

pričom posledná rovnosť vyplýva z (65).

(a teda zrejme každá z množín I_{n} ∩ A je nekonečná). Nech {a} = ⋂_{n=1}^{∞} I_{n}.

Keďže lim_{n→∞} |I_{n}| = lim_{n→∞} \frac{d_{1}−c_{1}}{2^{n−1}} = 0, má číslo a nasledujúcu vlastnosť

(∀ε > 0)(∃m ∈ N)(I_{m} ⊂ O(ε, a)) ,  (69)

z nej vyplýva – keďže každá z množín I_{m} obsahuje nekonečne veľa prvkov množiny A – že a je hromadný bod množiny A, a teda a ∈ A (lema .45). Keďže a ∈ A a A je otvorené pokrytie množiny A, existuje M ∈ A s vlastnosťou a ∈ M. Z otvorenosti množiny M vyplýva, že pre niektoré ε > 0 platí O(ε, a) ⊂ M (definícia .44). Z (69) potom ale vyplýva, že pre niektorý člen I_{m} našej postupnosti {I_{n}}_{n=1}^{∞} platí I_{m} ⊂ O(ε, a) ⊂ M, čo znamená, že interval I_{m} – a tým skôr aj množinu I_{m} ∩ A – možno pokryť jediným prvkom pokrytia A, čo je zrejme spor s (68).

Poznámka. Z lemy .48 a vety .50 vyplýva toto tvrdenie:

Veta. Nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

(a) množina A ⊂ R je kompkatná;

(b) z každej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ A možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita je prvkom množiny A.

.51 Lema. Ak A ⊂ R je kompaktná množina, tak existujú min A, max A.

Dôkaz. Keďže A je podľa vety .50 ohraničená, existujú sup A, inf A. Inklúziu sup A ∈ A dokážeme sporom. Ak a := sup A ∉ A, tak a je hromadný bod množiny A (dôkaz sa zakladá na rovnakej úvahe ako dôkaz bodu 2 implikácie (b)⇒(c) v poznámke za lemou .45), z lemy .45 potom vyplýva a ∈ A, čo je spor s predpokladom a ∉ A. Dôkaz inklúzie inf A ∈ A je rovnaký.

Part II

Spojité funkcie

7 Definícia spojitosti

.52 Definícia. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a ∈ D(f), ak platí

(∀O(f(a)))(∃O(a))(∀x ∈ O(a) ∩ D(f))(f(x) ∈ O(f(a))) ,  (70)

čo – keďže okolia čísel a, f(a) môžeme popísať ich polomermi δ a ε – je to isté ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D(f))(|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε) . ♠  (71)

:-) Výroky (70) a (71) nápadne pripomínajú zápis rovnosti lim_{x→a} f(x) = f(a), sú tu však dve odlišnosti:

• podstatná: nepredpokladáme, že a je hromadný bod definičného oboru D(f);

• nepodstatná: z (70) vidno, že nehľadáme prstencové okolie bodu a, ale okolie tohto bodu. (-:

Vzťahu limity a spojitosti je venovaný nasledujúci paragraf.

.53 Definícia. Číslo a ∈ R sa nazýva izolovaný bod množiny M ⊂ R, ak a ∈ M, ale a nie je hromadný bod množiny M, tj. ak platí

(∃O(a))(M ∩ O(a) = {a}) .

Lema. Nech je daná funkcia f, nech a ∈ D(f). Potom

(a) ak a je izolovaný bod množiny D(f), tak f je spojitá v bode a;

(b) ak a je hromadný bod množiny D(f), tak f je spojitá v bode a práve vtedy, keď lim_{x→a} f(x) = f(a).

Dôkaz. (a) Nech O je okolie bodu a s vlastnosťou O ∩ D(f) = {a}. Ak zvolíme O(f(a)) a budeme hľadať okolie O(a) spĺňajúce požiadavky z (70), zistíme, že vždy stačí položiť O(a) := O, pretože pre x ∈ O ∩ D(f) = {a} platí f(x) = f(a) ∈ O(f(a)).

(b) Stačí porovnať (71) a (10); zrejme platí (71)⇒(10); dôkaz opačnej implikácie vyplýva z faktu, že nerovnosť |f(x) − f(a)| < ε z (10) zostane iste zachovaná, ak za x zvolíme a. ♠

Obdobou vety .39 je v prípade spojitosti nasledujúce tvrdenie.

.54 Veta. Nech a je prvok definičného oboru funkcie f. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné: (a) pre každú postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ D(f) s limitou a platí lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(a);

(b) funkcia f je spojitá v bode a.

Dôkaz je verná kópia dôkazu vety .39 v paragrafe .6 (druhou, ale – ako čitateľ zistí – komplikovanejšou možnosťou, je odvodiť naše tvrdenie z vety .39.

.55 Veta. (a) Ak funkcie f a g s definičným oborom M sú spojité v bode a, tak aj funkcie f + g, f − g, fg sú spojité v a. Ak naviac g(a) ≠ 0, tak aj funkcia \frac{f}{g} je spojitá v bode a.

(b) Ak funkcia f je spojitá v bode a a funkcia g v bode f(a), tak funkcia g ∘ f je spojitá v bode a.

Dôkaz. (a) V prípade, že a je izolovaný bod množiny M, niet čo dokazovať (lema .53(a)). Ak a je hromadný bod množiny M, je to dôsledok vety .15 a lemy .53(b). △

Najrýchlejšia cesta dôkazu v prípade (b) je zopakovať (tento raz v jednoduchšej verzii) úvahy z dôkazu vety .17 ^{43}:

K O(g(f(a))) existuje O(f(a)) s vlastnosťou

y ∈ O(f(a)) ∩ D(g) ⇒ g(y) ∈ O(g(f(a))) ,  (72)

k O(f(a)) existuje okolie O(a) s vlastnosťou

x ∈ O(a) ∩ D(f) ⇒ f(x) ∈ O(f(a)) ,

z ktorej vyplýva

x ∈ O(a) ∩ D(g ∘ f) ⇒ f(x) ∈ O(f(a)) ∩ D(g) ;  (73)

z (73) a (72) už vyplýva naše tvrdenie.

.56 Definícia. Číslo a ∈ R sa nazýva bod nespojitosti funkcie f, ak a je hromadný bod množiny D(f), ktorý spĺňa jednu z nasledujúcich podmienok:

1. a ∉ D(f);

2. a ∈ D(f), ale lim_{x→a} f(x) buď neexistuje, alebo – ak existuje – je rôzna od f(a). ♠

Klasifikáciu bodov nespojitosti uvádzame v nasledujúcej tabuľke ^{44}.

43Môžeme – samozrejme – zopakovať postup z bodu (a) a odvodiť naše tvrdenie z lemy .53 a vety o limite zloženej funkcie; ako však uvidíme, je to komplikovanejšie než dôkaz, ktorý uvádzame v texte:

Ak a je izolovaný bod množiny D(g ∘ f), niet čo dokazovať. Ak a je hromadný bod množiny D(g ∘ f), sú dve možnosti.

1. f(a) je izolovaný bod množiny D(g), vtedy z predpokladu lim_{x→a} f(x) = f(a) (tj. zo spojitosti funkcie f v bode a)

vyplýva, že funkcia g∘f je konštantná na niektorom okolí O(a) bodu a (stačí zvoliť O(a) s vlastnosťou x ∈ O(a)∩D(g∘f) ⇒ f(x) ∈ O ∩ D(g), kde O je okolie bodu f(a) také, že O ∩ D(g) = {f(a)});

2. ak f(a) je hromadný bod množiny D(g), tak z predpokladu spojitosti vyplýva lim_{x→a} f(x) = f(a), lim_{y→f(a)} g(y) = g(f(a)) a naše tvrdenie vyplýva z vety .17 (v ktorej je splnená podmienka (c)).

44Žiadame čitateľa, aby sa nedal ohúriť zdanlivou komplikovanosťou vetviacich sa možností, vyhne sa tak depresiám a následnému rozhodnutiu buď skočiť z okna alebo sa nedajbože tabuľku naučiť naspamäť.

a je hromadný bod množiny D(f)

existuje vlastná lim_{x→a} f(x) =: b neexistuje lim_{x→a} f(x)

a ∈ D(f)

f(a) = b f(a) ≠ b a ∉ D(f) existujú konečné

navzájom rôzne jednostranné limity iné dôvody neexistencie lim_{x→a} f(x) existuje nevlastná lim_{x→a} f(x)

| _{odstrániteľná nespojitosť} |  _{neodstrániteľná nespojitosť}

spojitosť

|  body nespojitosti 1. druhu  |  body nespojitosti 2. druhu

Nasledujúcich 6 funkcií dokumentuje jednotlivé možnosti uvedené v štvrtom riadku našej tabuľky, vo všetkých prípadoch nás zaujíma spojitosť v bode a = 0:

f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ≠ 0 \\ 1 , ak & x = 0 \end{matrix} , f_{3}(x) = \frac{x^{2}}{x}, f_{4}(x) = [x] (kde [.] označuje celú časť), f_{5}(x) =

sin (\frac{1}{x}), f_{6}(x) = \frac{1}{x^{2}} .

.57 Cvičenie. Každé číslo a ∈ R je bod nespojitosti 2. druhu Dirichletovej funkcie

χ(x) = \{ \begin{matrix}0 , ak & x ∉ Q \\ 1 , ak & x ∈ Q \end{matrix} .

.58 Príklad. Nech f je monotónna funckia definovaná na intervale I. Potom (a) body nespojitosti funkcie f ležiace vnútri intervalu I sú neodstrániteľné body nespojitosti 1. druhu;

(b) množina všetkých bodov nespojitosti funkcie f je spočítateľná.

(a) Nech a je bod nespojitosti funkcie f ležiaci vnútri intervalu I. Podľa dôsledku .31 v a existujú konečné jednostranné limity. Keby sa tieto limity rovnali, vyplývala by z lemy .28 existencia limity lim_{x→a} f(x) a z nerovností v dôsledku .31 rovnosť lim_{x→a} f(x) = f(a), čo by znamenalo, že funkcia f je v bode a spojitá.

(b) Keďže množina všetkých bodov nespojitosti funkcie f je zjednotením množiny N všetkých jej bodov nespojitosti ležiacich vnútri intrevalu I s najviac dvojprvkovou množinou (ako ďalšie body nespojitosti totiž prichádzajú do úvahy už len krajné body intervalu I), stačí dokázať spočítateľnosť množiny N.

Predpokladajme najprv, že f je rastúca. Potom každému bodu nespojitosti a ∈ N možno priradiť otvorený interval I_{a} := ( lim_{x→a−} f(x), lim_{x→a+} f(x)); pritom pre a ≠ b je I_{a}∩I_{b} = ∅ (ak b < a, tak lim_{x→b+} f(x) ≤ f(a) ≤ lim_{x→a−} f(x), prvá nerovnosť vyplýva z dôsledku .30, pretože f(a) ∈ A := {f(x); x ∈ M_{+}} a lim_{x→b+} f(x) = inf A; rovnako možno uvažovať v prípade a < b). Systém I := {I_{⊣}; ⊣ ∈ N } je teda systém po dvoch disjunktných nedegenerovaných intervalov, preto je spočítateľný. Pretože zobrazenie p : N → I, p(a) = I_{a}, je bijekcia, je potom spočítateľná aj množina N. Tým je naše tvrdenie v prípade f rastúca dokázané.

Ak f je neklesajúca, je funkcia g : I → R, g(x) = x + f(x), rastúca, pritom – ako vyplýva z úvah použitých v dôkaze lemy .23 – množiny bodov nespojitosti funkcií f a g sú totožné. Keďže podľa predchádzajúceho je množina všetkých bodov nespojitosti funkcie g spočítateľná, je tým naše tvrdenie dokázané aj v prípade f neklesajúca.

V prípade f nerastúca stačí využiť, že −f je neklesajúca funkcia s tou istou množinou bodov nespojitosti.

Poznámka. 1. Rozbor charakteru bodov nespojitosti funkcie f možno pomocou viet .29 a .30 rozšíriť samozrejme aj na krajné body intervalu I. Nasledujúce tvrdenia sú len sľubným začiatkom, na ktorý čitateľ iste dychtivo nadviaže.

Nech f : I → R je neklesajúca funkcia a α je ľavý koncový bod intervalu I. Ak α ∈ R, ale α ∉ I, tak α je bod nespojitosti funkcie f, ktorý je neodstrániteľný, ak f nie je zdola ohraničená (vtedy totiž lim_{x→α} f(x) = −∞), a je odstrániteľný, ak f je zdola ohraničená.

Ak α ∈ I, tak

f(a) ≤ lim_{x→a+} f(x)  (74)

a funkcia je teda v bode α buď spojitá (ak v 74 platí rovnosť, alebo je to odstrániteľný bod nespojitosti (ak v 74 platí ostrá nerovnosť).

2. Tvrdenie (b) nášho príkladu už nemožno zlepšiť, možno totiž dokázať (čo urobíme neskôr v kapitole o číselných radoch) túto lemu.

Lema. Nech N je spočítateľná množina. Potom existuje rastúca funkcia f : R → R, pre ktorú je N množinou všetkých jej bodov nespojitosti.

.59 Príklad. Riemannova funkcia

r(x) = \{ \begin{matrix}0 , ak & x ∉ Q \\ \frac{1}{q} , ak & x = \frac{p}{q} , kde p ∈ Z, q ∈ N sú nesúdeliteľné \end{matrix}

je spojitá v každom iracionálnom čísle, každé racionálne číslo je jej odstrániteľný bod nespojitosti.

Dokážeme, že pre každé a ∈ R platí lim_{x→a} r(x) = 0, odtiaľ už – keďže r(a) = 0 pre a ∉ Q a r(a) ≠ 0 pre a ∈ Q – bude vyplývať naše tvrdenie.

:-) Stačí si uvedomiť, že – ak n ∈ N je pevne zvolené – hodnoty 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , …, \frac{1}{n} môže funkcia r nadobúdať \underline{len} v niektorom z bodov tvaru \frac{k}{n}, kde k ∈ Z, a že každý bod a ∈ R má prstencové okolie, ktoré už také body neobsahuje. (-:

Nech n ∈ N; ak A_{n} := \{\frac{k}{n}; k ∈ Z\}, tak pre x ∈ R \ A_{n} je 0 ≤ r(x) < \frac{1}{n}. Ak P (2, a) je prstencové okolie bodu a s polomerom 2, tak P (2, a) ∩ A_{n} ≠ ∅, ale v P (2, a) môže ležať len konečne veľa prvkov množiny A_{n}, preto existuje δ := min{|a − x|; x ∈ A_{n} ∩ P (2, a)}, pritom δ > 0 (z rovnosti δ = 0 by vyplývalo x = a pre niektoré x ∈ P (2, a) ∩ A_{n}, čo – keďže a ∉ P (2, a) – nie je možné). Potom P (δ, a) ∩ A_{n} = ∅, a teda platí

(∀x ∈ P (δ, a)) (|r(x)| < \frac{1}{n}) .

Keďže pre každé ε > 0 vieme nájsť n ∈ N tak, že \frac{1}{n} < ε, vyplýva z predchádzajúcich úvah pravdivosť tvrdenia

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(0 < |x − a| < δ ⇒ |r(x)| < ε) ,

čím je rovnosť lim_{x→a} r(x) = 0 dokázaná.

Poznámka. 1. Množina Q bodov nespojitosti funkcie r, ktorá – ako sme práve videli – má len odstrániteľné body nespojitosti, bola spočítateľná. Ukazuje sa, že to nie je náhoda; platí totiž toto tvrdenie:

Nech funkcia f : R → R má len odstrániteľné body nespojitosti. Potom množina všetkých jej bodov nespojitosti je spočítateľná.

Dôkaz naznačíme pre záujemcov len v poznámke^{45} pod čiarou a čitateľovi prenecháme tiež kontrolu správnosti dôkazu nasledujúcej lemy (ukazujúcej, že práve vyslovené tvrdenie už nemožno zlepšiť).

Lema. Nech N je spočítateľná množina. Potom existuje funkcia f : R → R taká, že množina N je množinou všetkých jej bodov nespojitosti.

Dôkaz. V prípade N konečná stačí položiť

f(x) = \{ \begin{matrix}0 pre & x ∈ R \ N \\ 1 pre & x ∈ N \end{matrix} .

Ak N je nekonečne spočítateľná, zoraďme ju do prostej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} a položme

f(x) = \{ \begin{matrix}0 pre & x ∈ R \ N \\ \frac{1}{n} pre & x = a_{n} \end{matrix} .

2. Človeku môže skrsnúť v hlave myšlienka ^{46}: keď existuje funkcia, ktorá je nespojitá len v racionálnych číslach, nedala by sa nejak zostrojiť aj funkcia f : R → R s R \ Q ako množinou všetkých bodov nespojitosti? Túto otázku zodpovieme (negatívne) v závere tohto odseku.

45Nech I := {(p, q) ∈ Q × Q; p < q}, nech A_{pq} := {a ∈ R; lim_{x→a} f(x) ≤ p < q ≤ f(a)}, B_{pq} := {a ∈ R; f(a) ≤ p < q ≤ lim_{x→a} f(x)}. Potom žiadne α ∈ R nie je hromadný bod množiny A_{pq} (keby α ∈ R bol hromadný bod množiny A_{pq}, existovala by postupnosť {a_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ A_{pq} s limitou α; z vlastnosti f(a_{n}) ≥ q by vyplývalo lim_{x→α} f(a) ≥ q, súčasne – pretože (∀n ∈ N)(lim_{x→a_{n}} f(x) ≤ p) – by bolo možné skonštruovať postupnosť \{b_{n}\}_{n=1}^{∞} tak, že |b_{n} − a_{n}| < \frac{1}{n}, f(b_{n}) < p + \frac{1}{n}; potom by ale muselo – keďže lim_{n→∞} b_{n} = α – platiť aj lim_{x→α} f(x) ≤ p, čo nie je možné, pretože p < q).

Rovnakú vlastnosť má aj každá z množín B_{pq}. Z tejto vlastnosti vyplýva, že každá z množín A_{pq}, B_{pq} je spočítateľná.

(Keby množina M s uvedenou vlastnosťou nebola spočítateľná, existovalo by i ∈ N tak, že v intervale [i, i + 1] by ležalo nekonečne veľa prvkov množiny M. Analógiou postupu z dôkazu vety .40 potom možno dokázať, že v [i, i+1] leží hromadný bod množiny M.) Pre množinu N všetkých bodov nespojitosti funkcie f platí N = ⋃_{(p,q)∈I}(A_{pq} ∪ B_{pq}); keďže množina I aj každá z množín A_{pq}, B_{pq} pre (p, q) ∈ I je spočítateľná, je spočítateľná aj množina N.

46stávajú sa také veci

.60 Definícia. Funkcia f sa nazýva spojitá, ak je spojitá v každom bode svojho definičného oboru. Ak ∅ ≠ M ⊂ D(f) a funkcia f|_{M} je spojitá, hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M.

Dôležité upozornenie. Naša definícia spojitosti na množine \underline{nie je} ekvivalentná s často sa vyskytujúcou definíciou funkcia f : D(f) → R je spojitá na množine M, ak f je spojitá v každom bode množiny M; to ukazuje príklad Dirichletovej funkcie χ; χ|Q je totiž spojitá funkcia, ale χ nie je spojitá v žiadnom bode množiny Q. Podobne funkcia [.] (celá časť) je (podľa našej definície) spojitá na intervale [0, 1), ale nie je pravda, že je spojitá v každom bode tohto intervalu (bod 0 je neodstrániteľný bod nespojitosti).

Príklad. Zo (stále ešte nedokázaného) tvrdenia vety .12 vyplýva:

Každá elementárna funkcia je spojitá.

Poznámka. Zavedená terminológia môže pôsobiť trocha nezvyčajným dojmom; napr. (elementárna) funkcia \frac{1}{x^{2}} je spojitá, ale 0 je jej (neodstrániteľný) bod nespojitosti.

Ak zvolíme trochu iný uhol pohľadu, zistíme, že napriek tomu nie sú naše pojmy až tak nezmyselne zvolené: Ak číslo a ∈ R je odstrániteľný bod nespojitosti funkcie f : M → R, pričom a ∉ M, je funkcia f_{1} : M ∪ {a} → R,

f_{1}(x) = \{ \begin{matrix}f(x) pre & x ∈ M \\ lim_{x→a} f(x) pre & x = a \end{matrix} , spojitá v bode a (o funkcii f_{1} niekedy hovoríme ako o funkcii f spojito

dodefinovanej v bode a; takýmto spôsobom možno napríklad spojitú funkciu e^{− \frac{1}{x^{2}}} definovanú na R \ \{0\} rozšíriť na spojitú funkciu s definičným oborom R). Skutočnosť, že 0 je neodstrániteľný bod nespojitosti funkcie \frac{1}{x^{2}} , z tohto hľadiska znamená, že funkciu \frac{1}{x^{2}} nemožno v bode 0 spojito dodefinovať (teda zväčšenie jej definičného oboru o bod nespojitosti je možné len za cenu straty spojitosti) ^{47}.

Na záver tohto odseku ukážeme, ako možno spojitosť funkcie popísť pomocou pojmu oscilácie.

.61 Definícia. Nech je daná funkcia f. Ak ∅ ≠ M ⊂ D(f) a f je ohraničená na M, nazýva sa číslo

ω(f, M) := sup_{x∈M} f(x) − inf_{x∈M} f(x)

oscilácia funkcie f na množine M.

Poznámka. Pre ∅ ≠ N ⊂ M je sup_{x∈N} f(x) ≤ sup_{x∈M} f(x), inf_{x∈N} f(x) ≥ inf_{x∈M} f(x), preto ω(f, N) ≤ ω(f, M). Z tejto úvahy vyplýva: ak f je ohraničená v niektorom okolí O(γ, a) bodu a ∈ D(f) (tj. na množine O(γ, a) ∩ D(f)), tak funkcia Δ : [0, γ] → R, Ω(δ) = ω(f, O(δ, a) ∩ D(f)) je neklesajúca a nezáporná. Preto podľa dôsledku .30 existuje lim_{δ→0+} ω(f, O(δ, a) ∩ D(f)).

47V tejto úvahe sme sa obmedzili len na jeden bod nespojitosti, možno ju však vykonať aj všeobecne:

Nech N je množina všetkých bodov nespojitosti funkcie f : M → R, nech N ∩ M = ∅; označme N_{0} množinu všetkých odstrániteľných bodov nespojitosti. Potom funkcia f_{1} : M ∪ N_{0} → R, f_{1}(x) = \{ \begin{matrix}f(x) pre & x ∈ M \\ lim_{x→a} f(x) pre & a ∈ N_{0} \end{matrix} je spojitá.

:-) Skôr než naznačíme dôkaz, mal by si čitateľ uvedomiť, že zdôvodnenie nie je na rozdiel od predchádzajúceho prípadu uvažujúceho len jeden bod odstrániteľnej nespojitosti až také bezprostredne zrejmé. Dodefinovanie funkcie f : M → R v jedinom bode totiž nezmení – čo sa týka existencie limít – situáciu v bodoch množiny M (každý bod z M má totiž okolie, na ktorom sa funkcie f a f_{1} zhodujú), v prípade dodefinovania funkcie f na množine N_{0} (ktorá môže byť nekonečná), to nie je už také jasné na prvý pohľad. (-:

Myšlienka dôkazu je nasledovná: Ak a ∈ M ∪ N_{0} je hromadný bod množiny M ∪ N_{0}, tak je aj hromadný bod množiny M (pozri dôkaz lemy z poznámky 2 v paragrafe .45), preto existuje lim_{x→a} f(x) = f_{1}(a). Ak zvolíme ε > 0, existuje okolie O(a) tak, že

(∀x ∈ O(a) ∩ M) (|f(x) − f_{1}(a)| < \frac{ε}{2})  (75)

Ak y ∈ N_{0} ∩O(a), tak f_{1}(y) = lim_{x→y} f(x) a z nerovnosti (75) vyplýva |f_{1}(y)−f_{1}(a)| ≤ \frac{ε}{2} < ε (veta .24), čím sme dokázali výrok

(∀x ∈ O(a) ∩ (M ∪ N_{0}))(|f_{1}(x) − f_{1}(a)| < ε) . ♠

Takto definovaná funkcia f_{1} už nemá odstrániteľné body nespojitosti. (Sporom; predpokladajme, že a je odstrániteľný bod nespojitosti funkcie f_{1}, potom a je hromadný bod množiny M ∪ N_{0}, a teda aj hromadný bod množiny M. Z existencie konečnej lim_{x→a} f_{1}(x) potom vyplýva aj existencia konečnej lim_{x→a} f(x), a teda a ∈ N_{0} ⊂ D(f_{1}). To je ale spor, pretože funkcia f_{1} je spojitá v každom bode svojho definičného oboru.)

Špeciálne platí: ak N = N_{0}, tak funkcia f_{1} už nemá body nespojitosti . (Množina M ∪ N_{0} = M ∪ N je totiž uzavretá (lema z popznámky 2 v paragrafe .45; prvky množiny M′ ležia totiž buď v M alebo sú to body nespojitosti funkcie f) a z lemy .45 vyplýva, že spojitá funkcia definovaná na uzavretej množine nemá body nespojitosti.)

Definícia. Ak funkcia f je ohraničená v niektorom okolí bodu a ∈ D(f), nazýva sa číslo

ω(f, a) := lim_{δ→0+} ω(f, O(δ, a) ∩ D(f))

oscilácia funkcie f v bode a.

.62 Cvičenie. Ak funkcia f : I → R je na intervale I ohraničená a bod a je vnútorný bod intervalu I, tak ω(f, a) ≤ ω(f, I).

.63 Lema. Funkcia f je v bode a ∈ D(f) spojitá práve vtedy, keď ω(f, a) = 0. ^{48}

Dôkaz je založený na nasledujúcich úvahách:

“⇒”: ak pre každé x ∈ O(δ, a) ∩ D(f) platí |f(x) − f(a)| < ε, tak – keďže |f(x) − f(a)| < ε je ekvivalentné s nerovnosťami f(a) − ε < f(x) < f(a) + ε – platí sup_{x∈O(δ,a)∩D(f)} f(x) ≤ f(a) + ε, inf_{x∈O(δ,a)∩D(f)} f(x) ≥ f(a) − ε, a teda ω(f, O(δ, a) ∩ D(f)) ≤ 2ε;

“⇐”: ak ω(f, O(δ, a)∩D(f)) ≤ ε, tak pre všetky x ∈ O(δ, a)∩D(f) platí |f(x)−f(a)| ≤ sup_{x∈O(δ,a)∩D(f)} f(x)− inf_{x∈O(δ,a)∩D(f)} f(x) = ω(f, O(δ, a) ∩ D(f)) < ε.

Podrobnú realizáciu prenechávame na čitateľa.

.64 Lema. Nech f je funkcia definovaná na R, nech ε > 0. Potom množina A_{ε} := {x ∈ R ; f je ohraničená v niektorom okolí bodu x a ω(f, x) < ε} je otvorená.

Dôkaz. Ak A_{ε} = ∅, je tvrdenie zrejme pravdivé, pretože ∅ je otvorená množina.

Nech teraz A_{ε} ≠ ∅, nech a ∈ A_{ε}. Keďže ε > ω(f, a) := lim_{δ→0+} ω(f, O(δ, a)), existuje Δ > 0 tak, že ω(f, O(Δ, a)) < ε (funkcia g(δ) = ε − ω(f, O(δ, a)) má v bode 0 kladnú limitu, preto je na niektorom okolí tohto bodu zdola ohraničená kladnou konštantou (lema .10(b)), teda pre niektoré Δ > 0 je iste g(Δ) > 0). Pre každé x ∈ O(Δ, a) potom platí ω(f, x) ≤ ω(f, O(Δ, a)) < ε (cvičenie .62). To ale znamená, že O(Δ, a) ⊂ A_{ε}, teda a je vnútorný bod množiny A_{ε}. Keďže táto úvaha platí pre každé a ∈ A_{ε}, je A_{ε} otvorená množina.

.65 Dôsledok. Nech f je funkcia definovaná na R. potom množina S všetkých bodov, v ktorých je f spojitá, je množina typu G_{δ}; množina N všetkých bodov nespojitosti funkcie f je množina typu F_{σ}.

Dôkaz. Z lemy .63 vyplýva rovnosť S = ⋂_{n=1}^{∞} A_{\frac{1}{n}}, kde A_{\frac{1}{n}} je množina A_{ε} z predchádzajúcej lemy pre ε = \frac{1}{n}. Keďže každá z množín A_{\frac{1}{n}} je otvorená, znamená to, že množina S je typu G_{δ}. Z rovnosti N = R \ S vyplýva, že N je potom typu F_{σ} (poznámka za definíciou .47).

Príklad. 1. Teraz už môžeme zodpovedať otázku z poznámky 2 za príkladom .59. Keďže množina Q nie je typu G_{δ} (príklad 2 za definíciou .47), nemôže existovať funkcia f : R → R, ktorá by bola spojitá len v bodoch množiny Q.

2. Ukážeme teraz, že informáciu z dôsledku .65 už nemožno zlepšiť. Platí totiž nasledujúce tvrdenie.

Lema. Nech M je množina typu G_{δ}. Potom existuje funkcia f : R → R, ktorá je spojitá práve v bodoch množiny M.

Dôkaz. Nech {A_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť otvorených množín taká, že M = ⋂_{n=1}^{∞} A_{n}. Nech B_{n} := A_{1} ∩ A_{2} ∩ … ∩ A_{n}, potom M = ⋂_{n=1}^{∞} B_{n} a {B_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť otvorených množín (lema .46(c)) taká, že B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ B_{3} · · · . Označme C_{1} := R \ B_{1}, C_{n+1} := B_{n} \ B_{n+1} (n ∈ N) a definujme funkciu f predpisom

f(x) = \{ \begin{matrix}0 pre & x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} B_{n} \\ \frac{1}{n} pre & x ∈ C_{n} ∩ Q \\ − \frac{1}{n} pre & x ∈ C_{n} \ Q \end{matrix} .

V našich ďalších úvahách využijeme nerovnosť

(∀x ∈ B_{k}) (|f(x)| < \frac{1}{k} ) ,  (76)

48trochu ležérnym vyjadrením keď ω(f, a) = 0 myslíme (podobne ako v prípade limít) keď ω(f, a) existuje a rovná sa 0

ktorá vyplýva z rovnosti B_{k} = ⋃_{i=k+1}^{∞} C_{i} ∪ ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}. ^{49} △ Nech a ∈ ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}, ukážeme, že f je spojitá v bode a, tj. že

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O(δ, a))(|f(x)| < ε) .

Nech je teda dané ε > 0, nájdime N ∈ N tak, aby platilo \frac{1}{N} < ε. Keďže a ∈ ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}, platí aj a ∈ B_{N}. Pretože B_{N} je otvorená množina, existuje δ > 0 tak, že O(δ, a) ⊂ B_{N}, podľa (76) potom platí

(∀x ∈ O(δ, a))(|f(x)| < \frac{1}{N} < ε) ,

čo znamená, že naše δ má požadovanú vlastnosť. △ Ak a ∉ ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}, je iste f(a) ≠ 0. Bod a má na výber z dvoch možností:

1. V každom okolí bodu a ležia prvky z ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}; potom ale v každom okolí bodu a nadobúda funkcia f aj nulové hodnoty, a teda – keďže f(a) ≠ 0 – nemôže byť v bode a spojitá (ak totiž f(a) > 0 a f by bola spojitá v bode a, tak podľa lemy .10(b) by f v niektorom okolí bodu a nadobúdala len kladné hodnoty; podobné úvahy sa vzťahujú na prípad f(a) < 0).

2. Existuje γ > 0 tak, že O(γ, a)∩⋂_{n=1}^{∞} B_{n} = ∅. Potom každé okolie O(δ, a) pre 0 < δ < γ obsahuje racionálne aj iracionálne čísla neležiace v množine ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}, a funkcia f teda v každom z týchto okolí nadobúda kladné aj záporné hodnoty. Keďže f(a) ≠ 0, nemôže byť f v bode a spojitá (zdôvodnenie je rovnaké ako v predchádzajúcom bode).

8 Vlastnosti spojitých funkcií definovaných na intervale

.66 Veta. Nech f je spojitá funkcia definovaná na intervale I. Ak existujú body a, b ∈ I, a < b, tak, že f(a)f(b) < 0, ^{50} tak pre niektoré c ∈ (a, b) platí f(c) = 0.

Dôkaz. Predpokladajme f(a) < 0 < f(b) (v prípade f(a) > 0 > f(b) stačí potom už dokázané tvrdenie aplikovať na funkciu −f), nech A := {x ∈ [a, b]; f(x) < 0}. Množina A je neprázdna (a ∈ A) a zhora ohraničená (A ⊂ [a, b]), preto existuje c := sup A, pritom – keďže a ∈ A a číslo b je horné ohraničenie množiny A – platí c ∈ [a, b]. Ukážeme, že nemôže platiť 1. f(c) < 0 ani 2. f(c) > 0 ; odtiaľ už bude vyplývať rovnosť f(c) = 0 a súčasne – keďže f(a) ≠ 0, f(b) ≠ 0 – aj inklúzia c ∈ (a, b). V našich úvahách využijeme, že f(c) = lim_{x→c} f(x), keďže f je spojitá v bode c.

1. Budeme dokazovať sporom; nech f(c) < 0, potom c < b. Z rovnosti lim_{x→c} f(x) = f(c) a predpokladu f(c) < 0 vyplýva (lema .10(c)) existencia čísla δ_{1} s vlastnosťou

(∀x ∈ O(δ_{1}, c) ∩ I)(f(x) < 0) .

Pre číslo δ := min{δ_{1}, b − c} potom platí δ > 0 a

(∀x ∈ [c, c + δ))(f(x) < 0) .

To ale znamená, že A musí obsahovať všetky čísla z intervalu [c, c + δ), čo nie je možné, keďže c je horné ohraničenie množiny A. Z tohto sporu vyplýva, že nerovnosť f(c) < 0 nemôže platiť.

2. Z nerovnosti f(c) > 0 by vyplývalo c > a; podobne ako v predchádzajúcom bode by z lemy .10(b) bolo možné odvodiť existenciu čísla δ > 0 s vlastnosťou

(∀x ∈ (c − δ, c])(f(x) > 0) ,

z ktorej by vyplývalo, že interval (c − δ, c] neobsahuje prvky množiny A. To je ale v spore s rovnosťou c = sup A; podľa druhej vlastnosti supréma totiž platí

(∀δ > 0)((c − δ, c] ∩ A ≠ ∅) .

49Inklúzia “⊃” vyplýva z inklúzií ⋂_{n=1}^{∞} B_{n} ⊂ B_{k}, C_{i} ⊂ B_{i} ⊂ B_{k}, i ≥ k + 1. Naopak; ak x ∈ B_{k}, tak x buď leží v ⋂_{n=1}^{∞} B_{n} (a v takom prípade už netreba viacej dokazovať) alebo tam neleží. Ak x ∈ B_{k} neleží v ⋂_{n=1}^{∞} B_{n}, tak x ∉ B_{N} pre niektoré N ∈ N. Z inklúzie B_{n} ⊂ B_{N} pre n ≥ N potom vyplýva (∀n ≥ N)(x ∈ B_{n}), preto existuje m := max I, kde I := {n ∈ N; x ∈ B_{n}} (keďže k ∈ I, je I ≠ ∅), zrejme m ≥ k; potom platí x ∈ B_{m} \ B_{m+1} = C_{m+1}.

