I. Nevlastné integrály

1. Definície a základné vlastnosti nevlastných integrálov

Definícia 1.1. Nech funkcia f je definovaná na intervale < a, ∞) a je riemannovsky integrovatel’ná na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, ∞).

Ak existuje vlastná limita funkcie

F (η) = ∫_{a}^{η} f(x)dx

pre η → ∞, nazýva sa nevlastným Riemannovým integrálom funkcie f na intervale < a, ∞) a označuje sa ∫_{a}^{∞} f(x)dx. Teda

∫_{a}^{∞} f(x)dx := lim_{η→∞} ∫_{a}^{η} f(x)dx = lim_{η→∞} F (η).

a hovoríme, že f je integrovatel’ná na < a, ∞).

Poznámka 1.1. Symbol ∫_{a}^{∞} f(x)dx tiež nazývame nevlastným integrálom a hovoríme, že nevlastný integrál konverguje, ak uvedená limita je vlastná a diverguje v opačnom prípade.

Príklad 1.1. Zistite, pre aké hodnoty parametru α konverguje nevlastný integrál

∫_{a}^{∞} \frac{dx}{x^{α}} (a > 0, α > 0).  (1)

Pretože ∫_{a}^{η} \frac{dx}{x^{α}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1−α}x^{1−α}|_{a}^{η} & pre α ≠ 1 \\ ln x|_{a}^{η} & pre α = 1, \end{matrix} limita lim_{η→∞} ∫_{a}^{η} \frac{dx}{x^{α}} = \frac{a^{1−α}}{α − 1} existuje a je

vlastná len pre α > 1.

Teda ∫_{a}^{∞} \frac{dx}{x^{α}} = \frac{a^{1−α}}{α − 1}, ak α > 1 a pre α ≤ 1 integrál (1) diverguje.

Poznámka 1.2. Ak na vyjadrenie limity funkcie F (η) z definície 1.1. použijeme ”jazyk postupnosti”, môžeme nevlastný integrál na neohraničenom intervale chápat’ ako súčet radu ∑_{n=1}^{∞} ∫_{η_{n−1}}^{η_{n}} f(x)dx, kde postupnost’ {η_{n}}_{n=0}^{∞} je taká, že pre každé n η_{n} > a, η_{0} = a

a lim_{n→∞} η_{n} = ∞.

Tvrdenie 1.1. Pre konvergenciu nevlastného integrálu ∫_{a}^{∞} f(x)dx je nutné a stačí, aby pre l’ubovol’nú postupnost’ {η_{n}}_{n=1}^{∞} čísel väčších ako a s vlastnost’ou lim_{n→∞} η_{n} = +∞ rad

∑_{n=1}^{∞} ∫_{η_{n−1}}^{η_{n}} f(x)dx (η_{0} = a)

konvergoval.

Táto vlastnost’ nám poskytuje možnost’ využit’ pri zist’ovaní konvergencie alebo divergencie nevlastných integrálov mnohé kritéria konvergencie alebo divergencie radov.

Definícia 1.2. Nech funkcia f je definovaná na intervale < a, b) a je riemannovsky integrovatel’ná na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, b).

Ak existuje vlastná limita funkcie F (η) = ∫_{a}^{η} f(x)dx pre x → b^{−}, nazýva sa nevlastným integrálom funkcie f na intervale < a, b). Teda

∫_{a}^{b} f(x)dx := lim_{η→b^{−}} ∫_{a}^{η} f(x).

a hovoríme, že f je integrovatel’ná na < a, ∞).

Poznámka 1.3. Podstata tejto definície spočíva v tom, že v l’ubovol’nom okolí bodu b funkcia f môže byt’ neohraničená. Bod b budeme nazývat’ \underline{singulárnym} alebo \underline{kritickým bodom} funkcie f, ak je funkcia neohraničená na intervale < a, b), ale je ohraničená na každom uzavretom podintervale < a, η > intervalu < a, b).

Definícia 1.3. Ak funkcia f je definovaná na intervale (a, b > a integrovatel’ná na l’ubovol’- nom uzavretom intervale < η, b >⊂ (a, b >, tak definujeme

∫_{a}^{b} f(x)dx := lim_{η→a^{+}} ∫_{η}^{b} f(x)dx.

Podobne definujeme

∫_{−∞}^{b} f(x)dx := lim_{η→−∞} ∫_{η}^{b} f(x)dx.

Definícia 1.4. Nech funkcia f je definovaná na (−∞, ∞) a integrovatel’ná na každom uzavretom intervale < η′, η′′ >. Potom integrál ∫_{−∞}^{∞} f(x)dx definujeme ako

lim_{{η′→−∞ \atop η′′→+∞}} ∫_{η′}^{η′′} f(x) dx pre η′ → −∞ a η′′ → +∞

nezávisle na sebe, ak táto limita je vlastná.