50podmienka f(a)f(b) < 0 je len elegantná skratka zápisu (f(a) < 0 ∧ f(b) > 0) ∨ (f(a) > 0 ∧ f(b) < 0)

Poznámky. 1. Alternatívny dôkaz uvedeného tvrdenia dostaneme, ak namiesto množiny A budeme uvažovať množinu B := {x ∈ [a, b]; f(x) > 0}, ktorá je neprázdna a zdola ohraničená. Za povšimnutie stojí, že číslo c s vlastnosťou f(c) = 0 získané týmto postupom nemusí byť totožné s číslom c, ktoré sme našli v našom pôvodnom dôkaze (vhodný príklad si čitateľ dokáže iste zostrojiť sám).

2. Je treba si uvedomiť, že existencia čísla c vyplývala z vety o supréme. Keby sme namiesto množiny R pracovali v našich úvahách s množinou Q (pre ktorú – ako vieme – uvedená veta neplatí), nemuselo by už tvrdenie zodpovedajúce vete .66 byť pravdivé. Príslušná analógia pre Q by mala podobu: Nech I je interval v množine Q (tj. I ⊂ Q je neprázdna množina s vlastnosťou

(∀α, β ∈ I)(∀x ∈ Q)(α < x < β ⇒ x ∈ I) ) ,

nech f : I → Q je spojitá funkcia, pričom pre niektoré a, b ∈ I, a < b, platí f(a)f(b) < 0. Potom f(c) = 0 pre niektoré c ∈ I, a < c < b. Nepravdivosť tohto tvrdenia dokazuje jednoduchý príklad I = Q, f(x) = x^{2} − 2, a = 1, b = 2.

3. Dôsledkom vety .66 je nasledujúce tvrdenie:

Ak spojitá funkcia f definovaná na intervale I nemá v žiadnom bode x ∈ I hodnotu 0, tak f nadobúda na I buď len kladné alebo len záporné hodnoty.

Špeciálne platí

Ak a, b, a < b, sú dva susedné nulové body spojitej funkcie f definovanej na intervale I, tak f na (a, b) nadobúda buď len kladné alebo len záporné hodnoty.

4. Elegantným doplnkom vety .66 zaručujúcej existenciu koreňa rovnice f(x) = 0 je metóda polenia intervalu, umožňujúca nájsť koreň rovnice f(x) = 0 s ľubovoľnou presnosťou:

Nech f je spojitá funkcia definovaná na intervale I, nech a_{1}, b_{1} ∈ I, a_{1} < b_{1}, f(a_{1}) < 0 < f(b_{1}). Označme I_{1} := [a_{1}, b_{1}], nech c_{1} := \frac{a_{1}+b_{1}}{2} . Ak f(c_{1}) = 0, našli sme koreň rovnice f(x) = 0; ak f(c_{1}) ≠ 0, vyberme ten z intervalov I_{11} := [a_{1}, c_{1}], I_{12} := [c_{1}, b_{1}], v koncových bodoch ktorého má funkcia f opačné znamienka (tj. I_{11} v prípade f(c_{1}) > 0, I_{12} v prípade f(c_{1}) < 0) označme ho I_{2} a jeho koncové body a_{2} < b_{2}. Nech c_{2} := \frac{a_{2}+b_{2}}{2} . Ak f(c_{2}) = 0, je c_{2} koreň rovnice f(x) = 0; ak f(c_{2}) ≠ 0, vyberme ten z intervalov I_{21} := [a_{2}, c_{2}], I_{22} := [c_{2}, b_{2}], v koncových bodoch ktorého … atď.

Ak náš postup neskončí po konečnom počte krokov (čo je možné len tak, že pre niektoré n ∈ N platí f(c_{n}) = 0), dostaneme postupnosť {I_{n}}_{n=1}^{∞} vložených intervalov, ktorých prienikom je jednoprvková množina {c}. Potom z nerovností a_{n} < 0 < b_{n}, n ∈ N – keďže lim_{n→∞} a_{n} = c = lim_{n→∞} b_{n} – a zo spojitosti funkcie f v bode c vyplýva

0 ≥ lim_{n→∞} a_{n} = lim_{x→c−} f(x) = f(c) = lim_{x→c+} f(x) = lim_{n→∞} f(b_{n}) ≥ 0 ,

teda c je koreň rovnice f(x) = 0, nerovnosti a_{n} ≤ c ≤ b_{n}, n ∈ N, pritom umožňujú odhad čísla c zhora aj zdola.♠

Dôležitým dôsledkom vety .66 je tvrdenie .68.

.67 Definícia. Hovoríme, že funkcia f definovaná na intervale I je darbouxovská (alebo že má Darbouxovu vlastnosť ), ak f zobrazí každý interval J ⊂ I na degenerovaný alebo nedegenerovaný interval (tj. pre každý interval J ⊂ I je množina f(J) buď jednoprvková alebo je to nedegenerovaný interval).

Príklad. Dirichletova a Riemannova funkcia zrejme nie sú darbouxovské. ♠

Dôkaz nasledujúcej lemy (založený len na dôslednom používaní definície množina I ⊂ R je (degenerovaný alebo nedegenerovaný) interval práve vtedy, keď pre každé α, β, γ ∈ R, α < β < γ, platí: ak α, γ ∈ I, tak aj β ∈ I) prenechávame na čitateľa.

Lema. Nech f je funkcia definovaná na intervale I. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

(a) f je darbouxovská;

(b) pre každé a, b ∈ I také, že a < b a f(a) ≠ f(b), platí: ak y je prvok otvoreného intervalu J s koncovými bodmi f(a), f(b) (tj. J = (f(a), f(b)) v prípade f(a) < f(b), J = (f(b), f(a)) pre f(b) < f(a)), tak pre niektoré c ∈ (a, b) je f(c) = y.

Poznámka. Štandardné slovné vyjadrenie vlastnosti (b) z predchádzajúcej lemy znie: funkcia f nadobúda na intervale [a, b] všetky hodnoty medzi f(a) a f(b).

.68 Veta. Spojitá funkcia definovaná na intervale je darbouxovská.

Dôkaz. Nech interval I je definičný obor spojitej funkcie f. Dokážeme, že f má vlastnosť (b) z lemy v paragrafe .67, tj. že na každom intervale [a, b] ⊂ I nadobúda f všetky hodnoty medzi f(a) a f(b).

Nech teda a, b ∈ I, a < b, f(a) ≠ f(b), nech y je prvok otvoreného intervalu s koncovými bodmi f(a), f(b). Definujme funkciu f_{y} : I → R predpisom f_{y}(x) = f(x)−y; potom f_{y} je spojitá a f_{y}(a)f_{y}(b) < 0, preto podľa vety .66 pre niektoré c ∈ (a, b) platí f_{y}(c) = 0, tj. f(c) = y. Tým je naše tvrdenie dokázané.

Poznámka. Tvrdenie predchádzajúcej vety nemožno vo všeobecnosti “obrátiť”, tj. výrok ak funkcia f definovaná na intervale je darbouxovská, tak je aj spojitá je nepravdivý. Klasickým príkladom je funkcia

f(x) = \{ \begin{matrix}sin \frac{1}{x} pre & x ≠ 0 \\ 0 pre & x = 0 \end{matrix} ,

ktorá nie je spojitá v bode 0, ale je darbouxovská (pri overovaní tejto skutočnosti stačí kontrolovať obrazy intervalov J ⊂ R obsahujúcich bod 0; ak totiž 0 ∉ J, je funkcia f|_{J} spojitá (funkcia sin \frac{1}{x} je elementárna funkcia s definičným oborom R \ {0}), podľa predchádzajúcej vety je potom množina (f|_{J}) (J) = f(J) interval).

Ako ukazuje veta .70, postačujúcou podmienkou zaručujúcou platnosť takto “obráteného” tvrdenia vety .68 je monotónnosť funkcie f.

Dôsledok. Spojitá funkcia f definovaná na intervale I je prostá práve vtedy, keď je rýdzomonotónna. Dôkaz. Implikácia “⇐” (ktorá platí aj bez predpokladu spojitosti) by mala byť zrejmá. “⇒” Dokážeme, že f je rýdzomonotónna na každom intervale [a, b] ⊂ I. Odtiaľ už bude vyplývať, že

f je rýdzomonotónna, na základe tejto úvahy ^{51}:

Keby f : I → R bola prostá, bola rýdzomonotónna na každom intervale [a, b] ⊂ I a nebola rýdzomonotónna, existovali by čísla a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} ∈ I, pre ktoré by platilo

a_{1} < b_{1} ∧ f(a_{1}) > f(b_{1}) , a_{2} < b_{2} ∧ f(a_{2}) < f(b_{2})  (77)

(existencia dvojice (a_{1}, b_{1}) vyplýva z predpokladu, že f nie je rastúca na I a z injektívnosti f; existencia dvojice (a_{2}, b_{2}) z predpokladu, že f nie je klesajúca na I a z injektívnosti f). Nech a := min{a_{1}, a_{2}}, b := max{b_{1}, b_{2}}, potom a < b a f je podľa predpokladu rýdzomonotónna na [a, b]. To je ale – keďže a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} ∈ [a, b] – v spore s (77). △

Zostáva dokázať, že f je rýdzomonotónna na každom intervale [a, b] ⊂ I. Nech teda a, b ∈ I, a < b. Pretože f je prostá, je buď f(a) < f(b) alebo f(a) > f(b).

Predpokladajme najprv f(a) < f(b). Ukážeme, že f ja na [a, b] rastúca. Zvoľme c_{1} ∈ (a, b); keďže f je prostá, je f(c) ≠ f(a), f(c) ≠ f(b). Ukážeme, že musí platiť

f(a) < f(c_{1}) < f(b) .  (78)

Z nerovnosti f(c_{1}) < f(a) by totiž vyplývala inklúzia (f(c_{1}), f(a)) ⊂ (f(c_{1}), f(b)), a funkcia f – ktorá je darbouxovská – by musela všetky hodnoty medzi f(c_{1}) a f(a) nadobúdať aj na intervale [a, c_{1}] aj na intervale [c_{1}, b], čo je v spore s jej injektívnosťou. Rovnako možno ukázať, že nemôže platiť nerovnosť f(c_{1}) > f(b).

Zvoľme teraz c_{2} ∈ (a, b), c_{2} > c_{1}. Zopakovaním predchádzajúcich úvah ( v ktorých trojicu a, c_{1}, b nahradíme trojicou c_{1}, c_{2}, b) dostaneme nerovnosť

f(c_{1}) < f(c_{2}) < f(b) .

Tým je dokázaná pravdivosť výroku

(∀c_{1}, c_{2} ∈ [a, b])(c_{1} < c_{2} ⇒ f(c_{1}) < f(c_{2})) ,  (79)

čo znamená, že f je na [a, b] rastúca ^{52}. Analogicky možno dokázať, že v prípade f(a) > f(b) je f na [a, b] klesajúca. ♠

:-) Pri čítaní dôkazu predchádzajúceho dôsledku zistíme, že sme vlastne nevyužívali spojitosť funkcie f, ale len jej Darbouxovu vlastnosť. Nahradením predpokladu f je spojitá predpokladom f je darbouxovská však – napriek nášmu očakávaniu – nezískame všeobecnejšie tvrdenie; pre rýdzomonotónne funkcie je totiž (ako ukazuje veta .70) Darbouxova vlastnosť ekvivalentná so spojitosťou. (-:

51nejaké ďalšie uvažovanie je potrebné samozrejme len v prípade, že interval I nie je uzavretý a ohraničený; nechceli sme však dôkaz predlžovať rozlišovaním jednotlivých možností

52Čitateľ mohol práve získať pocit, že sme ho oklamali; doteraz sme totiž uvažovali c_{1}, c_{2} ∈ (a, b), a v (79) naraz píšeme c_{1}, c_{2} ∈ [a, b]. Upozorňujeme, že pravdivosť (79) v prípadoch c_{1} = a, resp. c_{2} = b, vyplýva z (78).

.69 Cvičenie. Nech f je rastúca spojitá funkcia definovaná na intervale I. Potom pre každé a, b ∈ I, a < b, platí f([a, b]) = [f(a), f(b)], f((a, b)) = (f(a), f(b)). Ak I = (α, β), kde α, β ∈ R^{∗}, tak f(I) = ( lim_{x→α} f(x), lim_{x→β} f(x)).

.70 Veta. Nech f je monotónna funkcia definovaná na intervale I. Potom f je spojitá práve vtedy, keď oborom hodnôt f je buď interval alebo jednoprvková množina (tj. keď f(I) je degenerovaný alebo nedegenerovaný interval).

Dôkaz. Implikácia “⇒′′ vyplýva z vety .68.

“⇐” Ak f(I) je jednoprvková množina, je funkcia f konštantná, a teda spojitá.

Tvrdenie ak f : I → R je monotónna a f(I) je interval, tak f je spojitá dokážeme nepriamo, tj. dokážeme tvrdenie ak f : I → R je monotónna nespojitá funkcia, tak f(I) nie je interval. Naše úvahy obmedzíme na prípad f neklesajúca (v prípade f nerastúca potom stačí uvažovať funkciu −f).

Ak f nie je spojitá, je niektoré číslo a ∈ I jej bod nespojitosti. Ak a je vnútorný bod intervalu I, tak platí

lim_{x→a−} f(x) < f(a) alebo f(a) < lim_{x→a+} f(x) .

:-) Podľa vety .31 je totiž lim_{x→a−} f(x) ≤ f(a) ≤ lim_{x→a+} f(x); keďže z rovností lim_{x→a−} f(x) = f(a) = lim_{x→a+} f(x) by vyplývala spojitosť funkcie f v bode a, musí byť buď lim_{x→a−} f(x) ≠ f(a) alebo f(a) ≠ lim_{x→a+} f(x). (-:

V prípade lim_{x→a−} f(x) < f(a) môžeme zvoliť ε > 0 tak, že a − ε ∈ I, potom f(a − ε) ≤ lim_{x→a−} f(x) < f(a) a z faktu, že f je rastúca, vyplýva f(x) ≥ f(a) pre x ∈ I, x > a, f(x) ≤ lim_{x→a−} f(x) pre x ∈ I, x < a. Množina f(I) teda obsahuje prvky f(a − ε), f(a), ale neobsahuje žiadne číslo z intervalu ( lim_{x→a−} f(x), f(a)), teda f(I) nie je interval.

Podobne v prípade f(a) < lim_{x→a+} f(x) existuje ε > 0 tak, že a + ε ∈ I a množina f(I) potom obsahuje čísla f(a), f(a + ε) (pritom f(a) < lim_{x→a+} f(x) ≤ f(a + ε)), ale neobsahuje žiadne prvky intervalu (f(a), lim_{x→a+} f(x)), a teda f(I) nie je interval.

Práve uvedené úvahy možno použiť aj v prípade, že bod nespojitosti a ∈ I je krajný bod intervalu I. Ak a je totiž ľavý koncový bod intervalu I, tak (pozri poznámku 1 v paragrafe .58) f(a) < lim_{x→a+} f(x); ak a je pravý koncový bod intervalu I, je lim_{x→a−} f(x) < f(a).

Dôsledok. Inverzná funkcia f^{−1} k prostej spojitej funkcii f definovanej na intervale I je spojitá. Dôkaz. Ak f : I → R je prostá a spojitá, tak je rýdzomonotónna (dôsledok z paragrafu .68) a

jej obor hodnôt – tj. definičný obor funkcie f^{−1} – je interval (veta .70; keďže f nie je konštantná, nemôže byť množina f(I) jednoprvková). f^{−1} je teda rýdzomonotónna funkcia (pretože je inverzná k rýdzomonotónnej funkcii) definovaná na intervale f(I) a jej obor hodnôt je interval I. Podľa vety .70 je potom f^{−1} spojitá.

Poznámka. 1. Predchádzajúce tvrdenie možno zovšeobecniť do tejto podoby:

Inverzná funkcia f^{−1} k rýdzomonotónnej funkcii f definovanej na intervale I je spojitá.

Dôkaz naznačíme pre prípad f rastúca ^{53}. Nech a ∈ D(f^{−1}), nech f^{−1}(a) = b. Predpokladajme, že b je vnútorný bod intervalu I (adaptáciu našich úvah na prípad krajných bodov prenechávame na čitateľa), potom pre niektoré ε_{1} > 0 platí [b − ε_{1}, b + ε_{1}] ⊂ I. Zvoľme ε > 0, nech ε_{2} := min{ε, ε_{1}}. Keďže f je rastúca, je f(b − ε_{2}) < f(b) < f(b + ε_{2}), preto existuje δ > 0 tak, že

f(b − ε_{2}) ≤ f(b) − δ < f(b) < f(b) + δ ≤ f(b + ε_{2}) .  (80)

Ukážeme, že pre y ∈ O(δ, a) platí f^{−1}(y) ∈ O(ε, f^{−1}(a)): nerovnosť a − δ < y < a + δ možno zapísať v tvare

f(b) − δ < y < f(b) + δ ,

z (80) potom vyplýva

f(b − ε_{2}) < y < f(b + ε_{2}) ,

53čitateľovi odporúčame nakresliť si obrázok

odtiaľ – pretože f^{−1} je rastúca – dostávame

b − ε_{2} < f^{−1}(y) < b + ε_{2} ,

z čoho – ak využijeme, že ε_{2} ≤ ε a f^{−1}(a) = b – už vyplýva

f^{−1}(a) − ε < f^{−1}(y) < f^{−1}(a) + ε .

2. Informáciu obsiahnutú v dôsledku možno ešte doplniť: Lema. Nech f^{−1} je inverzná funkcia k spojitej rýdzomonotónnej funkcii f definovanej na intervale I, nech

a ∈ R^{∗}. Potom platí (a) ak lim_{x→a} f(x) = ∞, tak lim_{x→∞} f^{−1}(x) = a;

(b) ak lim_{x→a} f(x) = −∞, tak lim_{x→−∞} f^{−1}(x) = a;

(c) ak lim_{x→∞} f(x) = a, tak lim_{x→a} f^{−1}(x) = ∞;

(d) ak lim_{x→−∞} f(x) = a, tak lim_{x→a} f^{−1}(x) = −∞. Dôkaz. (a) Uvažujme prípad f rastúca; ak lim_{x→a} f(x) = ∞, platí buď a = ∞ alebo je a pravý koncový

bod intervalu I, pričom a ∉ I. Zvoľme b ∈ I, nech f(b) = β. Pretože f je rastúca a spojitá, platí f([b, a)) = [f(b), ∞) = [β, ∞). Pre inverznú funkciu f^{−1} potom platí

f^{−1}([β, ∞)) = [b, a) .  (81)

Ak a ∈ R, vyplýva z (81) rovnosť a = sup_{x∈[β,∞)} f^{−1}(x). Keďže f^{−1} je rastúca funkcia, platí a = sup_{x∈[β,∞)} f^{−1}(x) = sup_{x∈D(f^{−1})} f^{−1}(x), z vety .29 potom vyplýva rovnosť lim_{x→∞} f^{−1}(x) = a.

Ak a = ∞, má (81) podobu f^{−1}([β, ∞)) = [b, ∞); to znamená, že f^{−1} je rastúca zhora neohraničená funkcia, preto (opäť podľa vety .29) je lim_{x→∞} f^{−1}(x) = ∞.

Postup v prípade f klesajúca ako aj dôkaz zvyšných tvrdení je analogický.

8.1 Definícia mocninových, exponenciálnych a logaritmických funkcií

.71 Definícia mocninových funkcií s racionálnym exponentom. Mocninovú funkciu s exponentom α ∈ Q \ {0} definujeme

• pre α ∈ N indukciou: funkciu f_{1} definujeme na množine R predpisom f_{1}(x) = x a pre n ∈ N, n ≥ 2, položíme f_{n} := f_{1} · f_{n−1} Z vety .55(a) vyplýva, že f_{n} : R → R je spojitá; pritom (pozri ??) pre n nepárne je f_{n} rastúca, lim_{x→−∞} f_{n}(x) = −∞, lim_{x→∞} f_{n}(x) = ∞; pre n párne je f_{n} klesajúca na (−∞, 0], rastúca na [0, ∞), lim_{x→−∞} f_{n}(x) = lim_{x→∞} f_{n}(x) = ∞.

• pre α = −n, kde n ∈ N, predpisom f_{−n}(x) = \frac{1}{f_{n}(x)} , x ∈ R \ \{0\}.

Funkcia f_{−n} : R\{0} → R je spojitá (veta .55(a)), 0 je jej neodstrániteľný bod nespojitosti; lim_{x→−∞} f_{−n}(x) = lim_{x→∞} f_{−n}(x) = 0; pre n nepárne je lim_{x→0−} f_{−n}(x) = −∞, lim_{x→0+} f_{−n}(x) = ∞; pre n párne je lim_{x→0} f_{−n}(x) = ∞.

• pre α = \frac{1}{n}, n nepárne, n ≥ 3, ako inverznú funkciu k rastúcej spojitej funkcii f_{n}.

Funkcia f_{\frac{1}{n}} : R → R je potom spojitá (dôsledok z paragrafu .70) a rastúca, lim_{x→−∞} f_{\frac{1}{n}} (x) = −∞, lim_{x→∞} f_{\frac{1}{n}} (x) = ∞ (poznámka 2 z paragrafu .70).

• pre α = \frac{1}{n}, n párne, ako inverznú funkciu k rastúcej spojitej funkcii f_{n}|_{[0,∞)}.

Takto definovaná funkcia f_{\frac{1}{n}} : [0, ∞) → R je spojitá a rastúca, lim_{x→∞} f_{\frac{1}{n}} (x) = ∞.

• pre ostatné α ∈ Q \ \{0\} predpisom f_{α} := f_{\frac{1}{q}} ∘ f_{p}, kde p ∈ Z \ \{0\}, q ∈ N sú nesúdeliteľné čísla také, že α = \frac{p}{q}. Funkcia f_{α} je spojitá (veta .55(b)), jej definičný obor, charakter prípadných bodov nespojitosti a limity v nevlastných bodoch sú jednoznačne určené funkciami f_{\frac{1}{q}} a f_{p}, rozbor jednotlivých prípadov (ako aj podrobné zdôvodnenie všetkých v tomto paragrafe vyslovených tvrdení o mocninových funkciách) prenechávame čitateľovi.

Funkčnú hodnotu funkcie f_{n} (n ∈ N) v bode x označujeme znakom x^{n}, funkčnú hodnotu funkcie f_{\frac{1}{n}} znakom

x^{\frac{1}{n}} alebo ^{n} \sqrt{x} (špeciálne pre n = 2 znakom \sqrt{x}). O funkcii f_{α} (α ∈ Q \ \{0\}) budeme často hovoriť ako o funkcii x^{α}.

Poznámky. 1. Mocninové funkcie s racionálnym exponentom sme mohli definovať už v kapitole o funkciách, vtedy by sme však pri definovaní funkcií f_{\frac{1}{n}} narazili na problém: keby sme napríklad – potom, čo sme odmocninu z čísla x ≥ 0 definovali ako číslo y ≥ 0 s vlastnosťou y^{2} = x – chceli funkciu f_{\frac{1}{2}} definovať ako zobrazenie priraďujúce každému nezápornému číslu x jeho druhú odmocninu \sqrt{x}, museli by sme dokázať, že pre každé x ≥ 0 číslo \sqrt{x} existuje a je jednoznačne určené. Dôkaz jednoznačnosti nepredstavuje nejakú komplikáciu, stačí využiť trichotómu usporiadania a “pravidlá pre násobenie nerovností”. Existenciu čísla \sqrt{x} (ktorá v našej definícii z paragrafu .71 vyplýva z vety .70 a rovnosti lim_{x→∞} x^{2} = ∞) možno dokázať na základe vety o supréme; číslo y := sup{z ∈ Q; z^{2} < x} má totiž požadovanú vlastnosť.

Keďže spojitosť takto definovanej funkcie \sqrt{x} by vyžadovala ďalšie samostatné zdôvodnenie, je asi zrejmé, prečo sme uprednostnili vyčkávanie na vetu .70 a jej dôsledok, ktoré nám umožnili funkciu \sqrt{x} bez problémov definovať ako spojité zobrazenie [0, ∞) na [0, ∞).

2. Treba si uvedomiť, že z rovnosti \frac{p_{1}}{q_{1}} = \frac{p_{2}}{q_{2}} , kde p_{1}, p_{2} ∈ Z \ \{0\}, q_{1}, q_{2} ∈ N, ešte nemusí vyplývať rovnosť f_{\frac{p_{1}}{q_{1}}} = f_{\frac{p_{2}}{q_{2}}} , kde f_{\frac{p_{1}}{q_{1}}} := f_{\frac{1}{q_{1}}} ∘f_{p_{1}}, f_{\frac{p_{2}}{q_{2}}} := f_{\frac{1}{q_{2}}} ∘f_{p_{2}}, a z tohto hľadiska sa znovu zamyslieť nad definíciou mocninovej

funkcie s exponentom α ∈ Q \ \{0\} (nie je však ťažké dokázať, že pre x > 0 platí f_{\frac{p_{1}}{q_{1}}} (x) = f_{\frac{p_{2}}{q_{2}}} (x)).

Odporúčame tiež čiatateľovi preveriť si (štandardne používané) rovnosti (f_{\frac{1}{q}} ∘ f_{p})(x) = (f_{p} ∘ f_{\frac{1}{q}})(x), kde čísla

p ∈ Z \ {0}, q ∈ N sú nesúdeliteľné.

.72 Definícia funkcie e^{x}. Postup konštrukcie funkcie exp : R → R, ktorej funkčnú hodnotu v bode x budeme označovať e^{x} (a o ktorej budeme spravidla hovoriť ako o funkcii e^{x}) rozdelíme do týchto krokov:

1. “prirodzeným spôsobom” definujeme hodnoty e^{x} pre x ∈ Q; dokážeme, že takto definované zobrazenie Q do R je rastúce a platí e^{x+y} = e^{x} · e^{y}, (e^{x})^{y} = e^{xy} ^{54};

2. dodefinujeme hodnoty e^{x} pre x iracionálne predpisom e^{x} := sup{e^{z}; z ∈ Q ∧ z < x} a ukážeme, že takto definovaná funkcia exp : R → R je rastúca;

3. ukážeme, že exp je spojitá.

1. Pre x ∈ Q \ {0} položíme exp(x) := f_{x}(e), kde f_{x} je mocninová funkcia s exponentom x, tj. exp(x) = e^{x}; v prípade x = 0 definujeme exp(0) := 1.

Dôkaz rovností e^{x+y} = e^{x} · e^{y} a e^{xy} = (e^{x})^{y} prenecháme na čitateľa.

Pretože pre x ∈ Q, x > 0, je funkcia f_{x} rastúca na [0, ∞), vyplýva z nerovnosti e > 1 (pozri príklad .33) nerovnosť e^{x} > 1^{x} = 1. Pre r, s ∈ Q, r > s, je preto \frac{e^{r}}{e^{s}} = e^{r−s} > 1, odtiaľ – keďže e^{s} > 0 pre každé s ∈ Q – vyplýva nerovnosť e^{r} > e^{s}, čo znamená, že funkcia exp je na Q rastúca.

2. Nech x < y.

a) Ak x, y ∈ Q, je e^{x} < e^{y}, pretože funkcia exp je rastúca na Q.

b) Ak x ∈ Q, y ∈ R \ Q, vyplýva z definície čísla e^{y} nerovnosť e^{x} ≤ e^{y}. Keby platilo e^{x} = e^{y}, bolo by číslo e^{x} horným ohraničením množiny {e^{z}; z ∈ Q ∧ z < y}, a teda pre všetky prvky u neprázdnej množiny (x, y) ∩ Q by platilo e^{x} ≥ e^{u}, čo je ale v spore s faktom, že exp |Q je rastúca funkcia. Tým je dokázaná nerovnosť e^{x} < e^{y}.

c) Ak x ∈ R \ Q, y ∈ Q, je – pretože exp |Q je rastúca funkcia – číslo e^{y} horné ohraničenie množiny A := {e^{z}; z ∈ Q ∧ z < x}, z definície čísla e^{x} potom vyplýva nerovnosť e^{x} ≤ e^{y}. Keďže ale iste existuje číslo u ∈ Q tak, že x < u < y, pričom e^{u} je z rovnakého dôvodu ako e^{y} horné ohraničenie množiny A a platí e^{u} < e^{y} (pretože exp |Q je rastúca), nie je e^{y} najmenšie horné ohraničenie množiny A, preto e^{x} ≠ e^{y}. Tým je nerovnosť e^{x} < e^{y} dokázaná.

d) Ak x, y ∈ R \ Q, existuje číslo u ∈ Q tak, že x < u < y. Podľa b) a c) potom platí e^{x} < e^{u} < e^{y}, čo dokazuje nerovnosť e^{x} < e^{y} aj v tomto prípade.

3. Z vety .29(a) a dôsledkov .30(a) a .31 vyplýva, že spojitosť funkcie exp v bode x bude dokázaná, ak overíme rovnosť lim_{u→x−} e^{u} = lim_{z→x+} e^{z}, tj. α := sup{e^{u}; u < x} = inf{e^{z}; z > x} =: β, pritom už vieme (ďôsledok .31), že platí α ≤ β.

Pre každé n ∈ N existujú čísla u, z ∈ Q tak, že u < x < z a u − z ≤ \frac{1}{n} ^{55}. Potom

e^{u} < α ≤ β < e^{z} ,  (82)

súčasne

e^{z} − e^{u} = e^{u} (e^{z−u} − 1) ≤ e^{x} (e^{\frac{1}{n}} − 1)  (83)

54pripomeňme, že číslo (e^{x})^{y} je funkčná hodnota mocninovej funkcie s exponentom y v bode e^{x}

55stačí položiť u := max (A ∩ (−∞, x)), z := min (A ∩ (x, ∞)), kde a := \{\frac{k}{2n}; k ∈ Z\}; potom buď z − u = \frac{1}{2n} (ak x ∉ A)

alebo z − u = \frac{1}{n} (ak x ∈ A)

(posledná nerovnosť vyplýva z nerovností e^{u} < e^{x} a e^{0} = 1 < e^{z−u} ≤ e^{\frac{1}{n}}, ktoré sú dôsledkom nerovností u < x, 0 < z − u ≤ \frac{1}{n} a faktu, že exp je rastúca funkcia). Z (82) vyplýva

0 ≤ β − α < e^{z} − e^{u} ,

z (82) potom dostávame

(∀n ∈ N) (0 ≤ β − α < e^{x} (e^{\frac{1}{n}} − 1)) .  (84)

Keďže lim_{n→∞} e^{\frac{1}{n}} = 1 (príklad .26), je lim_{n→∞} [e^{x} (e^{\frac{1}{n}} − 1)] = e^{x} · lim_{n→∞} (e^{\frac{1}{n}} − 1) = 0, z (84) na základe

vety .25 (pre P = R, M = N, f(n) ≡ 0, g(n) ≡ β − α, h(n) = e^{x} (e^{\frac{1}{n}} − 1)) potom vyplýva rovnosť β − α = 0.

Tým je spojitosť funkcie exp v bode x dokázaná. △

Dokážeme ešte rovnosť

(e^{x})^{y} = e^{xy} pre x ∈ R , y ∈ Q  (85)

(y ∈ R \ Q ešte nemôžeme uvažovať z toho jednoduchého dôvodu, že zatiaľ sme nedefinovali umocňovanie na iracionálny exponent, a teda symbol (e^{x})^{y} pre y ∈ R \ Q pre nás v tomto okamihu nemá zmysel). Iste existuje postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ Q s limitou x, potom lim_{n→∞}(x_{n}y) = xy a

(e^{x})^{y} = lim_{n→∞} (e^{x_{n}})^{y} = lim_{n→∞} e^{x_{n}y} = e^{xy} ,

pričom prvá rovnosť vyplýva zo spojitosti funkcie f_{y} ∘ exp (kde f_{y} je mocninová funkcia s exponentom y), druhá z platnosti rovnosti (e^{x})^{y} = e^{xy} pre x, y ∈ Q a tretia zo spojitosti funkcie exp. △

Keďže funkcia exp je rastúca, existujú lim_{x→∞} e^{x} a lim_{x→−∞} e^{x}. Z príkladu .32 (pre q = e) a lemy .11(a) vyplýva rovnosť lim_{x→∞} e^{x} = ∞; použitím substitúcie t = −x potom

lim_{x→−∞} e^{x} = lim_{t→∞} e^{−t} = lim_{t→∞} \frac{1}{e^{t}} = 0 .

.73 Definícia funkcie ln. Inverzná funkcia k spojitej rastúcej funkcii exp sa nazýva prirodzený logaritmus a označuje sa ln. △

Funkcia ln je teda rastúca, jej definičný obor je interval (0, ∞), oborom hodnôt je R; ďalej lim_{x→0} ln x = −∞, lim_{x→∞} ln x = ∞ (lema z poznámky 2 v paragrafe .70); ln 1 = 0, ln e = 1, ln x < 0 pre x ∈ (0, 1), ln x > 0 pre x ∈ (1, ∞).

.74 Definícia funkcie a^{x} pre a > 0, a ≠ 1. Exponenciálnu funkciu so základom a (a ∈ (0, ∞) \ {1}), exp_{a} : R → R, ktorej funkčnú hodnotu v bode x budeme označovať a^{x} (a o ktorej budeme spravidla hovoriť ako o funkcii a^{x}) možno skonštruovať obdobne ako funkciu exp v paragrafe .72 (v prípade a ∈ (0, 1) bude ovšem funkcia exp_{a} |Q získaná v prvom kroku konštrukcie klesajúca a v druhom kroku položíme a^{x} := inf{a^{z}; z ∈ Q ∧ z < x}); my však uprednostníme inú možnosť jej zavedenia a položíme

a^{x} := e^{x ln a} △  (86)

Pre a ∈ (1, ∞) je funkcia a^{x} spojitá a rastúca ako kompozícia spojitých rastúcich funkcií e^{x} a x ln a (tu využívame, že ln a > 0 pre a > 1); pre a ∈ (0, 1) je funkcia a^{x} spojitá a klesajúca. △

Ukážme ešte, že rovnosťou (86) definovaná funkcia a^{x} je totožná s funkciou, ktorú by sme získali konštrukciou kopírujúcou postup z paragrafu .72:

• pre x ∈ Q je e^{x ln a} = (e^{ln a})^{x} = a^{x} podľa (85);

• pre a ∈ (1, ∞) je funkcia a^{x} (definovaná v 86) spojitá a rastúca, preto pre x ∈ R \ Q platí

a^{x} = lim_{z→x−} a^{z} = sup{a^{z}; z ∈ (−∞, x)} = sup{a^{z}; z ∈ (−∞, x) ∩ Q}

(odporúčame čitateľovi, aby si podrobne rozmyslel najmä dôkaz poslednej rovnosti, ktorá vypýva zo spojitosti funkcie a^{x}); podobne v prípade a ∈ (0, 1) možno pre x ∈ R \ Q dokázať rovnosť

a^{x} = inf{a^{z}; z ∈ (−∞, x) ∩ Q} .

.75 Definícia funkcie log_{a}. Inverzná funkcia k rýdzomonotónnej spojitej funkcii a^{x} (a ∈ (0, ∞)\{1}) sa nazýva logaritmus pri základe a a označuje sa log_{a} (špeciálne v prípade a = 10 sa používa názov dekadický logaritmus a označenie log). △

Pretože pre prosté funkcie f, g platí (f ∘ g)^{−1} = g^{−1} ∘ f^{−1}, vyplýva z rovnosti exp_{a} = f ∘ g, kde f(x) = e^{x}, g(x) = x ln a, rovnosť

log_{a} x = \frac{ln x}{ln a} .  (87)

.76 Definícia mocninovej funkcie s iracionálnym exponentom. Mocninovú funkciu f_{α} s exponentom α ∈ R \ Q definujeme

• pre α ∈ R^{+} \ Q na množine [0, ∞) predpisom

f_{α}(x) = \{ \begin{matrix}e^{α ln x} pre & x > 0 \\ 0  pre & x = 0 \end{matrix}  (88)

(tj. ako funkciu e^{α ln x} spojito dodefinovanú v bode 0; pozri poznámku v paragrafe .60); táto funkcia je spojitá, rastúca a lim_{x→∞} f_{α}(x) = ∞;

• pre α ∈ R^{−} \ Q na množine (0, ∞) predpisom

f_{α}(x) = e^{α ln x} ;  (89)

táto funkcia je spojitá a klesajúca, lim_{x→o} f_{α}(x) = ∞, lim_{x→∞} f_{α}(x) = 0. △ Elementárnym dôsledkom definície mocninovej funkcie s iracionálnym exponentom je rovnosť (e^{x})^{y} = e^{xy} pre

x ∈ R, y ∈ R \ Q, ktorá dopĺňa informáciu z (85); platí totiž

(e^{x})^{y} = e^{y ln e^{x}} = e^{yx} . △

Ukážeme ešte, že naša definícia mocniny s iracionálnym exponentom je v súlade s prirodzenou myšlienkou definovať symbol x^{α} rovnosťou

x^{α} := lim_{n→∞} x^{α_{n}} ,

kde {α_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnosť kladných racionálnych čísel s limitou α. Ak totiž {α_{n}}_{n=1}^{∞} má limitu α, tak platí

lim_{n→∞} x^{α_{n}} = lim_{n→∞} (e^{ln x})^{α_{n}} = lim_{n→∞} e^{α_{n} ln x} = e^{α ln x} = x^{α}

(druhá rovnosť vyplýva z (85), tretia zo spojitosti funkcie e^{x} v bode α ln x, štvrtá je definíciou symbolu x^{α}).

9 Vlastnosti spojitých funkcií na kompaktných množinách

.77 Veta. Spojitá funkcia f definovaná na kompaktnej množine K, ∅ ≠ K ⊂ R (teda špeciálne na uzavretom ohraničenom intervale) je ohraničená.

Dôkaz. Každý bod x ∈ K má okolie O(x) také, že f je ohraničená na O(x) ∩ K (ak x je izolovaný bod množiny K, stačí zvoliť O(x) s vlastnosťou O(x) ∩ K = {x}, v prípade, že x ∈ K je hromadný bod množiny K, vyplýva existencia okolia O(x) z rovnosti f(x) = lim_{u→x} f(u) a lemy .10(a)). Systém {O(x); x ∈ K} týchto okolí je otvorené pokrytie kompaktnej množiny K, preto existuje (definícia .49) jeho konečné podpokrytie {O(x_{1}), …, O(x_{n})}; pre množinu K teda platí K ⊂ ⋃_{i=1}^{n} O(x_{i}), preto

K = ⋃_{i=1}^{n} (O(x_{i}) ∩ K) .  (90)

Keďže funkcia ohraničená na konečnom počte množín je ohraničená aj na ich zjednotení^{56}, vyplýva z (90) a z ohraničenosti funkcie f na každej z množín O(x_{1}) ∩ K, … O(x_{n}) ∩ K jej ohraničenosť na množine K.

Poznámka. Pre záujemcov uvádzame ešte dva ďalšie dôkazy uvedeného tvrdenia:

1. Sporom; nech spojitá funkcia f : K → R nie je ohraničená. Ak f nie je ohraničená zhora, platí

(∀n ∈ N)(∃x ∈ K)(f(x) ≥ n) ,  (91)

56Treba si všimnúť, že v tejto úvahe je podstatné, že K je zjednotením \underline{konečného} počtu množín, na ktorých je f ohraničená (to je tiež dôvod, prečo požadujeme kompaktnosť množiny K; tá totiž zaručuje existenciu \underline{konečných} podpokrytí). Ak totiž P := {A_{i}; i ∈ I} je nekonečný systém množín a funkcia f je ohraničená na každej z množín tohto systému, nemusí ešte platiť, že f je ohraničená aj na ⋃_{i∈I} A_{i}; stačí uvažovať napr. f(x) = x, A_{i} = (−i, i), i ∈ N (funkcia f je totiž neohraničená na R = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}); alebo položiť A_{i} := [\frac{1}{i+1} , \frac{1}{i}), i ∈ N, a za f zvoliť funkciu \frac{1}{x}, ktorá je neohraničená na množine (0, 1) = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}.

preto existuje postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ K taká, že f(x_{n}) ≥ n, ^{57} z tejto nerovnosti dostávame lim_{n→∞} f(x_{n}) = ∞ (veta .19). Keďže K je kompakt, z {x_{n}}_{n=1}^{∞} možno vybrať konvergentnú podpostupnosť {x_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} s limitou a ∈ K (poznámka v paragrafe .50); keďže {f(x_{n_{k}})}_{k=1}^{∞} je podpostupnosť postupnosti {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} a lim_{n→∞} f(x_{n}) = ∞, musí platiť aj lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = ∞. To je ale v spore so spojitosťou funkcie f v bode a; podľa vety .54 totiž z rovnosti lim_{k→∞} x_{n_{k}} = a vyplýva rovnosť lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f(a).

Podobne možno postupovať, ak f nie je ohraničená zdola.

2. V prípade, že množina K je uzavretý ohraničený interval ^{58} [a, b], možno vychádzať z nasledujúcich dvoch úvah, použitých aj v našom prvom dôkaze vety .77:

1. ak x ∈ [a, b], je funkcia f ohraničená v niektorom okolí bodu x; to znamená, že existuje ε > 0 tak, že f je ohraničená na intervale [a, a + ε) v prípade x = a, na intervale (b − ε, b] v prípade x = b, resp. na intervale (x − ε, x + ε), ak x je vnútorný bod intervalu [a, b] (číslo ε > 0 zrejme možno zvoliť tak, aby uvedené intervaly boli podmnožinou množiny [a, b]);

2. ak f je ohraničená na množine R aj na množine S, tak je ohraničená aj na R ∪ S.

Teraz už môžeme začať vlastný dôkaz. Množina B := {x ∈ (a, b] ; f je ohraničená na [a, x)} je neprázdna (podľa našej prvej úvahy platí pre niektoré ε > 0 inklúzia a+ε ∈ B) a zhora ohraničená (B ⊂ [a, b]), preto existuje β := sup B; zrejme β ∈ (a, b]. Dokážeme rovnosť β = b. Sporom; nech β < b, z našej prvej úvahy vyplýva, že f je ohraničená na (β − ε, β + ε) pre niektoré ε > 0. Keďže β = sup B, v intervale (b − ε, β] leží niektorý prvok x množiny B, teda f je ohraničená na [a, x). Potom je ale f ohraničená aj na [a, x) ∪ (β − ε, β + ε) = [a, β + ε), čo znamená, že β + ε ∈ B; to je ale spor s rovnosťou β = sup B. Tým je rovnosť β = b dokázaná.

Rovnako, ako sme v práve skončenej úvahe z rovnosti β = sup B odvodili ohraničenosť funkcie f na intervale [a, β + ε), môžeme teraz z rovnosti b = sup B a faktu, že pre niektoré ε > 0 je f ohraničená na [b − ε, b], odvodiť, že funkcia f je ohraničená na intervale [a, b].

.78 Veta. Spojitá funkcia f definovaná na kompaktnej množine K má maximum a minimum.

Dôkaz. Podľa vety .77 existujú čísla M := sup_{x∈K} f(x), m := inf_{x∈K} f(x). Ďalej budeme postupovať sporom. Ak neexistuje max_{x∈K} f(x), znamená to, že pre každé x ∈ K je f(x) < M, teda M − f(x) > 0. Potom funkcia g : K → R definovaná predpisom g(x) = \frac{1}{M−f(x)} je spojitá (veta .55(a)) na kompakte K, a podľa vety .77 aj ohraničená; existuje teda L > 0 tak, že

(∀x ∈ K) (0 < \frac{1}{M − f(x)} < L) .

Úpravou predchádzajúcej nerovnosti dostaneme

(∀x ∈ K) (f(x) < M − \frac{1}{L}) ,

57Existenciu postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞} uvedených vlastností možno zaručiť aj bez použitia axiómy výberu. Z (91) vyplýva, že pre každé n ∈ N je množina A_{n} := {x ∈ K; f(x) ≥ n} neprázdna. Keďže A_{n} je zhora ohraničená (to vyplýva z inklúzie A_{n} ⊂ K a vety .50), existuje α := sup A_{n}, zopakovaním postupu dôkazu lemy .51 možno dokázať inklúziu α ∈ K. Dokážeme, že α ∈ A_{n}. Sporom, nech α ∉ A_{n}, tj. nech f(α) < n. Potom existuje okolie O(ε, α) s vlastnosťou

(∀x ∈ O(ε, α) ∩ K)(f(x) < n)  (92)

(ak α je izolovaný bod množiny K, stačí za O(ε, α) zvoliť okolie O bodu α také, že O ∩ K = {α}; v prípade, že α je hromadný bod množiny K, vyplýva existencia okolia O(ε, α) z nerovnosti lim_{x→α} (n − f(x)) > 0 a lemy .10(b)). Keďže α = sup A_{n}, v intervale (α − ε, α] leží aspoň jeden prvok množiny A_{n}. To je ovšem spor s (92), pretože pre každé x ∈ A_{n} platí f(x) ≥ n.

Teraz by malo byť zrejmé, že postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞}, kde x_{n} := sup A_{n}, má vlastnosť f(x_{n}) ≥ n. △

V prípade, že K je uzavretý ohraničený interval [a, b], možno postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} požadovaných vlastností skonštruovať aj iným spôsobom (nasledujúca konštrukcia je po istých úpravách použiteľná aj vo všeobecnom prípade K je kompaktná množina), ktorý sa zakladá na tejto úvahe: pre každé n ∈ N je množina B_{n} := {x ∈ [a, b]; f(x) > n−1} neprázdna a obsahuje aspoň jedno racionálne číslo (neprázdnosť množiny B_{n} vyplýva z (91); ak β ∈ B_{n}, tak z nerovnosti lim_{x→β} (f(x)−(n−1)) > 0 vyplýva na základe lemy .10(b) existencia okolia O(ε, β) s vlastnosťou (∀x ∈ O(ε, β)∩[a, b])(f(x) > n−1); keďže v každom nedegenerovanom intervale leží aspoň jedno racionálne číslo, musí aj množina O(ε, β) ∩ [a, b] – a teda aj jej nadmnožina B_{n} – obsahovať aj racionálne čísla).

Množinu Q možno zoradiť do (nie nutne prostej) postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞}; ak teraz položíme x_{n} := a_{k}, kde k := min{m ∈ N; a_{m} ∈ B_{n}}, tak týmto spôsobom definovaná postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} má požadovanú vlastnosť f(x_{n}) ≥ n. △

Ak chceme takýmto spôsobom postupovať aj vo všeobecnom prípade K je kompakt, možno použiť túto úvahu: ak a ∈ R a K je kompakt, tak v K existuje aspoň jeden a najviac dva prvky w, ktoré majú spomedzi prvkov množiny K najmenšiu vzdialenosť od bodu a, tj. množina V_{a} := {w ∈ K; |w − a| = min{|x − a|; x ∈ K}} je neprázdna a konečná; každému prvku a_{n} ∈ Q našej postupnosti {a_{n}}_{n=1}^{∞} možno teda jednoznačne priradiť číslo b_{n} predpisom b_{n} := min V_{a_{n}}. V predchádzajúcich úvahách stačí potom namiesto x_{n} := a_{n} položiť x_{n} := b_{n}.

58nasledujúci dôkaz ovšem možno (po malých úpravách) použiť aj vo všeobecnom prípade K je kompaktná množina

čo znamená, že číslo M − \frac{1}{L} je horné ohraničenie funkcie f; to je ale – pretože M − \frac{1}{L} < M – v spore s rovnosťou M = sup_{x∈K} f(x). △

V prípade dôkazu existencie čísla min_{x∈K} f(x) možno postupovať analogicky alebo práve dokázané tvrdenie aplikovať na spojitú funkciu −f a využiť rovnosť min f = − max(−f).

Poznámka. Ani teraz nezostane čitateľ ušetrený alternatívnych dôkazov.

1. Nech M := sup f. Potom

(∀n ∈ N)(∃x ∈ K) (M − \frac{1}{n} < f(x) ≤ M) ,

existuje teda postupnosť \{x_{n}\}_{n=1}^{∞} ⊂ K taká, že M − \frac{1}{n} < f(x_{n}) ≤ M; ^{59} z týchto nerovností podľa vety .25 vyplýva, že lim_{n→∞} f(x_{n}) = M. Keďže K je kompakt, možno z {x_{n}}_{n=1}^{∞} vybrať konvergentnú podpostupnosť {x_{n_{k}}}_{n=1}^{∞} s limitou a ∈ K. Postupnosť {f(x_{n_{k}})}_{k=1}^{∞} je podpostupnosť postupnosti {f(x_{n})}_{n=1}^{∞}, preto (lema .38)

lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = M .  (93)

Z rovnosti lim_{k→∞} x_{n_{k}} = a súčasne – keďže f je spojitá v bode a – vyplýva lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f(a) (veta .54); z (93) a vety .9 o jednoznačnosti limity potom vyplýva rovnosť f(a) = M, čím je existencia maxima funkcie f dokázaná.

2. Vety .77 a.78 možno odvodiť z nasledujúceho tvrdenia (prvú pomocou vety .50, druhú použitím lemy .51): Lema. Ak f je spojitá funkcia definovaná na kompakte K, tak f(K) je kompaktná množina ^{60}. Dôkaz. Využijeme ekvivalenciu z poznámky v paragrafe .50; dokážeme teda, že z každej postupnosti

{y_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ f(K) možno vybrať konvergentnú postupnosť, ktorej limita tiež leží v f(K).

Nech {y_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ f(K), potom – pretože pre každé y ∈ f(K) možno nájsť aspoň jedno číslo x ∈ K s vlastnosťou f(x) = y – existuje postupnosť {x_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ K tak, že f(x_{n}) = y_{n}. Pretože K je kompakt, možno z {x_{n}}_{n=1}^{∞} vybrať konvergentnú podpostupnosť {x_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} s limitou x ∈ K (poznámka z paragrafu .50). Zo spojitosti funkcie f v bode x potom vyplýva (veta .54), že lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f(x), teda {f(x_{n_{k}})}_{k=1}^{∞} je konvergentná podpostupnosť postupnosti {f(x_{n})}_{n=1}^{∞} = {y_{n}}_{n=1}^{∞} a jej limita f(x) je zrejme prvkom množiny f(K). ♠

V niektorých úvahách v budúcnosti budeme potrebovať, aby funkcie, s ktorými pracujeme, mali vlastnosť, ktorá je ”trocha lepšia” ako spojitosť – aby boli rovnomerne spojité. Naším najbližším cieľom je dokázať, že spojité funkcie definované na kompaktnej množine už túto lepšiu vlastnosť majú.

.79 Definícia. Hovoríme, že funkcia f je rovnomerne spojitá, ak

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ D(f))(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε) .  (94)

Hovoríme, že funkcia f je rovnomerne spojitá na množine M (∅ ≠ M ⊂ D(f)), ak je rovnomerne spojitá funkcia f|_{M}.

Poznámky. 1. Predovšetkým si treba uvedomiť, že z práve definovanej vlastnosti skutočne vyplýva spojitosť; jednoduchý dôkaz tvrdenia ak funkcia f je rovnomerne spojitá, tak je aj spojitá prenechávame na čitateľa.

2. Ukážeme, že obrátená implikácia vo všeobecnosti neplatí, tj. že existuje spojitá funkcia, ktorá nie je rovnomerne spojitá.

Klasickým príkladom je funkcia f(x) = \frac{1}{x}. Keby táto funkcia bola rovnomerne spojitá, existovalo by podľa (94) k číslu ε = 1 ^{61} číslo δ > 0 s vlastnosťou

(∀x, y ∈ D(f))(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < 1) .  (95)

Zvoľme špeciálne y = δ. Potom pre všetky x ∈ (0, 2δ) je |x − y| < δ, a preto podľa (95) musí platiť

(∀x ∈ (0, 2δ))(|f(x) − f(δ)| < 1) , tj. (∀x ∈ (0, 2δ))(f(δ) − 1 < f(x) < f(δ) + 1) ,

čo znamená, že f je ohraničená na intervale (0, 2δ); to je ale v spore s rovnosťou lim_{x→0+} f(x) = ∞.

Iným štandardným príkladom je funkcia f(x) = sin \frac{π}{x}. Pretože pre a_{n} = \frac{2}{4n−1} je f(a_{n}) = −1 a pre b_{n} = \frac{2}{4n+1} je f(b_{n}) = 1, platí

|f(a_{n}) − f(b_{n})| = 2 ,  (96)

59podobne ako v dôkaze z poznámky 1 v paragrafe .77 aj v tomto prípade sa možno pri zdôvodňovaní existencie postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞} zaobísť bez axiómy výberu

60štandardné slovné vyjadrenie: spojitý obraz kompaktu je kompakt

61ako čitateľ vzápätí zistí, v nasledujúcej úvahe nie je podstatné, že sme zvolili práve ε = 1, rovnako dobre by nám poslúžilo každé iné ε > 0

súčasne – pretože lim_{n→∞} |a_{n} − b_{n}| = 0 – máme

(∀δ > 0)(∃n ∈ N)(|a_{n} − b_{n}| < δ) .  (97)

Z (96) a (97) vyplýva pravdivosť tvrdenia

(∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃x, y ∈ R)(|x − y| < δ ∧ |f(x) − f(y)| ≥ ε)

(stačí položiť napr. ε = 1 ^{62}), ktoré je negáciou výroku funkcia f je rovnomerne spojitá.

3. Hľadajme teraz, v čom je rovnomerná spojitosť lepšia od ”obyčajnej” spojitosti.

Nech f : M → R je funkcia , označme znakom V (x, y, ε, δ) výrokovú formu

(∀y ∈ M)(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε)  (98)

a porovnajme výroky

(∀ε > 0)(∀x ∈ M)(∃δ > 0)(V (x, y, ε, δ))  (99)

a

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)(V (x, y, ε, δ)) ,  (100)

z ktorých prvý hovorí, že funkcia f je spojitá, a druhý, že f je rovnomerne spojitá. Rozdiel medzi nimi (vyplývajúci zo zmeny poradia kvantifikátorov) možno popísať nasledovne:

Zvoľme ε > 0 pevne. Potom δ > 0, ktorého existenciu zaručuje (99), závisí na čísle x, teda s meniacim sa x sa číslo δ > 0, pre ktoré je (99) pravdivé, môže meniť. Ak však platí (100), vieme nájsť δ > 0, ktoré už nezávisí na voľbe čísla x, teda také, ktoré vyhovuje všetkým prvkom x množiny M.

4. Všimnime si napokon, že obidve funkcie, ktoré sme uviedli v poznámke 2 ako ”negatívne príklady”, mali neodstrániteľný bod nespojitosti (pričom práve tento bod bol príčinou ich ”negatívnosti”). Ako ukazuje nasledujúce tvrdenie, nie je to náhoda.

Lema. Každý bod nespojitosti rovnomerne spojitej funkcie je odstrániteľný.

:-) Dôkaz možno založiť na myšlienkach použitých v poznámke 2 ^{63}, my však uprednostníme nasledujúci dôkaz založený na Cauchyho-Bolzanovom kritériu. (-:

Dôkaz. Nech f je rovnomerne spojitá funkcia, nech a ∉ D(f) je hromadný bod množiny D(f). Zvoľme ε > 0, potom podľa (94) existuje δ > 0 s vlastnosťou

(∀x, y ∈ D(f))(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε) .  (101)

Nech P (a) := O (\frac{δ}{2} , a) \ \{a\}, potom pre x, y ∈ D(f) ležiace v P (a) platí |x − y| < δ; z (101) teda vyplýva

(∀x, y ∈ P (a) ∩ D(f))(|f(x) − f(y)| < ε) ;

to znamená, že P (a) má vlastnosť požadovnaú v (63). Keďže táto úvaha platí pre každé ε > 0, vyplýva z Cauchyho-Bolzanovho kritéria z poznámky v paragrafe .43 existencia konečnej lim_{x→a} f(x). △

Z práve dokázaného tvrdenia a z poznámok v paragrafe .60 vyplýva, že ku každej rovnomerne spojitej funkcii f : M → R existuje spojitá funkcia g definovaná na uzavretej množine M_{1} taká, že M ⊂ M_{1} a g|_{M} = f.

.80 Veta. Spojitá funkcia definovaná na kompakte je rovnomerne spojitá.

Dôkaz. Sporom; nech f : K → R, kde K ⊂ R je kompaktná množina, je spojitá funkcia, ktorá nie je rovnomerne spojitá. Platí teda

(∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃x, y ∈ K)(|x − y| < δ ∧ |f(x) − f(y)| ≥ ε)

(toto tvrdenie sme získali negáciou výroku (94)), odtiaľ vyplýva, že (ak špeciálne zvolíme δ = \frac{1}{n}) pre každé n ∈ N je množina A_{n} := \{(x, y) ∈ K × K; |x − y| < \frac{1}{n} ∧ |f(x) − f(y) ≥ ε\} neprázdna. Ak z každej z množí[Bn A_{n} vyberieme jednu dvojicu a označíme ju (x_{n}, y_{n}), dostaneme postupnosti {x_{n}}_{n=1}^{∞}, {y_{n}}_{n=1}^{∞} ⊂ K také, že

62alebo zvoliť ľubovoľné iné ε ∈ (0, 2)

63Stačí dokázať, že v prípade, že a ∉ D(f) je hromadný bod množiny D(f), vedie každý z predpokladov ”lim_{x→a} f(x) = ∞”, ”lim_{x→a} f(x) = −∞”, ”lim_{x→a} f(x) neexistuje” ku sporu. V prvých dvoch prípadoch stačí vhodne upraviť naše úvahy o funkcii \frac{1}{x} v bode 0; v treťom prípade použiť úvahy o funkcii sin \frac{π}{x}, v ktorých postupnosti \{a_{n}\}_{n=1}^{∞}, \{b_{n}\}_{n=1}^{∞} nahradíme postupnosťami {x_{n}}_{n=1}^{∞}, {y_{n}}_{n=1}^{∞}, ktorých existenciu zaručuje cvičenie 2 z paragrafu .40 a namiesto (96) použijeme tvrdenie

(∃ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N, n > N)(|f(x_{n}) − f(y_{n})| ≥ ε) , ktoré vyplýva z nerovnosti lim_{n→∞} |f(x_{n}) − f(y_{n})| ≻ 0 (cvičenie z paragrafu .40 a lema .13(e)) a lemy .10(b).

lim_{n→∞}(y_{n} − x_{n}) = 0  (102)

(to vyplýva z nerovností −\frac{1}{n} ≤ y_{n} − x_{n} ≤ \frac{1}{n} a vety .25). Pretože K je kompakt, možno z \{x_{n}\}_{n=1}^{∞} vybrať konvergentnú podpostupnosť {x_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} s limitou a, pričom a ∈ K (implikácia (b)⇒(a) z lemy .48). Podpostupnosti {x_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} zodpovedá vybraná postupnosť {y_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} z postupnosti {y_{n}}_{n=1}^{∞}, ukážeme, že aj ona konverguje k a; z rovností lim_{k→∞} x_{n_{k}} = a, lim_{k→∞}(y_{n_{k}} − x_{n_{k}}) = 0 (druhá z nich vyplýva z (102) a lemy .38) totiž dostávame

lim_{k→∞} y_{n_{k}} = lim_{k→∞} x_{n_{k}} + lim_{k→∞}(y_{n_{k}} − x_{n_{k}}) = a .

Z inklúzie (x_{n_{k}}, y_{n_{k}}) ∈ A_{n_{k}} súčasne vyplýva

(∃ε > 0)(∀k ∈ N)(|f(x_{n_{k}}) − f(y_{n_{k}})| ≥ ε) ,  (103)

čo znamená, že výrok lim_{k→∞} (f(x_{n_{k}}) − f(y_{n_{k}})) = 0 je nepravdivý (z (103) totiž vyplýva jeho negácia). To je ale spor s predpokladom spojitosti funkcie f; podľa vety .54 totiž z rovnosti lim_{k→∞} x_{n_{k}} = a = lim_{k→∞} y_{n_{k}} vyplýva rovnosť lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f(a) = lim_{k→∞} f(y_{n_{k}}), a teda aj rovnosť lim_{k→∞} (f(x_{n_{k}} − f(y_{n_{k}})) = 0.

Poznámky. Ako sa dalo čakať, opäť uvedieme zopár ďalších dôkazov, v prvom z nich budeme tentokrát namiesto s podpostupnosťami pracovať s otvorenými pokrytiami.

1. Nech f je spojitá funkcia definovaná na kompakte K. Zvoľme ε > 0 a hľadajme δ > 0 vyhovujúce podmienkam z (94). Pretože f je spojitá v každom bode množiny K, existuje pre každé a ∈ K okolie O(δ_{a}, a) s vlastnosťou

(∀z ∈ O(δ_{a}, a) ∩ K) (|f(z) − f(a)| < \frac{ε}{2}) .  (104)

:-) Nech O := {O(δ_{a}, a); a ∈ K} je systém všetkých takýchto okolí. Naším cieľom je nájsť δ > 0 tak, aby pre x, y ∈ K z nerovnosti |x − y| < δ už vyplývalo, že v systéme O vieme nájsť okolie O(δ_{a}, a), ktoré obsahuje súčasne x aj y; z inklúzií x ∈ O(δ_{a}, a) ∩ K, y ∈ O(δ_{a}, a) ∩ K totiž na základe (104) dostaneme

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f(a)| + |f(y) − f(a)| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε (− :

Nahraďme teraz každé okolie O(δ_{a}, a) okolím O (\frac{δ_{a}}{2} , a) s polovičným polomerom ^{64}, takto vytvorený systém \{O (\frac{δ_{a}}{2} , a); a ∈ K\} okolí je otvorené pokrytie kompaktu K, preto existuje jeho konečné podpokrytie

P := \{O (\frac{δ_{a_{1}}}{2} , a_{1}) , …, O (\frac{δ_{a_{n}}}{2} , a_{n})\} .

Ukážeme, že číslo

δ := min \{\frac{δ_{a_{1}}}{2} , …, \frac{δ_{a_{n}}}{2} \}

vyhovuje našim požiadavkám:

Keďže P := \{\frac{δ_{a_{1}}}{2} , …, \frac{δ_{an}}{2} \} je konečná množina kladných čísel, je δ > 0 ^{65}. Nech teraz x, y ∈ K, |x − y| < δ.

Pretože P je pokrytie množiny K, platí y ∈ O (\frac{δ_{a_{i}}}{2} , a_{i}) pre niektoré i ∈ \{1, …, n\}, tj.

|y − a_{i}| < \frac{δ_{a_{i}}}{2} .

Pretože |x − y| < δ a δ ≤ \frac{δ_{a_{i}}}{2} , dostávame

|x − a_{i}| ≤ |x − y| + |y − a_{i}| < δ + \frac{δ_{a_{i}}}{2} ≤ \frac{δ_{a_{i}}}{2} + \frac{δ_{a_{i}}}{2} = δ_{a_{i}} ,

tj.

x ∈ O(δ_{a_{i}}, a_{i}) ,

64zmysel tohto kroku sa ozrejmí čitateľovi o malú chvíľočku

65treba si uvedomiť, že - podobne ako v dôkaze vety .77 – využívame existenciu \underline{konečného} podpokrytia P, z ktorej vyplýva, že δ je minimum (a teda aj infímum) \underline{konečnej} množiny P; infímom nekonečnej množiny P kladných čísel môže byť totiž aj číslo 0 (stačí zvoliť napr. P := \{\frac{1}{n}; n ∈ N\})

teda x aj y ležia v O(δ_{a_{i}}, a_{i}) ^{66}. Z (104) (pre a = a_{i}, z = x, resp. a = a_{i}, z = y) potom vyplýva |f(x)−f(a_{i})| < \frac{ε}{2} , |f(y) − f(a_{i})| < \frac{ε}{2} , a odtiaľ

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f(a_{i})| + |f(y) − f(a_{i})| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε ,  (105)

naše δ teda skutočne vyhovuje požiadavkám z (104), čím je dôkaz skončený.

2. Predpokladajme, že K je uzavretý ohraničený interval [α, β]. Ak je ε > 0 dané, možno na dôkaz tvrdenia

(∃δ > 0)(∀x, y ∈ [α, β])(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε)

použiť postup z poznámky 2 v paragrafe .77, v ktorom teraz úlohu množiny B bude hrať množina

{z ∈ (α, β]; (∃δ > 0)(V ([α, z), δ))} ,

pričom V (I, δ) (kde I ⊂ [α, β] je interval a δ > 0) je výroková forma

(∀x, y ∈ I)(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε) ,

a úvahy 1 a 2 budú mať podobu

1. pre každé a ∈ [α, β] existuje δ_{a} > 0 tak, že V (O(δ_{a}, a)∩[α, β], δ_{a}) je pravdivý výrok (δ_{a} stačí zvoliť rovnako ako v (104));

2. nech I, J ⊂ [α, β] sú intervaly a δ_{1}, δ_{2} > 0 sú čísla také, že V (I, δ_{1}) a V (J, δ_{2}) sú pravdivé výroky; ak prienik I ∩ J je nedegenerovaný interval dĺžky δ_{3} a δ_{4} := \frac{1}{2} min\{δ_{1}, δ_{2}, δ_{3}\}, tak platí V (I ∪ J, δ_{4}) (z nerovnosti |x − y| < δ_{4} totiž vyplýva, že body x, y ležia buď obidva v I alebo obidva v J).

Part III

Diferenciálny počet funkcií jednej reálnej premennej

10 Definícia vlastnej a nevlastnej derivácie v bode. Vety o derivácii súčtu, súčinu, zloženej a inverznej funkcie

.81 Definícia. Nech a ∈ R je hromadný bod ^{67} definičného oboru D(f) funkcie f, pričom a ∈ D(f). Ak existuje limita

lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}  (106)

označujeme ju f′(a) ^{68} a hovoríme, že funkcia f má v bode a vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Ak je uvedená limita konečná, nazýva sa číslo f′(a) derivácia funkcie f v bode a (hovoríme tiež, že funkcia f je diferencovateľná v bode a); ak je táto limita nevlastná, hovoríme o nevlastnej derivácii funkcie f v bode a.

Ak v (106) nahradíme limitu pre x → a jednostrannou limitou pre x → a+ (resp. x → a−), používame namiesto označenia f′(a) označenie f′_{+}(a) (resp. f′_{−}(a)) a všetky pojmy definované v predchádzajúcom odstavci dopĺňame o slovo sprava (resp. zľava).

66keďže práve skončená časť dôkazu bola založená na fakte, že z inklúzie y ∈ O (\frac{δ_{ai}}{2} , a_{i}) a nerovnosti |x − y| < δ už vyplýva, že x aj y ležia v tom istom okolí O(δ_{a_{i}}, a_{i}), malo by už byť zrejmé, prečo sme naše konečné podpokrytie nevyberali hneď z pokrytia \{O(δ_{a}, a); a ∈ K\}, ale až z pokrytia \{O (\frac{δ_{a}}{2} , a); a ∈ K\}

67často sa pojem vlastnej a nevlastnej derivácie v bode a definuje za predpokladu, že a je vnútorný bod množiny D(f)

(alebo za trocha všeobecnejšieho predpokladu, že existuje interval J tak, že a ∈ J ⊂ D(f)).

68niekedy aj \frac{df}{dx} |_{x=a} alebo \frac{df(x)}{dx} |_{x=a}

Poznámka. Z častí (a) a (b) lemy .11, resp. z lemy .28 vyplývajú nasledujúce tvrdenia:

Lema.(a) Nech funkcia g je zúžením funkcie f na množinu M. Ak a ∈ M je hromadný bod množiny M a existuje f′(a), tak existuje aj g′(a) a platí g′(a) = f′(a).

(b) Nech sa funkcie f, g zhodujú na niektorom okolí O bodu a ∈ D(f) (tj. D(f) ∩ O = D(g) ∩ O a (∀x ∈

D(f) ∩ O)(f(x) = g(x))). Potom platí: ak existuje f′(a), tak existuje aj g′(a) a g′(a) = f′(a).

(c) Nech funkcia f je definovaná na množine M a bod a ∈ M je hromadný bod množín M_{+} := M ∩ (a, ∞), M_{−} := M ∩ (−∞, a). Potom f′(a) existuje práve vtedy, keď f′_{+}(a) = f′_{−}(a); ^{69} pritom — ak f′(a) existuje — je f′(a) = f′_{+}(a) = f′_{−}(a).

Príklad. 1. Ak označíme f_{1}(x) := sin x, f_{2}(x) := ln(1 + x), f_{3}(x) := e^{x}, môžeme teraz tvrdenia (b), (c) a (d) vety .12 zapísať nasledovne:

(b) f′_{1}(0) = 1 ^{70}; (c) f′_{2}(0) = 1; (d) f′_{3}(0) = 1.

2. Funkcia sgn má v bode 0 nevlastnú deriváciu +∞ (stačí vypočítať (sgn)′_{+}(0), (sgn)′_{−}(0) a použiť tvrdenie (c) predchádzajúcej lemy) ^{71}.

3. Funkcia ^{3} \sqrt{x} má v bode 0 deriváciu +∞. ♠

Tvrdenia z nasledujúceho odstavca viackrát použijeme v našich ďalších úvahách.

.82 Definícia. Hovoríme, že funkcia f : M → R je rastúca v bode a ∈ M, resp. klesajúca v bode a ∈ M, ak existuje prstencové okolie P bodu a také, že

(∀x ∈ P ∩ D(f)) (\frac{f(x) − f(a)}{x − a} > 0) ,

resp.