Príklad 1.2. Zistite, pre aké hodnoty parametra α konverguje integrál

∫_{a}^{b} \frac{dx}{(b − x)^{α}} (α > 0).  (2)

Pretože pre η ∈< a, b) ∫_{a}^{η} \frac{dx}{(b − x)^{α}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1−α} (b − x)^{1−α}|_{a}^{η} , & ak α ≠ 1 \\ ln (b − x)|_{a}^{η} , & ak α = 1, \end{matrix}

lim_{η→b^{−}} ∫_{a}^{η} \frac{dx}{(b − x)^{α}} existuje pre α < 1. Teda integrál (2) je konvergentný, ak α < 1 a je

divergentný, ak α ≥ 1.

Poznámka 1.4. Podobne, ako v príklade 1.2. sa zistí, že integrál ∫_{a}^{b} \frac{dx}{(x − a)^{α}} (α > 0)

konverguje pre α < 1 a diverguje pre α ≥ 1.

Poznámka 1.5. Pretože otázka konvergencie nevlastného integrálu je rovnaká tak pre nevlastný integrál na neohraničenom intervale, ako aj pre nevlatný integrál neohraničenej funkcie v okolí jedného z koncových bodov intervalu integrovania, v d’alšom budeme uvažovat’ tieto prípady spolu v zmysle nasledujúcej definície.

Definícia 1.5. Nech < a, B) je ohraničený alebo neohraničený interval a funkcia f je definovaná na ňom. Nech f je integrovatel’ná na každom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Potom definujeme

∫_{a}^{B} f(x)dx := lim_{η→B} ∫_{a}^{η} f(x)dx,  (3)

ak táto limita je vlastná.

Ďalej, ked’ nebude vopred povedané, budeme uvažovat’ nevlastný integrál (3), ktorý súvisí len s hornou hranicou. Nevlastný integrál súvisiaci s dolnou hranicou sa definuje podobne.

Veta 1.1. Nech funkcie f a g sú definované na intervale < a, B) a integrovatel’né na l’ubovol’nom uzavretom intervale < a, η >⊂< a, B). Nech pre ne sú definované nevlastné integrály

∫_{a}^{B} f(x)dx,  (4)
∫_{a}^{B} g(x)dx.  (5)

Potom a) Ak B ∈ R a f ∈ ℜ < a, B >, tak sa hodnoty integrálu (4), chápaného tak v nevlastnom

zmysle na < a, B), ako aj vo vlastnom zmysle, zhodujú.

b) Pre l’ubovol’né λ_{1}, λ_{2} ∈ R funkcia λ_{1}f + λ_{2}g je integrovatel’ná na < a, B) a platí rovnost’

∫_{a}^{B} (λ_{1}f(x) + λ_{2}g(x)) dx = λ_{1} ∫_{a}^{B} f(x)dx + λ_{2} ∫_{a}^{B} g(x)dx.

c) Ak c ∈< a, B), tak

∫_{a}^{B} f(x)dx = ∫_{a}^{c} f(x)dx + ∫_{c}^{B} f(x)dx.

d) Ak φ :< α, β) →< a, B) je spojite diferencovatel’ná rýdzomonotónna funkcia, pričom φ(α) = a a φ(β) → B pre t → β, t ∈< α, β), tak nevlastný integrál funkcie

f (φ(t)) φ′(t) existuje na < α, β) a platí rovnost’

∫_{a}^{B} f(x)dx = ∫_{α}^{β} f (φ(t)) φ′(t)dt.

Veta 1.2. (Integrovanie per partes.) Nech funkcie f, g sú spojite diferencovatel’né na < a, B) a existuje lim_{x→B} f(x)g(x) = L < ∞. Za týchto podmienok z konvergencie jedného

z integrálov ∫_{a}^{B} f(x)g′(x) a ∫_{a}^{B} g(x)f′(x)dx vyplýva konvergencia druhého a platí

∫_{a}^{B} f(x)g′(x)dx = L − f(a)g(a) − ∫_{a}^{B} g(x)f′(x)dx.

Poznámka 1.6. Z tvrdenia c) vety 1.1. vyplýva, že nevlastné integrály

∫_{a}^{B} f(x)dx, ∫_{c}^{B} f(x)dx

konvergujú alebo divergujú súčastne. Teda konvergencia nevlastného integrálu nezávisí od vol’by začiatočného bodu c ∈< a, B) (podobne, ako konvergencia radu sa nezmení vynechaním konečného počtu členov radu).

Nevlastné integrály s konečným počtom singulárnych bodov

Definícia 1.6. Bod x_{0} nazývame singulárnym (kritickým) bodom funkcie f(x), ak

a) alebo je funkcia f definovaná v intervale (x_{0} − δ, x_{0}) a je v ňom neohraničená pre každé dostatočne malé číslo δ > 0;

b) alebo funkcia f je definovaná a neohraničená v intervale (x_{0}, x_{0} + δ), kde δ > 0 je l’ubovol’né dostatočne malé číslo.

Ak je funkcia f definovaná v intervale (a, +∞), tak +∞ budeme pokladat’ za singulárny (kritický) bod a podobne −∞ bude singulárnym bodom funkcia f, ak je f definovaná v intervale (−∞, b).