(∀x ∈ P ∩ D(f)) (\frac{f(x) − f(a)}{x − a} < 0) .

Hovoríme, že funkcia f : M → R má v bode a ∈ M lokálne maximum, ak existuje prstencové okolie P bodu a také, že

(∀x ∈ M ∩ P)(f(x) ≤ f(a) .  (107)

Definíciu lokálneho minima, resp. ostrého lokálneho maxima, resp. ostrého lokálneho minima dostaneme, ak v (107) nerovnosť ≤ nahradíme postupne nerovnosťami ≥, <, >. O lokálnych maximách a minimách hovoríme súhrnne ako o lokáklnych extrémoch, o ostrých lokálnych maximách a ostrých lokálnych minimách ako o ıostrých lokálnych extrémoch.

Lema. (a) Ak je funkcia f v bode a diferencovateľná, tak je tam aj spojitá.

(b) Nech funkcia f má v bode a vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Ak f′(a) > 0 alebo f′(a) = ∞ (tj. ak f′(a) ≻ 0), tak f je v bode a rastúca.

Ak f′(a) ≺ 0, je funkcia f v bode a klesajúca.

(c) Nech funkcia f : M → R nadobúda lokálny extrém v bode a ∈ M. Potom platí:

(c_{1}) ak f nadobúda v a lokálne maximum (lokálne minimum) a existuje f′_{+}(a) ^{72}, tak f′_{+}(a) ⪯ 0 (f′_{+}(a) ⪰ 0);

(c_{2}) ak f nadobúda v a lokálne maximum (lokálne minimum) a existuje f′_{−}(a), tak f′_{−}(a) ⪰ 0 (f′_{−}(a) ⪯ 0);

(c_{3}) ak a je hromadný bod množín M_{+} aj M_{−} (špeciálne: ak M je interval a a je jeho vnútorný bod) a existuje f′(a), tak f′(a) = 0.

Dôkaz. (a) Pretože a ∈ D(f) je hromadný bod množiny D(f) (definícia .81), treba dokázať rovnosť lim_{x→a} f(x) = f(a) (lema z paragrafu .53), tá vyplýva z nasledujúceho výpočtu

lim_{x→a} f(x) = lim (f(a) + \frac{f(x) − f(a)}{x − a}(x − a)) = f(a) + f′(a) · 0 = f(a) .

69tj. (podrobne): keď existujú f′_{+}(a), f′_{−}(a) a platí rovnosť f′_{+}(a) = f′_{−}(a)

70alebo \frac{d(sin x)}{dx} |_{x=0} = 1

71Tento príklad možno zovšeobecniť: ak lim_{x→a−} f(x) < f(a) (resp. lim_{x→a+} f(x) > f(a)), tak f′_{−}(a) = ∞ (resp.

f′_{+}(a) = ∞)

72predpoklad existencie f_{+}(a) v sebe ,,automaticky” zahŕňa podmienku a ∈ M je hromadný bod množiny M ∩ (a, ∞)

(špeciálne, ak M = [c, d], tak predpokladáme, že a ∈ [c, d))

(b) Stačí použiť tvrdenia (b) a (c) lemy .10(b) (v ktorých úlohu funkcie f, resp. bodu b bude teraz mať funkcia \frac{f(x)−f(a)}{x−a}, resp. bod f′(a)).

(c) Nech f nadobúda v bode a lokálne maximum (postup v prípade lokálneho minima je rovnaký); existuje teda prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ M)(f(x) ≤ f(a)) .  (108)

Dokážme teraz (c_{1}): pre x ∈ P ∩ M, x > a (tj. pre x ∈ P ∩ M_{+}) z (108) dostávame \frac{f(x)−f(a)}{x−a} ≤ 0 a — keďže podľa predpokladu existuje f′_{+}(a), z poslednej nerovnosti a vety .24 vyplýva

f′_{+}(a) ⪯ 0 .

Dôkaz tvrdenia (c_{2}) je obdobný.

(c_{3}) Keďže sú splnené predpoklady z (c_{1}) aj (c_{2}), platí f′_{+}(a) ⪯ 0 a f′_{−}(a) ⪰ 0. Podľa lemy v poznámke z paragrafu .81 musí platiť f′_{+}(a) = f′_{−}(a); to je možné len vtedy, keď f′_{+}(a) = f′_{−}(a) = 0, tj. keď f′(a) = 0.

Poznámky – k tvrdeniu (a): 1. Obrátená implikácia neplatí; existujú teda funkcie, ktoré sú v niektorom hromadnom bode svojho definičného oboru spojité, ale nie sú tam diferencovateľné. Klasickým príkladom je funkcia f(x) = |x|, ktorá je spojitá v bode 0, ale — keďže f′_{+}(0) = 1, f′_{−}(0) = −1 — nie je diferencovateľná v bode

0 (lema z poznámky v paragrafe .81). Iným príkladom je funkcia g(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ∈ Q \\ 2x , ak & x ∈ R \ Q \end{matrix} , ktorá je spojitá

v bode 0, ale nie je tam diferencovateľná a nemá tam vlastné ani nevlastné jednostranné derivácie (neexistencia

lim_{x→0} \frac{g(x)−g(0)}{x−0} vyplýva z lemy .11(c), v ktorej položíme f(x) := \frac{g(x)}{x}, M_{1} := Q \ \{0\}, M_{2} := R \ Q, podobne sa

dokáže neexistencia g′_{+}(0), g′_{−}(0)).

2. Z existencie \underline{nevlastnej} derivácie v bode a už spojitosť v tomto bode vyplývať nemusí^{73}; napr. funkcia sgn má v bode 0 — ktorý je jej bodom nespojitosti — nevlastnú deriváciu +∞ (príklad 2 z paragrafu .81).

– k tvrdeniu (c): 1. Toto tvrdenie možno dokázať aj na základe bodu (b); dokážeme napr (c_{3}). Nepriamo: keby platilo f′(a) ≻ 0, bola by funkcia f rastúca v bode a, odtiaľ by vyplývalo, že v každom prstencovom okolí bodu a sú body s funkčnými hodnotami väčšími než f(a) (tie by ležali v množine M_{+}) aj body s funkčnými hodnotami menšími než f(a); to ale znamená, že v bode a nemôže mať f lokálny extrém; podobne by sa postupovalo v prípade f′(a) ≺ 0.

2. Predpoklad a je hromadný bod množiny M_{+} aj množiny M_{−} (tj. špeciálne a je vnútorný bod intervalu M) je v tvrdení (c_{3}) podstatný: funkcia f : [0, 1] → R s predpisom f(x) = x má v bode 0 lokálne minimum, ale f′(0) = 1.

.83 Veta (o derivácii skalárneho násobku, súčtu, súčinu a podielu). Nech funkcie f, g : M → R sú diferencovateľné v bode a ∈ M, nech k ∈ R. Potom

(a) (k · f)′(a) = k · f′(a);

(b) (f + g)′(a) = f′(a) + g′(a);

(c) (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a);

(d) ak g(a) ≠ 0, tak (\frac{f}{g} )′ (a) = \frac{f′(a)g(a)−f(a)g′(a)}{g^{2}(a)}.

Dôkaz. (c)

(fg)′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x)g(x) − f(a)g(a)}{x − a} =
= lim_{x→a} (\frac{f(x)g(x) − f(a)g(x)}{x − a} + \frac{f(a)g(x) − f(a)g(a)}{x − a}) =

= lim_{x→a} (g(x)\frac{f(x) − f(a)}{x − a} + f(a)\frac{g(x) − g(a)}{x − a}) =

= lim_{x→a} g(x) · lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} + f(a) · lim_{x→a} \frac{g(x) − g(a)}{x − a} =
= g(a)f′(a) + f(a)g′(a) ;

73to zrejme súvisí s faktom, že limita lim_{x→a} (\frac{f(x)−f(a)}{x−a} (x − a)), na výpočet ktorej sme v dôkaze lemy .82(a) mohli použiť vetu o limite súčinu, je v prípade f′(a) = ∞ (alebo f′(a) = −∞) neurčitým výrazom typu ∞ · 0 (alebo −∞ · 0).

pritom rovnosť lim_{x→a} g(x) = g(a) vyplýva z lemy .82(a).

(d) Stačí dokázať rovnosť (\frac{1}{g})′ (a) = −\frac{g′(a)}{g^{2}(a)}, z nej a z tvrdenia (c) bude už vyplývať tvrdenie (d):

(\frac{1}{g})′ (a) = lim_{x→a} \frac{\frac{1}{g(x)} − \frac{1}{g(a)}}{x − a} = lim_{x→a} (−\frac{1}{g(x)g(a)} · \frac{g(x) − g(a)}{x − a}) =
= −\frac{1}{g^{2}(a)}g′(a) ,

pritom rovnosť lim_{x→a} (−\frac{1}{g(x)g(a)}) = −\frac{1}{g^{2}(a)} vyplýva opäť z lemy .82(a) (a samozrejme z tvrdení (c) a (d) vety .15).

Poznámky. 1. Tvrdenie (b) možno zrejme matematickou indukciou rozšíriť nasledovne: ak funkcie h_{1}, …, h_{n} definované na množine M sú diferencovateľné v bode a, tak

(∑_{i=1}^{n} h_{i})′ (a) = ∑_{i=1}^{n} h′_{i}(a) .

2. Tvrdenia (a) a (b) možno doplniť ešte touto informáciou (ktorej dôkaz prenechávame na čitateľa):

(a’) ak k ∈ R \ {0} a funkcia f má v bode a nevlastnú deriváciu, tak aj funkcia k · f má v bode a nevlastnú deriváciu;

(b’) ak funkcia g : M → R je v bode a ∈ M diferencovateľná a f : M → R tam má nevlastnú deriváciu +∞ (resp. −∞), tak (f + g)′(a) = ∞ (resp. (f + g)′ = −∞).

.84 Veta (o derivácii zloženej funkcie, reťazcové pravidlo). Nech funkcia f je diferencovateľná v bode a, funkcia g v bode f(a). Ak a ∈ D(g ∘ f) je hromadný bod množiny D(g ∘ f), ^{74} tak je v bode a diferencovateľná aj funkcia g ∘ f a platí

(g ∘ f)′(a) = f′(a) · g′(f(a)) .  (109)

Dôkaz. Predpokladajme najprv, že f′(a) ≠ 0. Potom je funkcia f buď rastúca alebo klesajúca v bode a (lema .82(b)); iste teda existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ D(f))(f(x) ≠ f(a)) .

Keďže P ∩ D(g ∘ f) ⊂ P ∩ D(f), platí aj

(∀x ∈ P ∩ D(g ∘ f))(f(x) ≠ f(a))  (110)

a pre x ∈ P ∩ D(g ∘ f) môžeme preto písať

\frac{(g ∘ f)(x) − (g ∘ f)(a)}{x − a} = \frac{g(f(x)) − g(f(a))}{f(x) − f(a)} · \frac{f(x) − f(a)}{x − a} .  (111)

Z (111) a z rovností

lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = f′(a) ,

lim_{x→a} \frac{g(f(x)) − g(f(a))}{f(x) − f(a)} = |f(x) = y| = ^{75} lim_{y→f(a)} \frac{g(y) − g(f(a))}{y − f(a)} = g′(f(a))

potom (veta .15(c) ^{76}, lema .11(b)) vyplýva

(g ∘ f)′(a) = lim_{x→a} \frac{g(f(x)) − g(f(a))}{x − a} = g′(f(a)) · f′(a) ,

74pozri poznámku pod čiarou k tvrdeniu vety .17

75táto rovnosť vyplýva z vety .17 o limite zloženej funkcie: použili sme substitúciu y = f(x), z lemy .82(a) dostávame lim_{x→a} f(x) = f(a); keďže vonkajšia zložka, ktorou je v tomto prípade funkcia \frac{g(y)−g(f(a))}{y−f(a)} , nie je definovaná v bode f(a), je splnená podmienka (b) vety .17

76keďže definičné obory súčiniteľov na pravej strane rovnosti (111) (tj. množiny D(g ∘ f) ∩ {x ∈ D(f); f(x) ≠ f(a)} a D(f) \ {a}) nemusia byť totožné, využívame poznámku z paragrafu .15

čo sme chceli dokázať. △ Nech teraz f′(a) = 0, rovnosť (109), ktorú dokazujeme, má potom tvar

(g ∘ f)′(a) = 0 .  (112)

Označme D_{1} := {x ∈ D(g ∘ f); f(x) ≠ f(a)}, D_{2} := {x ∈ D(g ∘ f); f(x) = f(a)} a rozlíšme tri prípady 77:

1. Ak a nie je hromadný bod množiny D_{1}, tak existuje prstencové okolie P tohto bodu neobsahujúce prvky z D_{1}. Keďže takéto P spĺňa podmienku (110), môžeme teraz zopakovať postup, ktorý sme použili pre f′(a) ≠ 0, čím je v tomto prípade dôkaz skončený.

2. Ak a nie je hromadný bod množiny D_{2}, tak pre niektoré jeho prstencové okolie R platí

(∀x ∈ R ∩ D(g ∘ f))(f(x) = f(a)) ,

odtiaľ vyplýva

(∀x ∈ R ∩ D(g ∘ f), x ≠ a) (\frac{(g ∘ f)(x) − (g ∘ f)(a)}{x − a} = 0) ,

preto

(g ∘ f)′(a) = lim_{x→a} \frac{(g ∘ f)(x) − (g ∘ f)(a)}{x − a} = 0 ,

čo sme chceli dokázať (pozri (112)). 3. Ak a je hromadný bod množiny D_{1} aj množiny D_{2}, označme F : D(g ∘f)\{a} funkciu s predpisom

F (x) = \frac{(g ∘ f)(x) − (g ∘ f)(a)}{x − a} ;

nech

F_{1} := F |_{D_{1}} , F_{2} := F |_{D_{2}} .

Keďže pre x ∈ D_{2} \ {a} je F (x) = 0, platí

lim_{x→a} F_{2}(x) = 0 .  (113)

Pre x ∈ D_{1} možno použiť rovnosť (111), z ktorej (rovnako ako v prípade f′(a) ≠ 0) odvodíme rovnosť

lim_{x→a} F_{1}(x) = f′(a) · g′(f(a)) = 0 .  (114)

Z (113) a (114) vyplýva podľa lemy .11(d)

(g ∘ f)′(a) = lim_{x→a} F (x) = 0 ,

čo je dokazovaná rovnosť (112). ♠

Nasledujúce tvrdenie možno vydedukovať z geometrickej interpretácie: Keďže grafy prostej funkcie f a inverznej funkcie f^{−1} sú súmerné podľa priamky y = x, je aj dotyčnica t ku grafu funkcie f v bode (b, f(b)) súmerná podľa tejto priamky s dotyčnicou t′ ku grafu funkcie f^{−1} v súmernom bode (a, f^{−1}(a)), kde a = f(b) (pokiaľ tieto dotyčnice existujú). Orientované uhly α, resp. α′, zvierané priamkou t, resp. t′, a kladnou časťou osi Ox teda spĺňajú rovnosť α′ − \frac{π}{4} = \frac{π}{4} − α, odtiaľ α′ = \frac{π}{2} − α, preto — pokiaľ α ∈ D(tg) a tg α ≠ 0 — platí tg α′ = tg (\frac{π}{2} − α) = \frac{1}{tg α}. Pokiaľ α = 0 (resp. α = \frac{π}{2} alebo α = − \frac{π}{2} ), je priamka t rovnobežná s osou Ox (resp. s osou Oy), a t′ je teda rovnobežná s Oy (resp. s Ox).

.85 Veta (o derivácii inverznej funkcie) Nech prostá funkcia f : M → R je diferencovateľná v bode f^{−1}(a), kde a ∈ f(M). Ak inverzná funkcia f^{−1} je v bode a spojitá, tak tam má aj vlastnú alebo nevlastnú deriváciu, pričom platí

(a) ak f′(f^{−1}(a)) ∈ R \ \{0\}, tak (f^{−1})′(a) = \frac{1}{f′(f^{−1}(a))};

(b) ak f′(f^{−1}(a)) = 0 a f je v bode f^{−1}(a) rastúca, tak (f^{−1})′(a) = ∞;

(c) ak f′(f^{−1}(a)) = 0 a f je v bode f^{−1}(a) klesajúca, tak (f^{−1})′(a) = −∞.

77to, že nastane práve jedna z nasledujúcich možností, vyplýva z tvrdenia ak D = D_{1} ∪ D_{2} a bod a je hromadný bod množiny D, tak a je hromadný bod množiny D_{1} alebo hromadný bod množiny D_{2}

Dôkaz. Keďže bod b := f^{−1}(a) je hromadný bod množiny M (definícia .81) a funkcia f je prostá a spojitá v bode b (lema .82(a)), je bod a = f(b) hromadný bod množiny D(f^{−1}) = f(M) (dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa).

Tvrdenie (a) potom vyplýva z výpočtu

(f^{−1})′(a) = lim_{x→a} \frac{f^{−1}(x) − f^{−1}(a)}{x − a} = |f^{−1}(x) = y| =^{(1)} lim_{y→f^{−1}(a)} \frac{y − f^{−1}(a)}{f(y) − a} =
= lim_{y→b} \frac{y − b}{f(y) − f(b)} = lim_{y→b} \frac{1}{\frac{f(y)−f(b)}{y−b}} =^{(2)} \frac{1}{f′(b)} =

= \frac{1}{f′(f^{−1}(a))} ,

pričom rovnosť (1) je dôsledkom vety .17 o limite zloženej funkcie ^{78}.

V prípade (b) bude zápis výpočtu (f^{−1})′(a) rovnaký až po rovnosť (2), ktorú teraz nahradí rovnosť

lim_{y→b} \frac{1}{\frac{f(y)−f(b)}{y−b}} = ∞ ,

vyplývajúca z vety .18(b): podľa predpokladu je totiž lim_{y→b} \frac{f(y)−f(b)}{y−b} = 0 a — pretože f je v bode

b = f^{−1}(a) rastúca — funkcia \frac{f(y)−f(b)}{y−b} je v niektorom prstencovom okolí bodu b kladná.

Postup v prípade (c) je obdobný. ♠

Postačujúcu podmienku spojitosti inverznej funkcie formuluje dôsledok z paragrafu .70 ^{79}, z ktorého vyplýva nasledujúce tvrdenie.

Dôsledok. Inverzná funkcia f^{−1} k prostej spojitej funkcii definovanej na intervale I a diferencovateľnej v bode b := f^{−1}(a) má v bode a (= f(b)) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu, pričom platí (a), (b),

(c) z predchádzajúcej vety.

Poznámky. 1. Ukážeme, že predpoklad f^{−1} je v bode a spojitá nemožno vo vete o derivácii inverznej funkcie vynechať:

Uvažujme funkciu f : R \ \{\frac{1}{n}; n ∈ N\} danú predpisom

f(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ∈ R \ (\{\frac{1}{n}; n ∈ N\} ∪ N) \\ \frac{1}{x} , ak & x ∈ N \end{matrix} ;

táto funkcia je prostá, f′(0) = 1,

f^{−1}(x) = \{ \begin{matrix}x , ak & x ∈ R \ (\{\frac{1}{n}; n ∈ N\} ∪ N) \\ \frac{1}{x} , ak & x ∈ \{\frac{1}{n}; n ∈ N\} \end{matrix} ,

ale (f^{−1})′(0) neexistuje (vyplýva to z lemy .11(c); ak totiž označíme F funkciu definovanú na R \ (N ∪ {0})

predpisom F (x) = \frac{f(x)−f(0)}{x−0} , tak pre F_{1} := F |_{\{ \frac{1}{n};n∈N\}}, resp. F_{2} := F |_{\{− \frac{1}{n};n∈N\}} platí lim_{x→0} F_{1}(x) = ∞, resp.

lim_{x→0} F_{2}(x) = 1).

2. V tvrdení vety o derivácii inverznej funkcie možno ešte doplniť nasledujúci bod:

(d) ak f′(f^{−1}(a)) = 0 a funkcia f v bode b := f^{−1}(a) nie je ani rastúca ani klesajúca, tak (f^{−1})′(a) neexistuje.

(Ak totiž f nie je v bode b rastúca ani klesajúca, je b hromadným bodom množín M_{1} := \{y ∈ D(f) \ \{b\}; \frac{f(y)−f(b)}{y−b} > 0\} aj M_{2} := \{y ∈ D(f) \ \{b\}; \frac{f(y)−f(b)}{y−b} < 0\}; ak teraz funkcia F : D(f^{−1})\\{a\} je daná predpisom F (x) = \frac{f^{−1}(x)−f^{−1}(a)}{x−a}, tak pre F_{1} := F |_{f(M_{1})}, resp. F_{2} := F |_{f(M_{2})} dostaneme zopakovaním postupu z dôkazu vety o derivácii inverznej

funkcie rovnosti lim_{x→a} F_{1}(x) = ∞, resp. lim_{x→a} F_{2}(x) = −∞)

Cvičenie. Dokážte nasledujúce tvrdenie dopĺňajúce vetu .85:

Ak prostá spojitá funkcia f : M → R je v bode b := f^{−1}(a) (kde a ∈ f(M)) spojitá a má tam nevlastnú deriváciu, tak (f^{−1})′(a) = 0.

78funkcia y = f^{−1}(x), predstavujúca substitúciu, je podľa predpokladu spojitá v bode a, preto lim_{x→a} f^{−1}(x) = f^{−1}(a), oprávnenie na použitie vety .17 vyplýva zo splnenia jej podmienky (b)

79a tiež poznámka 1 v tom istom paragrafe

11 Derivácia ako funkcia. Derivácie vyšších rádov. Derivácie elementárnych funkcií

.86 Definícia. Ak je daná funkcia f : M → R, nazýva sa funkcia, definovaná na množine D všetkých tých x ∈ M, v ktorých je funkcia f diferencovateľná, a priraďujúca každému prvku x ∈ D hodnotu f′(x), derivácia funkcie f a označuje sa f′.

Ak D = M, nazýva sa funkcia f diferencovateľná. Ak je naviac funkcia f′ spojitá, nazýva sa f spojito diferencovateľná.

Funkcia f sa nazýva diferencovateľná (resp. spojito diferencovateľná) na množine M (∅ ≠ M ⊂ D(f)), ak je diferencovateľná (resp. spojito diferencovateľná) funkcia f|_{M}.

Derivácie vyšších rádov funkcie f : M → R definujeme indukciou: pre n = 0 položíme

f^{(0)} := f

a pre n ∈ N potom definujeme

f^{(n)} := (f^{(n−1)})′ .

Takto definovaná funkcia f^{(n)} sa nazýva n-tá derivácia funkcie f. Ak a ∈ D (f^{(n)}), hovoríme, že funkcia f je v bode a n-krát diferencovateľná (alebo, že má n-tú deriváciu v bode a). Ak funkcia f^{(n−1)} má v bode a vlastnú alebo nevlastnú deriváciu, hovoríme, že f má v bode a vlastnú alebo nevlastnú n-tú deriváciu. Ak D (f^{(n)}) = M, hovoríme, že funkcia f je n-krát diferencovateľná. Pojmy n-krát spojito diferencovateľnej funkcie a funkcie n-krát diferencovateľnej (resp. n-krát spojito diferencovateľnej na množine M) sú pre n > 1 definované analogicky ako pre n = 1.

Namiesto označení f^{(1)}, f^{(2)}, f^{(3)}, f^{(4)}, f^{(5)}, f^{(6)}, … používame aj označenia f′, f′′, f′′′, f^{IV} , f^{V} , f^{V I}, … 80.

.87 Lema (Leibnizova formula). Nech funkcie f : M → R, g : M → R sú

(i) (n − 1)-krát diferencovateľné (n ∈ N) ^{81} a

(ii) majú n-tú deriváciu v bode a. Potom je v bode a n-krát diferencovateľná aj funkcia fg a platí

(fg)^{(n)}(a) = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) f^{(k)}(a)g^{(n−k)}(a) ^{82}.  (115)

Dôkaz. Použijeme indukciu.

1^{∘} Pre n = 1 je naše tvrdenie totožné s vetou .83(c).

2^{∘} Nech teraz platí (i) a (ii) pre n = i + 1, tj. nech funkcie f, g : M → R sú i-krát diferencovateľné a majú (i + 1)-vú deriváciu v bode a. Z prvého z týchto predpokladov vyplýva, že pre n = i je (i) a (ii) splnené v každom bode x ∈ M, preto (podľa indukčného predpokladu)

(fg)^{(i)}(x) = ∑_{k=0}^{i} ( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) f^{(k)}(x)g^{(i−k)}(x) .  (116)

Z predpokladov pre n = i + 1 ďalej vyplýva, že každá z funkcií f^{(0)}, f^{(1)}, …, f^{(i)}, g^{(0)}, g^{(1)}, …, g^{(i)} je definovaná na M a diferencovateľná v bode a, preto (tvrdenia (a) a (c) vety .83) platí

(( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) f^{(k)}g^{(i−k)})′ (a) = ( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) f^{(k)}(a)g^{i+1−k)}(a) + ( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) f^{(k+1)}(a)g^{(i−k)}(a) ,

80namiesto označenia f^{(n)} sa používa aj symbol \frac{d^{n}f}{dx^{n}} alebo \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}

81tento predpoklad v prípade n = 1 neobsahuje žiadnu informáciu o funkciách f, g a je vtedy totožný s predpokladom nech funkcie f, g sú definované na množine M

82pripomeňme, že f^{(0)} := f, g^{(0)} := g, ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) := \frac{n!}{k!(n−k)!} , pričom 0! := 1, (n + 1)! := n!(n + 1)

odtiaľ, z (116) a z poznámky za vetou .83 potom dostávame

(fg)^{(i+1)}(a) = ((fg)^{(i)})′ (a) = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) (f^{(k)}g^{(i−k)})′ (a) =

= [( \begin{matrix}i \\ 0 \end{matrix} ) f(a)g^{(i+1)}(a) + ( \begin{matrix}i \\ 0 \end{matrix} ) f^{(1)}(a)g^{(i)}(a)] +

+ [( \begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix} ) f^{(1)}(a)g^{(i)}(a) + ( \begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix} ) f^{(2)}(a)g^{(i−1)}(a)] + ⋯ +

+ [( \begin{matrix}i \\ i − 1 \end{matrix} ) f^{(i−1)}(a)g^{(2)}(a) + ( \begin{matrix}i \\ i − 1 \end{matrix} ) f^{(i)}(a)g^{(1)}(a)] +

+ [( \begin{matrix}i \\ i \end{matrix} ) f^{(i)}(a)g^{(1)}(a) + ( \begin{matrix}i \\ i \end{matrix} ) f^{(i+1)}(a)g(a)] .

Na dokončenie nášho dôkazu teraz stačí s využitím rovnosti

( \begin{matrix}i \\ k − 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}i \\ k \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}i + 1 \\ k \end{matrix} )

sčítať vždy druhý sčítanec jednej hranatej zátvorky s prvým sčítancom nasledujúcej hranatej zátvorky a na úpravu prvého sčítanca v prvej a druhého sčítanca v poslednej hranatej zátvorke použiť rovnosti

( \begin{matrix}i \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}i + 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}i + 1 \\ i + 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}i \\ i \end{matrix} ) = 1 .

.88 Derivácie základných elementárnych funkcií uvádzame v nasledujúcej tabuľke (rovnosť

(f(x))′ = g(x), x ∈ D, pritom znamená, že funkcia g definovaná na množine D predpisom g(x), je deriváciou elementárnej funkcie s predpisom f(x); pokiaľ množina D nie je uvedená, je ňou definičný obor elementárnej funkcie s predpisom g(x)).

(1) (const)′ ≡ 0 , x ∈ R
(2) (x)′ ≡ 1 , x ∈ R  (3) (x^{α})′ = αx^{α−1} (α ∈ R \ {0, 1})
(4) (e^{x})′ = e^{x}  (5) (a^{x})′ = a^{x} ln a
(6) (ln x)′ = \frac{1}{x} , x ∈ (0, ∞)  (7) (log_{a} x)′ = \frac{1}{x ln a} , x ∈ (0, ∞)
(8) (sin x)′ = cos x  (9) (cos x)′ = sin x
(10) (tg x)′ = \frac{1}{cos^{2} x}  (11) (ctg x)′ = − \frac{1}{sin^{2} x}
(12) (arcsin x)′ = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}}  (13) (arccos x)′ = −\frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}}
(14) (arctg x)′ = \frac{1}{1+x^{2}}  (15) (arcctg x)′ = −\frac{1}{1+x^{2}}
(16) (sh x)′ = ch x  (17) (ch x)′ = sh x

Venujme niekoľko poznámok odvodeniu týchto rovností.

Vzťahy (1) a (2) možno ľahko dokázať na základe definície derivácie.

Rovnosť (4) vyplýva z tvrdenia (d) vety .12 (ktorého dôkaz obsiahnutý v príkladoch .33, .34 a v cvičení .35 sa zakladá na definícii exponenciálnej a logaritmickej funkcie v paragrafoch .72 a .73) na základe nasledujúceho výpočtu

lim_{x→a} \frac{e^{x} − e^{a}}{x − a} = lim_{x→a} e^{a} \frac{e^{x−a} − 1}{x − a} = |x − a = y| = ^{83}e^{a} lim_{y→0} \frac{e^{y} − 1}{y} =
= e^{a} .

83oprávnenie k použitiu substitúcie x − a = y je dané splnením podmienky (a) (aj splnením podmienky (b)) z vety .17 o limite zloženej funkcie

(5) vyplýva zo (4) na základe vety o derivácii zloženej funkcie: nech f : R → R, resp. g : R → R je funkcia s predpisom f(x) = x ln a, resp. g(x) = e^{x}. Potom f′(x) = ln a (veta .83(a) a rovnosť (2) z našej tabuľky), g′(x) = e^{x}. Keďže a^{x} = (g ∘ f)(x), je podľa vety .84

(a^{x})′ = g′(f(x))f′(x) = e^{f(x)}f′(x) = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

(6) možno odvodiť zo (4) na základe vety o derivácii inverznej funkcie ^{84}: ak funkcia f : R → R je daná predpisom f(x) = e^{x}, tak f′(x) = e^{x} = f(x) a ln x = f^{−1}(x), preto (veta .85)

(ln x)′ = \frac{1}{f′ (f^{−1}(x))} = \frac{1}{f (f^{−1}(x))} = \frac{1}{x} .

(7) potom vyplýva zo (6) na základe rovnosti log_{a} x = \frac{ln x}{ln a} (pozri (87)) a vety .83(a). Rovnosť (8) vyplýva z vety .12(b), zo spojitosti funkcie cos a ^{85} zo súčtových vzorcov (dôkaz všetkých uve-

dených skutočností zatiaľ ešte stále presahuje naše možnosti) nasledovne

lim_{x→a} \frac{sin x − sin a}{x − a} = lim_{x→a} \frac{2 cos \frac{x+a}{2} sin \frac{x−a}{2}}{x − a} = lim_{x→a} cos \frac{x + a}{2} · lim_{x→a} \frac{sin \frac{x−a}{2}}{\frac{x−a}{2}} =

= (cos a) · lim_{x→a} \frac{sin \frac{x−a}{2}}{\frac{x−a}{2}} = |\frac{x − a}{2} = y| = (cos a) · lim_{y→0} \frac{sin y}{y} =
= cos a .

Odvodenie rovnosti (9) založené na súčtových vzorcoch, spojitosti funkcie sin a vete .12(b) je obdobné. Vzťahy (10) a (11) vyplývajú z (8) a (9) na základe vety .83(d) o derivácii podielu.

(12) vyplýva z (8) podľa vety o derivácii inverznej funkcie: ak označíme f := sin |_{[− \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]}, tak f′(x) = cos x , x ∈

[− \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] (tvrdenie (a) lemy z poznámky v paragrafe .81) a arcsin x = f^{−1}(x), preto pre x ∈ (−1, 1) (pre tieto x je totiž f′(f^{−1}(x)) ≠ 0) dostávame

(arcsin x)′ = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))} = \frac{1}{cos(arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} ;

súčasne podľa tvrdenia (b) vety .85 je (f^{−1})′ (1) = ∞, (f^{−1})′ (−1) = ∞, preto 1, −1 ∉ D((f^{−1})′).

Odvodenie rovností (13), (14), (15) je obdobné. Vzťahy (16) a (17) vyplývajú zo (4) a rovností sh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} , ch x = \frac{e^{x}+e^{−x}}{2} . Dôkaz rovnosti (3) bude pre α ∈ Q \ {0, 1} založený na identite ^{86}

A^{r} − B^{r} = (A − B) (A^{r−1} + A^{r−2}B + ⋯ + A^{r−k}B^{k−1} + ⋯ + AB^{r−2} + B^{r−1}) ,  (117)

kde A, B ∈ R , r ∈ N.

Začnime prípadom α = n (n ∈ N), pre a ≠ 0 dostávame

lim_{x→a} \frac{x^{n} − a^{n}}{x − a} = lim_{x→a} (x^{n−1} + x^{n−2}a + ⋯ + xa^{n−2} + a^{n−1}) = na^{n−1} ,  (118)

pričom posledná rovnosť vyplýva zo spojitosti limitovanej funkcie v bode a.

Pre α = −n (n ∈ N) a a ≠ 0 je

lim_{x→a} \frac{\frac{1}{x^{n}} − \frac{1}{a^{n}}}{x − a} = lim_{x→a} (− \frac{1}{x^{n}a^{n}} · \frac{x^{n} − a^{n}}{x − a} ) = − \frac{1}{a^{2n}} na^{n−1} = −na^{−n−1} .  (119)

V prípade α = \frac{p}{q}, kde p ∈ Z \ \{0\} a q ∈ N sú nesúdeliteľné, platí pre a ≠ 0

lim_{x→a} \frac{(x^{p})^{\frac{1}{q}} − (a^{p})^{\frac{1}{q}}}{x − a} = lim_{x→a} (\frac{x^{p} − a^{p}}{x − a} ·

lim_{x→a} \frac{ln x − ln a}{x − a} = lim_{x→a} \frac{ln \frac{x}{a}}{x − a} = lim_{x→a} \frac{ln (1 + \frac{x−a}{a})}{\frac{x−a}{a}} · \frac{1}{a} = \frac{1}{a} .

84samozrejme, možno tiež využiť tvrdenie (c) vety .12 (dokázané v príklade .34 na základe niektorých faktov o funkcii ln odvodených v paragrafe .73):

85ešte presnejšie: zo spojitosti funkcie f(x) = cos \frac{x+a}{2} v bode a 86pri dokazovaní (3) pre prípad α ∈ Q \ {0, 1} možno postupovať aj nasledovne: v prípade α ∈ N použiť matematickú indukciu (a pritom využiť rovnosť (2) a tvrdenie (c) vety .83); pomocou vety .85 potom dokázať (3) pre α = \frac{1}{n} a napokon pomocou vety .84 pre α = \frac{p}{q}; aj pri tomto postupe však treba dôkaz rovnosti (3) v bode 0 robiť niekedy samostatne

· \frac{1}{(x^{\frac{p}{q}} )^{q−1} + (x^{\frac{p}{q}} )^{q−2} a^{\frac{p}{q}} + (x^{\frac{p}{q}} )^{q−3} (a^{\frac{p}{q}} )^{2} + ⋯ + x^{\frac{p}{q}} (a^{\frac{p}{q}} )^{q−2} + (a^{\frac{p}{q}} )^{q−1}} ) =

= pa^{p−1} \frac{1}{q (a^{\frac{p}{q}} )^{q−1}} = \frac{p}{q} a^{\frac{p}{q} −1} ,

pritom v prvej rovnosti sme použili (117) (kde sme položili r = q , A = x^{\frac{p}{q}} , B = a^{\frac{p}{q}} ), druhá rovnosť vyplýva zo spojitosti v bode a každého zo sčítancov v menovateli druhého zlomku a z už dokázaných vzťahov (118), resp.

(119) ^{87}.

Pre α ∈ R \ Q a a ≠ 0 vyplýva rovnosť (3) zo vzťahov (.72) a (89) (ktorými je v tomto prípade mocninová funkcia x^{α} definovaná) a zo (4).

Dôkaz vzťahu (3) v bode x = 0 (pokiaľ 0 ∈ D((x^{α})′)) prenechávame na čitateľa.

12 Vety o strednej hodnote

.89 Veta (Rolleho veta o strednej hodnote). Nech funkcia f je spojitá na intervale [a, b] a má v každom bode x ∈ (a, b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Ak f(a) = f(b), tak pre niektoré c ∈ (a, b) platí f′(c) = 0.

Dôkaz. Pretože uzavretý ohraničený interval [a, b] je kompaktná množina (veta .50), existuje podľa vety .78 max_{x∈[a,b]} f(x) aj min_{x∈[a,b]} f(x); nech f(c_{1}) := max_{x∈[a,b]} f(x), f(c_{2}) := min_{x∈[a,b]} f(x). Ak aspoň jeden z bodov c_{1}, c_{2} je vnútorným bodom intervalu [a, b], tak v ňom — keďže globálny extrém na [a, b] je aj lokálnym extrémom — musí mať podľa tvrdenia (c3) lemy .82 funkcia f nulovú deriváciu.

Ak c_{1} ani c_{2} nie sú vnútorné body intervalu [a, b], vyplýva z predpokladu f(a) = f(b) rovnosť max_{x∈[a,b]} f(x) = min_{x∈[a,b]} f(x); to znamená, že f je konštantná na [a, b], a rovnosť f′(c) = 0 platí teda pre každé c ∈ (a, b).

Poznámka. Na podobných myšlienkach je založený dôkaz nasledujúcej vety.

Veta. Ak I je interval a funkcia f : I → R je diferencovateľná, tak jej derivácia je darbouxovská.

Dôkaz. Nech a, b ∈ I, a < b, nech f′(a) < f′(b) (postup v prípade f′(a) > f′(b) je rovnaký), nech d ∈ (f′(a), f′(b)), chceme dokázať (lema z paragrafu .67), že pre niektoré c ∈ (a, b) platí f′(c) = d.

Spojitá funkcia g : [a, b] → R daná predpisom g(x) = f(x)−dx nadobúda na [a, b] globálne maximum. Pretože g′(a) = f′(a) − d < 0 a g′(b) > 0, je funkcia g klesajúca v bode a a rastúca v bode b (lema .82(b)), preto globálne maximum nemôže nadobúdať ani v a ani v b, nadobúda ho teda v niektorom vnútornom bode c intervalu [a, b]. Z lemy .82(c) potom vyplýva

0 = g′(c) = f′(c) − d ,

tj.

f′(c) = d ,

čo sme chceli dokázať. ♠

Nasledujúce tvrdenie, ktoré odvodíme z Rolleho vety, má názornú geometrickú interpretáciu: ak graf spojitej funkcie f : [a, b] → R má v každom bode s výnimkou bodov (a, f(a)), (b, f(b)) dotyčnicu, potom niektorá z týchto dotyčníc je rovnobežná so spojnicou krajných bodov grafu funkcie f.

.90 Veta (Lagrangeova veta o strednej hodnote). Nech funkcia f je spojitá na intervale [a, b] a má v každom jeho vnútornom bode vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Potom pre niektoré c ∈ (a, b) platí rovnosť

f′(c) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a} ,

tj.

f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) .

lim_{x→a} \frac{(x^{\frac{1}{q}} )^{p} − (a^{\frac{1}{q}} )^{p}}{x − a} = |x^{\frac{1}{q}} = y| = lim_{y→A} \frac{y^{p} − A^{p}}{y^{q} − A^{q}} = lim_{y→A} \frac{\frac{y^{p}−A^{p}}{y−A}}{\frac{y^{q}−A^{q}}{y−A}} = \frac{pA^{p−1}}{qA^{q−1}} = \frac{p}{q} a^{\frac{p}{q} −1} .

87inou možnosťou je použitie substitúcie x^{\frac{p}{q}} = y; ak označíme A := a^{\frac{1}{q}}, dostaneme (pozri tiež posledný odstavec poznámky 2 v paragrafe .71)

Dôkaz. Nech F := f + g, pričom g : [a, b] → R je funkcia s predpisom

g(x) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}(x − a) ,^{88}  (120)

potom F je spojitá, má v každom bode x ∈ (a, b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu (veta .83(b) a poznámka 2 za ňou) a platí F (a) = F (b) ( = f(a)). Funkcia F teda spĺňa všetky predpoklady Rolleho vety o strednej hodnote, preto existuje c ∈ (a, b) tak, že

F′(c) = 0 .

Keďže funkcie F a g sú v bode c diferencovateľné, vyplýva z rovnosti f = F + g vzťah

f′(c) = F′(c) + g′(c) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a} ,

čím je náš dôkaz skončený.

Poznámka. Z predchádzajúcej vety vyplýva, že neexistuje spojitá funkcia f : [a, b] → R, ktorá by mala v každom bode c ∈ (a, b) nevlastnú deriváciu.

Cvičenie. 1. Ak f je spojitá funkcia definovaná na intervale I a pre každý vnútorný bod x tohto intervalu platí f′(x) = 0, tak funkcia f je konštantná.

2. Nech f, g sú spojité funkcie definované na intervale I. Ak v každom vnútornom bode x tohto intervalu exitujú konečné f′(x), g′(x) a platí f′(x) = g′(x), tak sa funkcie f a g líšia o konštantu (tj. (∃k ∈ R)(∀x ∈

I)(f(x) − g(x) = k) ).

.91 Veta (Cauchyho veta o strednej hodnote). Nech funkcie f, g sú spojité na [a, b], pričom f má v každom bode x ∈ (a, b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu a g je diferencovateľná na (a, b). Potom pre niektoré c ∈ (a, b) platí rovnosť

f′(c)(g(b) − g(a)) = g′(c)(f(b) − f(a)) .  (121)

Ak sú naviac splnené podmienky

(i) g(b) ≠ g(a);

(ii) (∀x ∈ (a, b))(g′(x) = 0 ⇒ f′(x) ≠ 0),

tak (121) možno prepísať do podoby

\frac{f′(c)}{g′(c)} = \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} .  (122)

Dôkaz. Funkcia F : [a, b] → R daná predpisom

F (x) = f(x)(g(b) − g(a)) − g(x)(f(b) − f(a))

je spojitá a má v každom bode x ∈ (a, b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu (veta .83 a poznámka 2 za ňou), preto podľa vety .90 existuje c ∈ (a, b), pre ktoré platí rovnosť

F′(c) = \frac{F (b) − F (a)}{b − a} ,

tj. (keďže F (b) = F (a) = 0)

f′(c)(g(b) − g(a)) − g′(c)(f(b) − f(a)) = 0 ,

čím je dokázaný vzťah (121).

Nech teraz platí aj (i) a (ii). Ak chceme z (121) odvodiť rovnosť (122), potrebujeme, aby boli splnené nerovnosti

g(b) ≠ g(a) , g′(c) ≠ 0 .  (123)

88grafom funkcie g je priamka rovnobežná so spojnicou krajných bodov grafu funkcie f

Prvá z nich je totožná s predpokladom (i), druhú dokážeme nepriamo: keby g′(c) = 0, vyplývala by z (121) rovnosť

f′(c)(g(b) − g(a)) = 0 ,

čo ale nie je možné, pretože g(b) − g(a) ≠ 0 (predpoklad (i)) a f′(c) ≠ 0 (to vyplýva z rovnosti g′(c) = 0 a predpokladu (ii)).

(122) teraz vyplýva z (121) a (123).

Poznámky. 1. Veta .91 zostane v platnosti, ak podmienky (i) a (ii) nahradíme podmienkou (ii’) (∀x ∈ (a, b))(g′(x) ≠ 0);

z predpoklaov o funkcii g a z (ii’) totiž vyplýva (i) (nepriamo: keby g(b) = g(a), existoval by podľa vety .89 bod c ∈ (a, b), pre ktorý by platilo g′(c) = 0) aj (ii) (keďže pre každé x ∈ (a, b) je výrok g′(x) = 0 nepravdivý, je pre každé x ∈ (a, b) pravdivá každá implikácia tvaru g′(x) = 0 ⇒ V (x), kde V je výroková forma definovaná na (a, b); teda aj implikácia g′(x) = 0 ⇒ f′(x) ≠ 0).

2. Priam klasickým príkladom chybného uvažovania je nasledujúci ”dôkaz” Cauchyho vety:

”Nech sú splnené predpoklady vety .91 (vrátane predpokladov (i) a (ii)). Potom funkcie f aj g spĺňajú predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, teda pre niektoré c ∈ (a, b) platí

f′(c) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a} ,

g′(c) = \frac{g(b) − g(a)}{b − a} ,

pritom — keďže g(b) ≠ g(a) — vyplýva z druhej z týchto rovností nerovnosť g′(c) ≠ 0. Ak teraz vydelíme prvú z uvedených rovností druhou, dostaneme (121).”

Hľadanie chyby prenechávame na čitateľa.

13 Vyšetrovanie priebehu funkcií

13.1 Monotónnosť

Znakom int I ^{89}budeme v nasledujúcich úvahách označovať množinu všetkých vnútorných bodov intervalu I (teda ak I je interval [a, b], resp. [a, b), (a, b], (a, b), tak int I je vždy interval (a, b)).

.92 Veta. Nech spojitá funkcia f : I → R má v každom vnútornom bode intervalu I vlastnú alebo nevlastnú deriváciu. Potom

(a) f je neklesajúca (resp. nerastúca) práve vtedy, keď platí

(∀x ∈ int I)(f′(x) ⪰ 0) (resp. (∀x ∈ int I)(f′(x) ⪯ 0)) ;  (124)

(b) f je rastúca (resp. klesajúca) práve vtedy, keď platí (124) a množina M := {x ∈ I; f′(x) = 0} neobsahuje žiadny nedegenerovaný interval (tj. špeciálne: ak pre všetky x ∈ int I platí f′(x) ≻ 0, resp. f′(x) ≺ 0).

Dôkaz. V (a) aj (b) dokážeme vždy prvé z dvojice uvedenených tvrdení (dôkaz tvrdení uvedených v zátvorkách je rovnaký).

(a) ”⇒” Nech c ∈ int I. Ak f je neklesajúca, tak platí

(∀x ∈ I \ \{c\}) (\frac{f(x) − f(c)}{x − c} ≥ 0) ,

z vety .24 potom vyplýva nerovnosť f′(c) ⪰ 0.

”⇐” Nech x, y ∈ I, x < y. Keďže funkcia f spĺňa na intervale [x, y] všetky predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote (veta .90), platí pre niektoré c ∈ (x, y) ⊂ int I rovnosť

f(y) − f(x) = f′(c)(x − y) .

89int je skratka slova interior (=vnútro)

Z nerovností x > y a f′(c) ≥ 0 (druhá z nich vyplýva z nášho predpokladu (124) ^{90}) potom vyplýva f(y) ≥ f(x). Keďže táto úvaha platí pre každé x, y ∈ I, x < y, je f neklesajúca.

(b) ”⇒” Ak f je rastúca, tak je aj neklesajúca a z implikácie ”⇒” v (a) potom vyplýva (124). Ďalej postupujme nepriamo: Ak M obsahuje nedegenerovaný interval J, je podľa cvičenia 1 z paragrafu .90 funkcia f na J konštantná, čo — keďže J je nedegenerovaný interval — znamená, že f nie je rastúca.

”⇐” Ak je splnená podmienka (124), je funkcia f podľa časti (a) neklesajúca. Ďalej budeme dokazovať sporom: Keby f bola neklesajúca a nebola rastúca, existoval by nedegenerovaný interval J, na ktorom by f bola konštantná. Pre každý bod intervalu J by potom platilo f′(x) = 0, odtiaľ by vyplývala inklúzia J ⊂ M, čo je spor.

Poznámka. 1. Tvrdenie ak spojitá funkcia f : [a, b] → R má v každom bode x ∈ (a, b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu, pričom f′(x) ≻ 0, tak f je rastúca možno dokázať aj trocha odlišným postupom, založenom na leme .82(b) (ktorá formuluje postačujúcu podmienku pre rast funkcie v bode) a nasledujúcich tvrdeniach ^{91}.

Lema 1. Ak funkcia f : [c, d] → R je rastúca v každom bode x ∈ [c, d], tak f(c) < f(d).

Dôkaz. Stačí dokázať rovnosť d = sup B, kde B := {x ∈ [c, d]; f(x) > f(c)} (keďže f je rastúca v bode c, platí inklúzia [c, c + ε) ⊂ B pre niektoré ε > 0, teda B ≠ ∅, ďalšie úvahy sú obdobné ako v poznámke 2 z paragrafu .77) a potom z tejto rovnosti a faktu, že f je rastúca v bode d, odvodiť (opäť podobne ako v poznámke 2 z paragrafu .77) nerovnosť f(c) < f(d).

Dôsledok. Ak funkcia f je rastúca v každom bode intervalu I, tak f je rastúca.

Lema 2. Ak funkcia f : [a, b] → R je rastúca na intervale (a, b) a spojitá v bodoch a, b, tak f je rastúca.

Dôkaz. Treba dokázať nerovnosti

(∀c ∈ (a, b))(f(a) < f(c) < f(b)) .

Nech teda c ∈ (a, b), zvoľme d ∈ (a, c), potom — keďže f rastie na (a, b) — je

f(d) < f(c) .  (125)

Z dôsledku .30(a) (pre M = (a, b)) a spojitosti funkcie f v bode a vyplýva nerovnosť

f(a) = inf_{x∈(a,b)} f(x) ≤ f(d) ,

z (125) potom dostávame f(a) < f(c). Dôkaz nerovnosti (∀c ∈ (a, b))(f(c) < f(b)) je rovnaký. ♠

Keďže dokazovanie nerovností f′(x) > 0 pre x ∈ int I môže byť niekedy technicky náročnejšie ako dôkaz nerovnosti f′′(x) > 0 pre x ∈ int I, môže byť v niektorých prípadoch výhodnejšie použiť namiesto vety .92 dôsledok 1 z nasledujúceho odseku.

.93 Lema. Nech spojitá funkcia g : [c, d] → R má vlastnú alebo nevlastnú deriváciu v každom bode x ∈ (c, d). Potom

(a) ak

(∀x ∈ (c, d))(g′(x) ≻ 0)  (126)

a

g(c) = 0 ,

tak platí nerovnosť

(∀x ∈ (c, d])(g(x) > 0) ;

90keďže c je podľa vety .90 prvkom množiny K := {x ∈ int I; f′(x) ∈ R}, možno podmienku (124) nahradiť predpokladom (∀x ∈ K)(f′(x) ≥ 0)

91Na základe obdobných úvah možno dokázať aj tvrdenie ak f : [a, b] → R je spojitá funkcia a pre každé x ∈ (a, b) je f′_{+}(x) ≻ 0, tak f je rastúca. Vtedy ovšem namiesto lemy 1 a jej dôsledku treba použiť tieto tvrdenia:

Lema 1’. Ak pre každé x ∈ [c, d) platí f′_{+}(x) ≻ 0, tak

(∀x ∈ (c, d))(f(x) > f(c)) .

Dôkaz. Stačí dokázať rovnosť d = sup {z ∈ (c, d); (∀x ∈ (c, z])(f(c) < f(x))}; pri jej odvodení založenom na podobných myšlienkach ako dôkaz z poznámky 2 v paragrafe .77 použite fakt, že z nerovnosti f′_{+}(ξ) ≻ 0 vyplýva existencia čísla ε > 0 s vlastnosťou (∀x ∈ (ξ, ξ + ε) ∩ D(f))(f(x) > f(ξ)).

Dôsledok’. Ak pre každé x ∈ (a, b) platí f′_{+}(x) ≻ 0, tak f je na intervale (a, b) rastúca.

(b) ak platí (126) a

g(d) = 0 ,

tak g(x) < 0 pre všetky x ∈ [c, d).

Dôkaz. (a) vyplýva z elementárneho tvrdenia ak g : [c, d] → R je rastúca funkcia a g(c) = 0, tak g(x) > 0 pre x ∈ (c, d] a vety .92, v prípade (b) je situácia obdobná.

Dôsledok 1. Nech funkcia f je (n − 1)-krát (n ∈ N, n ≥ 2) spojite diferencovateľná na intervale [c, d] a má vlastnú alebo nevlastnú n-tú deriváciu v každom bode x ∈ (c, d).

(a) Ak

f′(c) = f′′(c) = ⋯ = f^{(n−1)}(c) = 0  (127)

a

(∀x ∈ (c, d))(f^{(n)}(x) ≻ 0) ,  (128)

tak f je na [c, d] rastúca ^{92}.

(b) Ak platí (128) a

f′(d) = f′′(d) = ⋯ = f^{(n−1)}(d) = 0 ,  (129)

tak f je na [c, d] rastúca, ak n je nepárne, a je na [c, d] klesajúca, ak n je párne.

Dôkaz. (a) Dôkaz je založený na viacnásobnom použití tvrdenia (a) predchádzajúcej lemy.

Z (128) a predpokladu f^{(n−1)}(c) = 0 vyplýva podľa uvedenej lemy (aplikovanej na funkciu g = f^{(n−1)}) nerovnosť

(∀x ∈ (c, d))(f^{(n−1)}(x) > 0) ;  (130)

z (130) a predpokladu f^{(n−2)}(c) = 0 dostávame na základe tej istej lemy (tentokrát použitej na funkciu g = f^{(n−2)})

(∀x ∈ (c, d))(f^{(n−2)}(x) > 0)

atď. Po konečnom počte krokov tak dostaneme nerovnosť

(∀x ∈ (c, d))(f′(x) > 0) ,

z ktorej už podľa vety .92(b) vyplýva, že f rastie na intervale [c, d]. △

Dôkaz tvrdenia (b) je obdobný a zakladá sa na tvrdení (b) lemy .93 (pritom práve zo skutočnosti, že nerovnosti g′(x) ≻ 0 a g(x) < 0 v uvedenom tvrdení sú \underline{opačné}, vyplýva rozlišovanie prípadov n + 1 nepárne a n + 1 párne v dokazovanom tvrdení).

Poznámka. Ak predpoklad (128) nahradíme predpokladom

(∀x ∈ (c, d))(f^{(n)}(x) ≺ 0) ,  (131)

treba v znení dôsledku 1 slovo rastúca nahradiť slovom klesajúca a naopak. ♠

Z dôsledku 1 vyplýva na základe tej istej úvahy, ktorú sme použili na dôkaz lemy .93, nasledujúce tvrdenie.

Dôsledok 2. Nech funkcia f je (n − 1)-krát (n ∈ N, n ≥ 2) spojite diferencovateľná na intervale [c, d] a má vlastnú alebo nevlastnú n-tú deriváciu v každom bode x ∈ (c, d).

(a) Ak platí (127), (128) a

f(c) = 0 ,

tak

(∀x ∈ (c, d])(f(x) > 0) .

(b) Ak platí (129), (128) a

f(d) = 0 ,

tak

(∀x ∈ [c, d))(f(x) < 0) , ak n je nepárne ,

a

(∀x ∈ [c, d))(f(x) > 0) , ak n je párne .

92ako čitateľ z dôkazu zistí, podmienku (128) možno v (a) aj (b) nahradiť dvojicou podmienok (∀x ∈ (c, d))(f^{(n+1)}(x) ⪰ 0) a množina M := {x ∈ [c, d]; f^{(n+1)}(x) = 0} neobsahuje žiadny nedegenerovaný interval

13.2 Lokálne a globálne extrémy.

Pojem lokálneho extrému sme definovali v paragrafe .82, kde sme tiež dokázali nutnú podmienku existencie lokálneho extrému (časť (c_{3}) tvrdenia (c)). Keďže globálny extrém funkcie f : [a, b] → R je aj jej lokálnym extrémom, vyplýva z tejto nutnej podmienky nasledujúci postup.

.94 Hľadanie globálnych extrémov. Ak f : [a, b] → R je spojitá funkcia, stačí namiesto max_{x∈[a,b]} f(x) (ktorého existenciu zaručuje veta .78) nájsť max_{x∈K} f(x), kde K := {a, b} ∪ D_{1} ∪ D_{2}, pričom D_{2} := {x ∈ (a, b); f′(x) = 0} a D_{1} je množina tých x ∈ (a, b), v ktorých f nemá vlastnú ani nevlastnú deriváciu; z lemy .82(c_{3}) totiž vyplýva — keďže v bode x ∈ (a, b), pre ktorý platí f′(x) ≻ 0 alebo f′(x) ≺ 0, nemôže f nadobúdať lokálny extrém — rovnosť

max_{x∈[a,b]} f(x) = max_{x∈K} f(x) .

Pokiaľ je množina K konečná, K = {a, x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, b}, je teda maximom funkcie f na [a, b] najväčšie z čísel f(a), f(x_{1}), …, f(x_{n}), f(b).

Postup v prípade lokálneho maxima je obdobný. ♠

Ukážme teraz na prílade menej známeho dôkazu nerovnosti medzi aritmetickým a geometrickým priemerom možnosť použitia diferenciálneho počtu pri hľadaní globálnych extrémov na neohraničenom intervale.

Príklad. Dokážeme tvrdenie ak a_{1}, …, a_{n} (n ≥ 2) sú kladné čísla, tak

n \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ≤ \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ,  (132)

pričom rovnosť nastane len v prípade a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} (ďalšie dôkazy tejto nerovnosti nájde čitateľ v príklade z paragrafu .98).

Použijeme indukciu:

1^{∘} Pre n = 2 má (132) tvar

\sqrt{a_{1}a_{2}} ≤ \frac{a_{1} + a_{2}}{2} , a_{1} > 0 , a_{2} > 0 ,

tj.

2\sqrt{a_{1}a_{2}} ≤ a_{1} + a_{2} , a_{1} > 0 , a_{2} > 0 ;  (133)

postupnými úpravami, z ktorých prvou je umocnenie obidvoch strán na druhú, dostávame

4a_{1}a_{2} ≤ a_{1}^{2} + 2a_{1}a_{2} + a_{2}^{2} ,
0 ≤ a_{1}^{2} − 2a_{1}a_{2} + a_{2}^{2} ,
0 ≤ (a_{1} − a_{2})^{2} .  (134)

Posledná z týchto nerovností je zrejme pravdivá, a teda — keďže naše úpravy boli ekvivalentné (umocňovanie na druhú predstavovalo v tomto prípade ekvivalentnú úpravu vzhľadom na náš predpoklad a_{1} > 0 , a_{2} > 0) — platí aj (133). Keďže v (134) nastane rovnosť len v prípade a_{1} = a_{2}, platí to isté aj o (133). Tým je naše tvrdenie pre prípad n = 2 dokázané.

2^{∘} Nech sú teraz dané čísla a_{1}, …, a_{n+1} > 0, chceme dokázať nerovnosť

n+1 \sqrt{a_{1} … a_{n+1}} ≤ \frac{a_{1} + ⋯ a_{n+1}}{n + 1} ,

tj.

\frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n+1}}}{a_{1} + ⋯ + a_{n+1}} ≤ 1  (135)

a zistiť, kedy nastane rovnosť.

Podľa indukčného predpokladu je

n \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ≤ \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ,

tj.

\frac{n ^{n} \sqrt{a_{1} … a_{n}}}{a_{1} + ⋯ + a_{n}} ≤ 1 ,  (136)

pričom rovnosť platí len v prípade a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}.

Nech f : (0, ∞) → R je funkcia s predpisom

f(x) = \frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}x}}{a_{1} + ⋯ + a_{n} + x} ;

na dôkaz (135) zrejme stačí dokázať nerovnosť

(∀x > 0)(f(x) ≤ 1) ;

vyšetrime preto pomocou prvej derivácie priebeh funkcie f:

Pre x > 0 platí

f′(x) = (n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}} (\frac{\sqrt[n+1]{x}}{a_{1} + ⋯ + a_{n} + x})′ =

= (n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}} \frac{\frac{1}{(n+1) ^{n+1} \sqrt{x^{n}}} (a_{1} + ⋯ + a_{n} + x) − ^{n+1} \sqrt{x}}{(a_{1} + ⋯ + a_{n} + x)^{2}} =

= \frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}}}{(a_{1} + ⋯ + a_{n} + x)^{2}} · \frac{(a_{1} + ⋯ + a_{n} + x − (n + 1)x)}{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{x^{n}}} ,

preto pre x > 0 platí f′(x) > 0, resp. f′(x) < 0 práve vtedy, keď

a_{1} + ⋯ + a_{n} + x − (n + 1)x > 0 , tj. 0 < x < \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ,

resp.

a_{1} + ⋯ + a_{n} + x − (n + 1)x < 0 , tj. x > \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} .

Podľa vety .92(b) teda funkcia f rastie na (0, α] a klesá na [α, ∞), kde α := \frac{a_{1}+···+a_{n}}{n}; v bode α preto f nadobúda ostré globálne maximu, platí teda

(∀x ∈ (0, ∞), x ≠ α)(f(x) < f(α)) ,  (137)

pritom

f(α) = \frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}α}}{a_{1} + ⋯ + a_{n} + α} = \frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}} ^{n+1} \sqrt{\frac{a_{1}+···+a_{n}}{n}}}{(a_{1} + ⋯ + a_{n}) (1 + \frac{1}{n})} =

= \frac{(n + 1) ^{n+1} \sqrt{a_{1} … a_{n}} ^{n+1} \sqrt{a_{1} + ⋯ + a_{n}}}{^{n+1} \sqrt{n} (\frac{n+1}{n}) (a_{1} + ⋯ + a_{n})} = \begin{matrix}^{n+1} & \sqrt{n^{n}} & ^{n+1} & \sqrt{a_{1} … a_{n}} \\ ^{n+1} & \sqrt{(a_{1} + ⋯ + a_{n})^{n}} \end{matrix} =

= ^{n+1} \sqrt{\frac{n^{n}(a_{1} … a_{n})}{(a_{1} + ⋯ + a_{n})^{n}}} = (\frac{n ^{n} \sqrt{a_{1} … a_{n}}}{a_{1} + ⋯ + a_{n}} )^{\frac{n}{n+1}} ≤ 1 ,

pričom posledná nerovnosť vyplýva z indukčného predpokladu (136). Keďže funkcia x^{\frac{n}{n+1}} je rastúca (a teda prostá), bude rovnosť f(α) = 1 platiť len v prípade \frac{n ^{n} \sqrt{a_{1}...a_{n}}}{a_{1}+···a_{n}} = 1, tj. (opäť podľa indukčného predpokladu) pre a_{1} = ⋯ = a_{n}.

Z (137) a nerovnosti

f(α) ≤ 1  (138)

už vyplýva (135), pritom (ako tiež vidno z (137) a (138)) rovnosť v (135) nastane len v prípade

a_{n+1} = α ∧ f(α) = 1 ,

tj. (keďže rovnosť f(α) = 1 platí len pre a_{1} = ⋯ = a_{n}) pre

a_{n+1} = \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ∧ a_{1} = ⋯ = a_{n} ,

táto podmienka je ale ekvivalentná s požiadavkou

a_{1} = ⋯ = a_{n} = a_{n+1} ,

čo sme chceli dokázať. ♠

V nasledujúcich tvrdeniach sformulujeme postačujúce podmienky existencie lokálneho extrému; dôkaz prvej z nich prenechávame na čitateľa.

.95 Lema. Nech a je vnútorný bod definičného oboru funkcie f.

(a) Ak existuje ε > 0 tak, že f rastie (resp. neklesá) na (a − ε, a] a klesá (resp. nerastie) na [a, a + ε), tak f má v bode a ostré lokálne maximum (resp. lokálne maximum).

(b) Ak existuje ε > 0 tak, že f klesá (resp. nerastie) na (a − ε, a] a rastie (resp. neklesá) na [a, a + ε), tak f má v bode a ostré lokálne minimum (resp. lokálne minimum).

Poznámka. Uvedené tvrdenie nemožno ”obrátiť”: napr. vzo skutočnosti, že funkcia f nadobúda vo vnútornom bode svojho definičného oboru ostré lokálne minimum, nemusí ešte vyplývať, že f by musela byť neklesajúca vľavo od a a nerastúca vpravo od a. Protipríkladom je funkcia

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} (2 + sin \frac{1}{x}) , ak & x ≠ 0 \\ 0 , ak & x = 0 \end{matrix} ,

ktorá • je diferencovateľná:

f′(x) = \{ \begin{matrix}2x (2 + sin \frac{1}{x}) − cos \frac{1}{x} , ak & x ≠ 0 \\ 0 , ak & x = 0 \end{matrix}

(hodnotu f′(0) sme našli priamo na základe definície:

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x} = lim_{x→0} [x (2 + sin \frac{1}{x})] = 0 ,

pritom posledná rovnosť vyplýva z vety .14, pri výpočte f′(x) pre x ≠ 0 sme použili vety .83 a .84);

• má v bode 0 ostré globálne minimum: z nerovnosti |sin \frac{1}{x} | ≤ 1, x ∈ R \ \{0\}, vyplýva 2 + sin \frac{1}{x} > 0 pre

x ∈ R \ {0}, preto

(∀x ∈ R \ {0})(f(x) > 0 = f(0)) ;

ale

• neexistuje ε > 0, pre ktoré by platilo, že f neklesá na (−ε, 0] a nerastie na [0, ε); to vyplýva z vety .92(a) a skutočnosti, že pre ľubovoľné ε > 0 nadobúda f′ na každom z intervalov (−ε, 0), (0, ε) kladné aj záporné hodnoty (pre x_{n} = \frac{1}{nπ}, n ∈ N, platí lim_{n→∞} x_{n} = 0, lim_{n→∞} f′(x_{n}) = −1, preto (podľa lemy .10) pre

n ”dostatočne veľké” — tj. pre x_{n} ”blízke k 0” — sú hodnoty f′(x_{n}) záporné; podobne možno dokázať existenciu kladných funkčných hodnôt v intervale (0, ε) a kladných aj záporných hodnôt derivácie v intervale (−ε, 0)).

Dôsledok. Ak funkcia f′ zmení v bode a znamienko z kladného na záporné (tj. existuje ε > 0 tak, že

O(a, ε) ⊂ D(f′), (∀x ∈ (a − ε, a))(f′(x) > 0), (∀x ∈ (a, a + ε))(f′(x) < 0) ), tak f má v bode a lokálne maximum.

Dôkaz. Tvrdenie vyplýva z predchádzajúcej lemy a vety .92(b) ^{93}. △

Formuláciu (a dôkaz) analogickej postačujúcej podmienky existencie lokálneho minima prenechávame na čitateľa. ♠

Ďalšie postačujúce podmienky existencie lokálneho extrému (ktoré — ako čitateľ z dôkazov zistí — zaručujú, že funkcia f′ zmení v bode a znamienko) možno odvodiť z lemy .95 a dôsledku 1 z paragrafu .93. ♠

.96 Veta. Nech funkcia f je n-krát (n ∈ N) diferencovateľná na niektorom okolí O bodu a (tj. O ⊂ D(f^{(m)}) ) a má vlastnú alebo nevlastnú (n + 1)-vú deriváciu v bode a a nech

f′(a) = f′′(a) = ⋯ = f^{(n)}(a) = 0 , f^{(n+1)}(a) ≠ 0 .

Potom

(a) ak n+1 je párne a f^{(n+1)}(a) ≺ 0 (resp. f^{(n+1)}(a) ≻ 0), tak f má v bode a ostré lokálne maximum (resp. ostré lokálne minimum);

(b) ak n + 1 je nepárne, tak f nenadobúda v bode a lokálny extrém.

93pritom spojitosť funkcie f na intervaloch (a − ε, a] a [a, a + ε) (čo je jeden z predpokladov, ktoré — keďže vetu .92(b)

používame na týchto intervaloch — treba splniť) vyplýva z nášho predpokladu O(a, ε) ⊂ D(f′) (tj. z diferencovateľnosti funkcie f v každom bode x ∈ (a − ε, a + ε)) a lemy .82(a)

Dôkaz. (a) Predpokladajme f^{(n+1)}(a) ≺ 0 (postup pre f^{(n+1)}(a) ≻ 0 je rovnaký). Podľa lemy .82(b) potom funkcia f^{(n)} v bode a klesá, preto — keďže podľa predpokladu je f^{(n)}(a) = 0 — existuje ε > 0 tak, že [a − ε, a + ε] ⊂ O a

(∀x ∈ (a − ε, a))(f^{(n)}(x) > 0) ;  (139)
(∀x ∈ (a, a + ε))(f^{(n)}(x) < 0) .  (140)

Z (139) a predpokladov

f′(a) = 0 , f′′(a) = 0 , …, f^{(n−1}(a) = 0  (141)

vyplýva podľa tvrdenia (b) dôsledku 1 z paragrafu .93 (pre c = a − ε , d = a ^{94}), že — keďže n je nepárne — funkcia f rastie na [a − ε, a].

Podobne možno z (141) a (140) odvodiť(ak pre c = a, d = a + ε použijeme analógiu tvrdenia (a) dôsledku 1 z odseku .93, ktorá vznikne nahradením predpokladu (128) predpokladom (131)), že f klesá na intervale [a, a + ε]. Preto podľa lemy .95 má f v bode a ostré lokálne maximum.

(b) Rovnakými úvahami ako v časti (a) možno dokázať, že v prípade f^{(n+1)}(a) ≻ 0 (resp. f^{(n+1)}(a) ≺ 0) funkcia f rastie (resp. klesá) na niektorom okolí bodu a, a preto v tomto bode nemôže nadobúdať lokálny extrém.

13.3 Konvexnosť a konkávnosť. Inflexné body

.97 Definícia. Hovoríme, že funkcia f je konvexná na intervale I ⊂ D(f), ak

(∀x, y, z ∈ I, x < z < y) (f(z) ≤ f(x) + \frac{f(y) − f(x)}{y − x}(z − x))  (142)

(tj. ak na každom intervale [x, y] ⊂ I všetky body grafu funkcie f_{1} := f|_{[x,y]} ležia pod alebo na spojnici krajných bodov tohto grafu ^{95}).

Definíciu funkcie konkávnej, resp. rýdzo konvexnej, resp. rýdzo konkávnej na intervale I dostaneme, ak v (142) nerovnosť ≤ nahradíme postupne nerovnosťami ≥, <, >.