Definícia 1.7. Nech funkcia f je definovaná v intervale (a, b) a má tam konečný počet kritických bodov c_{1}, c_{2}, …, c_{k} a (a < c_{1} < c_{2} < … < c_{k} < b), pričom a, b tiež môžu byt’ kritickými bodmi funkcie f. Nech v každom uzavretom podintervale intervalu (a, b), ktorý neobsahuje ani jeden z kritických bodov, je riemannovsky integrovatel’ná. Hovoríme, že nevlastný integrál ∫_{a}^{b} f(x)dx konverguje (existuje) práve vtedy, ked’ pre každú postupnost’ bodov d_{0}, d_{1}, …, d_{k} takú, že a < d_{0} < c_{1} < d_{1} < c_{2} < d_{2} < … < d_{k−1} < c_{k} < d_{k} < b existujú integrály

∫_{a}^{d_{0}} f(x)dx, ∫_{d_{0}}^{c_{1}} f(x)dx, ∫_{c_{1}}^{d_{1}} f(x)dx, …, ∫_{c_{k}}^{d_{k}} f(x)dx, ∫_{d_{k}}^{b} f(x)dx.

Súčet týchto integrálov budeme nazývat’ nevlastným integrálom ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Týmto spôsobom môžeme rozdelit’ interval (a, b) na konečný počet podintervalov, v každom z ktorých funkcia f má len jeden kritický bod.

Vypočítajte nevlastné integrály:

1. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{3}}.  2. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{2} + 4}.
3. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{3}} .  4. ∫_{0}^{∞} xe^{−ax^{2}}dx (a > 0).
5. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{2}(1 + x)}.  6. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{(1 + x)\sqrt{x}}.
7. ∫_{0}^{∞} \frac{xdx}{(1 + x)^{2}} .  8. ∫_{1}^{∞} \frac{\sqrt{x}dx}{(1 + x)^{2}} .
9. ∫_{2}^{∞} \frac{dx}{x^{2} + x − 2}.  10. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1}dx.
11. ∫_{0}^{∞} \frac{arctg x}{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}} dx.  12. ∫_{0}^{∞} e^{−ax} cos bxdx (a > 0).
13. ∫_{0}^{∞} e^{−ax} sin bxdx (a > 0).  14. ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} .
15. ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}.  16. ∫_{1}^{2} \frac{xdx}{\sqrt{x − 1}}.
17. ∫_{0}^{1} \frac{(x + 1)dx}{\sqrt[3]{(x − 1)^{2}}} .  18. ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} .
19. ∫_{0}^{1} x ln xdx.  20. ∫_{0}^{2} \frac{dx}{x^{2} − 4x + 3}.

21. ∫_{0}^{1} ln xdx.  22. ∫_{0}^{1} \frac{dx}{(2 − x)\sqrt{1 − x}}.
23. ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} .  24. ∫_{0}^{∞} \frac{x ln x}{(1 + x^{2})^{2}} dx.
25. ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x\sqrt{1 + x^{5} + x^{10}}} .  26. ∫_{0}^{1} \frac{x}{(1 + x^{2})\sqrt{1 − x^{4}}} .

27. ∫_{0}^{1} (ln x)^{p} dx (p je prirodzené číslo).

28. a) I_{1} = ∫0^{\frac{π}{2}} ln sin xdx; b) I_{2} = ∫0^{\frac{π}{2}} ln cos xdx.

29. Nech φ(x) ≥ 0, lim_{x→+∞} φ(x) = 0, φ′(x) ≤ 0, φ′(x) je spojitá funkcia na < a, +∞). Dokážte, že ∫_{0}^{∞} φ′(x)dx konverguje absolútne, t.j. že konverguje integrál ∫_{0}^{∞} |φ′(x)|dx.

30. Nájdite ∫_{E} \frac{e^{− \frac{x}{2}} | sin x − cos x|}{\sqrt{sin x}}dx, kde E je množina tých hodnôt x z intervalu (0, +∞), pre ktoré integrand má zmysel. Použitím rekurentných vzorcov vypočítajte integrály:

31. I_{n} = ∫_{0}^{+∞} x^{n}e^{−x}dx.

32. I_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}dx}{\sqrt{(1 − x)(1 + x)}}.

33. \underline{Strednou hodnotou funkcie} f(x) na intervale (0, +∞) sa nazýva číslo

M[f] = lim_{x→+∞} \frac{1}{x} ∫_{0}^{x} f(t)dt.

Nájdite stredné hodnoty nasledujúcich funkcií:

a) f(x) = sin^{2} x + cos^{2} (x\sqrt{2});

b) f(x) = arctg x;

c) f(x) = \sqrt{x} sin x.

34. Dokážte, že a) ak ∫_{0}^{∞} xφ(x^{2})dx konverguje, tak ∫_{−∞}^{∞} xφ(x^{2})dx = 0;

b) ak konverguje ∫_{0}^{∞} φ(x^{2})dx, tak ∫_{−∞}^{∞} φ(x^{2})dx = 2 ∫_{0}^{∞} φ(x^{2})dx.