Poznámky. 1a) Každý vnútorný bod z intervalu [x, y] možno jednoznačne zapísať v tvare

z = x + q(y − x) ,  (143)

kde q ∈ (0, 1). Ak označíme p := 1 − q, bude mať (143) podobu

z = px + qy , kde p, q ∈ (0, 1) , p + q = 1 .

Výrok (142) môžeme potom prepísať ^{96} nasledovne

(∀x, y ∈ I, x < y)(∀p, q ∈ (0, 1), p + q = 1)(f(px + qy) ≤ pf(x) + qf(y)) .  (144)

1b) Aj v prípade y < x možno každý vnútorný bod z intervalu [y, x] zapísať jednoznačne v tvare z = px + qy, kde p, q ∈ (0, 1), p+q = 1. Ak zopakujeme úvahy z predchádzajúcej poznámky pre interval [y, x], zistíme, že (144) zostane v platnosti, ak v ňom predpoklad x < y nahradíme predpokladom x > y; preto (144) možno nahradiť výrokom

(∀x, y ∈ I, x ≠ y)(∀p, q ∈ (0, 1), p + q = 1)(f(px + qy) ≤ pf(x) + qf(y)) .  (145)

\frac{f(y) − f(x)}{y − x}((px + qy) − x) = \frac{f(y) − f(x)}{y − x}(q(y − x)) = (f(y) − f(x))q ,

f(x) + \frac{f(y) − f(x)}{y − x} (z − x) = f(x) + \frac{f(y) − f(x)}{y − x}((px + qy) − x) = f(x) + (f(y) − f(x))q =

94pritom spojitosť (n−1)-vej derivácie (čo je jeden z predpokladov lemy .93) vyplýva z diferencovateľnosti funkcie f^{(n−1)} a lemy .82(a)

95táto spojnica je grafom lineárnej funkcie, ktorej predpisom je práve pravá strana nerovnosti (142)

96keďže

(px + qy) − x = (p − 1)x + qy = −qx + qy = q(y − x) , tak preto

= pf(x) + qf(y)

2. Úvahy z poznámok 1a) a 1b) možno zovšeobecniť úplnou indukciou, dostaneme tak toto tvrdenie. Lema (Jensenova nerovnosť). Ak funkcia f je konvexná na intervale I, tak pre každé n ∈ N, n ≥ 2, platí

(∀x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ I)(∀p_{1}, p_{2} …, p_{n} ∈ (0, 1); p_{1} + p_{2} + ⋯ + p_{n} = 1)

(f (∑_{i=1}^{n} p_{i}x_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{n} f(p_{i}x_{i})) .  (146)

Ak f je na I rýdzo konvexná, tak platí (146), pričom rovnosť nastane len pre x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n}.

Dôkaz. Nech f je rýdzo konvexná na I (postup v prípade konvexnej funkcie f je rovnaký). Označme V (n) výrok platí (146), pričom rovnosť nastane len pre x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} a dokazujme indukciou.

Dôkaz tvrdenia V (2), ktorý je založený na úvahách použitých v poznámkach 1a) a 1b), prenechávame na čitateľa. Predpokladajme teraz, že platí V (2), V (3), …, V (n); zvoľme x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x_{n+1} ∈ I, nech p_{1}, p_{2}, …, p_{n}, p_{n+1} ∈ (0, 1), ∑_{i=1}^{n+1} p_{i} = 1. Potom

f (∑_{i=1}^{n+1} p_{i}x_{i}) = f (p_{1}x_{1} + ⋯ + p_{n−1}x_{n−1} + (p_{n} + p_{n+1}) (\frac{p_{n}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n} + \frac{p_{n+1}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n+1})) ≤

≤^{(1)} p_{1}f(x_{1}) + ⋯ + p_{n−1}f(x_{n−1}) + (p_{n} + p_{n+1})f (\frac{p_{n}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n} + \frac{p_{n+1}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n+1}) ≤

≤^{(2)} ∑_{i=1}^{n−1} p_{i}f(x_{i}) + (p_{n} + p_{n+1}) (\frac{p_{n}}{p_{n} + p_{n+1}} f(x_{n}) + \frac{p_{n+1}}{p_{n} + p_{n+1}} f(x_{n+1})) = ∑_{i=1}^{n+1} p_{i}f(x_{i}) ,

pričom nerovnostť (1) vyplýva z V (n), v ktorom úlohu n-tíc [p_{1}, p_{2}, …, p_{n}] a [x_{1}, x_{2}, …, x_{n}] mali teraz n-tice [p_{1}, p_{2}, …, p_{n−1}, p_{n} + p_{n+1}] a [x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1}, \frac{p_{n}}{p_{n}+p_{n+1}} x_{n} + \frac{p_{n+1}}{p_{n}+p_{n+1}} x_{n+1}], a (2) vyplýva z V (2), kde v úlohe

dvojíc [p_{1}, p_{2}] a [x_{1}, x_{2}] teraz boli [\frac{p_{n}}{p_{n}+p_{n+1}} , \frac{p_{n+1}}{p_{n}+p_{n+1}} ] a [x_{n}, x_{n+1}].

Z V (n) tiež vyplýva, že na mieste nerovnosti (1) bude znak = len vtedy, keď

x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n−1} = \frac{p_{n}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n} + \frac{p_{n+1}}{p_{n} + p_{n+1}} x_{n+1} ,  (147)

podobne z V (2) vyplýva, že nerovnosť (2) možno nahradiť rovnosťou práve vtedy, keď

x_{n} = x_{n+1} .  (148)

Rovnosť

f (∑_{i=1}^{n+1} p_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{n+1} p_{i}f(x_{i})  (149)

teda nastane práve vtedy, keď bude platiť (147) aj (148). Ak do (147) dosadíme x_{n+1} = x_{n}, dostaneme

x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n−1} = x_{n} ,

odtiaľ a z (148) potom vyplýva, že (149) platí len v prípade x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} = x_{n+1}.

.98 Veta. Nech spojitá funkcia f : I → R je diferencovateľná v každom vnútornom bode intervalu I

97. Ak funkcia f′ je rastúca, resp. klesajúca, resp. neklesajúca, resp. nerastúca na int I, tak f je na I rýdzo konvexná, resp. rýdzo konkávna, resp. konvexná, resp. konkávna.

Dôkaz. Predpokladajme, že f′ je neklesajúca na int I (dôkaz v ostatných prípadoch je rovnaký). Dokážeme, že platí (144). Zvoľme teda x, y ∈ I, x < y, p, q ∈ (0, 1), p + q = 1 a označme

V := pf(x) + qf(y) − f(px + qy) .

Naším cieľom je dokázať nerovnosť V ≥ 0.

Platí

V = pf(x) + qf(y) − (p + q)f(px + qy) = q[f(y) − f(px + qy)] − p[f(px + qy) − f(x)] .  (150)

97teda pre definičný obor D(f′) derivácie funkcie f iste platí int I ⊂ D(f′)

Na vyjadrenie rozdielu funkčných hodnôt v prvej aj druhej hranatej zátvorke použijeme teraz Lagrangeovu vetu (odsek .90) o strednej hodnote (najprv na intervale [z, y], kde z := px+qy, potom na intervale [x, z]; oprávnenie k použitiu tejto vety dávajú predpoklady nášho tvrdenia). Existujú teda c_{1} ∈ (z, y), c_{2} ∈ (x, z) tak, že

f(y) − f(px + qy) = f′(c_{1})[y − (px + qy)] = f′(c_{1})[(1 − q)y − px] = f′(c_{1})p(y − x) ,
f(px + qy) − f(x) = f′(c_{2})[(px + qy) − x] = f′(c_{2})q(y − x) .

Po dosadení týchto vyjadrení do (150) dostaneme

V = pqf′(c_{1})(y − x) − pqf′(c_{2})(y − x) = pq(y − x)(f′(c_{1}) − f′(c_{2})) .  (151)

Pretože c_{2} ∈ (x, z), c_{1} ∈ (z, y), je c_{2} < c_{1}; z predpokladu, že f′ je na int I neklesajúca, potom vyplýva nerovnosť f′(c_{2}) ≤ f′(c_{1}), tj.

f′(c_{1}) − f′(c_{2}) ≥ 0 .  (152)

Z (151), (152) a nerovností y > x, p > 0, q > 0 už vyplýva, že V ≥ 0, čo sme chceli dokázať. ♠

Postačujúce podmienky pre monotónnosť funkcie f′ vyplývajú z vety .92, z nej a z predchádzajúceho tvrdenia možno odvodiť nasledujúci dôsledok.

Dôsledok. Nech spojitá funkcia f : I → R je dvakrát diferencovateľná v každom vnútornom bode intervalu I. Ak pre všetky x ∈ int I platí f′′(x) > 0, resp. f′′(x) < 0, resp. f′′(x) ≥ 0, resp. f′′(x) ≤ 0, je f na intervale I rýdzo konvexná, resp. rýdzo konkávna, resp. konvexná, resp. konkávna.

Príklad. 1a) Dokážeme teraz nerovnosť

(∀x, y > 0, x ≠ y) ((x + y) ln (\frac{x + y}{2} ) < x ln x + y ln y) ,  (153)

ktorú využijeme v časti 1b).

Nech f : (0, ∞) → R je funkcia s predpisom f(x) = x ln x, potom

f′(x) = (x ln x)′ = ln x + x \frac{1}{x} = ln x + 1 , f′′(x) = \frac{1}{x} ,

preto

(∀x ∈ (0, ∞))(f′′(x) > 0) ,

funkcia f je teda podľa vety .98 rýdzo konvexná.

Zvoľme x, y > 0, x ≠ y; pre p = q = \frac{1}{2} potom z (145), kde (pretože naša funkcia f je rýdzo konvexná) namiesto neostrej nerovnosti ≤ píšeme <, vyplýva

f (\frac{x + y}{2} ) < \frac{1}{2}(f(x) + f(y)) ,

tj.

(\frac{x + y}{2} ) ln (\frac{x + y}{2} ) < \frac{1}{2} (x ln x + y ln y) ,

odtiaľ už vyplýva nerovnosť (153).

1b) Nech a, b sú kladné čísla, nech x ∈ R \ {0}. Priemerom rádu x z čísel a, b nazveme číslo

s(x) := (\frac{a^{x} + b^{x}}{2} )^{\frac{1}{x}}

(špeciálne pre x = 1 dostávame aritmetický a pre x = −1 harmonický priemer). Dokážeme, že

s(0) := lim_{x→0} s(x) = \sqrt{ab}  (154)

(tj. funkciu s možno spojite dodefinovať v bode 0, pričom hodnotou s(0) bude geometrický priemer čísel a, b);

lim_{x→−∞} s(x) = min{a, b} , lim_{x→∞} s(x) = max{a, b} ,  (155)

a napokon, že pre a ≠ b je funkcia s (ktorú už chápeme ako spojite dodefinovanú v bode 0) rastúca na R (zrejme pre a = b je funkcia s konštantná, s(x) ≡ a). Jednoduchým dôsledkom našich úvah bude známa nerovnosť medzi harmonickým, geometrickým a aritmetickým priemerom, ktorá má v prípade a, b > 0, a ≠ b, podobu

s(−1) < s(0) < s(1) ,

tj.

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} .

Dokážme najprv (154): pre x ≠ 0 platí

s(x) = e^{σ(x)} , kde σ(x) = \frac{1}{x} ln (\frac{a^{x} + b^{x}}{2} ) ,  (156)

pritom

lim_{x→0} σ(x) = lim_{x→0} \frac{1}{x} ln (\frac{a^{x} + b^{x}}{2} ) = lim_{x→0} (\frac{1}{x} ln [1 + (\frac{a^{x} − 1}{2} + \frac{b^{x} − 1}{2})]) =

= lim_{x→0} (\frac{ln [1 + (\frac{a^{x}−1}{2} + \frac{b^{x}−1}{2})]}{(\frac{a^{x}−1}{2} + \frac{b^{x}−1}{2})} · \frac{1}{2} (\frac{a^{x} − 1}{x} + \frac{b^{x} − 1}{x})) = 1 · \frac{1}{2} (ln a + ln b) =
= ln \sqrt{ab}

(výpočet sme založili na poznámke z odseku .35), preto podľa vety o limite zloženej funkcie ^{98}

lim_{x→0} s(x) = lim_{x→0} e^{σ(x)} = |σ(x) = t| = lim_{t→ln \sqrt{ab}} e^{t} = e^{ln^{\sqrt{ab}}} = \sqrt{ab} ,

čím je rovnosť (154) dokázaná.

V našich ďalších úvahách predpokladajme, že a ≤ b (postup pre a ≥ b by bol rovnaký ^{99}) a pokračujme dôkazom tvrdenia (155). Platí

(\frac{a^{x} + b^{x}}{2} ) = [b^{x} ((\frac{a}{b})^{x} + 1)]^{\frac{1}{x}} = b (1 + (\frac{a}{b})^{x})^{\frac{1}{x}} ,

pritom — keďže \frac{a}{b} ∈ (0, 1] — je lim_{x→∞} (\frac{a}{b})^{x} = 0, preto (opäť podľa vety o limite zloženej funkcie, resp. podľa poznámky z odseku .35)

lim_{x→∞} ln (1 + (\frac{a}{b})^{x})^{\frac{1}{x}} = lim_{x→∞} ln (1 + (\frac{a}{b})^{x})_{(\frac{a}{b})x} (\frac{a}{b})^{x} \frac{1}{x} = 1 · 0 · 0 = 0 ,

z týchto výpočtov vyplýva

lim_{x→∞} (\frac{a^{x} + b^{x}}{2} )^{\frac{1}{x}} = lim (b · e^{ln(1+( \frac{a}{b})^{x})^{\frac{1}{x}}} ) = b · e^{0} = b = max\{a, b\} ,

čím je prvá rovnosť z (155) dokázaná. Dôkaz druhej rovnosti je podobný.

Dokážme teraz, že pre a ≠ b — tj. (keďže predpokladáme, že a ≤ b) pre a < b — pre a < b; je funkcia s (spojite dodefinovaná v bode 0) rastúca na (−∞, 0] a na [0, ∞), odtiaľ už bude zrejme vyplývať, že s rastie na R. Podľa vety .92(b) stačí dokázať, že pre všetky x ≠ 0 je s′(x) > 0. Z rovnosti (156) podľa vety o derivácii zloženej funkcie dostávame

s′(x) = e^{σ(x)}σ′(x) pre x ≠ 0 ;  (157)

pritom (podľa viet o derivácii podielu a zloženej funkcie)

σ′(x) = \frac{_{\frac{1}{\frac{a^{x}+b^{x}}{2}}} \frac{1}{2} (a^{x} ln a + b^{x} ln b) − ln (\frac{a^{x}+b^{x}}{2} )}{x^{2}} = \frac{a^{x} ln a + b^{x} ln b − (a^{x} + b^{x}) ln (\frac{a^{x}+b^{x}}{2} )}{x^{2}(a^{x} + b^{x})} > 0 ,

posledná nerovnosť vyplýva z (153) (kde sme dvojicu [x, y] nahradili dvojicou [a^{x}, b^{x}]; z nášho predpokladu a < b vyplýva nerovnosť a^{x} ≠ b^{x} pre x ≠ 0). Z nerovnosti σ′(x) > 0 pre x ≠ 0 vyplýva už podľa (157) nerovnosť s′(x) > 0 pre x ≠ 0, ktorú sme chceli dokázať.

1c) Zopakovaním myšlienok z častí 1a) a 1b) možno dokázať toto tvrdenie:

Nech a_{1}, …, a_{n} sú kladné čísla, nech pre p_{1}, …, p_{n} ∈ (0, 1) platí ∑_{i=1}^{n} p_{i} = 1. Pre x ∈ R \ {0} označme

s(x) = (∑_{i=1}^{n} p_{i}a_{i}^{x})^{\frac{1}{x}} .

98oprávnenie k jej použitiu dáva splnenie podmienky (c) (pozri vetu .12(a))

99alebo trocha inak: keďže z dvoch reálnych čísel musí byť jedno menšie alebo nanjvýš rovné druhému, zvoľme označenie tak, aby platilo a ≤ b; takáto úvaha sa spravidla vyjadruje formuláciou bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že a ≤ b

Potom (1) lim_{x→0} s(x) = a_{1}^{p_{1}}a_{2}^{p_{2}} … a_{n}^{p_{n}} ;

(2) ak a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}, je funkcia s (spojite dodefinovaná v bode 0) konštantná na R; ak pre niektoré i ≠ j platí a_{i} ≠ a_{j}, tak funkcia s (spojite dodefinovaná v bode 0) je rastúca.

Ak v tomto tvrdení zvolíme špeciálne p_{1} = p_{2} = ⋯ = p_{n} = \frac{1}{n}, bude opäť s(−1) harmonický, s(0) geometrický a s(1) aritmetický priemer čísel a_{1}, … a_{n} a z tvrdenia (2) bude vyplývať nerovnosť

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}}} ≤ ^{n} \sqrt{a_{1} … a_{n}} ≤ \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} pre a_{1}, a_{2}, …, a_{n} > 0 ,  (158)

pričom v uvedenom vzťahu platia rovnosti len v prípade a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}.

2. Uveďme ešte jeden dôkaz nerovností (158). Keďže ln je rýdzo konkávna funkcia (pre všetky x > 0 totiž

platí (ln)′′(x) = − \frac{1}{x^{2}} < 0), vyplýva z Jensenovej nerovnosti z paragrafu .97 (kde zvolíme p_{1} = p_{2} = ⋯ = p_{n} = \frac{1}{n})

nerovnosť

ln (\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ) ≥ \frac{1}{n} ln a_{1} + ⋯ + \frac{1}{n} ln a_{n} = ln ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ,  (159)

pričom nerovnosť ≥ možno nahradiť rovnosťou len v prípade a_{1} = ⋯ = a_{n}. Z (159) potom (keďže e^{x} je rastúca funkcia) vyplýva

\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} = e^{ln^{(\frac{a_{1}+···+an}{n} )}} ≥ e^{ln ^{n}^{\sqrt{a_{1}···a_{n}}}} = ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ,

pričom rovnosť \frac{a_{1}+···+a_{n}}{n} = ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} platí len pre a_{1} = ⋯ = a_{n}.

Dôkaz prvej nerovnosti v (158) je podobný; z rýdzej konkávnosti funkcie ln vyplýva

ln ( \frac{\frac{1}{a_{1}} + ⋯ \frac{1}{a_{n}}}{n} ) ≥ \frac{1}{n} ln \frac{1}{a_{1}} + ⋯ + \frac{1}{n} ln \frac{1}{a_{n}} = ln ^{n} \sqrt{\frac{1}{a_{1} ⋯ a_{n}}} ,

preto

\frac{\frac{1}{a_{1}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}}}{n} ≥ \frac{1}{\sqrt[n]{a_{1} ⋯ a_{n}}} ,

odtiaľ (keďže z nerovností a ≥ b > 0 vyplýva \frac{1}{a} ≤ \frac{1}{b}) dostávame

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}}} ≤ ^{n} \sqrt{a_{1} ⋯ a_{n}} ,

pričom rovnosť opäť platí len pre a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}. ♠

Nasledujúce úvahy vyslovíme len pre rýdzo konvexné funkcie, formuláciu (a dôkaz) pre prípad rýdzo konkávnych, resp. konvexných a konkávnych funkcií prenechávame na čitateľa.

.99 Lema. Nech funkcia f je rýdzo konvexná na intervale I. Potom funkcia F_{a} : I \ {a} → R daná predpisom

F_{a}(x) = \frac{fx) − f(a)}{x − a}

je rastúca.

Dôkaz. (-: Toto tvrdenie možno ľahko vydedukovať z geometrickej interpretácie rýdzej konvexnosti:

• ak a < x < y, leží bod X := [x, f(x)] pod spojnicou bodov A := [a, f(a)] a Y := [y, f(y)], preto smernica priamky AX (ktorou je práve číslo F_{a}(x)) je menšia než smernica priamky AY;

• úvaha v prípade x < y < a je obdobná;

• ak x < a < y, leží bod A pod spojnicou bodov X a Y, preto opäť smernica priamky XA musí byť menšia než smernica priamky AY. :-)

Ak x, y ∈ I, a < x < y, vyplýva z definície rýdzej konvexnosti nerovnosť

f(x) < f(a) + \frac{f(y) − f(a)}{y − a} (x − a) ,

z ktorej dostávame

f(x) − f(a) < \frac{f(y) − f(a)}{y − a} (x − a) ,

a — keďže x − a > 0 — platí

\frac{f(x) − f(a)}{x − a} < \frac{f(y) − f(a)}{y − a} ,

tj.

F_{a}(x) < F_{a}(y) .

V prípade x < y < a je postup rovnaký.

Ak x < a < y, vyplýva opäť z definície rýdzej konvexnosti nerovnosť

f(a) < f(x) + \frac{f(y) − f(x)}{y − x} (a − x) ,

z ktorej postupnými úpravami dostaneme

f(a) − f(x) < \frac{f(y) − f(x)}{y − x} (a − x) ,

(f(a − f(x))(y − x) < (f(y) − f(x))(a − x) ;  (160)

ak teraz do (160) dosadíme podľa rovností

y − x = (y − a) + (a − x) ,
(f(y) − f(x)) = (f(y) − f(a)) + (f(a) − f(x)) ,

dostaneme

(f(a) − f(x))(y − a) + (f(a) − f(x))(a − x) < (f(y) − f(a))(a − x) + (f(a) − f(x))(a − x)

a po odčítaní výrazu (f(a) − f(x))(a − x) od obidvoch strán máme

(f(a) − f(x))(y − a) < (f(y) − f(a))(a − x) ,

tj.

\frac{f(a) − f(x)}{a − x} < \frac{f(y) − f(a)}{y − a} ,

čo je dokazovaná nerovnosť

F_{a}(x) < F_{a}(y) .

Veta. (a) Nech funkcia f je rýdzo konvexná na intervale I. Potom f má v každom vnútornom bode a intervalu I konečné jednostranné derivácie, pričom

f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a)  (161)

a platí

(∀x ∈ I, x < a)(f(x) > f(a) + f′_{−}(a)(x − a)) ,  (162)
(∀x ∈ I, x > a)(f(x) > f(a) + f′_{+}(a)(x − a)) ,  (163)

(tj. ,,napravo” (resp. ,,naľavo”) od a leží graf funkcie f nad dotyčnicou ku grafu f v bode a sprava (resp. zľava); špeciálne, ak pre x ∈ int I existuje f′(a), ležia body grafu funkcie f zodpovedajúce hodnotám x ≠ a nad dotyčnicou v bode a)).

Funkcie f′_{−} a f′_{+} sú na int I rastúce a platí

(∀a, b ∈ int I, b < a)(f′_{+}(b) < f′_{−}(a)) .  (164)

(b) Ak funkcia f je na intervale I rýdzo konvexná, tak množina M tých bodov x ∈ I, v ktorých f nie je diferencovateľná, je najviac spočítateľná.

(c) Nech funkcia f : (c, d) → R je diferencovateľná v každom bode a ∈ (c, d), pričom

(∀x ∈ (c, d), x ≠ a)(f(x) > f(a) + f′(a)(x − a))  (165)

(tj. nech pre každý bod a ∈ (c, d) platí, že body grafu funkcie f zodpovedajúce hodnotám x ≠ a ležia nad dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode a).

Potom f je rýdzo konvexná funkcia.

Dôkaz. (a) Podľa predchádzajúcej lemy je funkcia F_{a} : I \ \{a\} → R, F_{a}(x) = \frac{f(x)−f(a)}{x−a}, rastúca, preto podľa tvrdenia z poznámky 1 v odseku .31 existujú konečné lim_{x→a−} F_{a}(x) = f′_{−}(a), lim_{x→a+} F_{a}(x) = f′_{+}(a) a platí f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a).

Podľa poznámky 2 z odseku .31 je

\frac{f(x) − f(a)}{x − a} = F_{a}(x) < lim_{y→a−} F_{a}(y) = f′_{−}(a) pre x ∈ I , x < a ,

tj.

(∀x ∈ I, x < a) (\frac{f(x) − f(a)}{x − a} < f′_{−}(a)) ,

z tejto nerovnosti už vyplýva (162). Dôkaz nerovnosti (163) je obdobný.

Dokážme teraz (164). Nech a, b ∈ int I, b < a; zvoľme z ∈ (b, a).

(-: Nasledujúce úvahy majú opäť jednoduchú geometrickú interpretáciu. Označme A := [a, f(a)] , B := [b, f(b] , Z := [z, f(z)]; keďže f je rýdzo konvexná funkcia a b < z < a, je smernica s_{BZ} priamky BZ menšia než smernica s_{ZA} priamky ZA; smernica s_{B+} dotyčnice v bode B sprava je ale menšia než s_{BZ} (to je geometrický obsah tvrdenia (162)), smernica s_{ZA} je naopak menšia než smernica s_{A−} dotyčnice v bode A zľava (pozri (163)) a tá je podľa (161) menšia alebo rovná smernici s_{A+} dotyčnice v bode A sprava, teda

s_{B+} < s_{BZ} < s_{ZA} < s_{A−} ≤ s_{A+} . : −)

Z rýdzej konvexnosti funkcie f vyplýva (pozri dôkaz lemy pre prípad x < a < y, v ktorom trojicu [x, a, y] nahradíme trojicou [b, z, a])

\frac{f(z) − f(b)}{z − b} < \frac{f(a) − f(z)}{a − z} .  (166)

Z (162) (kde namiesto dvojice [a, x] teraz uvažujeme dvojicu [b, z]) vyplýva

\frac{f(z) − f(b)}{z − b} > f′_{+}(b) ,  (167)

podobne podľa (163) (pre x = z) platí

\frac{f(a) − f(z)}{a − z} < f′_{−}(a) .  (168)

Z (167), (166) a (168) potom vyplýva

f′_{+}(b) < \frac{f(z) − f(b)}{z − b} < \frac{f(a) − f(z)}{a − z} < f′_{−}(a) ,

čím je nerovnosť (164) dokázaná.

Podľa (161) platí

f′_{−}(b) ≤ f′_{+}(b) , f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a) ,

odtiaľ a z (164) dostávame

f′_{−}(b) ≤ f′_{+}(b) < f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a) ,

z týchto nerovností už vyplýva, že funkcie f′_{−} a f′_{+} rastú na int I.

(b) Stačí dokázať, že množina M_{1} tých x ∈ int I, v ktorých funkcia f nie je diferencovateľná, je najviac spočítateľná (množina M je totiž zjednotením M_{1} s najviac dvojprvkovou množinou). Náš dôkaz bude založený na tomto pomocnom tvrdení.

Lema. Ak funkcia f je rýdzo konvexná na intervale I a funkcia f′_{−} je spojitá v bode a ∈ int I, tak f je v bode a diferencovateľná.

Dôkaz. Podľa (161) a (164) (kde dvojicu [b, a] nahradíme dvojicou [a, x]) platí

(∀x ∈ int I, x > a)(f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a) ≤ f′_{−}(x)) .  (169)

Pretože f′_{−} je podľa predpokladu spojitá v bode a, je

lim_{x→a+} f′_{−}(x) = lim_{x→a} f′_{−}(x) = f′_{−}(a) .

Keďže lim_{x→a+} f′_{−}(a) = f′_{−}(a) a lim_{x→a+} f′_{+}(a) = f′_{+}(a), vyplýva z nerovností (169) podľa vety .24

f′_{−}(a) ≤ f′_{+}(a) ≤ f′_{−}(a) ,

tj.

f′_{−}(a) = f′_{+}(a) ,

čo znamená (tvrdenie (c) poznámky v odstavci .81), že f je v bode a diferencovateľná. △

Z tejto lemy vyplýva inklúzia M_{1} ⊂ N, kde N je množina všetkých bodov nespojitosti funkcie g := f′_{−}|_{int I}. Keďže g je rastúca funkcia, je N spočítateľná množina (časť (b) príkladu .58).

(c) (-: Presvedčenie o správnosti tohto tvrdenia možno opäť získať z geometrickej interpretácie: Ak y, a, z ∈ I, y < a < z, a Y := [y, f(y)], A := [a, f(a)], Z = [z, f(z)], tak bod A leží na dotyčnici ku grafu funkcie f v bode A a body Y a Z ležia nad touto dotyčnicou, preto A musí ležať pod spojnicou bodov Y a Z. :-)

Chceme dokázať tvrdenie (pozri definíciu rýdzej konvexnosti)

(∀y, a, z ∈ I, y < a < z) (f(a) < f(y) + \frac{f(z) − f(y)}{z − y} (a − y)) ,

tj. ^{100}

(∀y, a, z ∈ I, y < a < z) (f(a) < \frac{z − a}{z − y} f(y) + \frac{a − y}{z − y} f(z)) .  (170)

Zvoľme teda y, a, z ∈ I, y < a < z, potom iste platí a ∈ int I a z (165) vyplýva (ak za x zvolíme najprv y a potom z)

f(y) > f(a) + f′(a)(y − a) ,
f(z) > f(a) + f′(a)(z − a) .

Ak prvú z týchto nerovností vynásobíme kladným číslom \frac{z−a}{z−y} a druhú kladným číslom \frac{a−y}{z−y} a získané nerovnosti sčítame, dostaneme nerovnosť z (170).

Dôsledok 1. Ak f je rýdzo konvexná funkcia definovaná na intervale I, tak f je spojitá v každom vnútornom bode tohto intervalu.

Dôkaz. Nech a je vnútorný bod intervalu I, potom funkcie f_{+} := f|_{I∩[a,∞)} a f_{−} := f|_{I∩(−∞,a]} sú podľa tvrdenia (a) predchádzajúcej vety diferencovateľné v bode a, preto (lema .82(a))

lim_{x→a+} f(x) ( = lim_{x→a} f_{+}(x)) = f(a) ,  lim_{x→a−} f(x) = f(a) ;

tj.

lim_{x→a} f(x) = f(a) ,

a funkcia f je teda v bode a spojitá (tvrdenie (b) lemy z paragrafu .53).

(Pre záujemcov uvádzame ešte jeden dôkaz neodvolávajúci sa na predchádzajúcu vetu.

Nech a je vnútorný bod intervalu I; zvoľme ε > 0 tak, aby pre body b := a − ε, c := a + ε platilo b, c ∈ I (to sa dá, pretože a je vnútorný bod intervalu I).

Nech

f(x) = g(a) + \frac{g(b) − g(a)}{b − a} (x − a) , h(x) = g(a) + \frac{g(c) − g(a)}{c − a} (x − a) .

:-) Z geometrickej interpretácie rýdzej konvexnosti vyplýva, že na intervale [b, c] leží graf funkcie g medzi spojnicou bodov (a, g(a)) a (b, g(b)) (ktorá je grafom funkcie f) a priamkou spájajúcou bod (a, f(a)) s bodom (c, g(c)) (čo je graf funkcie h). (-:

Pre x ∈ [a, c] platí f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), z vety .25 potom vyplýva^{101} – keďže lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = g(a)

– rovnosť lim_{x→a+} g(x) = g(a), rovnako možno dokázať aj rovnosť lim_{x→a−} g(x) = g(a). )

Dôsledok 2. Nech f : (c, d) → R je diferencovateľná funkcia. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

(a) funkcia f je rýdzo konvexná;

(b) funkcia f′ je rastúca;

(c) pre každé a ∈ (c, d) platí (165).

.100 Definícia. Hovoríme, že bod a ∈ R je inflexný bod funkcie f, ak existuje ε > 0 tak, že (a − ε, a + ε) ⊂ D(f), pričom funkcia f má v bode a vlastnú alebo nevlastnú deriváciu a je rýdzo konvexná na jednom z intervalov (a − ε, a], [a, a + ε) a rýdzo konkávna na druhom z nich. △

f(y) + \frac{f(z) − f(y)}{z − y} (a − y) = f(y) (1 − \frac{a − y}{z − y} ) + f(z) \frac{a − y}{z − y} = f(y) \frac{z − a}{z − y} + f(z) \frac{a − y}{z − y}

100pretože 101Keďže používame “jednostrannú verziu” uvedenej vety, zopakujme pre istotu ešte raz štandardné úvahy umožňujúce aplikáciu viet o limitách v prípade jednostranných limít: označíme I_{+} := I ∩ [a, ∞), f_{1} := f|_{I_{+}}, g_{1} := g|_{I_{+}}, h_{1} := h|_{I_{+}}.

Keďže lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = g(a), platí aj lim_{x→a} f_{1}(x) = lim_{x→a} h_{1}(x) = g(a) (lema .11(a)), funkcie f_{1}, g_{1}, h_{1} teda spĺňajú predpoklady vety .25 (pre M = I_{+}, P = (b, c) \ {a}), podľa ktorej lim_{x→a} g_{1}(x) = g(a), podľa definície limity sprava to znamená, že lim_{x→a+} g(x) = g(a).

Z vety .98 vyplýva toto tvrdenie:

Nech funkcia g : I → R je diferencovateľná v každom vnútornom bode intervalu I. Ak a ∈ int I, pričom existuje ε > 0 tak, že (a − ε, a + ε) ⊂ I a funkcia g′ rastie na jednom z intervalov (a − ε, a], [a, a + ε) a klesá na druhom z nich, tak a je inflexný bod funkcie g.

Postačujúce podmienky na to, aby funkcia rástla na jednom z intervalov (a − ε, a], [a, a + ε) a klesala na druhom z nich, sú sformulované v dôsledku 1 z odseku .95 a tvrdení (a) vety .96; tvrdenie (b) tejto vety stanovuje postačujúcu podmienku na to, aby funkcia na (a − ε, a + ε) rástla, resp. klesala. Ak uvedené tvrdenia prepíšeme pre prípad f = g′, dostaneme nasledujúcu vetu.

Veta. (a) Ak funkcia g′′ zmení v bode a znamienko ^{102}, tak a je inflexný bod funkcie g.

(b) Nech funkcia g je (n + 1)-krát (n ∈ N) diferencovateľná na niektorom okolí O bodu a a má v bode a vlastnú alebo nevlastnú (n + 2)-hú deriváciu, pričom

g′′(a) = g′′′(a) = ⋯ = g^{(n+1)}(a) = 0 , g^{(n+2)}(a) ≠ 0 .

Potom a je inflexný bod funkcie g práve vtedy, keď n je nepárne.

14 L’Hospitalovo pravidlo

.101 Pasáž o l’Hospitalovom pravidle, ktoré umožňuje za istých predpokladov previesť výpočet neurčitého výrazu lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} typu \frac{0}{0} alebo \frac{∞}{∞} na výpočet lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} , uveďme jednoduchou lemou, ktorú v blízkej budúcnosti využijeme a ktorá dokumentuje, že môže existovať vzťah medzi lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} a podielom \frac{f′(a)}{g′(a)} .

Lema. Nech funkcie f, g definované na množine M sú diferencovateľné v bode a ∈ M, pričom f(a) = g(a) = 0 a g′(a) ≠ 0. Potom

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = ^{103} \frac{f′(a)}{g′(a)} .

Dôkaz. Toto tvrdenie vyplýva z nasledujúceho výpočtu

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = lim_{x→a} \frac{\frac{f(x)−f(a)}{x−a}}{\frac{g(x)−g(a)}{x−a}} = \begin{matrix}lim & x→a & \frac{f(x)−f(a)}{x−a} \\ lim & x→a & \frac{g(x)−g(a)}{x−a} \end{matrix} = \frac{f′a)}{g′(a)}

(ako je zrejmé, predpoklad f(a) = g(a) = 0 sme využili hneď v prvej z uvedených rovností, podmienka g′(a) ≠ 0 nám umožnila v poslednej rovnosti použiť vetu o limite podielu). ♠

Sformulujeme teraz prvé l’Hospitalovo pravidlo, umožňujúce v istých situáciách výpočet limít neurčitých výrazov typu \frac{0}{0}.

.102 Veta (prvé l’Hospitalovo pravidlo). Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod intervalu I, nech diferencovateľné funkcie f, g : I \ {a} → R spĺňajú nasledujúce predpoklady:

(i) lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0;

(ii) (∀x ∈ I \ {a})(g(x) ≠ 0);

(iii) (∀x ∈ I \ {a})(g′(x) = 0 ⇒ f′(x) ≠ 0).

Potom platí: ak existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, tak existuje aj lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} a

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} .  (171)

Poznámka. Zrejme uvedená formulácia zahŕňa prípad jednostranných limít (ak a ∈ R je krajný bod intervalu I, resp. a = ∞ alebo a = −∞) aj obojstranných limít (ak a je vnútorný bod intervalu I).

102tj. ak existuje ε > 0 tak, že O(a, ε) ⊂ D(g′′), pričom na jednom z intervalov (a − ε, a), (a, a + ε) nadobúda funkcia g′′ len kladné a na druhom z nich len záporné hodnoty 103keďže funkcie f, g sú v bode a diferencovateľné a f(a) = g(a) = 0, platí aj rovnosť lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0, teda lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} je neurčitým výrazom typu \frac{0}{0}

Dôkaz je v prípade a ∈ R založený na Cauchyho vete o strednej hodnote (pozri rovnosť (122) vo vete .91; jej použitie umožňujú predpoklady (ii) a (iii) nášho tvrdenia). Funkcie F, G : I → R dané predpisom

F (x) = \{ \begin{matrix}f(x) , ak & x ∈ I \ \{a\} \\ 0 , ak & x = a \end{matrix} , G(x) = \{ \begin{matrix}g(x) , ak & x ∈ I \ \{a\} \\ 0 , ak & x = a \end{matrix}

(tj. funkcie f a g spojite dodefinované v bode a) spĺňajú predpoklady vety .91 na každom uzavretom intervale s koncovými bodmi a, x, kde x ∈ I \ {a}; preto (keďže F (a) = G(a) = 0)

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F (x)}{G(x)} = \frac{F (x) − F (a)}{G(x) − G(a)} = \frac{F′(c)}{G′(c)} = \frac{f′(c)}{g′(c)} ,  (172)

pričom c ”leží medzi x a a”.

Nech lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L ∈ R^{∗}; keďže chceme dokázať rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = L, zvoľme okolie O bodu L a hľadajme prestencové okolie P bodu a tak, aby platilo

(∀x ∈ P_{1} ∩ I) (\frac{f(x)}{g(x)} ∈ O) .  (173)

Pretože L = lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, k okoliu O iste existuje prstencové okolie P_{1} bodu a s vlastnosťou

(∀c ∈ P_{1} ∩ D) (\frac{f′(c)}{g′(c)} ∈ O) ,  (174)

kde D ⊂ I je definičný obor funkcie \frac{f′}{g′}. Ukážeme, že toto P_{1} vyhovuje našim požiadavkám. Podľa (172) je

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(c)}{g′(c)}  (175)

pre niektoré c ”medzi x a a”, pre x a c vystupujúce v (175) teda platí implikácia

x ∈ P_{1} ∩ I ⟹ c ∈ P_{1} ∩ D  (176)

(pričom inklúzia c ∈ D vyplýva zo znenia vety .91). Tvrdenie (173) teraz vyplýva z (176), (175) a (174). △

Zostáva dokázať naše tvrdenie ešte pre a = ∞ a a = −∞. V prípade a = ∞ na výpočet lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} použijeme substitúciu x = \frac{1}{t} a už dokázanú verziu prvého l’Hospitalovho pravidla v bode 0 (postup pre a = −∞ je rovnaký):

lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = |x = \frac{1}{t}| = lim_{t→0_{+}} \frac{f (\frac{1}{t})}{g (\frac{1}{t})} =^{l′Hosp} lim_{t→0_{+}} \frac{f′ (\frac{1}{t}) (−\frac{1}{t^{2}} )}{g′ (\frac{1}{t}) (−\frac{1}{t^{2}} )} = lim_{t→)_{+}} \frac{f′ (\frac{1}{t})}{g′ (\frac{1}{t})} = |t = \frac{1}{x}| =
= lim_{x→∞} \frac{f′(x)}{g′(x)}

(podrobné zdôvodnenie správnosti jednotlivých krokov prenechávame na čitateľa). ♠

Na výpočet limít neurčitých výrazov typu \frac{∞}{∞} možno za istých predpokladov použiť druhé l’Hospitalovo pravidlo.

.103 Veta (druhé l’Hospitalovo pravidlo). Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod intervalu I, nech diferencovateľné funkcie f, g : I \ {a} → R spĺňajú predpoklady

(i) lim_{x→a} |g(x)| = ∞;

(ii) (∀x ∈ I \ {a})(g′(x) = 0 ⇒ f′(x) ≠ 0).

Potom platí: ak existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, tak existuje aj lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} a

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} .

Dôkaz urobíme pre prípad a ∈ R je ľavý koncový bod intervalu I alebo a = −∞ (v tomto prípade

budeme teda z existencie jednostrannej limity lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)} odvodzovať existenciu limity lim_{x→a_{+}} \frac{f(x)}{g(x)}); dôkaz v prípade, že a ∈ R je pravý koncový bod intervalu I alebo a = ∞, je rovnaký; ak a ∈ R je vnútorný bod intervalu I, je rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} dôsledkom rovností lim_{x→a−} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{−}} \frac{f′(x)}{g′(x)},

lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a_{+}} \frac{f′(x)}{g′(x)}, ktoré vyplývajú z už dokázaných jednostranných verzií našej vety, a

rovnosti lim_{x→a−} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)}, ktorá vyplýva z predpokladu existencie limity lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)}. △

Nech teda a ∈ R je ľavý koncový bod intervalu I alebo a = −∞. Keďže podľa predpokladu (i) je lim_{x→a} |g(x)| = ∞, existuje prstencové okolie T bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ T ∩ I)(g(x) ≠ 0) .  (177)

Z (177) a predpokladu (ii) vyplýva, že na každom uzavretom intervale s koncovými bodmi x a x_{1}, kde x ≠ x_{1} a x, x_{1} ∈ T ∩ I, môžeme použiť Cauchyho vetu o strednej hodnote ^{104}, podľa ktorej existuje c ležiace ”medzi x a x_{1}” tak, že

\frac{f(x) − f(x_{1})}{g(x) − g(x_{1})} = \frac{f′(c)}{g′(c)} ,  (178)

odtiaľ a z rovnosti

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) − f(x_{1})}{g(x) − g(x_{1})} (1 + \frac{g(x)}{g(x_{1})}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)}

potom dostávame, že pre každé x, x_{1} ∈ T ∩ I, x ≠ x_{1}, existuje c ležiace ”medzi x a x_{1}”, pre ktoré platí

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(c)}{g′(c)} (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)} .  (179)

Predpokladajme najprv, že lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L ∈ R a dokazujme rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.

(-: Náš postup bude nasledujúci: pre x a x_{1} ležiace blízko k a leží aj c blízko k a, a keďže lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L, líši sa výraz \frac{f′(c)}{g′(c)} málo od L; ak teraz zvolíme x_{1} pevné, vyplýva z rovností lim_{x→a} \frac{g(x_{1})}{g(x)} = 0 = lim_{x→a} \frac{f(x_{1}}{g(x)} (tie

sú dôsledkom rovnosti lim_{x→a} |g(x)| = ∞), že pre x ležiace blízko k a sa výraz (1 + \frac{g(x_{1}}{g(x)} ) líši málo od čísla 1 a

podiel \frac{f(x_{1})}{g(x)} málo od nuly, a teda pre takéto x pravá strana rovnosti (179) leží blízko k číslu L. :-)

Zvoľme teda ε–okolie čísla L a hľadajme prstencové okolie U bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ U ∩ I) (L − ε < \frac{f(x)}{g(x)} < L + ε) .

Keďže lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L, existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀c ∈ P ∩ D) (L − \frac{ε}{2} < \frac{f′(c)}{g′(c)} < L + \frac{ε}{2}) ,  (180)

kde D ⊂ I je definičný obor funkcie \frac{f′}{g′}. Vyberme x_{1} ∈ P pevne; pretože c vystupujúce v (178) leží ”medzi x a x_{1}”, platí implikácia

x, x_{1} ∈ T ∩ P ∩ I ⟹ c ∈ T ∩ P ∩ D ⊂ P ∩ D  (181)

(pritom inklúzia c ∈ D vyplýva zo znenia Cauchyho vety o strednej hodnote; pripomeňme tiež, že (178) platí pre x, x_{1} ∈ T ∩ I). Z (178), (181) a (180) dostávame

(∀x ∈ T ∩ P ∩ I) (L − \frac{ε}{2} < \frac{f(x) − f(x_{1})}{g(x) − g(x_{1})} < L + \frac{ε}{2}) .  (182)

104keby a bol vnútorný bod intervalu I, mohli by sme Cauchyho vetu použiť na každom uzavretom intervale J ⊂ T ∩ I; požadovali by sme teda. aby koncové body x a x_{1} intervalu J ležali na rovnakú stranu od bodu a (tj. aby bod a neležal ”medzi x a x_{1}”); keďže v ďalšom zvolíme bod x_{1} pevne, platili by naše úvahy len pre body x ležiace na tú istú stranu od a ako x_{1}; to je dôvod, prečo náš dôkaz robíme pre prípad jednostrannej limity

Keďže lim_{x→a} \frac{g(x_{1})}{g(x)} = 0 (to vyplýva z predpokladu lim_{x→a} |g(x)| = ∞), je lim_{x→a} (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)}) = 1, preto existuje prstencové okolie R bodu a, pre ktoré platí

(∀x ∈ R ∩ T ∩ I) (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)} > 0) ^{105}.  (183)

Z (179), (182) a (183) potom dostávame (ak všetky členy v nerovnosti (182) vynásobíme výrazom 1+\frac{g(x_{1})}{g(x)}

106 a potom pripočítame podiel \frac{f(x_{1})}{g(x)})

(∀x ∈ P ∩ R ∩ T ∩ I) (h_{1}(x) < \frac{f(x)}{g(x)} < h_{2}(x)) ,  (184)

kde

h_{1}(x) = (L − \frac{ε}{2}) (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)} ,
h_{2}(x) = (L + \frac{ε}{2}) (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)} .

Pretože lim_{x→a} h_{1}(x) = L − \frac{ε}{2}, existuje prstencové okolie S_{1} bodu a tak, že platí

(∀x ∈ S_{1} ∩ T ∩ I) (|h_{1}(x) − L − \frac{ε}{2}| < \frac{ε}{2}) ,

a teda aj

(∀x ∈ S_{1} ∩ T ∩ I)(L − ε < h_{1}(x)) ,  (185)

podobne z rovnosti lim_{x→a} h_{2}(x) = L+ \frac{ε}{2} vyplýva existencia prstencového okolia S_{2} bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ S_{2} ∩ T ∩ I)(h_{2}(x) < L + ε) .  (186)

Z (184), (185), (186) dostávame

(∀x ∈ P ∩ R ∩ S_{1} ∩ S_{2} ∩ T ∩ I) (L − ε < \frac{f(x)}{g(x)} < L + ε) ,

a P ∩ R ∩ S_{1} ∩ S_{2} ∩ T je teda hľadané prstencové okolie bodu a. △

Postup v prípade L = ∞ je obdobný (prípad L = −∞ si čitateľ už iste rád premyslí sám); zvoľme K ∈ R, potom existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀c ∈ P ∩ D) (K + 1 < \frac{f′(c)}{g′(c)}) ,

odtiaľ dostávame

(∀x ∈ P ∩ R ∩ T ∩ I) (h(x) < \frac{f(x)}{g(x)}) ,  (187)

kde T , resp. R, je prstencové okolie bodu a, pre ktoré platí (177), resp. (183), a

h(x) = (K + 1) (1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)} .  (188)

Keďže lim_{x→a} h(x) = K + 1, existuje prstencové okolie S bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ S ∩ T ∩ I)(h(x) > K) ,

z (187) a (188) potom vyplýva, že U := P ∩ R ∩ S ∩ T je prstencové okolie bodu a, pre ktoré platí

(∀x ∈ U ∩ I) (\frac{f(x}{g(x)} > K) .

105funkcia (premennej x) 1 + \frac{g(x_{1})}{g(x)} je definovaná pre tie x ∈ I, pre ktoré g(x) ≠ 0, teda iste pre všetky x ∈ T ∩ I, preto sa v (183) — a v (185) a (186) — vyskytuje prstencové okolie T 106keďže pre x ∈ R ∩ I je tento výraz kladný, zostanú pre x ∈ P ∩ R ∩ T ∩ I aj po vynásobení nerovnosti z (182) zachované

.104 Príklady. 1. Použitím l’Hospitalovho pravidla nájdeme teraz niekoľko limít, ktorých znalosť sa nám v budúcnosti môže hodiť.

a) lim_{x→∞} \frac{ln^{α} x}{x^{β}} = 0 pre α, β > 0. Limitovaný výraz napíšeme v tvare

\frac{ln^{α} x}{x^{β}} = (\frac{ln x}{x^{β/α}} )^{α}

a na výpočet lim_{x→∞} \frac{ln x}{x^{β/α}} použijeme druhé l’Hospitalovo pravidlo (overenie predpokladov (i) a (ii) na intervale (0, ∞) prenechávame samozrejme na čitateľa):

lim_{x→∞} \frac{ln x}{x^{β/α}} =^{l’Hosp} lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{β}{α} x^{β/α−1}} = lim_{x→∞} \frac{α}{β} · \frac{1}{x^{β/α}} = 0

(posledná rovnosť vyplýva z predpokladu α, β > 0 a rovnosti lim_{x→∞} x^{γ} = ∞ pre γ > 0).

Podľa vety o limite zloženej funkcie potom

lim_{x→∞} \frac{ln^{α} x}{x^{β}} = lim_{x→∞} (\frac{ln x}{x^{β/α}} )^{α} = |\frac{ln x}{x^{β/α}} = t| = lim_{t→0} t^{α} = 0 .

b) lim_{x→0} x^{β} ln^{α} x = 0 pre α, β > 0.

Postup bude obdobný; limitovaný výraz prepíšeme na tvar

x^{β} ln^{α} x = (x^{β/α} ln x)^{α}

a na výpočet lim_{x→0} x^{β/α} ln x (čo je neurčitý výraz typu 0.∞) skúsime použiť druhé l’Hospitalovo pravidlo (a preto limitovaný súčin najprv zapíšeme v tvare podielu):

lim_{x→0} x^{β/α} ln x = lim_{x→0} \frac{ln x}{x^{−β/α}} =^{l’Hosp} lim_{x→0} \frac{\frac{1}{x}}{− \frac{β}{α} x^{−β/α−1}} = lim_{x→0} (− \frac{α}{β} x^{β/α}) = 0 .

Z vety o limite zloženej funkcie potom opäť vyplýva

lim_{x→0} x^{β} ln^{α} x = lim_{x→0} (\frac{ln x}{x^{−β/α}} )^{α} = |\frac{ln x}{x^{−β/α}} = t| = lim_{t→0} t^{α} = 0 .

2. Ak spojitá funkcia f : I → R, kde I je interval, je diferencovateľná v každom bode x ∈ I \ {a}, kde a ∈ I, pričom existuje (vlastná alebo nevlastná) lim_{x→a} f′(x), tak f má v bode a (vlastnú alebo nevlastnú) deriváciu a platí

f′(a) = lim_{x→a} f′(x) .

Na dôkaz uvedenej rovnosti stačí pri výpočte limity lim_{x→a} \frac{f(x)−f(a)}{x−a} použiť prvé l’Hospitalovo pravidlo:

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} =^{l’Hosp} lim_{x→a} \frac{f′(x)}{1} = lim_{x→a} f′(x) .

Poznámky. 1. I keď l’Hospitalovo pravidlo možno často s úspechom využiť nielen na výpočet limít neurčitých výrazov typu \frac{0}{0} alebo \frac{∞}{∞}, ale aj 0 · ∞ (čo sme videli v príklade 2) a ∞ − ∞ ^{107}, je pri jeho používaní potrebná istá opatrnosť; ako ukazujú nasledujúce príklady, môže sa v prípade, že vo vete .103 nie je splnený predpoklad (ii) (na overovanie ktorého sa pri používaní l’Hospitalovho pravidla často zabúda), stať, že lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} aj limita

neurčitého výrazu lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} síce existujú, ale sú navzájom rôzne (príklady 1 a 2), prípadne, že lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)}

existuje ale lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} neexistuje (príklad 3.)

Pri konštrukcii týchto (depresívnych) kontrapríkladov použijeme nasledujúce tvrdenia (z ktorých prvé dokážeme neskôr v odseku ??).

Lema 1. Ak f : I → R, kde I je interval, je spojitá funkcia, tak existuje diferencovateľná funkcia F : I → R taká, že F′(x) = f(x) pre každé x ∈ I.

f − g = \frac{\frac{1}{g} − \frac{1}{f}}{\frac{1}{fg}} ,

107ide len o to, rozdiel f − g vhodným spôsobom napísať v tvare podielu; vo všeobecnosti možno využiť rovnosť podiel na jej pravej strane je potom neurčitý výraz typu \frac{0}{0} , v konkrétnych prípadoch však možno tento prepis urobiť aj odlišným spôsobom

Lema 2. Nech F_{1} : [1, ∞) → R, F_{2} : [1, ∞) → R sú diferencovateľné funkcie také, že F′_{1}(x) = \frac{sin x}{x^{2}} , F′_{2}(x) = \frac{cos 2x}{x} pre všetky x ∈ [1, ∞) ^{108}. Potom existujú konečné limity lim_{x→∞} F_{1}(x), lim_{x→∞} F_{2}(x).

Dôkaz. Naše tvrdenie dokážeme pre funkciu F_{1}, dôkaz pre F_{2} je obdobný. Keďže F′_{1}(x) = \frac{sin x}{x^{2}} , je F′_{1}(x) > 0 pre x ∈ [1, π) a x ∈ (2kπ, 2(k + 1)π), k ∈ N, F′_{1}(x) < 0 pre x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ), k ∈ N. Funkcia F_{1} teda rastie na [1, π], klesá na [π, 2π], rastie na [2π, 3π] atď. Označme

a_{n} := F_{1}(2nπ) ,  b_{n} := F_{1}((2n + 1)π) ,  n ∈ N .

Keďže na intervale [2nπ, (2n + 1)π] funkcia F_{1} rastie, je

a_{n} < b_{n} , n ∈ N . △  (189)

Dokážeme teraz, že

lim_{n→∞}(b_{n} − a_{n}) = 0 .  (190)

Podľa Lagrangeovej vety o strednej hodnote je

b_{n} − a_{n} = F_{1}((2n + 1)π) − F_{1}(2nπ) = F′_{1}(c)π = \frac{sin c}{c^{2}} π ≤ \frac{1}{c^{2}} π <
< \frac{π}{(2n)^{2}π} = \frac{1}{(2n)^{2}} ,

pričom posledná nerovnosť je dôsledkom inklúzie c ∈ (2nπ, (2n + 1)π). Z nerovností

0 < b_{n} − a_{n} < \frac{1}{(2n)^{2}} , n ∈ N ,

(prvá z nich vyplýva z (189)) už dostávame (190) (podľa vety .25). △

Dokážeme ďalej, že {a_{n}}_{n=1}^{∞} je rastúca postupnosť (dôkaz skutočnosti, že postupnosť {b_{n}}_{n=1}^{∞} klesá, ktorý je analogický, prenechávame na čitateľa), tj. že

a_{n+1} − a_{n} > 0 , n ∈ N .

(-: Ak si načrtneme graf funkcie F′_{1}x = \frac{sin x}{x^{2}} na intervale (2nπ, (2n + 2)π), vidíme, že absolútna hodnota funkčnej hodnoty je v bode x ∈ (2nπ, (2n + 1)π) vždy väčšia než v bode x + π. To znamená, že rast funkcie F_{1} na intervale [2nπ, (2n + 1)π] je ”strmší” než jej klesanie na [2n + 1π, (2n + 2)π], a teda že rozdiel funkčných hodnôt v bodoch (2n + 1)π a 2nπ (tj. b_{n} − a_{n}) musí byť väčší než rozdiel hodnôt v bodoch (2n + 2)π a (2n + 1)π (tj. a_{n+1} − b_{n}). Túto úvahu môžeme prevteliť do formálnych zápisov pomocou tvrdenia z poznámky 1 v odseku .93. :-)

Nech

h(x) := F_{1}(x) − F_{1}(2nπ) ,  f(x) := −(F_{1}(x + π) − F_{1}((2n + 1)π)) ,  x ∈ [2nπ, (2n + 1π] ,

potom — keďže h(2nπ) = f(2nπ) = 0 a h′(x) = F′_{1}(x) > −F′_{1}(x + π) = f′(x) — podľa tvrdenia z poznámky 1 v odseku .93 (kde položíme c = 2nπ, d = (2n + 1π)) platí h(x) > f(x) pre všetky x ∈ (2nπ, 2n + 1)π]; ak zvolíme x = (2n + 1)π, dostávame

0 < h((2n + 1)π) − f((2n + 1)π) = F_{1}((2n + 1)π) − F_{1}(2nπ) + F_{1}(2n + 2)π) − F_{1}((2n + 1)π) =
= F_{1}((2n + 2)π) − F_{1}(2nπ) = a_{n+1} − a_{n} ,

čo sme chceli dokázať. △. Z monotónnosti postupností {a_{n}}_{n=1}^{∞} a z (189) dostávame

a_{1} < a_{n} < b_{n} , n ∈ N ,

teda {b_{n}}_{n=1}^{∞} je zdola ohraničená klesajúca postupnosť, preto existuje konečná lim_{n→∞} b_{n}. Rovnako možno dokázať existenciu konečnej lim_{n→∞} a_{n}; z (190) pritom vyplýva rovnosť

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} . △  (191)

108existencia funkcií F_{1}, F_{2} vyplýva z predchádzajúcej lemy

Keďže F_{1} rastie na [2nπ, (2n + 1)π] a klesá na [(2n + 1)π, (2n + 2)π], je číslo b_{n} = F_{1}((2n + 1)π) maximom funkcie F_{1} na intervale [2nπ, (2n + 2)π]; pretože F_{1}(2nπ) = a_{n} < a_{n+1} = F_{1}((2n + 2)π), nadobúda F_{1} svoje minimum na [2nπ, (2n + 2)π] v bode 2nπ; platia teda nerovnosti

(∀x ∈ [2nπ, (2n + 2)π])(a_{n} ≤ F_{1}(x) ≤ b_{n}) ,

z nich a z (191) už vyplýva existencia konečnej lim_{x→∞} F_{1}(x).

Príklad 1. Nech funkcie f, g : [1, ∞) → R sú dané predpismi

f(x) = 2 ln x − cos x + 2F_{1}(x) − F_{2}(x) , g(x) = ln x − cos x ,

kde F_{1}, F_{2} sú funkcie z lemy 2. Potom z nerovnosti

(∀x ∈ [1, ∞))(g(x) ≥ ln x − 1)

vyplýva — keďže lim_{x→∞} ln x = ∞ — rovnosť lim_{x→∞} g(x) = ∞, a teda aj

lim_{x→∞} |g(x)| = ∞ ,

čo je predpoklad (i) vety .103. Ďalej platí

• funkcie f, g sú diferencovateľné:

f′(x) = \frac{2}{x} + sin x + \frac{2 sin x}{x^{2}} − \frac{cos 2x}{x} = \frac{2}{x} + sin x + \frac{2 sin x}{x^{2}} − \frac{1 − 2 sin^{2} x}{x} =
= \frac{2}{x} + sin x + \frac{2 sin x}{x^{2}} − \frac{1}{x} + \frac{2 sin^{2} x}{x} = \frac{1}{x} + sin x + \frac{2 sin x}{x} (\frac{1}{x} + sin x) =
= (\frac{1}{x} + sin x) (1 + \frac{2 sin x}{x}) ,
g′(x) = \frac{1}{x} + sin x ;

• lim_{x→∞} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x→∞} \frac{(\frac{1}{x} + sin x) (1 + \frac{2 sin x}{x})}{\frac{1}{x} + sin x} = lim_{x→∞} (1 + \frac{2 sin x}{x}) = 1

(podľa vety .14 je totiž lim_{x→∞} \frac{2 sin x}{x} = 0);

ale

• lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→∞} \frac{2 ln x − cos x + 2F_{1}(x) − F_{2}(x)}{ln x − cos x} = lim_{x→∞} \frac{2 − \frac{cos x}{ln x} + 2 \frac{F_{1}(x)}{ln x} − \frac{F_{2}(x)}{ln x}}{1 − \frac{cos x}{ln x}} = 2 ,

pretože lim_{x→∞} \frac{cos x}{ln x} = 0, lim_{x→∞} \frac{F_{1}(x)}{ln x} = 0, lim_{x→∞} \frac{F_{2}(x)}{ln x} = 0 podľa vety .18 a vety o limite súčinu (existenciu konečných limít lim_{x→∞} F_{1}(x) a lim_{x→∞} F_{2}(x) sme dokázali v leme 2).

Pripomeňme, že v tomto prípade nebola na žiadnom okolí bodu ∞ splnená podmienka (ii) z druhého l’Hospitalovho pravidla; v každom okolí bodu ∞ totiž existujú body x, pre ktoré \frac{1}{x} + sin x = 0, tj. body x, v ktorých f′(x) = 0 = g′(x).

Príklad 2. Nech

f(x) = ln x − cos x + 2\sqrt{x} + 2F_{3}(x) − F_{4}(x) ,  g(x) = ln x − cos x ,  x ∈ [1, ∞) ,

kde F_{3} : [1, ∞) → R, F_{4} : [1, ∞) → R sú diferencovateľné funkcie také, že F′_{3}(x) = \frac{sin x}{x\sqrt{x}}, F′_{4}(x) = \frac{cos 2x}{\sqrt{x}}. Rovnako ako v prípade funkcií F_{1}, F_{2} z príkladu 1 možno dokázať existenciu konečných limít lim_{x→∞} F_{3}(x), lim_{x→∞} F_{4}(x). Pre funkcie f, g platí

• lim_{x→∞} |g(x)| = ∞;

• f′(x) = (\frac{1}{x} + sin x) (1 + \frac{2 sin x}{\sqrt{x}}) , g′(x) = \frac{1}{x} + sin x;

preto

• lim_{x→∞} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x→∞} (1 + \frac{2 sin x}{\sqrt{x}}) = 1;

ale

• lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→∞} \frac{\sqrt{x} (\frac{ln x}{\sqrt{x}} − \frac{cos x}{\sqrt{x}} + 2 + \frac{2F_{3}(x)}{\sqrt{x}} − \frac{F_{4}(x)}{\sqrt{x}})}{ln x (1 − \frac{cos x}{ln x})} = ∞

(pretože lim_{x→∞} \frac{\sqrt{x}}{ln x} = ∞ podľa druhého l’Hospitalovho pravidla a limita pre x → ∞ zátvorky v čitateli, resp. v menovateli, je 2, resp 1).

Príklad 3. Pre x ∈ [1, ∞) položme

f(x) = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} sin \sqrt{x} + 2 cos \sqrt{x} − 8F_{5}(\sqrt{x}) − sin 2\sqrt{x} ,
g(x) = 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} sin \sqrt{x} + 2 cos \sqrt{x} ,

kde F_{5} : [1, ∞) → R je diferencovateľná funkcia taká, že F′_{5}(x) = \frac{cos x}{x}. Zopakovaním postupu z lemy 2 možno dokázať existenciu konečnej lim_{x→∞} F_{5}(x), preto aj lim_{x→∞} F_{5}(\sqrt{x}) je konečná. Z nerovnosti

g(x) = \sqrt{x} (4 + 2 sin \sqrt{x} + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}) ≥ \sqrt{x} (2 + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}})

vyplýva (podľa vety .20(b), resp. druhého ”pravidla” v strednom stĺpci z (33)), že

lim_{x→∞} g(x) = ∞ .

Ďalej platí

• f′(x) = (\frac{2}{\sqrt{x}} + cos \sqrt{x}) (1 − \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}) ^{109}, g′(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + cos \sqrt{x};

preto

• lim_{x→∞} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x→∞} (1 − \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 1

(pretože lim_{x→∞} \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0 podľa viet .18 a .14),

ale

• lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} neexistuje; pre x > 0 totiž platí

\frac{f(x)}{g(x)} = \sqrt{x} (2 + 2 sin \sqrt{x} + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} − \frac{8F_{5}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} − \frac{sin 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) ; \sqrt{x} (4 + 2 sin \sqrt{x} + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}) =

= \frac{2 + 2 sin \sqrt{x} + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} − \frac{8F_{5}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} − \frac{sin 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{4 + 2 sin \sqrt{x} + \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}} ,

pritom

lim_{x→∞} \frac{2 cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = lim_{x→∞} \frac{F_{5}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = lim_{x→∞} \frac{sin 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0 ;

ak teraz zvolíme x_{n} = (2πn)^{2}, y_{n} = ((2n + 1) \frac{π}{2} )^{2}, tak sin \sqrt{x_{n}} = 0, sin \sqrt{y_{n}} = 1, preto

lim_{n→∞} \frac{f(x_{n})}{g(x_{n})} = lim_{n→∞} \frac{2 + 2 sin \sqrt{x_{n}} + \frac{2 cos \sqrt{x_{n}}}{\sqrt{x_{n}}} − \frac{8F_{5}(\sqrt{x_{n}})}{\sqrt{x_{n}}} − \frac{sin 2\sqrt{x_{n}}}{\sqrt{x_{n}}}}{4 + 2 sin \sqrt{x_{n}} + \frac{2 cos \sqrt{x_{n}}}{\sqrt{x_{n}}}} = \frac{2 + 0 + 0 − 0 − 0}{4 + 0 + 0} =

= \frac{1}{2} ,
lim_{n→∞} \frac{f(y_{n})}{g(y_{n})} = \frac{2}{3} ,

neexistencia limity lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} potom vyplýva z lemy .11(c).

109pripomeňme, že (F_{5}(\sqrt{x}))′ = F′_{5}(\sqrt{x}) \frac{1}{2\sqrt{x}}

2. Predpoklad (ii) z vety .103 (a identický predpoklad (iii) z vety .102) požaduje, aby funkcie f′ a g′ nenadobúdali súčasne nulové hodnoty. Nasledujúca lema, ukazuje, že i v prípade, že f′ a g′ nadobúdajú súčasne nulové hodnoty, možno použiť l’Hospitalovo pravidlo, ovšem za dodatočného predpokladu, že funkcia g′ nezmení napravo ani naľavo od bodu a znamienko. Preto v predchádzajúcich kontrapríkladoch je porušená nielen podmienka (ii) z vety .103, ale aj predpoklad (ii) nasledujúcej lemy.

Lema. Nech a ∈ R^{∗} je pravý koncový bod intervalu I, nech diferencovateľné funkcie f, g : I → R spĺňajú nasledujúce podmienky:

(i) lim_{x→a} |g(x)| = ∞ alebo lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0;

(ii) (∀x ∈ I)(g′(x) ≥ 0) alebo (∀x ∈ I)(g′(x) ≤ 0);

(iii) (∀x ∈ I)(g′(x) = 0 ⇒ f′(x) = 0).

Potom platí: ak existuje lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} , tak existuje aj lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} a

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} .

Dôkaz. Predpokladajme, že lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L ∈ R, lim_{x→a} |g(x)| = ∞, je splnená podmienka (iii) a pre všetky x ∈ I je g′(x) ≥ 0 (teda g je neklesajúca funkcia; odtiaľ a z predpokladu lim_{x→a} |g(x)| = ∞ dostávame rovnosť lim_{x→a} g(x) = ∞); prispôsobenie dôkazu na ostatné prípady prenechávame dychtivému čitateľovi.

Z predpokladu lim_{x→a} \frac{f′x)}{g′(x)} = L ∈ R vyplýva pre dané ε > 0 existencia prstencového okolia P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ D) (L − \frac{ε}{2} < \frac{f′(x)}{g′(x)} < L + \frac{ε}{2}) ,

kde D := \{x ∈ I; g′(x) ≠ 0\} je definičný obor funkcie \frac{f′}{g′}. Pre x ∈ P ∩ D teda platí

(L − \frac{ε}{2}) g′(x) ≤ f′(x) ≤ (L + \frac{ε}{2}) g′(x) .  (192)

Z predpokladu (iii) vyplýva, že (192) platí aj pre tie x ∈ I, v ktorých g′(x) = 0, teda uvedené nerovnosti platia pre všetky x ∈ P ∩ I.

Nech x_{1} je ľavý koncový bod intervalu P ∩ I (o okolí P môžme iste bez ujmy na všeobecnosti predpokladať,

že je to zdola ohraničená množina). Z tvrdenia v poznámke 1 z odseku .93 (kde ostré nerovnosti nahradíme

neostrými, za c zvolíme x_{1} a v úlohe funkcií f, h budú vystupovať najprv funkcie (L − ε/2)(g(x) − g(x_{1})) a f(x)−f(x_{1}) (pri dôkaze prvej z nasledujúcich nerovností) a potom (pri dôkaze druhej z nich) funkcie f(x)−f(x_{1})

a (L + ε/2)(g(x) − g(x_{1}))) vyplýva

(∀x ∈ (x_{1}, a)) ((L − \frac{ε}{2}) (g(x) − g(x_{1})) ≤ f(x) − f(x_{1}) ≤ (L + \frac{ε}{2}) (g(x) − g(x_{1}))) .  (193)

Keďže lim_{x→a} g(x) = ∞, existuje prstencové okolie T bodu a tak, že pre x ∈ T ∩ I platí g(x) > g(x_{1}), tj.

(∀x ∈ T ∩ I)(g(x) − g(x_{1}) > 0) .

Pre x ∈ T ∩ (x_{1}, a) = T ∩ P ∩ I sa teda nerovnosti v (193) po vydelení číslom g(x) − g(x_{1}) nezmenia, platí teda

(∀x ∈ T ∩ P ∩ I) (L − \frac{ε}{2} ≤ \frac{f(x) − f(x_{1})}{g(x) − g(x_{1})} ≤ L + \frac{ε}{2}) .  (194)

Ďalší postup je totožný s úvahami z dôkazu vety .103 za vzťahom (182) (s ktorým je (194) v podstate zhodný).

15 Taylorov polynóm

V tejto kapitole sa budeme snažiť pre danú funkciu f definovanú na intervale I a daný bod a ∈ I nájsť spomedzi všetkých polynómov stupňa najviac n ten, ktorý ”najlepšie aproximuje funkciu f blízko bodu a” (čo znamená, že od hľadaného polynómu T_{n} budeme požadovať, aby pre každý od neho rôzny polynóm P stupňa najviac n existovalo prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I)(|f(x) − T_{n}(x)| < |f(x) − P (x)|) ,  (195)

tj. aby dostatočne blízko k bodu a platilo, že chyba, ktorej sa dopustíme, ak funkciu f nahradíme polynómom T_{n}, je menšia, než chyba, ktorá by vznikla nahradením funkcie f polynómom P.).

V prípade n = 0 teda hľadáme konštantu, ktorá sa spomedzi všetkých konštánt najmenej odlišuje od hodnôt funkcie f pre x blízke k a; dúfame, že čitateľovi je z doterajšieho priebehu nášho kurzu jasné, že hľadanou konštantou — pokiaľ je funkcia f spojitá v bode a — je f(a), tj. lim_{x→a} f(x) ^{110}.

Pre n = 1 dostávame nám už známu úlohu nájsť dotyčnicu k funkcii f v bode a; vieme teda, že hľadaný polynóm T_{1} — pokiaľ existuje vlastná f′(a) — má v tomto prípade tvar

T_{1}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) ^{111}.  (196)

Skôr, než budeme pokračovať v našich úvahách pre prípad väčšieho n a ľubovoľnej funkcie f, všimnime si ešte špeciálny prípad, keď f je polynóm P stupňa nanjvýš n; vtedy zrejme hľadaný polynóm T_{n} je totožný s P. Nasledujúca lema ukazuje, že koeficienty polynómu P (a teda v tomto prípade aj T_{n}) možno vyjadriť pomocou derivácií funkcie P.

110nie je ťažké presvedčiť sa, že T_{0}(x) ≡ f(a) má skutočne vlastnosť z (195) (pritom nasledujúce úvahy pre n = 0 rovnako ako v ďalšej poznámke uvedený dôkaz pre n = 1 sú totožné s dôkazom vety .108(b) pre n = 0, 1):

ak P (x) ≡ k ≠ f(a), tak podľa lemy .13(e) (a vety o limite rozdielu) je lim_{x→a} |f(x) − P (x)| = |f(a) − k| > 0, lim_{x→a} |f(x) − f(a)| = 0, teda

lim_{x→a} (|f(x) − P (x)| − |f(x) − T_{0}(x)|) > 0 ,

preto podľa lemy .10(b) existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I)(|f(x) − P (x)| − |f(x) − T_{0}(x)| > 0) ,

čo už je (195) 111presvedčme sa aj v tomto prípade, že T_{1} má vlastnosť požadovanú v (195): každý polynóm najviac prvého stupňa môžeme zapísať v tvare A + B(x − a) (pre B = 0 dostaneme konštantnú funkciu); ak je tento polynóm rôzny od T_{1}, nastane (keďže dva polynómy A_{1} + B_{1}(x − a), A_{2} + B_{2}(x − a) sa rovnajú práve vtedy, keď A_{1} = A_{2} ∧ B_{1} = B_{2}) jedna z dvoch nasledujúcich možností: buď

• A ≠ f(a), vtedy lim_{x→a} |f(x) − P (x)| = |f(a) − P (a)| = |f(a) − A| > 0, lim_{x→a} |f(x) − T_{1}(x)| = |f(a) − T_{1}(a)| =

|f(a) − f(a)| = 0, a teda

lim_{x→a} (|f(x) − P (x)| − |f(x) − T_{1}(x)|) > 0 ,

ďalší postup je rovnaký ako v prípade n = 0;

alebo

• A = f(a) ∧ B ≠ f′(a), vtedy

lim_{x→a} |\frac{f(x) − P (x)}{x − a} | = | lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} − B| = |f′(a) − B| > 0 ,

lim_{x→a} |\frac{f(x) − T_{1}(x)}{x − a} | = | lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} − f′(a)| = |f′(a) − f′(a)| = 0 ,

a teda

lim_{x→a} \frac{1}{|x − a|}( ^{|f(x) − P (x)| − |f(x) − T_{1}(x)|}_{h(x)} ) > 0 ,

preto existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I) (\frac{h(x)}{|x − a|} > 0) ,

z ktorej už vyplýva (195) (stačí obidve strany získanej nerovnosti vynásobiť kladným výrazom |x − a|)

.105 Lema. Nech P je polynóm stupňa nanajvýš n, nech a ∈ R. Potom P možno písať v tvare

P (x) = P (a) + P′(a)(x − a) + \frac{P′′(a)}{2!}(x − a)^{2} + ⋯ + \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} + ⋯ + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} .

Špeciálne, k–tu deriváciu (k ≤ n) polynómu P možno písať v tvare

P^{(k)}(x) = P^{(k)}(a) + P^{(k+1)}(a)(x − a) + ⋯ + \frac{P^{(n)}(a)}{(n − k)!}(x − a)^{n−k} .  (197)

Dôkaz. P možno zapísať ako polynóm so stredom a, tj. v tvare

P (x) = a_{0} + a_{1}(x − a) + a_{2}(x − a)^{2} + ⋯ + a_{n}(x − a)^{n} ,  (198)

stačí do predpisu

P (x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + ⋯ + b_{n}x^{n}

dosadiť x = (x − a) + a a získané dvojčleny umocniť pomocou binomickej vety na príslušné mocniny. Zostáva dokázať rovnosti

a_{i} = \frac{P^{(i)}(a)}{i!} , i = 0, 1, …, n .  (199)

Ak do (198) dosadíme x = a, dostaneme P (a) = a_{0}, čo je (199) pre i = 0. Keďže

P′(x) = a_{1} + 2a_{2}(x − a) + ⋯ + na_{n}(x − a)^{n−1} ,

je P′(a) = a_{1}; z rovnosti

P′′(x) = 2a_{2} + 3·2 a_{3}(x − a) + ⋯ + n(n − 1)(x − a)^{n−2}

vyplýva P′′(a) = 2a_{2}. Tak možno pokračovať až po i = n, čím bude (199) dokázané.

Keďže P^{(k)} je polynóm stupňa najviac n−k, možno ho podľa práve dokázaného tvrdenia písať v tvare

P^{(k)}(x) = P^{(k)}(a) + (P^{(k)})′ (a)(x − a) + ⋯ + (P^{(k)})^{(n−k)} (a)(x − a)^{n−k} ,

tým je dokázaná aj rovnosť (197). ♠

Vráťme sa teraz k našej pôvodnej úlohe; pri jej riešení teraz použijeme túto jednoduchú pomocnú úvahu: ak funkcie F, G sú definovanné na intervale I, pričom G je na niektorom prstencovom okolí bodu a ∈ I

nenulová, a existuje konečná lim_{x→a} \frac{F (x)}{G(x)} =: γ, tak pre hodnoty x ležiace blízko bodu a sa spomedzi všetkých funkcií tvaru kG od funkcie F najmenej líši funkcia γG ^{112} (teda — veľmi voľne vyjadrené — ”v mierke určenej funkciou G je veľkosťou funkcie F číslo γ”).

Ak je daná spojitá funkcia f, tak pre hodnoty x málo sa líšiace od a je spomedzi konštánt k funkcii f najbližšie konštanta f(a) = lim_{x→a} \frac{f(x)}{1} (”mierkou” je teda v tomto prípade konštantná funkcia s hodnotou 1). Rozdiel R_{0}(x) := f(x) − f(a) (tj. chyba, ktorej sa dopustíme pri nahradení funkcie f konštantnou funkciou f(a)) je už ”na úrovni konštánt” nerozlíšiteľný od nuly, pretože

lim_{x→a} R_{0}(x) = lim_{x→a} (f(x) − f(a)) = 0 .

Ak chceme nájsť lepšiu aproximáciu funkcie f, budeme hľadať nielen medzi konštantami, ale aj medzi polynómami prvého stupňa. Keďže už vieme, že hľadaný polynóm T_{1} má tvar (196), pričom f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x)−f(a)}{x−a} =

lim_{x→a} |\frac{F (x) − γG(x)}{G(x)} | = 0 , lim_{x→a} |\frac{F (x) − kG(x)}{G(x)} | = |γ − k| > 0 ,

lim_{x→a} \frac{1}{|G(x)|}(|F (x) − kG(x)| − |F (x) − γG(x)|) = |k − γ| > 0 ,

112dôkaz opäť nie je ťažký ani prekvapujúci: pre k ≠ γ je odtiaľ vyplýva preto existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I)(|F (x) − kG(x)| > |F (x) − γG(x)|)

lim_{x→a} \frac{R_{0}(x)}{x−a}, vidíme, že polynóm T_{1} sme našli tak, že sme — ako vidno z našej pomocnej úvahy — hľadali najlepšiu aproximáciu zvyšku R_{0} funkciou tvaru k(x − a) pre hodnoty x ležiace blízko k a. Pre rozdiel R_{1} := f − T_{1} platí

lim_{x→a} \frac{R_{1}(x)}{x − a} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a) − f′(a)(x − a)}{x − a} = lim_{x→a} (\frac{f(x) − f(a)}{x − a} − f′(a)) = 0 ,

teda ”v mierke určenej funkciou x − a už nevieme R_{1} odlíšiť od nuly”.

Pokračujme týmto spôsobom ďalej: ”mierku” x − a nahraďme ”jemnejšou^{113} mierkou” (x − a)^{2} a hľadajme najlepšiu aproximáciu zvyšku R_{1} funkciou tvaru k(x − a)^{2} pre x málo sa líšiace od a, číslo k (pokiaľ f je diferencovateľná na I a existuje f′′(a)) nájdeme na základe našej pomocnej úvahy:

k = lim_{x→a} \frac{R_{1}(x)}{(x − a)^{2}} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a) − f′(a)(x − a)}{(x − a)^{2}} =^{l′Hosp} lim_{x→a} \frac{f′(x) − f′(a)}{2(x − a)} = \frac{f′′(a)}{2} ,

hľadaný polynóm T_{2} teda bude mať tvar

T_{2}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + \frac{f′′(a)}{2} (x − a)^{2}

a pre zvyšok R_{2} := f − T_{2} bude platiť lim_{x→a} \frac{R_{2}(x)}{(x−a)^{2}} = 0.

Pri hľadaní polynómu T_{3} nahradíme ”mierku” (x − a)^{2} (v ktorej už R_{2} nevieme odlíšiť od nuly) v poradí nasledujúcou ”jemnejšou mierkou” (x − a)^{3} a budeme hľadať funkciu tvaru k(x − a)^{3}, ktorá blízko k a najlepšie nahradí funkciu R_{2}; pre hľadané k dostávame (ak f je na I dvakrát diferencovateľná a existuje vlastná f′′′(a)) na základe našej pomocnej úvahy rovnosť

k = lim_{x→a} \frac{R_{2}}{(x − a)^{3}} = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a) − f′(a)(x − a) − \frac{f′′(a)}{2} (x − a)^{2}}{(x − a)^{3}} =^{l′Hosp}
= lim_{x→a} \frac{f′(x) − f′(a) − f′′(a)(x − a)}{3(x − a)^{2}} =^{l′Hosp} lim_{x→a} \frac{1}{3!} \frac{f′′(x) − f′′(a)}{x − a} = \frac{f′′′(a)}{3!} ,

teda

T_{3} = f(a) + f′(a) + \frac{f′′(a)}{2} (x − a)^{2} + \frac{f′′′(a)}{3!} (x − a)^{3} .

Ak tento postup zopakujeme ešte niekoľkokrát, zistíme, že T_{n} má (pokiaľ f je (n − 1)–krát diferencovateľná na I a existuje konečná f^{(n)}(a)) tvar

T_{n}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ⋯ + \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x − a)^{k} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x − a)^{n} .

.106 Definícia. Nech funkcia f : I → R je (n − 1)–krát diferencovateľná na intervale I a n–krát diferencovateľná v bode a ∈ I. Potom polynóm

T_{n}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ⋯ + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

sa nazýva Taylorov polynóm rádu n funkcie f v bode a. Ak a = 0, hovoríme o Maclaurinovom polynóme rádu n funkcie f.

Poznámka. Z lemy .105 vyplýva toto tvrdenie:

Nech f : I → R je funkcia (n − 1)–krát diferencovateľná na intervale I a n–krát diferencovateľná v bode a, nech P je polynóm stupňa nanajvýš n. Potom P je Taylorovým polynómom rádu n funkcie f v bode a práve vtedy, keď

f^{(i)}(a) = P^{(i)}(a) , i = 0, 1, …, n . ♠

Základné vlastnosti Taylorovho polynómu sformulujeme vo vete .108, pri ich dôkaze použijeme nasledujúcu lemu.

.107 Lema. Nech funkcia f : I → R je (k − 1)–krát diferencovateľná na intervale I a k–krát diferencovateľná v bode a ∈ I (k ∈ N). Nech P je polynóm stupňa nanajvýš r (r ≥ k) taký, že

P (a) = f(a) , P′(a) = f′(a) , …, P^{(k−1)}(a) = f^{(k−1)}(a) .  (200)

113skutočne, z rovnosti lim_{x→a} \frac{(x−a)^{2}}{x−a} = 0 vyplýva, že dostatočne blízko k a je veľkosť čísla (x − a)^{2} zanedbateľná v porovnaní s veľkosťou čísla x − a, vidno teda, že ”mierka” (x − a)^{2} je ”jemnejšia” než x − a, súčasne je ale (na základe takého istého zdôvodnenia) ”hrubšia” než každá ”mierka” (x − a)^{k} pre k > 2

Potom

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} = \frac{1}{k!} (f^{(k)}(a) − P^{(k)}(a)) .

Dôkaz. Na výpočet limity neurčitého výrazu \frac{f(x)−P (x)}{(x−a)^{k}} typu \frac{0}{0} ^{114} použijeme (k − 1)–krát prvé l’Hospitalovo pravidlo (ako vyplýva z rovností (200), po každom jeho použití dostaneme opäť neurčitý výraz typu \frac{0}{0} ^{115}) a limitu posledného takto získaného neurčitého výrazu \frac{f^{(k−1)}(x)−P^{(k−1)}(x)}{k!(x−a)} (na výpočet ktorej už l’Hospitalovo pravidlo použiť nemôžeme, pretože naše predpoklady nezaručujú diferencovateľnosť funkcie f^{(n−1)} na niektorom prstencovom okolí bodu a) nájdeme na základe definície čísla f^{(n)}(a); pritom využijeme rovnosť

P^{(k−1)}(x) = P^{(k−1)}(a) + P^{(k)}(a)(x − a) + P^{(k+1)}(a)(x − a)^{2} + ⋯ + P^{(r)}(a)(x − a)^{r−k+1}

(tú dostaneme, ak v (197) za dvojicu čísel (n, k) dosadíme (r, k − 1)), z nej na základe nášho predpokladu

P^{(k−1)}(a) = f^{(k−1)}(a)

vyplýva

P^{(k−1)}(x) = f^{(k−1)}(a) + P^{(k)}(a)(x − a) + P^{(k+1)}(a)(x − a)^{2} + ⋯ + P^{(r)}(a)(x − a)^{r−k+1} .

Uvedeným postupom dostaneme

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} =^{l′Hosp} lim_{x→a} \frac{f′(x) − P′(x)}{k(x − a)^{k−1}} =^{l′Hosp} ⋯ =^{l′Hosp} lim_{x→a} \frac{f^{(k−1)}(x) − P^{(k−1)}(x)}{k!(x − a)} =

= \frac{1}{k!} lim_{x→a} \frac{f^{(k−1)}(x) − f^{(k−1)}(a) − P^{(k)}(a)(x − a) − ⋯ − P^{(r)}(a)(x − a)^{r−k+1}}{x − a} =

= \frac{1}{k!} lim_{x→a} (\frac{f^{(k−1)}(x) − f^{(k−1)}(a)}{x − a} − P^{(k)}(a) − P^{(k+1)}(a)(x − a) − ⋯ − P^{(r)}(a)(x − a)^{r−k}) =

= \frac{1}{k!} (f^{(k)}(a) − P^{(k)}(a)) ,

čo sme chceli dokázať.

.108 Veta. Nech funkcia f : I → R je (n − 1)–krát diferencovateľná na intervale I a n–krát diferencovateľná v bode a. Potom

(a) polynóm P stupňa nanajvýš n je Taylorovým polynómom rádu n funkcie f v bode a práve vtedy, keď

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{n}} = 0 ;  (201)

(b) pre každý polynóm P stupňa nanajvýš n, ktorý je odlišný od Taylorovho polynómu T_{n} rádu n funkcie f v bode a, existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I)(|f(x) − T_{n}(x)| < |f(x) − P (x)|) .  (202)

Dôkaz. (a) ”⇒”: Ak P je Taylorov polynóm rádu n funkcie f v bode a, tak platí (pozri poznámku za definíciou .106) n + 1 rovností

f^{(i)}(a) = P^{(i)}(a) , i = 0, 1, … n .  (203)

Splnenie prvých n z nich nám umožňuje použiť lemu .107 (pre k = n), podľa ktorej

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{n}} = \frac{1}{n!} (f^{(n)}(a) − P^{(n)}(a)) = 0 ,  (204)

114rovnosť lim_{x→a} (f(x) − P (x)) = 0 je dôsledkom predpokladu f(a) = P (a), pritom spojitosť funkcie f v bode a, ktorej dôsledkom je rovnosť lim_{x→a} f(x) = f(a), vyplýva z jej diferencovateľnosti v tomto bode 115pritom spojitosť funkcií f′, f′′, …, f^{(k−1)} v bode a — dôsledkom ktorej je rovnosť lim_{x→a} f^{(i)}(x) = f^{(i)}(a) , i = 1, 2, …, k − 1 — vyplýva opäť z predpokladu ich diferencovateľnosti v tomto bode

pričom posledná rovnosť v (204) vyplýva z poslednej rovnosti v (203).

”⇐”: Z definície Taylorovho polynómu vyplýva (pozri poznámku v odseku .106), že treba dokázať rovnosti (203), to urobíme úplnou indukciou.

Z (201) vyplýva rovnosť

lim_{x→a} (f(x) − P (x)) = lim_{x→a} (\frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{n}}(x − a)^{n}) = 0 · 0 = 0 ,  (205)

pritom funkcie f a P sú v bode a spojité (spojitosť f v bode a vyplýva z jej diferencovateľnosti v tomto bode), preto

lim_{x→a} f(x) = f(a) , lim_{x→a} P (x) = P (a) ,

z týchto rovností a z (205) vyplýva f(a) = P (a), čo je (203) pre i = 0.

Predpokladajme teraz, že (203) platí pre i = 0, 1, …, k − 1, pričom k ≤ n. Z (201) dostávame

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} = lim_{x→a} (\frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{n}}(x − a)^{n−k}) = 0 ;  (206)

súčasne ale z indukčného predpokladu vyplýva, že sú splnené rovnosti (200) z lemy .107, podľa ktorej

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} = \frac{1}{k!} (f^{(k)}(a) − P^{(k)}(a)) ,

odtiaľ a z (206) už dostávame rovnosť f^{(k)}(a) = P^{(k)}(a), čo je (203) pre i = k. △

(b) Keďže polynóm P, ktorý podľa lemy .105 možno písať v tvare

P (x) = P (a) + P′(a)(x − a) + ⋯ + \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} + ⋯ + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} ,

a Taylorov polynóm

T_{n}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ⋯ + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

sú navzájom rôzne, musia sa líšiť v niektorom zo svojich koeficientov; nech \frac{P^{(k})(a)}{k!} je prvý spomedzi

P (a), P′(a), …, \frac{P^{(n)}(a)}{n!}, ktorý sa odlišuje od príslušného koeficientu polynómu T_{n}, teda nech

P (a) = f(a) , P′(a) = f′(a) , …, P^{(k−1)}(a) = f^{(k−1)}(a) ,  (207)

ale

P^{(k)}(a) ≠ f^{(k)}(a) .  (208)

Rovnosti (207) nám umožňujú použiť lemu .107, podľa ktorej

lim_{x→a} \frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} = \frac{1}{k!} (f^{(k)}(a) − P^{(k)}(a)) ≠ 0 ,  (209)

pričom posledná nerovnosť vyplýva z (208). Podľa tvrdenia (a) našej vety je lim_{x→a} \frac{f(x)−T_{n}(x)}{(x−a)^{n}} = 0, preto aj

lim_{x→a} \frac{f(x) − T_{n}(x)}{(x − a)^{k}} = lim_{x→a} (\frac{f(x) − T_{n}(x)}{(x − a)^{n}}(x − a)^{n−k}) = 0 ,

odtiaľ, z (209) (a lemy .13(e)) vyplýva

lim_{x→a} \frac{1}{|x − a|^{k}} ( \underbrace{|f(x) − P (x)| − |f(x) − T_{n}(x)|}_{h(x)} ) =

= lim_{x→a} (|\frac{f(x) − P (x)}{(x − a)^{k}} | − |\frac{f(x) − T_{n}(x)}{(x − a)^{k}} |) = |\frac{1}{k!} (f^{(k)}(a) − P^{(k)}(a))| > 0 ,

preto (podľa lemy .10(b)) existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou

(∀x ∈ P ∩ I) (\frac{h(x)}{|x − a|^{k}} > 0) ,

odtiaľ — ak obidve strany nerovnosti vynásobíme kladným výrazom |x − a|^{k} — už dostávame (202). ♠

Niektoré zápisy nám pomôže sprehľadniť symbolika, ktorú zavedieme v nasledujúcom odseku. .109 Definícia. Nech a ∈ R^{∗} je hromadný bod definičného oboru funkcie g, ktorá je nenulová v niektorom prstencovom okolí R bodu a (tj. na množine R ∩ D(g)). Symbolom o(g) pre x → a (”malé o g pre x idúce k a”) budeme označovať množinu všetkých funkcií spĺňajúcich nasledujúce podmienky:

(i) existuje prstencové okolie P bodu a s vlastnosťou P ∩ D(f) = P ∩ D(g); (ii) lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0; pritom — pokiaľ bude zo súvislosti zrejmé, o ktoré a ∈ R^{∗} sa jedná — budeme zápis o(g) pre x → a skracovať na o(g).

Ak f je funkcia a A, B sú množiny funkcií, tak množiny A + B, f + A, A · B a f · A definujeme rovnosťami

A + B := {f + g; f ∈ A ∧ g ∈ B} , f + A := {f} + A ( = {f + g; g ∈ A})
A · B := {fg; f ∈ A ∧ g ∈ B} , f · A := {f} · A , špeciálne − A := (−1) · A .

Lema. Nech r, s ∈ N, potom pre x → 0 platí:

(a) ak r > s, tak x^{r} ∈ o(x^{s});

(b) ak r > s, tak o(x^{r}) ⊂ o(x^{s});

(c) ak r ≥ s, tak o(x^{r}) + o(x^{s}) ⊂ o(x^{s});

(d) −o(x^{r}) = o(x^{r});

(e) x^{r}o(x^{s}) = o(x^{r+s});

(f) o(x^{r})o(x^{s}) ⊂ o(x^{r+s});

(g) ak f ∈ o(x^{r}), tak f(x^{s}) ∈ o(x^{rs});

(h) ak f ∈ o(x^{r}), pričom f(0) = 0 a g ∈ o(x^{s}), tak f ∘ g ∈ o(x^{rs}).

Poznámka. Nie je ťažké presvedčiť sa, že v prípadoch (c), (e) a (f) možno inklúziu ⊂ nahradiť rovnosťou 116.

Dôkaz. Dokážeme tvrdenia (b), (c) a (h), ostatné dôkazy sú obdobné.

(b) Ak f ∈ o(x^{r}), tak — keďže D(x^{r}) = R — f je definovaná na niektorom prstencovom okolí bodu 0 (to vyplýva z podmienky (i) z definície .109) a lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{r}} = 0, preto

lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{s}} = lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{r}}x^{r−s} = 0 · 0 = 0 ;

lim_{x→0} \frac{|f(x)|^{\frac{s}{r+s}} sgn f(x)}{x^{s}} = lim_{x→a} |\frac{f(x)}{x^{r+s}} |^{\frac{s}{r+s}} sgn f(x) sgn x^{r+s} ,

116v prípade (c) stačí funkciu f ∈ o(x^{s}) napísať ako súčet 0 + f a uvedomiť si, že pre konštantnú funkciu 0 platí inklúzia 0 ∈ o(x^{r}); v prípade (e) možno f ∈ o(x^{r+s}) písať ako súčin x^{r} · \frac{f(x)}{x^{r}}, pričom — pokiaľ 0 ∈ D(f) — funkciu \frac{f(x)}{x^{r}} spojito dodefinujeme v bode 0 hodnotou 0; napokon v prípade (f) zapíšeme funkciu f ∈ o(x^{r+s}) ako súčin

|f(x)|^{\frac{r}{r+s}} · (|f(x)|^{\frac{s}{r+s}} sgn f(x)) , pritom limita prvého súčiniteľa je 0 a zvyšné dva súčinitele sú ohraničeneé funkcie

to znamená, že funkcia f spĺňa obidve podmienky z definície symbolu o(x^{s}), a preto f ∈ o(x^{s}).

(c) Stačí dokázať inklúziu

o(x^{s}) + o(x^{s}) ⊂ o(x^{s}) ,  (210)

dokazované tvrdenie bude potom vyplývať z bodu (ii), pretože — ak A, B, C sú množiny funkcií — z inklúzie C ⊂ B zrejme vyplýva inklúzia A + C ⊂ A + B; v našom prípade teda iste platí

o(x^{r}) + o(x^{s}) ⊂ o(x^{s}) + o(x^{s}) .

Dokazujme teda (210): Ak f, g ∈ o(x^{s}), tak — keďže D(x^{s}) = R — existujú (podľa bodu (i) definície .109) prstencové okolia P_{1} a P_{2} bodu 0 tak, že P_{1} ⊂ D(f), P_{2} ⊂ D(g), pre prstencové okolie P_{1} ∩ P_{2} teda iste platí inklúzia P_{1}∩P_{2} ⊂ D(f+g), čím je pre funkciu f+g splnená podmienka (i) z definície .109. Ďalej z rovností lim_{x→a} \frac{f(x)}{x^{s}} = 0 = lim_{x→a} \frac{g(x)}{x^{s}} vyplýva (podľa vety o limite súčtu) rovnosť lim_{x→a} \frac{f(x)+g(x)}{x^{s}} = 0, čo znamená, že funkcia f + g spĺňa aj druhú z podmienok definície .109, a teda f + g ∈ o(x^{s}).

(h) Predovšetkým si všimnime, že z predpokladu lim_{x→0} \frac{g(x)}{x^{s}} = 0 vyplýva rovnosť

lim_{x→0} g(x) = lim_{x→0} \frac{g(x)}{x^{s}}x^{s} = 0 · 0 = 0 .  (211)

Keďže f ∈ o(x^{r}), g ∈ o(x^{s}), existujú podľa bodu (i) definície .109 prstencové okolia P a R bodu 0 tak, že P ⊂ D(f), R ⊂ D(g). Pretože podľa našich predpokladov je 0 ∈ D(f), platí aj inklúzia

O := P ∪ {0} ⊂ D(f) .  (212)

Z rovnosti lim_{x→0} g(x) = 0 potom podľa definície limity vyplýva, že k okoliu O bodu 0 musí existovať prstencové okolie S_{1} bodu 0 s vlastnosťou g(R ∩ S_{1}) ⊂ O ⊂ D(f), odtiaľ dostávame

S := R ∩ S_{1} ⊂ D(f ∘ g) ,  (213)

čo znamená, že pre funkciu f ∘ g je splnená podmienka (i) z definície .109.

Dokážeme teraz, že lim_{x→0} ^{\frac{f(g(x))}{x^{rs}}} = 0, tj. že platí výrok

(∀ε > 0)(∃T )(∀x ∈ T ∩ D(f ∘ g))(|f(g(x))| < ε|x|^{rs}) .  (214)

Zvoľme teda ε > 0 a hľadajme prstencové okolie T požadovaných vlastností. Keďže lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{r}} = 0, existuje k nášmu číslu ε > 0 prstencové okolie U bodu 0 také, že

(∀x ∈ U ∩ D(f))(|f(x)| < ε|x|^{r}) .

Nech V_{1} := U ∪ {0}. Podľa našich predpokladov je f(0) = 0, odtiaľ a z predchádzajúcej nerovnosti dostávame

(∀x ∈ V_{1} ∩ D(f))(|f(x)| ≤ ε|x|^{r}) ,

a teda — ak písmenom V označíme okolie V_{1} ∩ O (okolie O pozri v (212))

(∀x ∈ V )(|f(x)| ≤ ε|x|^{r}) .  (215)

Pretože lim_{x→0} g(x) = 0 (pozri (211)), existuje k okoliu V prstencové okolie W s vlastnosťou

(∀x ∈ W ∩ D(g))(g(x) ∈ V ) ,

preto — keďže podľa (213) je S ⊂ D(g) — pre prstencové okolie W_{1} := W ∩ S platí

(∀x ∈ W_{1})(g(x) ∈ V ) .  (216)

Ďalej, z rovnosti lim_{x→0} \frac{g(x)}{x^{s}} = 0 vyplýva ohraničenosť limitovanej funkcie na niektorom prstencovom okolí W_{2} bodu 0, tj. na množine W_{2} ∩ D(g), a teda iste na množine W_{2} ∩ S (keďže S ⊂ D(g)), preto

(∀x ∈ W_{2})(|g(x)| < |x|^{s}) .  (217)

Pre všetky x z prstencového okolia W_{1} ∩ W_{2} ∩ S bodu 0 potom platí

|f(g(x))| ≤ ε|g(x)|^{r} < ε|x^{s}|^{r} = |x|^{rs}

(prvá nerovnosť vyplýva z (216) a (215), druhá z (217)), za hľadané prstencové okolie T môžeme preto zvoliť T := W_{1} ∩ W_{2} ∩ S ^{117}. ♠

Inklúzie z predchádzajúcej lemy sa pri ich používaní pre jednoduchosť zapisujú ako rovnosti; pri čítaní takýchto zápisov je teda potrebná istá opatrnosť: keďže ide v skutočnosti o inklúzie, nemožno tieto ”rovnosti” čítať sprava doľava. Pri uvedenej dohode budú mať tvrdenia predchádzajúcej lemy túto podobu:

(a) ak r > s, tak x^{r} = o(x^{s});

(b) ak r > s, tak o(x^{r}) = o(x^{s});

(c) ak r ≥ s, tak o(x^{r}) + o(x^{s}) = o(x^{s});

(d) −o(x^{r}) = o(x^{r});

(e) x^{r}o(x^{s}) = o(x^{r+s});

(f) o(x^{r})o(x^{s}) = o(x^{r+s});

(g) ak f(x) = o(x^{r}), tak f(x^{s}) = o(x^{rs});

(h) ak f = o(x^{r}) a f(0) = 0, tak f(o(x^{s})) = o(x^{rs}) . ♠

Podľa tvrdenia (a) vety .108 platí pre zvyšok R_{n} Taylorovho polynómu T_{n} rádu n funkcie f v bode a inklúzia R_{n} ∈ o((x − a)^{n}), preto pre funkciu f platí (v zmysle našich predchádzajúcich dohôd) rovnosť

f(x) = T_{n}(x) + o((x − a)^{n}) pre x → a ,

ktorá sa nazýva Taylorov vzorec so zvyškom v Peanovom tvare.

Samozrejme, inklúzia R_{n} ∈ o((x − a)^{n}) nám nedáva žiadnu informáciu o veľkosti zvyšku R_{n} v konkrétnom bode x (samozrejme, s výnimkou bodu a). Nasledujúca veta ukazuje, že číslo R_{n}(x) (tj. veľkosť chyby, ktorej sme sa pri nahradení čísla f(x) číslom T_{n}(x) dopustili) možno odhadnúť, pokiaľ vieme odhadnúť veľkosť (n + 1)–vej derivácie funkcie f na intervale s krajnými bodmi a, x.

.110 Veta. Nech funkcia f : I → R je (n + 1)–krát diferencovateľná na intervale I a nech g : I → R je diferencovateľná funkcia, pre ktorú platí

(∀x ∈ I \ {a})(g′(x) ≠ 0) ,

pričom a ∈ I. Potom pre každé x ∈ I \{a} existuje bod c ležiaci v otvorenom intervale s koncovými bodmi a, x taký, že zvyšok R_{n} := f − T_{n} Taylorovho polynómu T_{n} rádu n funkcie f v bode a možno vyjadriť v tvare

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)(x − c)^{n}}{n!} · \frac{g(x) − g(a)}{g′(c)} .  (218)

Špeciálne, ak g(x) = x − a, dostávame zvyšok R_{n} v Cauchyho tvare

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)(x − c)^{n}(x − a)}{n!} ,  (219)

pre g(x) = (x − a)^{n+1} dostávame Lagrangeov tvar zvyšku

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1} .  (220)

117z tohto dôkazu tiež vidno, že uvedené tvrdenie by zostalo v platnosti, keby sme predpoklad g ∈ o(x^{s}) nahradili predpokladom funkcia \frac{g(x)}{x^{s}} je definovaná a ohraničená na niektorom prstencovom okolí bodu 0

Dôkaz. Nech F : I → R je funkcia s predpisom ^{118}

F (t) = f(t) + f′(t)(x − t) + ⋯ + \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x − t)^{k} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x − t)^{n},

potom

R_{n}(x) = f(x) − T_{n}(x) = F (x) − F (a)

a pre t ∈ I je ^{119}

F′(t) = f′(t) + ( − f′(t) + f′′(t)(x − t)) + ⋯ + (−\frac{f^{(k)}(t)}{(k − 1)!}(x − t)^{k−1} + \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x − t)^{k}) +

+ ⋯ + (−\frac{f^{(n)}(t)}{(n − 1)!}(x − t)^{n−1} + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x − t)^{n}) =

= \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x − t)^{n} .

Z Cauchyho vety o strednej hodnote použitej pre funkcie F a g na intervale s koncovými bodmi x a a (splnenie jej predpokladov zaručuje okrem iného poznámka 1 za vetou.91) vyplýva existencia čísla c ležiaceho ”medzi x a a”, pre ktoré platí

\frac{R_{n}(x)}{g(x) − g(a)} = \frac{F (x) − F (a)}{g(x) − g(a)} = \frac{F′(c)}{g′(c)} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{g′(c)} ,

ak túto rovnosť vynásobíme číslom g(x) − g(a), dostaneme (218). Preverenie rovností (219) a (220) (tj. dosadenie konkrétnych funkcií do (218)) prenechávame na čitateľa.

118predpis pre F dostaneme tak, že v predpise Taylorovho polynómu T_{n} nahradíme bod a premennou t a x budeme chápať ako konštantu 119nezabudnime, že derivujeme podľa t